中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練定值和最值問(wèn)題解析版

2eq\o\ac(△,=)2eq\o\ac(△,=)定值問(wèn)題解如圖，在平面直角坐標(biāo)系x

O

y

中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的標(biāo)0,4有兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)O出沿線段（包括端點(diǎn)O，C）以每秒2個(gè)位長(zhǎng)度的速度，勻速向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)沿線段CD（包括端點(diǎn)，D以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).，Q時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)秒PQ=（1）求點(diǎn)D的標(biāo)，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；

.（2）連接AQ并延交x軸于E,把AE沿AD翻折CD延線點(diǎn)F,接EFeq\o\ac(△,則)AEF的面S是否t的化而變化？若變化，求出S與t的數(shù)關(guān)系；若不變化，求出S的.（3）在（）條件下t為值時(shí)，四邊形APQF是形？【案解）由題意可知，當(dāng)t=2秒）時(shí)OP=4，CQ=2，在Rt△PCQ中，勾股定理得PC=PQ

2

2

=4，∴OC=OP+PC=4+4=8。又∵矩形AOCD，A（0，4（8，4t的值范圍為：。（2）結(jié)論：△AEF的積S不化。∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴eq\o\ac(△,。)AQD∽△EQC∴

CECEt，，得CE=。DQ4由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4－t則CF=CD+DF=8－t。111S=S＋S（OA+CF）?OC+CF?CE－OA?OE222=

11[4＋（8－t）]×8+（8－t）－×4×（8＋2224化簡(jiǎn)得：為值。所以△AEF的面積S不化，S=32（3）若四邊形是形，因AP與CF不平行，所以只有PQ∥AF。由PQ可：△CPQeq\o\ac(△,∽)DAF?！郈P：AD=CQ：DF，即8：8=：4，化簡(jiǎn)得－12t，1/22。解得：=6+2，t由（1）可知，＜t＜4，∴t

5

不符合題意，舍去?！喈?dāng)

秒時(shí)，四邊形APQF是形、圖所示，在菱形ABCD中AB=4∠BAD=120°，△AEF為三角形，點(diǎn)E、F分在菱形的邊BC．CD上滑動(dòng)，且E、F不與B．C．D重合．證明不論E在．CD上何動(dòng)，總有BE=CF當(dāng)點(diǎn)E在．CD上動(dòng)時(shí)，別探討四邊形AECF和△的面積是否發(fā)生變化？如果不變，出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担景附猓┳C明：如圖，連接AC∵四邊形為形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°∠FAC+∠EAC=60°∴∠BAE=∠FAC?！摺螧AD=120°，∴∠ABF=60°∴△ABC和為邊三角形?！唷螦CF=60°，AC=AB?！唷螦FC∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，∠ABE=∠AFC∴△ABE≌△ACF（ASA。（2）四邊形AECF的積不變，△CEF的面發(fā)生變化。理由如下：由（1）得△ABE≌ACF則=Seq\o\ac(△,S)∴S，是定值。作AH于H點(diǎn)則，S四邊形A

ABC

1ABBH。2由“垂線段最短”可知正三角形AEF的AE與BC垂直，

邊AE最．故△的積會(huì)隨著AE的化而變化當(dāng)AE最短三面積會(huì)最小，又=S﹣S則此時(shí)的面積就會(huì)最大．eq\o\ac(△,S)2/

角形AEF的22∴S=S﹣S

?！唷鰿EF的積的最大值是3。（二）由運(yùn)動(dòng)產(chǎn)的線段和差題（最值問(wèn)）1、如圖所示，已知A

1(,)21

，B

(2,y2

為反比例函數(shù)

y

1x

圖像上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P

(x,0)

在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是【】A.

1(,0)2

B.

(1,0)

C.

3(2

D.

5(2【案D?！军c(diǎn)反例函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，三角形三邊關(guān)系?！疚觥逜

1()(2,y)21

分別代入反比例函數(shù)

y

1x

得：y，y=，∴A（

，2（2，∵在△ABP中由三角形的三邊系定理得|AP－BP|，∴延長(zhǎng)AB交x軸P′，當(dāng)在P′點(diǎn)時(shí)PA－PB=AB即此時(shí)線段AP與線BP之差達(dá)最大。設(shè)直線AB的解式是y=kx+b，A的坐標(biāo)代入得：1k+b21=2k+b

5，解得：。直線AB的析式是y。b=2當(dāng)y=0時(shí)，

55，即P（，0選D。22、圖，拋物線l交x軸點(diǎn)A（﹣3，0（1，0于點(diǎn)（0，﹣3拋線l沿y軸折得拋物線．（1）求l的析式；（2）在l的稱軸上找出點(diǎn)P使點(diǎn)P到的對(duì)點(diǎn)A兩的距離差最大，并說(shuō)出理由；3/【答案】解）如圖1，設(shè)經(jīng)折后，點(diǎn)．B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，依題意由翻折變換的性質(zhì)可知A（3﹣1

