集合論 第一章 南開大學(xué)李娜

第1章集合1集合的引入集合 作為本書的中心概念，至少從表面上看是非常簡單的。一個集合是一個任意的收集、群和總體。因此，我們有2016年9月南開大學(xué)所有已注冊學(xué)生的集合、所有偶自然數(shù)的集合、在平面上距離給定點P恰好兩厘米的所有點的集合、所有粉紅色大象的集合。集合不像桌子和星星一樣是現(xiàn)實世界的對象，它們是被我們的思維而不是我們的雙手創(chuàng)造出來的。大量的土豆不是土豆的一個集合，一滴水中所有分子的集合和那滴水不同。由于人的思維具有抽象的能力，它能根據(jù)某個共同的性質(zhì)把不同的對象匯聚在一起，形成一個具有該性質(zhì)的對象的集合。這里所說的性質(zhì)僅僅是把這些對象聯(lián)系在一起的能力。因此，存在一個恰好包含數(shù)2、5、11、13、28、35、22000的集合。雖然我們很難看出是什么把它們聯(lián)系在一起的，但是只有一個事實，即在思維中，我們把它們匯總在一起。因此，什么是集合？一個直覺的回答是：一個集合就是將一些對象收集起來匯合成的一個整體。這些被收集起來的對象就是這個被匯合成的整體的元素或者成員。德國數(shù)學(xué)家GeorgCantor19世紀(jì)70年代創(chuàng)立了集合論，并在19世紀(jì)的后三十年里發(fā)表了一系列論文。他如下地表述集合：集合是我們的直覺或思維中確定的、可區(qū)分的對象所匯集成的一個整體，這些對象叫做集合的元素?！睒?gòu)成集合的對象叫做該集合的元素或成員，我們也說它們屬于該集合。本書中，我們想發(fā)展集合的理論作為其它數(shù)學(xué)規(guī)律的一個基礎(chǔ)。因此，我們不關(guān)心人或者分子的集合，只關(guān)心數(shù)學(xué)對象的集合，例如，數(shù)、空間的點、函數(shù)、或集合。事實上，前三個概念可以在集合論中被定義為具有某種特殊性質(zhì)的集合，我們將在以后的章節(jié)中完成這一點。因此，從現(xiàn)在起，我們關(guān)心的對象只有集合。為了解釋的目的，在數(shù)、點這些數(shù)學(xué)對象被定義之前，我們談?wù)撍鼈兊募?。然而，我們只在例子、?xí)題和問題中談?wù)摰剿鼈?，而不會在集合論的主體中談?wù)撍鼈儭＠?，?shù)學(xué)對象的集合有例648的所有素因子的集合。能夠被3除盡的所有數(shù)的集合。（3）在閉區(qū)間［-1,1］上所有連續(xù)實值函數(shù)的集合。（4）實軸長為10并且離心率為3的所有雙曲線的集合。（5）小于7的所有自然數(shù)的集合的集合。從這些例子可以看出，數(shù)學(xué)家們處理的集合都是非常簡單的。它們包括自然數(shù)的集合以及它的各種各樣的子集（例如所有素數(shù)的集合）；還包括自然數(shù)的二元有序?qū)Α⑷M和一般意義上的n元組的集合。整數(shù)和有理數(shù)可以僅使用這樣的集合來定義。實數(shù)可以被定義為有理數(shù)的集合或者序列。微積分處理的是實數(shù)的集合和實數(shù)上的函數(shù)（實數(shù)的序?qū)Φ募希?，并且在某些研究中，還需要考慮函數(shù)的集合或者函數(shù)的集合的集合，等等。但是，數(shù)學(xué)家們很少碰到比這更復(fù)雜的集合。現(xiàn)在我們考慮：所有那些自己不是自己的元素所組成的“集合”R。換句話說，R是滿足條件xgx的所有集合x的集合（"賣作“屬于”，笑讀作“不屬于”）?，F(xiàn)在我們問是否ReR。如果ReR,那么，R不是它身的元素（因為R中沒有元素屬于它自身），因此RgR,這是一個矛盾！反之，如果RER,因為R是一個不是其自身元素的集合，因此，這樣的集合屬于R,即ReR,這又是一個矛盾！