冷軋機數(shù)學(xué)模型及自學(xué)習(xí)課件

冷軋數(shù)學(xué)模型及模型自適應(yīng)2006.5武漢冷軋數(shù)學(xué)模型及模型自適應(yīng)1主要內(nèi)容1.冷軋數(shù)學(xué)模型2.模型自適應(yīng)主要內(nèi)容1.冷軋數(shù)學(xué)模型21.冷軋數(shù)學(xué)模型1.冷軋數(shù)學(xué)模型冷軋機設(shè)定計算要得到各道次的壓下量和軋機速度。各機架（道次）厚度分配確定以后，就可以由彈跳方程確定各機架（道次）的輥縫值，同時根據(jù)秒流量相等的原則確定各道次的速度。1.1彈跳方程（EquationforMillSpring）

h=Sp=S’+P/C’（1）式中Sp----有載輥縫，mm；h-----軋件厚度，mm；S’---空載輥縫，mm；C’---機座總剛度，kN/mm。1.冷軋數(shù)學(xué)模型1.冷軋數(shù)學(xué)模型冷軋機設(shè)定計3冷軋帶鋼的軋制力公式較多，但一般認為布蘭德一福特公式及其簡化式R．Hill公式較符合實際，故計算機控制的現(xiàn)代冷連軋機常用它作為軋制力模型。根據(jù)Hill公式，可得以下計算公式：在考慮了張力的影響后，軋制力可用下式計算：冷軋帶鋼的軋制力公式較多，但一般認為布蘭德一福特公式4冷軋機數(shù)學(xué)模型及自學(xué)習(xí)課件5圖1彈跳方程圖1彈跳方程6h=So+(P-P0)/Cp+O+G(2)式中So----人工零位的輥縫儀指示值，mm；Cp-----機座剛度系數(shù)，kN/mm；P-----軋制壓力，kN；Po----預(yù)壓靠力，kN；O---油膜厚度，mm；G---輥縫零位，mm。1.2流量方程（EquationforFlowMass）

流量方程：

式中-----入口和出口帶鋼寬度，mm；L-----入口帶鋼長度，mm；-----入口和出口帶鋼厚度，mm；-----入口和出口帶鋼速度，m/s。1.冷軋數(shù)學(xué)模型h=So+(P-P0)/Cp7對于雙機架冷連軋有兩類流量方程：（1）

一個機架變形區(qū)入口和出口的流量方程

對于熱連軋精軋機組，寬展很小，所以：

或者

式中f為前滑；

為后滑；為軋輥線速度。

（2）機架之間的流量方程

或

對于雙機架冷連軋有兩類流量方程：（2）機架之間的流量方程8一個機架的變形區(qū)流量方程（變形區(qū)入口和出口流量恒等）是完全正確的，但多個機架的流量方程，則僅在穩(wěn)態(tài)下正確。1.3平直度方程（EquationforStripFlatness）

為了保持良好的板形，必須使軋件沿寬度方向上各點的延伸率相等，即沿沿寬度方向上各點的壓縮率應(yīng)相同。但軋件橫斷面邊緣和中間存在著一定的厚差稱為凸度，如圖2所示。如果來料凸度為，則軋出的成品亦應(yīng)有一定的凸度才能保證其板形良好。

在來料平直度良好時，入口和出口相對凸度相等，是軋出平直度良好帶鋼的基本條件，即：1.冷軋數(shù)學(xué)模型圖2原料和成品板凸度關(guān)系一個機架的變形區(qū)流量方程（變形區(qū)入口和出口流91.冷軋數(shù)學(xué)模型1.4連軋張力方程（TensionEquationforTandemRolling）

此式即為常用的張力微分方程式。1.冷軋數(shù)學(xué)模型1.4連軋張力方程10。2.模型自適應(yīng)2.1概述（Introduction）數(shù)學(xué)模型即是用數(shù)學(xué)表達式來描述對象的內(nèi)在規(guī)律，可以是一個或一組公式；可以采用表格形式；也可以是代數(shù)方程，微分方程等。數(shù)學(xué)模型的分類：（1）

