含參數(shù)問題回避分類討論的技巧

含參數(shù)問題回避分類討論的技巧分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它對于培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和深刻性有著重要的作用，能體現(xiàn)“著重考察數(shù)學(xué)思維能力”的要求，備受命題者的青睞.但分類討論問題覆蓋的知識面廣，具有較強的邏輯性、綜合性、探究性的特點.但有些分類討論問題，若能認真地挖掘問題內(nèi)在的特殊性，靈活運用解題策略和方法，有時簡化或避免分類討論，使解題過程簡捷且降低了問題的難度，提高了解題的效率，下面介紹幾種回避分類討論的技巧.一、挖掘隱含條件，回避分類討論在含有參數(shù)的不等式中，參數(shù)的范圍一般不直接給出而隱含與問題之中，解題時應(yīng)仔細全面觀察，挖掘題目中的隱含條件，回避繁瑣的分類討論，是問題簡單化例1、已知二次函數(shù)f(x)=-1x2+x，是否存在實數(shù)m,n(mvn)，使f(x)的定義域和值域A分別是Im,n］和hm,3n〕？如果存在，求出m,n的值；若不存在，說明理由.分析：本題可根據(jù)二次函數(shù)f(x)=—分析：本題可根據(jù)二次函數(shù)f(x)=—1x2+x的對稱軸x=1與區(qū)間m,n］的相對位置關(guān)系進行討論，但若注意到f(x)=——x2+x=—5G—1)z次函數(shù)f(x)=—1x2+x在區(qū)間m,n］上單調(diào)遞增，f(m)=3m(mvn)，所以11c11「+-七，可得3n虧.所以〃<6v1.故二從而可以避免分類討論.所以有m=—4jf(n)=3nn=0.例2、f(x)=log例2、f(x)=logx2+工，在區(qū)間0u內(nèi)恒有fG)>0，則fG)的單調(diào)遞增區(qū)間是().r1)r1\—8,——B、———,+8k47k47A、aC、")D、r1\一8,—一

"2J分析：本題常規(guī)思維是分a>1和0<a<1兩種情況討論，但注意到函數(shù)u1)=2x2+x在區(qū)上的值域是G,1)，即0v2x2+xv1.而已知f(x)=logGx2+x)在區(qū)間0,三內(nèi)恒有f(x)>0，可知0vav1，所以函數(shù)fG)的單調(diào)遞增區(qū)間是［—8,—1k2J二、分離參數(shù)變量，回避分類討論在含有參數(shù)的方程或不等式中，若能通過適當(dāng)?shù)淖冃?，使方程或不等式的一端只含有參?shù)的解析式，另一端是無參數(shù)的主變量函數(shù)，下面只需解決有關(guān)函數(shù)的至于問題，回避繁瑣的分類討論，從而是問題簡單化.

例3、若不等式x2+ax+1>0對于一切xe0,1］成立，k2」的最小值是().A、0B、—2C、一二D、一32分析:本題常規(guī)可根據(jù)二次函數(shù)fI)=x2+ax+1的對稱軸x=-a與區(qū)間0,1［的相對位置2k2」關(guān)系進行討論，但本題可利用分離變量的方法，避免繁瑣的分類討論因為不等式x2+ax+1>0對于一切xe［0,1］成立，所以a>-［x+-1，可知a的最小值是k2」kx)函數(shù)fG)=—x+—在xe°，入］上的最大值.易知a的最小值是-.kx)k2」2例4、已知定義在G,i)上的函數(shù)fG)=42+1，當(dāng)人為何值時，函數(shù)gG)=fG)—人在G,i)上有零點.分析：本題常規(guī)思維，函數(shù)gG)=fQ-X在(0,1)上有零點，即方程f(x)=X在x6(0,1)有解.可得：XGx)—2x+X=0在xe(0,1)有解，可令2x=t，te(1,2)，則X(t》-t+X=0在teG,2)有解，可利用一元二次方程根的分布知識分類討論求解.但本題可利用分離變量的方法，使問題大大簡化.12^匕+2x因為函數(shù)gG)=fG)—X在(0,1)上有零點，即方程f［)=X在xe(0,1)有解.所以求X的范圍可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)fG)=吝在x小1)上的值域問題，因為fQ=2xxe(0,1)，根據(jù)函數(shù)fG)的單調(diào)性可知函數(shù)fG)在xe(0,1)上的值域為［2,：，k52)12^匕+2x所以Xe［2,1］，函數(shù)g(x)=f(x)-X在(0,1)上有零點.k52)三、巧用圖像，回避分類討論對某些分類討論問題，可利用題設(shè)條件具有的某種特殊數(shù)量關(guān)系或圖形具備的某種特點，構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊圖形，進行數(shù)形結(jié)合，可起到簡化討論的作用.

