偏微分課程課件8-拋物型方程的有限差分方法(II)

（五）多維問題1.一維格式的直接推廣（五）多維問題1.一維格式的直接推廣截?cái)嗾`差Fourier方法分析穩(wěn)定性：引入記號向前差分格式截?cái)嗾`差Fourier方法分析穩(wěn)定性：引入記號向前差分格式P維顯格式穩(wěn)定性條件為二維或高維情況顯格式不合適P維顯格式穩(wěn)定性條件為二維或高維情況顯格式不合適轉(zhuǎn)向考慮隱格式無條件穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）截?cái)嗾`差：轉(zhuǎn)向考慮隱格式無條件穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）截?cái)嗾`差：無條件穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）為提高精度，采用Grank-Nicolson格式無條件穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）為提高精度，采用Grank-Nicol一維隱格式：絕對穩(wěn)定，系數(shù)矩陣為三對角矩陣

并可用追趕法求解

高維隱格式：絕對穩(wěn)定，但系數(shù)矩陣非三對角矩

陣，不能用追趕法求解，計(jì)算量大。顯格式：穩(wěn)定性限制嚴(yán)格高維隱格式：絕對穩(wěn)定，但系數(shù)矩陣非三對角矩Alternatingdirectimplicitmethod隱格式將問題:一維模型的隱格式—可用追趕法計(jì)算多維模型的隱格式,系數(shù)矩陣是塊三角矩陣,

追趕法失效,需要采用迭代算法?多維模型可否能建立追趕法計(jì)算的隱格式!2.交替方向隱式格式同時(shí)在n+1層取值，并無條件穩(wěn)定同時(shí)在n層取值，條件穩(wěn)定顯格式將AlternatingdirectimplicitmeP-R：Peacemen-Rachford格式D:Douglas格式LOD：LocallyOneDimensionalMethod，局部一維法PC：Predict-CorrectorMethod，預(yù)校法