從建模角度分類，分為機理性模型和經(jīng)驗統(tǒng)計模型機理性模型是根據(jù)生產(chǎn)過程的物理機理，應(yīng)用相應(yīng)的學(xué)科理論寫出具有普遍意義的數(shù)學(xué)方程，機理性模型的優(yōu)點是較完整的反映了各種影響因素的影響規(guī)律。但在實際應(yīng)用時，需要模型中的系數(shù)進行統(tǒng)計回歸得到。經(jīng)驗統(tǒng)計模型是根據(jù)分析確定了影響因素后直接寫出的公式，一般結(jié)構(gòu)比較簡單。。2.模型自適應(yīng)2.1概述（Introductio11（2）從性質(zhì)上分類，分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型靜態(tài)模型不包含時間，反映了穩(wěn)態(tài)條件下的過程狀況。動態(tài)模型采用微分方程的形式，含有時間變量，反映了過程的動態(tài)特性，如機架間張力方程等。（3）從變量波動范圍分類，分為全量模型和增量模型全量模型用來描述變量在大范圍中的關(guān)系，往往是非線性的。增量模型用來描述變動范圍小的變量間關(guān)系，采用線性化方程。（4）從應(yīng)用角度分類，分為綜合分析或仿真用數(shù)學(xué)模型和在線控制用數(shù)學(xué)模型綜合分析或仿真用數(shù)學(xué)模型將生產(chǎn)過程各物理現(xiàn)象數(shù)學(xué)化后，用于綜合分析或進行仿真。分析一般是離線進行，時間一般不受限制，為了精確描述生產(chǎn)過程，所用數(shù)學(xué)模型可以考慮更多的因素，用較復(fù)雜的公式。在線控制用數(shù)學(xué)模型，用于生產(chǎn)過程計算機在線控制，時間上受到限制，因此要采取簡化措施抓住主要因素，忽略次要的因素，利用模型自學(xué)習(xí)來保證控制精度。2.模型自適應(yīng)（2）從性質(zhì)上分類，分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型綜122.2在線模型的建立方法（ModelingMethodofon-lineModels）

無論是機理型還是經(jīng)驗統(tǒng)計型模型為了用于一定的軋機，必須利用該軋機的實測數(shù)據(jù)對模型系數(shù)進行統(tǒng)計分析，以便使模型用于該軋機的具體條件下能獲得要求的預(yù)報精度。在現(xiàn)場收集數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析時，應(yīng)注意以下問題：（1）

需有一定數(shù)量條件相同的實測數(shù)據(jù)以提高統(tǒng)計的可靠性；（2）

自變量應(yīng)有較寬的范圍以使統(tǒng)計結(jié)果較為穩(wěn)定；（3）

需要對實測數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，應(yīng)將過于分散的實測點剔除后再進行統(tǒng)計分析；（4）

即使是經(jīng)驗統(tǒng)計型模型亦應(yīng)根據(jù)機理分析來確定主要影響因素及公式的大致結(jié)構(gòu)，以利于加快系數(shù)的統(tǒng)計分布；（5）

事先制訂出試驗方案，使數(shù)據(jù)收集有計劃的進行；模型建立后應(yīng)在生產(chǎn)實際中進行驗證。

2.模型自適應(yīng)2.2在線模型的建立方法（1）

需有一定數(shù)量條件相同的實測132.3模型自學(xué)習(xí)（Self-learningofModels）

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)的變化，不斷利用即時信息進行模型參數(shù)的修正，以保證模型的精度，這種功能稱為模型自適應(yīng)校正。