這個論證可以被簡潔地概括為：定義R為：xeR當(dāng)且僅當(dāng)x^xo現(xiàn)在考慮當(dāng)x=R時；根據(jù)R的定義，ReR當(dāng)且僅當(dāng)R電R；這是一個矛盾！這就是著名的羅素悖論！關(guān)于這個論證的一些補(bǔ)充說明。首先，R作為一個集合的集合沒有錯誤。許多集合的元素是集合這一點在數(shù)學(xué)中是合法的（參閱例1.1），并且也不會導(dǎo)致悖論。第二，我們可以很容易地構(gòu)造出R的元素。例如，如果x是所有自然數(shù)的集合，那么x笑x（所有自然數(shù)的集合不是一個自然數(shù)）。因此，xeRo第三，構(gòu)造不屬于R的集合就不那么容易，但這是無關(guān)緊要的。即使不存在是它們自身元素的集合，前面的論證也將產(chǎn)生矛盾。（一個集合是它自身的元素，似乎“所有集合的集合”V就是這樣的一個集合；顯然VeV。然而，“所有集合的集合”會以一種更加微妙的方式導(dǎo)致它自己獨有的矛盾——參閱習(xí)題3.3和3.6。）如何解決這個矛盾呢？我們現(xiàn)在假設(shè)有一個集合R,它被定義為所有那些不是自身元素的所有集合的集合，并且導(dǎo)出一個矛盾作為R的定義的一個直接后承。這僅意味著不存在滿足R的定義的集合。換句話說，這個論證證明了不存在集合使得它的成員恰是那些不為自身元素的集合。包含在羅素悖論和其它類似例子中的教訓(xùn)使我們不能僅僅通過定義集合來證明集合的存在（類似地，如通過定義獨角獸，我們不能證明獨角獸的存在）。因此，存在不能定義集合的性質(zhì)，即，不可能把具有這些性質(zhì)的所有對象收集到一個集合中。不幸的是，如何做到這一點是不知道的，并且邏輯中的某個結(jié)果（尤其是由哥德爾發(fā)現(xiàn)的所謂不完全定理）似乎表明做到這一點是不可能的。因此，我們嘗試把數(shù)學(xué)家使用的集合的某些相對簡單的性質(zhì)作為公理來陳述，然后小心地檢查從這些公理邏輯推出的所有定理。因為公理是顯然真的，并且定理是從它們邏輯地推出，所以，定理也是真的（不一定顯然）。我們最終得到大量有關(guān)集合的真理，它們包含目前已知的自然數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、函數(shù)、序數(shù)等等的基本性質(zhì)，并且沒有矛盾。經(jīng)驗表明，在這個公理系統(tǒng)中，當(dāng)代數(shù)學(xué)使用的所有概念差不多都能被定義，并且它們的數(shù)學(xué)性質(zhì)也可以被導(dǎo)出。在這種意義上，公理化集合論可以作為數(shù)學(xué)其它分支的一個令人滿意的基礎(chǔ)。另一方面，我們沒有斷言關(guān)于集合的每個真的事實都能從我們現(xiàn)有的公理中被推導(dǎo)出。在這種意義上，公理化系統(tǒng)是不完備的，并且我們把完備性問題的討論放到最后一章。2性質(zhì)在前節(jié)中，我們引入集合作為具有某種共同性質(zhì)的對象的收集。性質(zhì)這個概念需要一些分析。日常生活中的某個性質(zhì)一般被認(rèn)為是模糊的而很難在數(shù)學(xué)理論中被承認(rèn)。例如，考慮“所有20世紀(jì)中國優(yōu)秀的電影作品構(gòu)成的集合?！辈煌娜伺袛嘁徊侩娪白髌肥欠駜?yōu)秀的標(biāo)準(zhǔn)是不同的，因此，不存在一個普遍被接受的標(biāo)準(zhǔn)來決定一部電影作品是否這個“集合”的一個元素。再來看一個更加驚人的例子，考慮“那些能夠用十進(jìn)制記數(shù)法寫下的自然數(shù)的集合”（對于“能夠”，我們指某個人能實際地用紙和筆做到）。