例5、已知f［)=2x—a(xeR)在區(qū)間L1,1］上是增函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍.x2+2分析：廣。)=4嚴(yán)弋x2=—*V)因為f［)在區(qū)間Lu〕上是增函數(shù)，V2+2龍'x2+2龍所以f'G)2。對xeL1,1］恒成立，即x2—ax—2<0對xeL11恒成立，下面可對a>0和2<0兩種情況進行分類討論，但本題可構(gòu)造二次函數(shù)g(x)=x2—ax—2，根據(jù)函數(shù)圖象如圖：若x2—ax—2<0對xeL1,1］恒成立，則只要滿足「g(—1)<0，°g(1)<0即可.即「gG)=1—a—2<01g(—1)=1+a—2<0解得—1<a<1,故實數(shù)a的取值范圍是—1<a<1.a例6、已知a>0且a。1，試求式方程loga(x—ak)=log。(2—a2)有解的實數(shù)k的取值范圍.a分析：原方程等價于0<x—ak=\jx2—a2，若就此展開討論則情形多而且復(fù)雜，不妨用數(shù)形結(jié)合的思想構(gòu)造曲線l:y=x—ak，C:y=vx2—a2，從而轉(zhuǎn)化為直線l:y=x—ak與雙曲線C:y=52在上半平面內(nèi)有交點，求實數(shù)k的取值范圍，如圖易求得：0vkv1或k<—1四、調(diào)換主元，回避分類討論矛盾的雙方既對立又統(tǒng)一，在一定的條件下是可以轉(zhuǎn)化的，對于存在兩個或兩個以上變量的數(shù)學(xué)問題，若我們能打破思維定勢，換一個角度，調(diào)換主元，轉(zhuǎn)變方位，以“參數(shù)”反客為主，常常能回避討論，可得到意想不到的效果，使問題能更迅速得已解決使得f(x)<f，1)成立.例7、例7、已知函數(shù)f(x)=x3+ax2—2ax—3a(aeR).證明:對任意aeR都存在xeL1,4］，分析：常規(guī)思維，令g(x)=f(x)—f<(x)，g(x)=x3+(a—3)x2—4ax—a，由gf(x)=0得:X=2,X=—2a123下面可對a分a<—3和a>—3兩種情況進行分類討論，可以求解但很麻煩，本題可調(diào)換主元，以參數(shù)a反客為主，從而避免繁瑣的分類討論.因為f，(x)=3x2+2ax—2a，所以fI)—f,(x)=a(2—4x—1)+x3—3x2，若f(X)<f，G)，即f(X)—fV)=a(2—4x—1)+x3—3x2<0，令g(X)=a(2—4x—1)+x3—3x2<0，若對任意aeR使得f(x)<f,(x)成立，即恒成立a(x2—4x—1)+X3—3x2<0，則需要解得x=2—<5eL1,4］所以命題成立.例8、已知f(X)=2X:(xeR)在區(qū)間L1,1］上是增函數(shù).X2+2設(shè)關(guān)于X的方程fG)=X的兩個非零實數(shù)根為氣,X2，試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1>|x一X對任意aeL1,1］及teL1,1］恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.分析：由2Xa=-，得X2—aX—2=0，因為△=a2+8>0，所以x,x是方程X2+2X12X2-ax-2=0的兩個非零實數(shù)根，所以r氣+X2=aX-X=—2，從而X-X=，:(x+X)2-4xx=\：a2+812L1212因為ae［—1,1］，所以|x-X|=Ja2+8<3.要是不等式m2+tm+1>|x1—X2|對任意aeL1,1］及teL1,1］恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1>3對任意teL1,1］恒成立，即m2+tm-2>0對任意teL1,1］恒成立，g(—1)=m2—m—2>0設(shè)g(t)=m2+tm—2=mt+^m2—2)g(—1)=m2—m—2>0所以，存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1>|氣—xj對任意aeL1,1］及teL1,1］恒成立，