2.3.1增長記憶遞推最小二乘法

y=a1x1+a2x2+……..+amxm式中a1,a2,…….,am----模型待定參數(shù)。 現(xiàn)對變量y,x1,x2,…..,xm進行了n次觀測，得到n組數(shù)據(jù)，由測量數(shù)據(jù)可以得到以下線性方程組：y1=x11a1+x21a2+……..+xm1amy2=x12a1+x22a2+……..+xm2amyn=x1na1+x2na2+……..+xmnamyi,xi1,xi2,,xim(i=1,2,3,,n)2.3模型自學(xué)習(xí)2.3.1增長記憶遞推最小二乘法

14

因此，線性方程組可以寫成矩陣方程：Yn=XnA由n次測量，通過上式計算得到模型參數(shù)為：

2.模型自適應(yīng)2.模型自適應(yīng)15如果又進行了第n+1次測量，數(shù)據(jù)為：Yn+1,x1(n+1),x2(n+1),……,xm(n+1)Yn+1=x1(n+1)a1,x2(n+1)a2,……,xm(n+1)am(x1(n+1),x2(n+1),……,xm(n+1))則第n+1次測量后的模型系數(shù)為：

上式為模型系數(shù)的遞推公式，每次都增加了新的測量信息，因此稱為增長記憶遞推最小二乘法。如果又進行了第n+1次測量，數(shù)據(jù)為：16

2.3.2指數(shù)平滑法

y=a1x1+a2x2++amxm+x1~xm表示對模型有直接影響的因素，系數(shù)a1~am表示這些因素對y的作用程度。系統(tǒng)狀態(tài)變化用來反映，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化時，可對模型中系數(shù)作相應(yīng)的修正計算以適應(yīng)系統(tǒng)特性的變化。為了既能反映最新的實際狀態(tài)，又能防止出現(xiàn)測量誤差時降低模型的精度，采用下面的遞推算法：

式中----第n次設(shè)定或控制時的預(yù)報值；----第n次設(shè)定或控制后的實測值；

----第n+1次設(shè)定或控制的預(yù)報值；----增益系數(shù)，0<=≤1。2.模型自適應(yīng)2.3.2指數(shù)平滑法2.模型自適應(yīng)17此式的意義是，在進行第n次設(shè)定或控制時用第n-1次的數(shù)據(jù)所推算的，以及對的實測值，根據(jù)此式對參數(shù)先作一預(yù)報，用此預(yù)報的值進行第n次的設(shè)定或控制，在進行第n次設(shè)定或控制后，即可獲得第n次的實測數(shù)據(jù)值。與的差別，表示了模型存在的誤差—系統(tǒng)狀態(tài)的變化?？紤]到實際上是反映了系統(tǒng)特性的即時狀態(tài)，為提高模型精度可以利用獲得的新信息

的部分值對

進行修正，即用

加在

得到第n+1次

參數(shù)的預(yù)報值

。

此式的意義是，在進行第n次設(shè)定或控制時用第n-1次的數(shù)據(jù)所推18由于所得到的第n次實測值反映了當(dāng)時的系數(shù)狀態(tài)，這樣進行一次自適應(yīng)校正計算，可使模型不斷適應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的變化，使模型精度不斷提高。包含了前面1~n步的的信息，但由于小于1，因此，離n+1越遠的信息被利用的越少，所以稱為指數(shù)平滑法。

值反映了對信息

的利用程度，當(dāng)=1時，則

即完全信賴第n次獲得的實測信息

，用它來作第n+1次的預(yù)報。這只有在儀表絕對可靠沒有誤差的情況下才成為可能，而實際上是不可能的。如=0，則

，表示第n次實測值完全不可靠，不能考慮它，因此把第n次的預(yù)報值仍作為第n+1次的預(yù)報值，不利用所獲得的第n次信息。比較合理的辦法應(yīng)是根據(jù)每次實測數(shù)據(jù)的狀況來決定