ADI（AlternatingDirectImplictMethod

交替方向隱式法）以及相關(guān)格式P-R：Peacemen-Rachford格式ADI（Alt（1）PR格式（二階精度、絕對穩(wěn)定）第一個(gè)ADI格式P-R(Peaceman-Rachford)格式是1955年提出的,將第n層至第n+1層的計(jì)算分成兩步特點(diǎn):引入過渡層優(yōu)點(diǎn):追趕法+無條件穩(wěn)定的隱格式缺點(diǎn):無條件穩(wěn)定僅對二維模型成立（1）PR格式（二階精度、絕對穩(wěn)定）第一個(gè)ADI格式P-R(基本思想：將每個(gè)時(shí)間步分為兩個(gè)小時(shí)間步，即分?jǐn)?shù)時(shí)間步，每個(gè)空間維對應(yīng)一個(gè)小時(shí)間步，在第i個(gè)小時(shí)間步，采用第i個(gè)空間變量用隱式，另一個(gè)空間變量為隱式的格式。X方向隱Y方向隱基本思想：將每個(gè)時(shí)間步分為兩個(gè)小時(shí)間步，即分?jǐn)?shù)時(shí)間步，每個(gè)空相加相減，依次得相加相減，依次得所獲兩式消去過渡層得利用Taylor展式得所獲兩式消去過渡層得利用Taylor展式得考察格式穩(wěn)定性，將得增長因子變形為考察格式穩(wěn)定性，將得增長因子變形為故PR法絕對穩(wěn)定，并且為二階格式三維情形，PR格式不再無條件穩(wěn)定故PR法絕對穩(wěn)定，并且為二階格式三維情形，PR格式不再無條PR格式D’yakonov格式二階精度絕對穩(wěn)定PR格式D’yakonov格式(2)Douglas格式（1964年提出）變形為由PR格式的等價(jià)形式(2)Douglas格式（1964年提出）變形為由PR格式偏微分課程課件8_拋物型方程的有限差分方法(II)Douglas格式也是交替方向隱格式，精度及穩(wěn)定性完全同P-R格式，同時(shí)出現(xiàn)，存儲量大，但是可以推廣到三維。隱格式：新的時(shí)間層具有多于一個(gè)節(jié)點(diǎn)Douglas格式也是交替方向隱格式，精度及穩(wěn)定性完全同P-3維Douglas格式3維Douglas格式優(yōu)點(diǎn):追趕法+無條件穩(wěn)定的隱格式是三層格式，比PR格式多一層存貯，但是易于推廣到高維Douglas格式特點(diǎn):引入過渡層+替換二維：利用PR格式存儲量少三維:D格式優(yōu)點(diǎn):追趕法+無條件穩(wěn)定的隱格式Douglas格式二維：3.局部一維格式利用最簡顯式的LOD格式CN型LOD格式基本思想：將一個(gè)時(shí)間區(qū)間分成n個(gè)子區(qū)間，用一種差分格式來近似代替一維方程3.局部一維格式利用最簡顯式的LOD格式CN型LOD格式基本將n維問題的每個(gè)時(shí)間步分為n個(gè)子步，在第i個(gè)子步中將問題視為第i維空間上的一維問來處理。直觀上這可理解為在每個(gè)時(shí)間步用n個(gè)順序的一維離散擴(kuò)過程模擬一個(gè)n維的擴(kuò)散過程。將n維問題的每個(gè)時(shí)間步分為n個(gè)子步，在第i個(gè)子步中將問題視為CN型LOD格式改寫為與P-R格式等價(jià)但LOD格式可推廣至三維CN型LOD與P-R格式等價(jià)4預(yù)測-校正法（PC）分為兩步：時(shí)的近似解;b)再在用二階精度格式計(jì)算a)先用一階精度格式給出預(yù)測，LOD隱式校正，顯式4預(yù)測-校正法（PC）分為兩步：時(shí)的近似解;b)再在與D格式等價(jià)與D格式5.跳點(diǎn)格式（無條件穩(wěn)定，二階）一維跳點(diǎn)格式可以直接推廣到二維顯格式隱格式為奇數(shù)為偶數(shù)引入差分算子：令5.跳點(diǎn)格式（無條件穩(wěn)定，二階）一維跳點(diǎn)格式可以直接推廣到二兩式相減相鄰時(shí)間層兩式相減相鄰已知未知已知未知6.三維問題顯隱C-N，無條件穩(wěn)定，二階精度，但必須使用ADI方法計(jì)算無條件穩(wěn)定6.