顯然，0是能被寫下的。如果數(shù)n能被寫下，那么想必數(shù)n1也能被寫下。因此，根據(jù)熟悉的歸納法原則，每個自然數(shù)n都能被寫下。但這顯然是荒謬的；為了用十進(jìn)制寫下101010將需要在1的后面跟1010個零，這需要以每秒一個零的速度連續(xù)工作300年。這個問題是由“能夠”的模糊意思引起的。為了避免類似的問題，我們現(xiàn)在明確地描述一個性質(zhì)的含義。只允許明確的數(shù)學(xué)性質(zhì)；幸運(yùn)的是，這些性質(zhì)對于所有數(shù)學(xué)事實的表達(dá)來說是足夠的。本節(jié)中我們的解釋是非形式的。讀者如果想從一個更加嚴(yán)格的觀點了解對這個主題的研究可以查閱一些數(shù)理邏輯的書籍?；镜募险撔再|(zhì)是隸屬性：“……是……的一個元素，”并用丘表示。所以，“XwY”讀作“X是Y的一個元素”或者“X是Y的一個成員”或者“X屬于Y?！痹谶@些表達(dá)中X和Y是變元；它們代表（指稱）不確定的、任意的集合。命題“XwY”成立或不成立依賴于集合X和Y。我們有時說“XwY”是X和Y的一個性質(zhì)。例如，“m小于n"是m和n的一個性質(zhì)。字母m和n是變元，表示不確定的數(shù)。有些m和n具有這個性質(zhì)（例如，“2小于4”是真的），但是其它的則沒有（例如，“3小于2”是假的）。所有其它集合論的性質(zhì)都能借助隸屬關(guān)系并有邏輯的幫助，即：用等詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞和量詞來刻畫。我們經(jīng)常在不同的語境中談?wù)撏粋€集合，并且發(fā)現(xiàn)用不同的變元表示它很方便。我們用等號“=”表達(dá)兩個變元表示相同的集合。因此，如果X與Y是相同的集合，那么記作X=Y（X與Y相等，或者，X等于Y）。在下面的例子中，我們列出了關(guān)于相等的一些顯而易見的事實：2.1例⑴X=X。 （X和X相等。）⑵如果X=Y，那么Y=X。 （如果X和Y相等，那么Y和X也相等。）（3） 如果X=Y并且Y=乙那么X=Z。（如果X和Y相等，并且Y和Z相等，那么X和Z也相等。）（4） 如果X=Y并且XwZ那么YgZo（如果X和Y相等，并且X屬于乙那么Y也屬于Z。）⑸如果X=Y并且ZwX,那么ZgYo（如果X和Y相等，并且Z屬于X,那么Z也屬于Y。）從簡單的性質(zhì)出發(fā)，用邏輯聯(lián)結(jié)詞可以構(gòu)建更復(fù)雜的性質(zhì)。常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有：“并非……"、“……并且……"、“……或者……"、“如果……，那么……”和"……當(dāng)且僅當(dāng)……"o2.2例（1）“XwY或者YgX"是X和Y的一個性質(zhì)。⑵“并非XeY并且并非YwX”或者表達(dá)為“X不是Y的一個元素并且Y也不是X的一個元素”也是X和Y的一個性質(zhì)。（3）“如果X=Y，那么XgZ當(dāng)且僅當(dāng)YgZ”是X，Y和Z的一個性質(zhì)。⑷“X不是X的一個元素"（或者：“并非XwX”）是X的一個性質(zhì)。我們用XgY代替“并非XwY”并且用XhY來代替“并非X=YO"量詞“對所有的”（即：“對每一個”）和“有"（即：“存在”）提供了額外的邏輯手段。數(shù)學(xué)的實踐表明在我們剛剛描述的這種限制的語言中，所有的數(shù)學(xué)事實都能被表達(dá)，但是，這種語言卻不允許本節(jié)開頭的那種模糊的表達(dá)。讓我們觀察一些包含量詞性質(zhì)的例子。2.3例“存在YwX。'“對每個YwX,存在Z使得ZgX并且ZwY。'