值的大小(即值每次是變化的)，但如何可靠地判斷每次實測數(shù)據(jù)的精度是一個難題。

2.模型自適應(yīng)由于所得到的第n次實測值反映了當(dāng)時的系數(shù)狀態(tài)，這樣進19因此，目前一般把看作常數(shù)，其數(shù)值由實驗求得，必要時可在一段時間內(nèi)改變一次值，使自適應(yīng)校正的效果更好些。在對象及儀表條件一定時，可以定性地說，值太大將引起預(yù)報值的“振蕩”，使預(yù)報忽高忽低，值太小將使預(yù)報值逼近目標(biāo)值的速度減慢(圖3)。圖3對學(xué)習(xí)過程的影響2.模型自適應(yīng)因此，目前一般把看作常數(shù)，其數(shù)值由實驗求20自適應(yīng)校正對模型系數(shù)的修正一般有兩種形式：（1）

加法自適應(yīng)，模型形式為：y=f(x1,x2,.xm)+（2）

乘法自適應(yīng)，模型形式為：y=f(x1,x2,.xm)當(dāng)y值能實測（第n次實測值為），自變量xn1,xn2,xnm也能實測時，可用下式算出的實測值。對于加法自適應(yīng)：=－f(xn1,xn2,xnm)對于乘法自適應(yīng)：

自適應(yīng)校正對模型系數(shù)的修正一般有兩種形式：當(dāng)y值能21求得后，作n+1次模型計算時可用下式：

對于加法自適應(yīng)：

對于乘法自適應(yīng)：2.模型自適應(yīng)求得后，作n+1次模型計算時可用下式：222Thankyou!Thankyou!23冷軋數(shù)學(xué)模型及模型自適應(yīng)2006.5武漢冷軋數(shù)學(xué)模型及模型自適應(yīng)24主要內(nèi)容1.冷軋數(shù)學(xué)模型2.模型自適應(yīng)主要內(nèi)容1.冷軋數(shù)學(xué)模型251.冷軋數(shù)學(xué)模型1.冷軋數(shù)學(xué)模型冷軋機設(shè)定計算要得到各道次的壓下量和軋機速度。各機架（道次）厚度分配確定以后，就可以由彈跳方程確定各機架（道次）的輥縫值，同時根據(jù)秒流量相等的原則確定各道次的速度。1.1彈跳方程（EquationforMillSpring）

h=Sp=S’+P/C’（1）式中Sp----有載輥縫，mm；h-----軋件厚度，mm；S’---空載輥縫，mm；C’---機座總剛度，kN/mm。1.冷軋數(shù)學(xué)模型1.冷軋數(shù)學(xué)模型冷軋機設(shè)定計26冷軋帶鋼的軋制力公式較多，但一般認為布蘭德一福特公式及其簡化式R．Hill公式較符合實際，故計算機控制的現(xiàn)代冷連軋機常用它作為軋制力模型。根據(jù)Hill公式，可得以下計算公式：在考慮了張力的影響后，軋制力可用下式計算：冷軋帶鋼的軋制力公式較多，但一般認為布蘭德一福特公式27冷軋機數(shù)學(xué)模型及自學(xué)習(xí)課件28圖1彈跳方程圖1彈跳方程29h=So+(P-P0)/Cp+O+G(2)式中So----人工零位的輥縫儀指示值，mm；Cp-----機座剛度系數(shù)，kN/mm；P-----軋制壓力，kN；Po----預(yù)壓靠力，kN；O---油膜厚度，mm；G---輥縫零位，mm。1.2流量方程（EquationforFlowMass）

流量方程：

式中-----入口和出口帶鋼寬度，mm；L-----入口帶鋼長度，mm；-----入口和出口帶鋼厚度，mm；-----入口和出口帶鋼速度，m/s。1.冷軋數(shù)學(xué)模型h=So+(P-P0)/Cp30對于雙機架冷連軋有兩類流量方程：（1）

一個機架變形區(qū)入口和出口的流量方程

對于熱連軋精軋機組，寬展很小，所以：

或者

式中f為前滑；

為后滑；為軋輥線速度。

（2）機架之間的流量方程

或

對于雙機架冷連軋有兩類流量方程：（2）機架之間的流量方程31一個機架的變形區(qū)流量方程（變形區(qū)入口和出口流量恒等）是完全正確的，但多個機架的流量方程，則僅在穩(wěn)態(tài)下正確。1.3平直度方程（EquationforStripFlatness）

