不等式解法15種典型例題

不式法15典例典例一例1解等式）

2x

3

2

）

5)

2(2x)

0

．分析如多項(xiàng)式

f(x

可分解為

n

個(gè)一次式的積，則一元高次不式

f()

（或

f()

）可用“穿根法”求解，但要注處理好有重根的情況．解）原不等式可化為

xx把方程

xx

的三個(gè)根5,2

順次標(biāo)上數(shù)軸．然后從右上開(kāi)畫(huà)線順次經(jīng)過(guò)三個(gè)根，其集如下圖的陰影部分．∴原不等式解集為

52

或4)(x2(2)（）不式等價(jià)于x4)(xx

3

0∴原不等式解集為

說(shuō)明用“穿根法”解不等式時(shí)注意：①各一次項(xiàng)中的數(shù)必為正；②對(duì)于偶或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式也可直接用“穿根法意“奇穿偶不穿法如圖典例二例2解列分式不等式）

3x

；（）

3x2

xx

分析當(dāng)式不等式化為

(x)(x)

0(或0)

時(shí)，要注意它的等價(jià)變形①

(x)(x)

f(xx

；②

()()

f(x)x)(x)0（）：原不等式等價(jià)于3x3xx

x(x00(x2)(x(x2)(x2)編輯：王剛

時(shí)間：1．1．

((

xxx(2)(2)用“穿根法”∴原不等式解集為

（）法：原不等式等價(jià)于

2xx3x

x

2x2

或

11x或32

，∴原不等式解集為

11()(,1)32

。解法二：原不等式等價(jià)于xxxx

(2xx用“穿根法”∴原不等式解集

11()((2,3典例三例3解等式

x分析：此題的關(guān)是去絕對(duì)值符號(hào)，而去絕值符號(hào)有兩種方法：一是根絕對(duì)值的意義

((

；二是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：

x,x

或

，因此本題有如下兩種解法．解法：不等式或

x

或x2，即xxx∴

x

或

2

，故原不等式的解集為

解法：不等式等價(jià)于即2)編輯：王剛時(shí)間：

2)∴故1xx

．典例四例4解等式

xx

．分析這是個(gè)分式不等式，其左邊是兩個(gè)關(guān)于x二式的商由商的符號(hào)法則，它等價(jià)下列兩個(gè)不等式組：或，所以原不等式的解集是上面兩個(gè)不式級(jí)的解集的并集．也可用數(shù)軸標(biāo)根求解．解法：不等式等價(jià)下面兩不等式級(jí)的并集：或x

x5,或x或x2)(6)x6或x1或．原不等式解集是{x6}．解法：不等式化為(符號(hào)(2)(6)

(xx(x

．?dāng)?shù)，找因式根，分區(qū)間，定符號(hào)．∴原不等式解集是{x1或x6}說(shuō)明解一要注意求個(gè)等價(jià)不等式組的解集是求每?jī)蓚€(gè)不等式的交集，再求兩組的解的并集，否則會(huì)產(chǎn)生誤解．解法中號(hào)”是關(guān)鍵．當(dāng)個(gè)因式的數(shù)為正值，最右邊區(qū)間一定是正值，其他各區(qū)間正負(fù)間；也可以先決定含０的間符號(hào)，其他各區(qū)間正負(fù)相間在解題時(shí)要正確運(yùn)用．典例五例5解等式

xx

x分析不式左右兩邊都是有的數(shù)式，必須先它們移到一邊，使另一邊為0再．解：項(xiàng)理，將原不等式化為

(2)((3)(

．由x2恒立，知原等式等價(jià)于編輯：王剛時(shí)間：

(2)(

．22解之，得原不等式的解集為xx或．說(shuō)明題易出現(xiàn)去分母得x

2x22xx)錯(cuò)誤解法．避免誤解的方法是移項(xiàng)一邊為０再解．另外，在解題過(guò)程，對(duì)出現(xiàn)的二項(xiàng)式要注意其是否有實(shí)根，以便分析不等式否有解，從而使求解過(guò)程科學(xué)合理．典例六例設(shè)，關(guān)x不等式m

2

2

30．分析進(jìn)類(lèi)討論求解．解：時(shí)，因30一立，故原不等式的解集為R．當(dāng)m0時(shí)，不等式化為0；若m0時(shí)得

1；m0時(shí)得xm

．綜上：當(dāng)m時(shí)，等式的解集為

31xmm

；當(dāng)m0時(shí)原等的集

1m

x

3m

．說(shuō)明不等式時(shí)于mR此能完全按一元二次不等式的解法求解當(dāng)m時(shí)原不等式化為30此時(shí)不等式的解集為，以解題時(shí)應(yīng)分m0與m0情況來(lái)討論．在解出m

2

x

2

30的為x1

3，x后認(rèn)為，這也是易出現(xiàn)的錯(cuò)誤之m處．這時(shí)也應(yīng)分情況來(lái)討論：0時(shí)

3；當(dāng)0時(shí)．mm例解關(guān)于x的式2axa

2

典例七1x．分析先理不等式的解法化為兩個(gè)不等式組，然后分類(lèi)論求解．解：不式編輯：王剛

a21x0,或a2;時(shí)間2010-5

2x20,x2x22x2x2由a得：(1)

(2)

a,2

x

0;