三維問題顯隱C-N，無條件穩(wěn)定條件穩(wěn)定運(yùn)用較少PR格式條件穩(wěn)定運(yùn)用較少PR格式偏微分課程課件8_拋物型方程的有限差分方法(II)偏微分課程課件8_拋物型方程的有限差分方法(II)本章介紹了經(jīng)典的有限差分方法求解拋物型問題的顯格式、隱格式（包括ADI格式）顯格式的優(yōu)點(diǎn)是格式構(gòu)造簡單，每個(gè)分量可以獨(dú)立求解；隱式構(gòu)造比較復(fù)雜，各分量需要聯(lián)立求解，優(yōu)點(diǎn)是穩(wěn)定性好，一維問題追趕法有效，而對于高維問題的ADI格式，可以通過求解一系列具有主對角占優(yōu)三對角系數(shù)矩陣的線性方程組來高效求解。本章介紹了經(jīng)典的有限差分方法求解拋物型問題的課堂練習(xí)P維擴(kuò)散方程顯格式穩(wěn)定性條件是什么？交替方向隱式格式的引入是為了解決什么問題？課堂練習(xí)P維擴(kuò)散方程顯格式穩(wěn)定性條件是什么？海潮引起初始水位傾斜的濱海承壓含水層地下水位變化的數(shù)值模擬海潮引起初始水位傾斜的濱海偏微分課程課件8_拋物型方程的有限差分方法(II)用隱格式離散為：線性代數(shù)方程組采用傳統(tǒng)的求解三對角方程組的追趕法，最終將解隨時(shí)間的變化曲線畫出來，可以分析出濱海水位與海潮的一樣具有相同周期，但時(shí)間上滯后，其水位變化幅度與海岸線的距離具有衰減性，越遠(yuǎn)水位變化幅度越小。用隱格式離散為：線性代數(shù)方程組采用傳統(tǒng)的求解三對角方程組的追偏微分課程課件8_拋物型方程的有限差分方法(II)用向前差分格式，向后差分格式Crank-Nicolson格式來求解，取為0.1與0.5進(jìn)行計(jì)算。用向前差分格式，向后差分格式Crank-Nicolson格式精確解顯格式數(shù)值解，精確解顯格式數(shù)值解，顯格式數(shù)值解在t=0.1時(shí)的誤差顯格式數(shù)值解在t=0.1時(shí)的誤差當(dāng)采用顯格式時(shí)，網(wǎng)格比不滿足穩(wěn)定條件，數(shù)值解不收斂當(dāng)采用顯格式t=0.1時(shí)顯示格式，隱式格式，CN格式誤差大小的比較。t=0.1時(shí)顯示格式，隱式格式，顯格式當(dāng)時(shí)間步長減少到原來的1/4，空間步長減少到原來的1/2，誤差減少到原來的1/4，收斂速度為。。顯格式當(dāng)時(shí)間步長減少到原來的1/4，。。CN格式當(dāng)時(shí)間步長和空間步長同時(shí)減少到原來的1/2，誤差減少到原來的1/4，收斂速度為CN格式當(dāng)時(shí)間步長和空間步長同時(shí)減少到原來的1/2，對高維問題的計(jì)算，不能不考慮交替方向隱式（ADI）算法，ADI格式具有無條件穩(wěn)定，求解快速的優(yōu)點(diǎn)。本例對二維問題，利用D’yakonov交替方向隱式方法求數(shù)值解，并畫出誤差圖。對高維問題的計(jì)算，不能不考慮交替方向隱式（ADI）算法，利D’yakonov交替方向隱式方法D’yakonov交替方向隱式方法記，則當(dāng)時(shí)間和空間步長同時(shí)縮小到原來的1/2，誤差縮小到原來的1/4，收斂速度為.記，則當(dāng)時(shí)間和空間步長.（五）多維問題1.一維格式的直接推廣（五）多維問題1.一維格式的直接推廣截?cái)嗾`差Fourier方法分析穩(wěn)定性：引入記號向前差分格式截?cái)嗾`差Fourier方法分析穩(wěn)定性：引入記號向前差分格式P維顯格式穩(wěn)定性條件為二維或高維情況顯格式不合適P維顯格式穩(wěn)定性條件為二維或高維情況顯格式不合適轉(zhuǎn)向考慮隱格式無條件穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）截?cái)嗾`差：轉(zhuǎn)向考慮隱格式無條件穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）截?cái)嗾`差：無條件穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）為提高精度，采用Grank-Nicolson格式無條件穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）為提高精度，采用Grank-Nicol一維隱格式：絕對穩(wěn)定，系數(shù)矩陣為三對角矩陣