為了保持良好的板形，必須使軋件沿寬度方向上各點的延伸率相等，即沿沿寬度方向上各點的壓縮率應(yīng)相同。但軋件橫斷面邊緣和中間存在著一定的厚差稱為凸度，如圖2所示。如果來料凸度為，則軋出的成品亦應(yīng)有一定的凸度才能保證其板形良好。

在來料平直度良好時，入口和出口相對凸度相等，是軋出平直度良好帶鋼的基本條件，即：1.冷軋數(shù)學(xué)模型圖2原料和成品板凸度關(guān)系一個機架的變形區(qū)流量方程（變形區(qū)入口和出口流321.冷軋數(shù)學(xué)模型1.4連軋張力方程（TensionEquationforTandemRolling）

此式即為常用的張力微分方程式。1.冷軋數(shù)學(xué)模型1.4連軋張力方程33。2.模型自適應(yīng)2.1概述（Introduction）數(shù)學(xué)模型即是用數(shù)學(xué)表達式來描述對象的內(nèi)在規(guī)律，可以是一個或一組公式；可以采用表格形式；也可以是代數(shù)方程，微分方程等。數(shù)學(xué)模型的分類：（1）

從建模角度分類，分為機理性模型和經(jīng)驗統(tǒng)計模型機理性模型是根據(jù)生產(chǎn)過程的物理機理，應(yīng)用相應(yīng)的學(xué)科理論寫出具有普遍意義的數(shù)學(xué)方程，機理性模型的優(yōu)點是較完整的反映了各種影響因素的影響規(guī)律。但在實際應(yīng)用時，需要模型中的系數(shù)進行統(tǒng)計回歸得到。經(jīng)驗統(tǒng)計模型是根據(jù)分析確定了影響因素后直接寫出的公式，一般結(jié)構(gòu)比較簡單。。2.模型自適應(yīng)2.1概述（Introductio34（2）從性質(zhì)上分類，分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型靜態(tài)模型不包含時間，反映了穩(wěn)態(tài)條件下的過程狀況。動態(tài)模型采用微分方程的形式，含有時間變量，反映了過程的動態(tài)特性，如機架間張力方程等。（3）從變量波動范圍分類，分為全量模型和增量模型全量模型用來描述變量在大范圍中的關(guān)系，往往是非線性的。增量模型用來描述變動范圍小的變量間關(guān)系，采用線性化方程。（4）從應(yīng)用角度分類，分為綜合分析或仿真用數(shù)學(xué)模型和在線控制用數(shù)學(xué)模型綜合分析或仿真用數(shù)學(xué)模型將生產(chǎn)過程各物理現(xiàn)象數(shù)學(xué)化后，用于綜合分析或進行仿真。分析一般是離線進行，時間一般不受限制，為了精確描述生產(chǎn)過程，所用數(shù)學(xué)模型可以考慮更多的因素，用較復(fù)雜的公式。在線控制用數(shù)學(xué)模型，用于生產(chǎn)過程計算機在線控制，時間上受到限制，因此要采取簡化措施抓住主要因素，忽略次要的因素，利用模型自學(xué)習(xí)來保證控制精度。2.模型自適應(yīng)（2）從性質(zhì)上分類，分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型綜352.2在線模型的建立方法（ModelingMethodofon-lineModels）

無論是機理型還是經(jīng)驗統(tǒng)計型模型為了用于一定的軋機，必須利用該軋機的實測數(shù)據(jù)對模型系數(shù)進行統(tǒng)計分析，以便使模型用于該軋機的具體條件下能獲得要求的預(yù)報精度。在現(xiàn)場收集數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析時，應(yīng)注意以下問題：（1）

