高考數(shù)學(xué)考前沖刺專題《基本不等式》夯基練習(xí)（含答案）

高考數(shù)學(xué)考前沖刺專題《基本不等式》夯基練習(xí)一、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3若實(shí)數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)=eq\r(ab)，則ab的最小值為()A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.4LISTNUMOutlineDefault\l3已知x＞0，y＞0，且4x＋y=xy，則x＋y的最小值為()A.8B.9C.12D.16LISTNUMOutlineDefault\l3“a＞b＞0”是“ab＜eq\f(a2＋b2,2)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件LISTNUMOutlineDefault\l3已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y=2，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是()A.4B.3C.2D.1LISTNUMOutlineDefault\l3已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy=8，則x＋2y的最小值是()A.3B.4C.eq\f(9,2)D.eq\f(11,2)LISTNUMOutlineDefault\l3在下列各函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是()A.y=x＋eq\f(1,x)B.y=cosx＋eq\f(1,cosx)(0＜x＜eq\f(π,2))C.y=eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))D.y=ex＋eq\f(4,ex)－2LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且C=eq\f(π,6)，a＋b=12，則△ABC面積的最大值為()A.8B.9C.16D.21LISTNUMOutlineDefault\l3若a＞b＞1，P=eq\r(lga·lgb)，Q=eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R=lgeq\f(a＋b,2)，則()A.R＜P＜QB.Q＜P＜RC.P＜Q＜RD.P＜R＜QLISTNUMOutlineDefault\l3當(dāng)0＜m＜eq\f(1,2)時(shí)，若eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A.[－2，0)∪(0，4]B.[－4，0)∪(0，2]C.[－4，2]D.[－2，4]LISTNUMOutlineDefault\l3若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))且目標(biāo)函數(shù)z=ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為7，則eq\f(3,a)＋eq\f(4,b)的最小值為()A.14B.7C.18D.13LISTNUMOutlineDefault\l3不等式x2＋2x＜eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)對(duì)任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.(－2,0)B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)C.(－4,2)D.(－∞，－4)∪(2，＋∞)LISTNUMOutlineDefault\l3已知a>0，b>0，若不等式eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立，則m的最大值為()A.4B.16C.9D.3二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3已知a>0，b>0，a＋b=2，則y=eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知a，b∈R，且a－3b＋6=0，則2a＋eq\f(1,8b)的最小值為________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知直線ax－2by=2(a＞0，b＞0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圓心，則eq\f(4,a＋2)＋eq\f(1,b＋1)的最小值為.LISTNUMOutlineDefault\l3已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=4，若點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且P到AB，AC的距離分別為m，n，則eq\f(4,m)＋eq\f(1,n)的最小值為________.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0參考答案LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C；解析：由eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)=eq\r(ab)知a＞0，b＞0，所以eq\r(ab)=eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，即ab≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,\f(1,a)＋\f(2,b)＝\r(ab)))，即a=eq\r(4,2)，b=2eq\r(4,2)時(shí)取“=”，所以ab的最小值為2eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B；解析：由題意可得eq\f(4,y)＋eq\f(1,x)=1，則x＋y=(x＋y)(eq\f(4,y)＋eq\f(1,x))=5＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)≥5＋2eq\r(\f(4x,y)×\f(y,x))=9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4x,y)=eq\f(y,x)，即x=3，y=6時(shí)等號(hào)成立，故x＋y的最小值為9.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A；解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜eq\f(a2＋b2,2)”的充分不必要條件，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D解析：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)=eq\f(x＋y,xy)≥eq\f(2\r(xy),xy)=eq\f(2,\r(xy))，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào).∵log2x＋log2y=log2(xy)=2，∴xy=4.∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥eq\f(2,\r(xy))=1.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B解析：由題意得x＋2y=8－x·2y≥8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，等號(hào)成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4.故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D解析：當(dāng)x＜0時(shí)，y=x＋eq\f(1,x)≤－2，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?＜x＜eq\f(π,2)，所以0＜cosx＜1，所以y=cosx＋eq\f(1,cosx)＞2，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閥=eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))=eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x2＋2=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x無解，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閑x＞0，所以y=ex＋eq\f(4,ex)－2≥2eq\r(ex·\f(4,ex))－2=2，當(dāng)且僅當(dāng)ex=eq\f(4,ex)，即ex=2時(shí)等號(hào)成立，故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B；解析：由三角形的面積公式：S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,4)ab≤eq\f(1,4)×(eq\f(a＋b,2))2=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6時(shí)等號(hào)成立.則△ABC面積的最大值為9.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C；解析：∵a＞b＞1，∴l(xiāng)ga＞lgb＞0，eq\f(1,2)(lga＋lgb)＞eq\r(lga·lgb)，即Q＞P.∵eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，∴l(xiāng)geq\f(a＋b,2)＞lgeq\r(ab)=eq\f(1,2)(lga＋lgb)，即R＞Q，∴P＜Q＜R.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D；解析：因?yàn)?＜m＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)×2m×(1－2m)≤eq\f(1,2)×[SKIPIF1<0]2=eq\f(1,8)，當(dāng)且僅當(dāng)2m=1－2m，即m=eq\f(1,4)時(shí)取等號(hào)，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)=eq\f(1,m（1－2m）)≥8，又eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是[－2，4].故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B；解析：畫出可行域如圖所示，由圖形可知當(dāng)直線經(jīng)過x－y=－1與2x－y=2的交點(diǎn)N(3，4)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即3a＋4b=7，于是eq\f(3,a)＋eq\f(4,b)=eq\f(1,7)(3a＋4b)(eq\f(3,a)＋eq\f(4,b))=eq\f(1,7)(25＋eq\f(12b,a)＋eq\f(12a,b))≥eq\f(1,7)(25＋2eq\r(\f(12b,a)·\f(12a,b)))=7，即eq\f(3,a)＋eq\f(4,b)的最小值為7.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C解析：不等式x2＋2x＜eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)對(duì)任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等價(jià)于x2＋2x＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(16b,a)))min，由于eq\f(a,b)＋eq\f(16b,a)≥2eq\r(\f(a,b)·\f(16b,a))=8(當(dāng)且僅當(dāng)a=4b時(shí)等號(hào)成立)，∴x2＋2x＜8，解得－4＜x＜2.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B解析：因?yàn)閍>0，b＞0，所以eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立等價(jià)于m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b)))(3a＋b)=10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)恒成立.因?yàn)閑q\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥2eq\r(\f(3b,a)·\f(3a,b))=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，所以10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥16，所以m≤16，即m的最大值為16.故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：eq\f(9,2).解析：依題意，得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·(a＋b)=eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(4a,b)))))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))=eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a>0，b>0，))即a=eq\f(2,3)，b=eq\f(4,3)時(shí)取等號(hào)，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是eq\f(9,2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：eq\f(1,4).解析：∵a－3b＋6=0，∴a－3b=－6，∴2a＋eq\f(1,8b)=2a＋2－3b≥2eq\r(2a·2－3b)=2eq\r(2a－3b)=2eq\r(2－6)=eq\f(1,4).當(dāng)且僅當(dāng)2a=2－3b，即a=－3，b=1時(shí)，2a＋eq\f(1,8b)取得最小值eq\f(1,4).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：2.25；解析：圓x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圓心坐標(biāo)為(2，－1).由于直線ax－2by=2(a＞0，b＞0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圓心，故有a＋b=1.∴eq\f(4,a＋2)＋eq\f(1,b＋1)=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\