并可用追趕法求解

高維隱格式：絕對穩(wěn)定，但系數(shù)矩陣非三對角矩

陣，不能用追趕法求解，計(jì)算量大。顯格式：穩(wěn)定性限制嚴(yán)格高維隱格式：絕對穩(wěn)定，但系數(shù)矩陣非三對角矩Alternatingdirectimplicitmethod隱格式將問題:一維模型的隱格式—可用追趕法計(jì)算多維模型的隱格式,系數(shù)矩陣是塊三角矩陣,

追趕法失效,需要采用迭代算法?多維模型可否能建立追趕法計(jì)算的隱格式!2.交替方向隱式格式同時(shí)在n+1層取值，并無條件穩(wěn)定同時(shí)在n層取值，條件穩(wěn)定顯格式將AlternatingdirectimplicitmeP-R：Peacemen-Rachford格式D:Douglas格式LOD：LocallyOneDimensionalMethod，局部一維法PC：Predict-CorrectorMethod，預(yù)校法

ADI（AlternatingDirectImplictMethod

交替方向隱式法）以及相關(guān)格式P-R：Peacemen-Rachford格式ADI（Alt（1）PR格式（二階精度、絕對穩(wěn)定）第一個(gè)ADI格式P-R(Peaceman-Rachford)格式是1955年提出的,將第n層至第n+1層的計(jì)算分成兩步特點(diǎn):引入過渡層優(yōu)點(diǎn):追趕法+無條件穩(wěn)定的隱格式缺點(diǎn):無條件穩(wěn)定僅對二維模型成立（1）PR格式（二階精度、絕對穩(wěn)定）第一個(gè)ADI格式P-R(基本思想：將每個(gè)時(shí)間步分為兩個(gè)小時(shí)間步，即分?jǐn)?shù)時(shí)間步，每個(gè)空間維對應(yīng)一個(gè)小時(shí)間步，在第i個(gè)小時(shí)間步，采用第i個(gè)空間變量用隱式，另一個(gè)空間變量為隱式的格式。X方向隱Y方向隱基本思想：將每個(gè)時(shí)間步分為兩個(gè)小時(shí)間步，即分?jǐn)?shù)時(shí)間步，每個(gè)空相加相減，依次得相加相減，依次得所獲兩式消去過渡層得利用Taylor展式得所獲兩式消去過渡層得利用Taylor展式得考察格式穩(wěn)定性，將得增長因子變形為考察格式穩(wěn)定性，將得增長因子變形為故PR法絕對穩(wěn)定，并且為二階格式三維情形，PR格式不再無條件穩(wěn)定故PR法絕對穩(wěn)定，并且為二階格式三維情形，PR格式不再無條PR格式D’yakonov格式二階精度絕對穩(wěn)定PR格式D’yakonov格式(2)Douglas格式（1964年提出）變形為由PR格式的等價(jià)形式(2)Douglas格式（1964年提出）變形為由PR格式偏微分課程課件8_拋物型方程的有限差分方法(II)Douglas格式也是交替方向隱格式，精度及穩(wěn)定性完全同P-R格式，同時(shí)出現(xiàn)，存儲量大，但是可以推廣到三維。隱格式：新的時(shí)間層具有多于一個(gè)節(jié)點(diǎn)Douglas格式也是交替方向隱格式，精度及穩(wěn)定性完全同P-3維Douglas格式3維Douglas格式優(yōu)點(diǎn):追趕法+無條件穩(wěn)定的隱格式是三層格式，比PR格式多一層存貯，但是易于推廣到高維Douglas格式特點(diǎn):引入過渡層+替換二維：利用PR格式存儲量少三維:D格式優(yōu)點(diǎn):追趕法+無條件穩(wěn)定的隱格式Douglas格式二維：3.局部一維格式利用最簡顯式的LOD格式CN型LOD格式基本思想：將一個(gè)時(shí)間區(qū)間分成n個(gè)子區(qū)間，用一種差分格式來近似代替一維方程3.局部一維格式利用最簡顯式的LOD格式CN型LOD格式基本將n維問題的每個(gè)時(shí)間步分為n個(gè)子步，在第i個(gè)子步中將問題視為第i維空間上的一維問來處理。直觀上這可理解為在每個(gè)時(shí)間步用n個(gè)順序的一維離散擴(kuò)過程模擬一個(gè)n維的擴(kuò)散過程。將n維問題的每個(gè)時(shí)間步分為n個(gè)子步，在第i個(gè)子步中將問題視為CN型LOD格式改寫為與P-R格式等價(jià)但LOD格式可推廣至三維CN型LOD與P-R格式等價(jià)4預(yù)測-校正法（PC）分為兩步：時(shí)的近似解;b)再在用二階精度格式計(jì)算a)先用一階精度格式給出預(yù)測，LOD隱式校正，顯式4預(yù)測-校正法（PC）分為兩步：時(shí)的近似解;b)再在與D格式等價(jià)與D格式5.跳點(diǎn)格式（無條件穩(wěn)定，二階）一維跳點(diǎn)格式可以直接推廣到二維顯格式隱格式為奇數(shù)為偶數(shù)引入差分算子：令5.跳點(diǎn)格式（無條件穩(wěn)定，二階）一維跳點(diǎn)格式可以直接推廣到二兩式相減相鄰時(shí)間層兩式相減相鄰已知未知已知未知6.三維問題顯隱C-N，無條件穩(wěn)定，二階精度，但必須使用ADI方法計(jì)算無條件穩(wěn)定6.三維問題顯隱C-N，無條件穩(wěn)定條件穩(wěn)定運(yùn)用較少PR格式條件穩(wěn)定運(yùn)用較少PR格式偏微分課程課件8_拋物型方程的有限差分方法(II)偏微分課程課件8_拋物型方程的有限差分方法(II)本章介紹了經(jīng)典的有限差分方法求解拋物型問題的顯格式、隱格式（包括ADI格式）顯格式的優(yōu)點(diǎn)是格式構(gòu)造簡單，每個(gè)分量可以獨(dú)立求解；隱式構(gòu)造比較復(fù)雜，各分量需要聯(lián)立求解，優(yōu)點(diǎn)是穩(wěn)定性好，一維問題追趕法有效，而對于高維問題的ADI格式，可以通過求解一系列具有主對角占優(yōu)三對角系數(shù)矩陣的線性方程組來高效求解。本章介紹了經(jīng)典的有限差分方法求解拋物型問題的課堂練習(xí)P維擴(kuò)散方程顯格式穩(wěn)定性條件是什么？交替方向隱式格式的引入是為了解決什么問題？課堂練習(xí)P維擴(kuò)散方程顯格式穩(wěn)定性條件是什么？海潮引起初始水位傾斜的濱海承壓含水層地下水位變化的數(shù)值模擬海潮引起初始水位傾斜的濱海偏微分課程課件8_拋物型方程的有限差分方法(II)用隱格式離散為：線性代數(shù)方程組采用傳統(tǒng)的求解三對角方程組的追趕法，最終將解隨時(shí)間的變化曲線