需有一定數(shù)量條件相同的實測數(shù)據(jù)以提高統(tǒng)計的可靠性；（2）

自變量應(yīng)有較寬的范圍以使統(tǒng)計結(jié)果較為穩(wěn)定；（3）

需要對實測數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，應(yīng)將過于分散的實測點剔除后再進行統(tǒng)計分析；（4）

即使是經(jīng)驗統(tǒng)計型模型亦應(yīng)根據(jù)機理分析來確定主要影響因素及公式的大致結(jié)構(gòu)，以利于加快系數(shù)的統(tǒng)計分布；（5）

事先制訂出試驗方案，使數(shù)據(jù)收集有計劃的進行；模型建立后應(yīng)在生產(chǎn)實際中進行驗證。

2.模型自適應(yīng)2.2在線模型的建立方法（1）

需有一定數(shù)量條件相同的實測362.3模型自學(xué)習(xí)（Self-learningofModels）

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)的變化，不斷利用即時信息進行模型參數(shù)的修正，以保證模型的精度，這種功能稱為模型自適應(yīng)校正。

2.3.1增長記憶遞推最小二乘法

y=a1x1+a2x2+……..+amxm式中a1,a2,…….,am----模型待定參數(shù)。 現(xiàn)對變量y,x1,x2,…..,xm進行了n次觀測，得到n組數(shù)據(jù)，由測量數(shù)據(jù)可以得到以下線性方程組：y1=x11a1+x21a2+……..+xm1amy2=x12a1+x22a2+……..+xm2amyn=x1na1+x2na2+……..+xmnamyi,xi1,xi2,,xim(i=1,2,3,,n)2.3模型自學(xué)習(xí)2.3.1增長記憶遞推最小二乘法

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因此，線性方程組可以寫成矩陣方程：Yn=XnA由n次測量，通過上式計算得到模型參數(shù)為：

2.模型自適應(yīng)2.模型自適應(yīng)38如果又進行了第n+1次測量，數(shù)據(jù)為：Yn+1,x1(n+1),x2(n+1),……,xm(n+1)Yn+1=x1(n+1)a1,x2(n+1)a2,……,xm(n+1)am(x1(n+1),x2(n+1),……,xm(n+1))則第n+1次測量后的模型系數(shù)為：

上式為模型系數(shù)的遞推公式，每次都增加了新的測量信息，因此稱為增長記憶遞推最小二乘法。如果又進行了第n+1次測量，數(shù)據(jù)為：39

2.3.2指數(shù)平滑法

y=a1x1+a2x2++amxm+x1~xm表示對模型有直接影響的因素，系數(shù)a1~am表示這些因素對y的作用程度。系統(tǒng)狀態(tài)變化用來反映，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化時，可對模型中系數(shù)作相應(yīng)的修正計算以適應(yīng)系統(tǒng)特性的變化。為了既能反映最新的實際狀態(tài)，又能防止出現(xiàn)測量誤差時降低模型的精度，采用下面的遞推算法：

式中----第n次設(shè)定或控制時的預(yù)報值；----第n次設(shè)定或控制后的實測值；

----第n+1次設(shè)定或控制的預(yù)報值；----增益系數(shù)，0<=≤1。2.模型自適應(yīng)2.3.2指數(shù)平滑法2.模型自適應(yīng)40此式的意義是，在進行第n次設(shè)定或控制時用第n-1次的數(shù)據(jù)所推算的，以及對的實測值，根據(jù)此式對參數(shù)先作一預(yù)報，用此預(yù)報的值進行第n次的設(shè)定或控制，在進行第n次設(shè)定或控制后，即可獲得第n次的實測數(shù)據(jù)值。與的差別，表示了模型存在的誤差—系統(tǒng)狀態(tài)的變化?？紤]到實際上是反映了系統(tǒng)特性的即時狀態(tài)，為提高模型精度可以利用獲得的新信息

的部分值對

進行修正，即用

加在

得到第n+1次

參數(shù)的預(yù)報值

。

此式的意義是，在