二體問題(于萬堂)

二體問題及質(zhì)心系問題一．質(zhì)心運動定理二.二體問題的動力學問題1f2112如果一個系統(tǒng)中有兩個相互作用的質(zhì)點,并且系統(tǒng)的合外力為零,1f2112m和m1 2

，兩者之間的相互作 f 2用力分別f 和f21

，則有：f21

m11

m12 2 2 1 1

mm 所以有：aa

( )f

即：f

1 2 a

ua1 2 m1

m 2

21 mm 12 121 2其中u叫做約化質(zhì)量。即：兩個物體之間的相互作用力大小等于約化質(zhì)量乘以兩個物體的相對加速度。假如兩個質(zhì)點的質(zhì)量分別為m和m1 2

，相距為r12

，如果以質(zhì)m

1 C 2mC12r

2 r

r 1 r對以上兩個式子求導得：v

m2 v

m1v

m 12 2C2m 1 vm

mm 121 2mm 1 2m

2C mm 121 2ma

2 a

a 1 amm 1 2

2C mm 121 2 m

又因為：f

1 2 a

所以：fma

fma21 mm 121 2

11C

2 2C即：二體問題中，兩物體之間的相互作用力等于物體的質(zhì)量乘以物體相對于質(zhì)心的加速度?！緞恿繂栴}】對于有相互作用的兩個質(zhì)點，其質(zhì)心坐標為x

mxmx 11 2 2C mm1 2 m

m

對上式求導得：v 11

22

m)v mvmvC mm1 2

1 2

11 22m

)

) m

m01 C 1

2 2 C

22C

11C即：兩個相互作用的物體，以其質(zhì)心為參考系，系統(tǒng)的動量為零。【動能問題：當質(zhì)量分別為m和M的兩個小球在同一直線上分別以速度v和v 運動時，1 21）他們質(zhì)心的運動速度（v-v）1 2如果兩球發(fā)生正碰，說明只有第二項發(fā)生了改變（4）在（3）的情況下給出恢復(fù)系數(shù)和總動能損失E之間的關(guān)系式【習題】水平光滑桌面上有兩個質(zhì)量分別為Mm的兩個物體，兩者用一根勁度系數(shù)為k的彈簧連m化質(zhì)量概念求出此后彈簧的最大壓縮長度水平面上有一輛質(zhì)量為M的小車，車內(nèi)有一平臺，平臺上有一根輕質(zhì)彈簧，彈簧一端與小車的后壁固定，將彈簧壓縮一定線度后鎖定，并將一個質(zhì)量為m的小球靠在壓縮彈簧的（）小車固定）切摩擦。質(zhì)量為M的粒子以速度v0運動，與質(zhì)量為m的靜止粒子碰撞，求第一個粒子在碰撞后的最大偏角？碰撞時完全彈性的。質(zhì)量為m的小珠子套在質(zhì)量為M具有速度v，而環(huán)靜止，求在以后過程中珠子的最小動能，不計一切摩擦。B兩個可看做質(zhì)點的物體，其質(zhì)量分別為m、m/2，中間以勁度系數(shù)為k、原長為l的輕彈簧相連接。質(zhì)量為m/232kl23m32kl23m

方向為垂直彈簧的初速度與B發(fā)生碰撞，且碰后立即粘成一個整體D。求此后運動過程中A、D間距的最大值與最小值。M啞鈴是質(zhì)量為M和2

的兩個小球分別固定在輕硬桿的兩端，現(xiàn)將該啞鈴放在光滑的水平m的小球沿著桌面朝垂直啞鈴方向運動Mm和M比例的時候會發(fā)生第二次碰撞MvM/2v6.（23屆復(fù)賽）如圖所示，一根質(zhì)量可以忽略的細桿，長為2l質(zhì)量為m的小球DM的小球Av0沿垂直于桿DB的方間與右端小球B的速度，并詳細討論以后可能發(fā)生的運動情況。BDC213ABCDDA，BDC213A（圖中穿過彈簧的那條豎直線）拴住的壓縮輕彈簧豎直放置在托盤兩者未粘連為111在以后的運動過程中不會與托盤的頂部相碰．求砝碼1從與彈簧分離至再次接觸經(jīng)歷的時間．321 2 2 1 28—2L的小車，車內(nèi)兩端靠近底部處llk和kmm的小球，彈簧與小球都不相連。開始