2023年新高考數(shù)學一輪復習課時2.3《基本不等式》達標練習（含詳解）

2023年新高考數(shù)學一輪復習課時2.3《基本不等式》達標練習一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是()A.80元B.120元C.160元D.240元LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2的值域為(－∞，0]∪[4，＋∞)，則a的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C.1D.2LISTNUMOutlineDefault\l3“a＞b＞0”是“ab＜eq\f(a2＋b2,2)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件LISTNUMOutlineDefault\l3設0<a<b，則下列不等式中正確的是()A.a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B.a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC.a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<bLISTNUMOutlineDefault\l3若正數(shù)x，y滿足x2＋3xy－1＝0，則x＋y的最小值是()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(3),3)LISTNUMOutlineDefault\l3當x>0時，函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)有()A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2LISTNUMOutlineDefault\l3當0<m<eq\f(1,2)時，若eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為()A.[－2,0)∪(0,4]B.[－4,0)∪(0,2]C.[－4,2]D.[－2,4]LISTNUMOutlineDefault\l3若正數(shù)x，y滿足3x＋y＝5xy，則4x＋3y的最小值是()A.2B.3C.4D.5LISTNUMOutlineDefault\l3當0＜m＜eq\f(1,2)時，若eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為()A.[－2,0)∪(0,4]B.[－4,0)∪(0,2]C.[－4,2]D.[－2,4]LISTNUMOutlineDefault\l3已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S8－2S4=5，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為()A.10B.15C.20D.25LISTNUMOutlineDefault\l3已知函數(shù)f(x)=x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12(a<0)，且f(a2－4)=f(2a－8)，則eq\f(f（n）－4a,n＋1)(n∈N*)的最小值為()A.eq\f(37,4)B.eq\f(35,8)C.eq\f(28,3)D.eq\f(27,4)LISTNUMOutlineDefault\l3對一切實數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，－2)B.[－2，＋∞)C.[－2,2]D.[0，＋∞)二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3某游泳館擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的泳池，池的深度為1米，池的四周墻壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁厚忽略不計).則泳池的長設計為米時，可使總造價最低.LISTNUMOutlineDefault\l3若x>0，y>0，x＋4y＋2xy=7，則x＋2y的最小值是.LISTNUMOutlineDefault\l3已知0＜x＜eq\f(3,2)，則y=eq\f(2,x)＋eq\f(9,3－2x)的最小值為________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知x，y為正實數(shù)，則eq\f(2x,x＋2y)＋eq\f(x＋y,x)的最小值為.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C.解析：設容器底面矩形的長和寬分別為a和b，容器的總造價為y元，則ab=4，y=4×20＋10×2(a＋b)=20(a＋b)＋80，∵a＋b≥2eq\r(ab)=4(當且僅當a=b=2時等號成立)，∴y≥160，故選C.]LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C解析：由題意可得a>0，①當x>0時，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≥2eq\r(a)＋2，當且僅當x＝eq\r(a)時取等號；②當x<0時，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≤－2eq\r(a)＋2，當且僅當x＝－eq\r(a)時取等號.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A；解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜eq\f(a2＋b2,2)”的充分不必要條件，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B解析：因為0<a<b，所以a－eq\r(ab)=eq\r(a)(eq\r(a)－eq\r(b))<0，故a＜eq\r(ab)；b－eq\f(a＋b,2)=eq\f(b－a,2)＞0，故b>eq\f(a＋b,2)；由基本不等式知eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab).綜上所述，a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<b.故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B解析：對于x2＋3xy－1＝0可得y＝eq\f(1,3)(eq\f(1,x)-x)，∴x＋y＝eq\f(2x,3)＋eq\f(1,3x)≥2eq\r(\f(2,9))＝eq\f(2\r(2),3)(當且僅當x＝eq\f(\r(2),2)時等號成立).