C點(diǎn)標(biāo)不變，∴拋物線l經(jīng)A（3，0，0，﹣3設(shè)拋物線l的析式為y=ax+bx+c則b+c=0，解得

三點(diǎn)，

c=

c=∴拋物線l的析式為y=x﹣2x﹣3（2）拋物線的對(duì)軸為：x=

b=，2a求。

如圖2接BC并長(zhǎng)對(duì)軸x=1于此時(shí)，|PA﹣PC|=|PB﹣PC|=BC

點(diǎn)P則P即所設(shè)P′為對(duì)稱軸上不同于點(diǎn)P的意一則有′A′C|=|P′B﹣P′C|

點(diǎn)，角形兩邊之差小于第三邊∴|P′A﹣P＜|PA﹣PC|，|PA﹣PC|設(shè)直線BC的解式為y=kx+b，

最大。b=

，解得k=b=﹣3?！嘀本€BC的析式為y=﹣3x﹣3令，y=﹣6∴P（1，3、如圖，已知拋物線﹣x+bx+c與一直線相交于A（﹣1（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)．其頂點(diǎn)為D．（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)式；（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m使MN+MD的值最小時(shí)m值；4/（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相于點(diǎn)B，E直線AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD交拋線于點(diǎn)，以B，D，E為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）若P是物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△的面積的最大值．【答案】解）由拋物線y=﹣x+bx+c過(guò)（﹣1，0）及C（2，3得，，解得。∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y2x。c=3設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為，直線AC過(guò)（﹣1，0及C，3）得，解得n=1

。∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1。（2）作N點(diǎn)關(guān)直線x=3的稱點(diǎn)N，令，y=3，即N（0∴N′（6，3）由2x3=D，4設(shè)直線DN′函數(shù)關(guān)系式為，

6s+t=3

5，解得。21t=1∴故直線DN′函數(shù)關(guān)系式為x5

215

。根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，知當(dāng)M（3，m）直線DN′時(shí)MN+MD的值最小，12118=?！?55∴使MN+MD的最小時(shí)m的值

185

。5/2222222222222222（3）由（D（1，4（1，2①當(dāng)BD為行四邊形對(duì)角線時(shí)，由、C、D、N坐標(biāo)知，四邊形BCDN是行四邊形，此時(shí)，點(diǎn)E點(diǎn)C重合，即E（2，3②當(dāng)BD為行四邊形邊時(shí)，∵點(diǎn)E在線AC上，∴設(shè)E（x，x+1F（x又∵BD=2∴若四邊形BDEF或是行邊形時(shí)BD=EF∴2xx=2。若x，得，或（舍去（0若

2

17x，得，x=，

3+17317，E，

。綜上，滿足條件的點(diǎn)E為2

3+17，，

。（4）如圖，過(guò)點(diǎn)作PQ⊥x軸AC于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)C于點(diǎn)G，設(shè)Q，x+1P（x，﹣x+2x+3∴。1∴S+SPQAPCAPQ。27x）283∵0，21∴當(dāng)x=時(shí)△APC的積取得最大值，最大值為2

278

。、圖，已知拋物線bx經(jīng)（4（2，3（0）點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及對(duì)稱．（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一，使得MA+MB的最小，并求出點(diǎn)M的坐．（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形？若在，請(qǐng)求出點(diǎn)的標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6/2222【答案】解）∵拋物線yax過(guò)（4（2，3（0，3）三點(diǎn)，∴

，得

a83。4

3∴拋物線的解析式為：y，對(duì)稱軸為：8。（2）由（2（0，3對(duì)稱軸為x=1可知點(diǎn)、C是關(guān)對(duì)稱軸的稱點(diǎn)。如圖1所，連接AC，交對(duì)稱x=1于點(diǎn)M，接MB則MA＋MB=MA＋MC=AC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線最短可知此時(shí)MA的值最小。設(shè)直線AC的解析式為y=kx＋b，∵A，0（0，3，得4∴直線AC的解析式為：y=x。令，y=（3）結(jié)論：存在。

99?！郙點(diǎn)坐標(biāo)為（，44如圖2所，在拋物線上有兩個(gè)滿足意：①若BC，此時(shí)梯形為ABCP。由B（2，3（0，3知BC∥x軸則x軸與物一個(gè)交點(diǎn)P即所求。

線的另在

38

中令y=0，解得x=-2=4?！郟（，07/2222∵PA=6，A≠BC?！嗨倪呅蜛BCP為形。②若，時(shí)梯形為ABCP。設(shè)CP與x軸交于點(diǎn)N，∵BC∥x軸AB∥CP，∴四邊形為平行四邊形?！郃N=BC=2。，0設(shè)直線CN的解析式為y=kx+b則有：

，解得

k

?！嘀本€CN的解析式為：y=