起取值范圍是m>2或m<-2.五、著眼整體，回避分類討論整體思想，就是將問題看成一個整體，注意問題的整體結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)變化的思維過程所謂整體處理，就是采用分解、組合、改造等手段，將問題的原有整體結(jié)構(gòu)變化為一種新的整體結(jié)構(gòu)，從而順利地實現(xiàn)解決問題的目的.TOC\o"1-5"\h\z例9、函數(shù)fG)=ax+logx(a>0,a豐1)在1,2］上的最大值和最小值之和為loga2+6，則的值為()“A、2B、4C、2D、4乙l"分析：本題常規(guī)思維是按a>1和0<a<1兩種情況討論，但觀察本題發(fā)現(xiàn)：無論a>1和0<a<1，函數(shù)fG)=ax+logax(a>0,a豐1)在1,2〕上是單調(diào)函數(shù)，因此最大值和最小值之和均為a2+a+log2，由題意得a2+a+log2=6+log2，艮口a2+a—6=0，解得a=2或a=—3(舍去).選C.六、導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化，回避分類討論導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，有些含參數(shù)的問題，直接用分類討論去求解，可能很復(fù)雜，若利用導(dǎo)數(shù)去進行轉(zhuǎn)化，可以回避分類討論.例10例10、若函數(shù)fG)=log(x3—ax)(a>0,a豐1)在區(qū)間［-；,。］上單調(diào)遞增，則a的取值范V2)圍是().1」3」f9\f一9\A、,1B、,1C、,+8D、1,._43_43V43V43分析：本題常規(guī)思維是按a>1和0<a<1兩種情況討論，但本題可利用導(dǎo)數(shù)的方法回避分類討論.因為函數(shù)fG)=loga因為函數(shù)fG)=loga1)在區(qū)間［-：,0］上單調(diào)遞增，V2)(1\所以在一勺，0上V2f,(x)>0，3"-3"--則有(V<3v0成立

t-aTlna所以令x2=t，則tef0,1V43所以解得：3<a<1.4以上幾種方法，是回避分類討論常用方法.但有其局限性，只在特定的條件下可收到事半功倍的效果.大家可以去嘗試.但分類討論思想對于啟迪學(xué)生的思維是其他數(shù)學(xué)思想方法無法替代的，這里不是去逃避分類討論，而是對分類討論思想的一種再認識、再升華；同時也是培養(yǎng)學(xué)生的一種處理問題的求簡意識，避免處理問題時的隨意性和盲目性.從而提高學(xué)生的解題效率.

含參數(shù)問題回避分類討論的技巧訓(xùn)練題1、設(shè)a>1,函數(shù)fG)=log淫在區(qū)間la,2a］上的最大值與最小值之差為2，則a=().A、2*2B、2C、r2D、42、若對于任意xGR，不等式X>ax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是().3、A、a<—13、A、a<—1設(shè)a>1，且m=logB、|a|<12+1），n=log（a—1）C、|a|<1p=log（2a）D、a>1則m，n，p的大小關(guān)系為).D、m>n>pA、n>m>pB、m>p>n1C、m>n>p4、已知函數(shù)fG)=x2+a(x。0,agR).x(1)判斷函數(shù)fG)的奇偶性；(2)若fG)在區(qū)間也+D、m>n>p5、已知函數(shù)fG）=x3+ax2—2ax—3a（agR）.證明：對于VagR都BxgL1,4〕，使得fG)<f0成立.答案：1、D；2、B；3、B；4、解：(1)當(dāng)a=0時，f(x)=x2為偶函數(shù)；當(dāng)a。0時；f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)ff(x)=2x一a，要使f(x)在區(qū)間b,+8)是增函數(shù)，只需當(dāng)x>2時，ff(x)>0恒x2成立，即2x一a>0，則a<2x3