由判別a

2

2

，故不等式x

2

a

2

的解是aa．當(dāng)0，

a2

a，aa，不等式組(1)的是ax，不等式(的解是．當(dāng)a，不等式(無(wú)解，的解是x

a2

．綜上可知，當(dāng)0時(shí)原不等式的解集是a2,當(dāng)時(shí)原不等式的解集是,說(shuō)明：題分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)“0，a”是依據(jù)已知a及1)中‘

a2

，(2)x

a2

含參數(shù)的不等式是不等式問(wèn)題中的難點(diǎn)近幾年高考的熱點(diǎn)般地，分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)（解不等）大多數(shù)情況下依“不等組中的各不等式的解所對(duì)應(yīng)的間的端點(diǎn)”去確定．本題易誤把原不式等價(jià)于不等)不等式基本類(lèi)型的解法．典型例題八

．糾正錯(cuò)誤的辦法是熟練掌握理例解不等式x2x．分析先掉絕對(duì)值號(hào)，再它的等價(jià)組并求各不等式的解然后取它們的交集即可．解答去絕對(duì)值號(hào)得x2，∴原不等式等價(jià)于不等式組x

5或x(2x2(x3)(2x11∴原不等式的解集為或說(shuō)明解絕對(duì)值的不式，關(guān)鍵是要把它化為不含絕值的不等式，然后把不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化編輯：王剛

時(shí)間：2232222222222c2232222222222c為不等式組，變成求不等式組解．典例九例9解于不等式xa)．分析：等式中含有字母故需分類(lèi)討論．但解題思與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程

2

2

)x

3

的根，然后寫(xiě)出不等式的解，由于方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論解：不式可化為(x)(x)．(1)a

2

（即a或時(shí)，不等式的解集為：x或；(2)a（）時(shí)，不等式的解集為：；(3)a（a或）時(shí)，不等式的解集為：

xxR且xa．說(shuō)明對(duì)數(shù)進(jìn)行的討，是根據(jù)解題的需要而自然引的，并非一開(kāi)始就對(duì)參數(shù)加以分類(lèi)、討論．比如本題，為求不等式解，需先求出方程的根x，x，因此不等式的解就是x小1于小根或大大根．但aa兩的大小不能確定，因此需要討論，a，a三情況．典例十例10已不等式

2bx

的解集是

0)

等式

cx

的解集．分析按照元二次不等式的一般解法，先確定系數(shù)c的負(fù)，后求出方程根即可解之．解：解由題可斷出，方程ax的根，

2

bx兩∴

bc，．a(chǎn)xa

的集是，明a．而，

cbc，∴．a(chǎn)cca

ba

11,c111)(),a編輯：王剛

時(shí)間：222222222222∴

b11x，x2))()，即)．c11又0，∴(xx)的集為

1x

．(解法2)由題意可判斷出，方

2

的根，∴

ca

．又的解集是，說(shuō)明ac而，c．a(chǎn)對(duì)方程cx

bx

1兩邊同除以x得))．xx令t

1x

，該方程即為at

2

t，它的兩根為tt1111∴x，，方程xx12

2

1的兩根為，．1∵0．∴不等式

2

bx的集是說(shuō)明：萬(wàn)變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，出相應(yīng)的方程的根結(jié)合使用韋達(dá)定理本中只有已知量故求不等式解集也用示不等式系，關(guān)系也用，示出來(lái)；注意解法2中用“變換”的方法求方程的根．典例十例12若不等式

x的為(求a3

b

的值．分析不式本身比較復(fù)雜要先對(duì)不等式進(jìn)行同解變形，根據(jù)解集列出關(guān)于a、1313解：)，x)244

b

式子．∴原不等式化為)xa)x．題意

，∴2343

a3b

．說(shuō)明解關(guān)一元二次方程不等式，要注意判斷二次項(xiàng)系的符號(hào)，結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)解．典例十例13不式的解集為，與的．編輯：王剛

時(shí)間：22由題意：a2a22由題意：a2a分析此題一元二次不等式逆向思維題，要使集為，不等式ax滿足條件a，，bx的根為．1解法：的根為x，x，由韋達(dá)定理得：1

需a2

ba2a

∴a，b此時(shí)足a，a．解法：造解集為x的元二次不等式：xx，

，不a等式與原不等式應(yīng)同解不等式，故需滿足：1

∴a，b說(shuō)明本題考查一元二方程、一元二次不等式解集的系，同時(shí)還考查逆向思維的能力．對(duì)有關(guān)字母抽象問(wèn)題，同學(xué)往往掌握不好．典型例題十四例解關(guān)于x的等式ax

2

a．分析：題考查一元次不等式與一元二次不等解法，因?yàn)楹凶帜赶禂?shù)，所還考查分類(lèi)思想．解：以情況討論當(dāng)a時(shí)原不等變?yōu)椋海瑇當(dāng)a時(shí)原不等式變?yōu)椋篴xx①11①當(dāng)時(shí)①式變x，不等式的解為或xaa

．1②當(dāng)時(shí)①式變?yōu)閤．②a11∵，∴當(dāng)時(shí)，時(shí)②的解為x．時(shí)，，時(shí)②aa1的解為．a(chǎn)說(shuō)明解題要注意分類(lèi)討思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分的標(biāo)準(zhǔn)，就本題來(lái)說(shuō)有三級(jí)分類(lèi)：

R

分類(lèi)應(yīng)做到使所給參數(shù)集合的并集為集，交集為空集，要做到重不漏．另外，解本題還要編輯：王剛

時(shí)間：注意在討論a時(shí)解一元二次不等式解．

應(yīng)選做到將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求典型例題十五例解不等式x2

．分析無(wú)不等式轉(zhuǎn)化為理不等式，要注意平方的件和根式有意義的條件，一情況下，f(x)g()

可轉(zhuǎn)化為

f(x)gx)

或

f(x)()

，而

f(x)g()

等價(jià)于：

()()

或(x

(x)0

．

f(xg()]

解：不式等價(jià)于下面兩個(gè)不式組：①

2x

②xxx(8)

由①得

或

，∴由得∴或x74