新教材高中數(shù)學(xué)2.3(第2課時)一元二次不等式的應(yīng)用講義新人教A版必修第一冊

新教材高中數(shù)學(xué)2.3(第2課時)一元二次不等式的應(yīng)用講義新人教A版必修第一冊新教材高中數(shù)學(xué)2.3(第2課時)一元二次不等式的應(yīng)用講義新人教A版必修第一冊新教材高中數(shù)學(xué)2.3(第2課時)一元二次不等式的應(yīng)用講義新人教A版必修第一冊新教材高中數(shù)學(xué)2.3(第2課時)一元二次不等式的應(yīng)用講義新人教A版必修第一冊編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:第2課時一元二次不等式的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.掌握一元二次不等式的實際應(yīng)用(重點).2.理解三個“二次”之間的關(guān)系.3.會解一元二次不等式中的恒成立問題(難點).1.通過分式不等式的解法及不等式的恒成立問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).2.借助一元二次不等式的應(yīng)用培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).1．分式不等式的解法主導(dǎo)思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d為常數(shù))法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0＜0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0＞0,cx＋d＜0))法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0≤0,ax＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0≥0,cx＋d＜0))法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bcx＋d≥0≤0,cx＋d≠0))eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(<k,≥k,≤k))(其中k為非零實數(shù))先移項通分轉(zhuǎn)化為上述兩種形式思考1：eq\f(x－3,x＋2)>0與(x－3)(x＋2)>0等價嗎？將eq\f(x－3,x＋2)>0變形為(x－3)(x＋2)>0，有什么好處？提示：等價；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式．2．(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件不等式ax2＋bx＋c>0ax2＋bx＋c<0a＝0b＝0，c>0b＝0，c<0a≠0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))(2)有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k3.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型的步驟(1)閱讀理解，認真審題，分析題目中有哪些已知量和未知量，找準不等關(guān)系．(2)設(shè)出起關(guān)鍵作用的未知量，用不等式表示不等關(guān)系(或表示成函數(shù)關(guān)系)．(3)解不等式(或求函數(shù)最值)．(4)回扣實際問題．思考2：解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？提示：解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型，選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量為x，用x來表示其他未知量，根據(jù)題意，列出不等關(guān)系再求解．1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x)≤0))))，則A∩B等于()A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤1}B[∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}．]2．不等式eq\f(x＋1,x)≥5的解集是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,4)))))[原不等式?eq\f(x＋1,x)≥eq\f(5x,x)?eq\f(4x－1,x)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x4x－1≤0，,x≠0，))解得0<x≤eq\f(1,4).]3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是________．a(chǎn)＞4或a＜－4[∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.]4.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是________．{x|10≤x≤30}[設(shè)矩形高為y，由三角形相似得：eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，將y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.]分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)eq\f(x－3,x＋2)<0；(2)eq\f(x＋1,2x－3)≤1.[解](1)eq\f(x－3,x＋2)<0?(x－3)(x＋2)<0?－2<x<3，∴原不等式的解集為{x|－2<x<3}．(2)∵eq\f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq\f(x＋1,2x－3)－1≤0，∴eq\f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq\f(x－4,x－\f(3,2))≥0.此不等式等價于(x－4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq\f(3,2)≠0，解得x<eq\f(3,2)或x≥4，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)或x≥4)))).1．對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．2．對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．1．解下列不等式：(1)eq\f(x＋1,x－3)≥0；(2)eq\f(5x＋1,x＋1)<3.[解](1)根據(jù)商的符號法則，不等式eq\f(x＋1,x－3)≥0可轉(zhuǎn)化成不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1x－3≥0，,x≠3.))解這個不等式組，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集為{x|x≤－1或x>3}．(2)不等式eq\f(5x＋1,x＋1)<3可改寫為eq\f(5x＋1,x＋1)－3<0，即eq\f(2x－1,x＋1)<0.可將這個不等式轉(zhuǎn)化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1.所以，原不等式的解集為{x|－1<x<1}．一元二次不等式的應(yīng)用【例2】國家原計劃以2400元/噸的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸．按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點，即8%)．為了減輕農(nóng)民負擔(dān)，制定積極的收購政策．根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個百分點，收購量能增加2x個百分點．試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%.[思路點撥]將文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言：“稅率降低x個百分點”即調(diào)節(jié)后稅率為(8－x)%；“收購量能增加2x個百分點”，此時總收購量為m(1＋2x%)噸，“原計劃的78%”即為2400m[解]設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為y元．