故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B解析：f(x)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2\r(x·\f(1,x)))＝1.當且僅當x＝eq\f(1,x)，x>0即x＝1時取等號.所以f(x)有最大值1.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D.解析：因為0<m<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)×2m×(1－2m)≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2m＋1－2m,2)))2=eq\f(1,8)，當且僅當2m=1－2m，即m=eq\f(1,4)時取等號，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)=eq\f(1,m1－2m)≥8，又eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以實數(shù)k的取值范圍是[－2,4].故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D解析：由3x＋y＝5xy，得eq\f(3x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq\f(1,5)(eq\f(3,y)＋eq\f(1,x))＝eq\f(1,5)(4＋9＋eq\f(3y,x)＋eq\f(12x,y))≥eq\f(1,5)(4＋9＋2eq\r(36))＝5，當且僅當eq\f(3y,x)＝eq\f(12x,y)，即y＝2x時，“＝”成立，故4x＋3y的最小值為5.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D；解析：因為0＜m＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)×2m×(1－2m)≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2m＋1－2m,2)))2=eq\f(1,8)，當且僅當2m=1－2m，即m=eq\f(1,4)時取等號，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)=eq\f(1,m1－2m)≥8，又eq\f(1,m)＋eq\f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以實數(shù)k的取值范圍是[－2,4]，故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C；解析：由題意可得a9＋a10＋a11＋a12=S12－S8，由S8－2S4=5可得S8－S4=S4＋5，由等比數(shù)列的性質可得S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列，則S4(S12－S8)=(S8－S4)2，綜上可得：a9＋a10＋a11＋a12=S12－S8=eq\f(（S4＋5）2,S4)=S4＋eq\f(25,S4)＋10≥2eq\r(S4×\f(25,S4))＋10=20，當且僅當S4=5時等號成立.故a9＋a10＋a11＋a12的最小值為20.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A；解析：二次函數(shù)f(x)=x2＋(a＋8)x＋a2＋a－12圖象的對稱軸為直線x=－eq\f(a＋8,2)，由f(a2－4)=f(2a－8)及二次函數(shù)的圖象，可以得出eq\f(a2－4＋2a－8,2)=－eq\f(a＋8,2)，解得a=－4或a=1，又a<0，所以a=－4，所以f(x)=x2＋4x，所以eq\f(f（n）－4a,n＋1)=eq\f(n2＋4n＋16,n＋1)=eq\f(（n＋1）2＋2（n＋1）＋13,n＋1)=n＋1＋eq\f(13,n＋1)＋2≥2eq\r(（n＋1）·\f(13,n＋1))＋2=2eq\r(13)＋2，又n∈N*，所以當且僅當n＋1=eq\f(13,n＋1)，即n=eq\r(13)－1時等號成立，當n=2時，eq\f(f（n）－4a,n＋1)=eq\f(28,3)，n=3時，eq\f(f（n）－4a,n＋1)=eq\f(29,4)＋2=eq\f(37,4)<eq\f(28,3)，所以最小值為eq\f(37,4)，故選A.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B解析：當x＝0時，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此時a∈R，當x≠0時，則有a≥eq\f(－1－|x|2,|x|)＝－(|x|＋eq\f(1,|x|))，設f(x)＝－(|x|＋eq\f(1,|x|))，則a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋eq\f(1,|x|)≥2(當且僅當|x|＝1時取等號)，則f(x)max＝－2，故a≥－2.故選B.二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：15；解析：設泳池的長為x米，則寬為eq\f(200,x)米，總造價f(x)=400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2×\f(200,x)))＋100×eq\f(200,x)＋60×200=800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(225,x)))＋12000≥1600eq\r(x·\f(225,x))＋12000=36000(元)，當且僅當x=eq\f(225,x)(x＞0)，即x=15時等號成立，即泳池的長設計為15米時，可使總造價最低.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：3.解析：因為x>0，y>0，x＋4y＋2xy=7，則2y=eq\f(7－x,x＋2).則x＋2y=x＋eq\f(7－x,x＋2)=x＋2＋eq\f(9,x＋2)－3≥2eq\r(x＋2·\f(9,x＋2))－3=3，當且僅當x=1時取等號.因此其最小值是3.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：eq\f(25,3).解析：∵y=eq\f(2,x)＋eq\f(9,3－2x)=eq\f(5x＋6,x（3－2x）)，設5x＋6=t，則x=eq\f(t－6,5)，∵0＜x＜eq\f(2,3)，∴6＜t＜eq\f(28,3)，∴y=eq\f(5x＋6,x（3－2x）)=eq\f(25t,－2t2＋39t－162)=eq\f(25,－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(81,t)))＋39)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＜t＜\f(28,3)))，記f(t)=t＋eq\f(8