y＝2400m(1＋2x%)·(8－x＝－eq\f(12,25)m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依題意，得y≥2400m即－eq\f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根據(jù)x的實際意義，知x的范圍為0<x≤2.求解一元二次不等式應(yīng)用問題的步驟2．某校園內(nèi)有一塊長為800m，寬為600m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．[解]設(shè)花卉帶的寬度為xm(0<x<600)，則中間草坪的長為(800－2x)m，寬為(600－2x)m.根據(jù)題意可得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合題意，舍去．故所求花卉帶寬度的范圍為0＜x≤100.不等式恒成立問題[探究問題]1．若函數(shù)y＝ax2＋2x＋2對一切x∈R，f(x)>0恒成立，如何求實數(shù)a的取值范圍？提示：若a＝0，顯然y>0不能對一切x∈R都成立．所以a≠0，此時只有二次函數(shù)y＝ax2＋2x＋2的圖象與直角坐標系中的x軸無交點且拋物線開口向上時，才滿足題意，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝4－8a<0，))解得a>eq\f(1,2).2．若函數(shù)y＝x2－ax－3對－3≤x≤－1上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范圍？提示：要使x2－ax－3<0在－3≤x≤－1上恒成立，則必使函數(shù)y＝x2－ax－3在－3≤x≤－1上的圖象在x軸的下方，由y的圖象可知，此時a應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－32＋3a－3＜0，,－12＋a－3＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋6<0，,a－2<0，))解得a<－2.故當(dāng)a＜－2時，有f(x)<0在－3≤x≤－1上恒成立．3．若函數(shù)y＝x2＋2(a－2)x＋4對任意－3≤a≤1時，y<0恒成立，如何求x的取值范圍？提示：由于本題中已知a的取值范圍求x，所以我們可以把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量是a的函數(shù)，求參數(shù)x的取值問題，則令y＝2x·a＋x2－4x＋4.要使對任意－3≤a≤1，y<0恒成立，只需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋x2－4x＋4＜0,－3×2x＋x2－4x＋4＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋4<0，,x2－10x＋4<0.))因為x2－2x＋4<0的解集是空集，所以不存在實數(shù)x，使函數(shù)y＝x2＋2(a－2)x＋4對任意－3≤a≤1，y<0恒成立．【例3】已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范圍．[思路點撥]對于含參數(shù)的函數(shù)在某一范圍上的函數(shù)值恒大于等于零的問題，可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．[解]設(shè)函數(shù)y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2時的最小值為關(guān)于a的一次函數(shù)，設(shè)為g(a)，則(1)當(dāng)對稱軸x＝－eq\f(a,2)<－2，即a>4時，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3)，與a>4矛盾，不符合題意．(2)當(dāng)－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4時，g(a)＝3－a－eq\f(a2,4)≥0，解得－6≤a≤2，此時－4≤a≤2.(3)當(dāng)－eq\f(a,2)>2，即a<－4時，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此時－7≤a<－4.綜上，a的取值范圍為－7≤a≤2.1．(變結(jié)論)本例條件不變，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范圍．[解]若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥2恒成立可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)－2≤x≤2時，ymin≥2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)<－2，,ymin＝－22－2a＋3－a＝7－3a≥2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤－\f(a,2)≤2，,ymin＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))2＋a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋3－a＝3－a－\f(a2,4)≥2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)>2，,ymin＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥2，))解得a的取值范圍為－5≤x≤－2＋2eq\r(2).2．(變條件)將例題中的條件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”變?yōu)椤安坏仁絰2＋2x＋a2－3>0的解集為R”，求a的取值范圍．[解]法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集為R，∴函數(shù)y＝x2＋2x＋a2－3的圖象應(yīng)在x軸上方，∴Δ＝4－4(a2－3)<0，解得a>2或a<－2.法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集為R，則a滿足ymin＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，即a2>－(x＋1)2＋4，要使該不等式在R上恒成立，必須使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2.1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a＝0時，b＝0，c>0；當(dāng)a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a＝0時，b＝0，c<0；當(dāng)a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．1．解分式不等式時，一定要等價變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(組)求解．當(dāng)不等式含有等號時，分母不為零．2．對于某些恒成立問題，分離參數(shù)是一種行之有效的方法．這是因為將參數(shù)分離后，問題往往會轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而得以迅速解決．當(dāng)然，這必須以參數(shù)容易分離作為前提．分離參數(shù)時，經(jīng)常要用到以下簡單結(jié)論：(1)若f(x)有最大值f(x)max，則a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，則a<f(x)恒成立?a<f(x)min.3．在某集合A中恒成立問題設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立，則集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的取值(范圍).1．思考辨析(1)不等式eq\f(1,x)>1的解集為x<1.()(2)求解m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立時，可轉(zhuǎn)化為求解