⑶“存在Z使得ZeX并且Z笑Y。'(1)的真或假明顯地依賴于集合X。例如，如果X是1949年之后所有中華人民共和國主席的集合，那么(1)就是真的；如果X是1949年之前所有中華人民共和國主席的集合，那么(1)就是假的。我們說(1)是X的一個性質(zhì)，或者說(1)依賴于參數(shù)X。類似地，(2)是X的一個性質(zhì)，(3)是X和Y的一個性質(zhì)。還需要注意：Y不是(1)的一個參數(shù)，因為對于某個具體的集合Y而言，Y對于(1)是否為真不產(chǎn)生任何意義；我們在量詞中使用字母Y僅是為了方便,也可以說“存在WwX,”或者“存在X的某個元素?！鳖愃频?，(2)不是Y或Z的一個性質(zhì)，不是Z的一個性質(zhì)。在這里，我們不再給出確定一個給定性質(zhì)的參數(shù)的規(guī)則，我們依賴于讀者的常識，并通過下面的例子來說明這一點。2.4例“YwX。⑵“存在YwX。'“對每個X,存在YgXo'這里，(1)是X和Y的一個性質(zhì)；它對某些集合對X、Y是真的，但對其它的對是假的。是X的一個性質(zhì)(但不是Y的)，而(3)沒有參數(shù)。因此，(3)或者是真的或者是假的(事實上，它是假的)。沒有參數(shù)的性質(zhì)(因此，或者為真或者為假)被稱作命題；所有數(shù)學(xué)定理是(真)命題。我們有時希望涉及一個任意的、不確定的性質(zhì)。我們用黑體大寫字母表示命題和性質(zhì)，并且，如果方便的話，在圓括號內(nèi)列舉它的某個或全部參數(shù)。因此，A(X)代表參數(shù)X的任意性質(zhì)，例如，在例2.3中的(1)、(2)oE(X,Y)是參數(shù)X和Y的一個性質(zhì)，例如，在例2.3中的(3)、或者在例2.4中的(1)、或者“XwY或者X=Y或者YgXo'一般地，P(X,Y,...,Z)是一個性質(zhì)，它的真或假依賴于參數(shù)X,Y,...,Z(并且可能還有其它的)。我們再一次強(qiáng)調(diào)：所有集合論的性質(zhì)都可以由隸屬關(guān)系和邏輯聯(lián)結(jié)詞組成的語言中被表達(dá)出。然而，隨著發(fā)展和越來越復(fù)雜的定理被證明，給多種多樣的特殊的性質(zhì)命名是有實際意義的，即：為了定義新的性質(zhì)。然后引入(定義)新符號來表示所討論的性質(zhì)；這個新的符號通常被看作這個簡潔明白陳述的縮寫。例如，子集的性質(zhì)被定義為：2.5定義XcY當(dāng)且僅當(dāng)X的每個元素都是Y的一個元素?！癤是Y的一個子集”(X^Y)是X和Y的一個性質(zhì)。我們可以在更復(fù)雜的陳述中使用它，并且無論何時，只要我們愿意，都可以把XcY替換為它的定義。例如，“如果XcY并且Y^Z,那么X^Z?！钡亩x是“如果X的每個元素都是Y的一個元素并且Y的每個元素也是Z的一個元素，那么X的每個元素也是Z的一個元素?！憋@然沒有定義的數(shù)學(xué)也是可能的，但極其笨拙?，F(xiàn)在考慮性質(zhì)P(X)：“不存在YwX?！蔽覀儗⒃诘?節(jié)中證明：(1)存在一個集合X使得P(X)(即：存在一個沒有元素的集合X)。⑵至多存在一個集合X使得P(X)，即：如果P(X)并且P(XJ,那么X=X(即：如果X不包含任何元素，并且X不包含任何元素，那么X和X相等)。(1)和(2)合并在一起表達(dá)了事實：存在一個唯一的集合X具有性質(zhì)P(X)。因此，我們可以給它一個名字，稱0(空集)，并且在更復(fù)雜的表達(dá)式中使用它?！?UZ”的完整意思是“沒有任何元素的集合0是Z的一個子集?！蔽覀兣紶柊?作為由性質(zhì)P定義的常元。作為本節(jié)的最后一個定義的例子，我們考慮X，Y和Z的性質(zhì)Q(X,Y,Z)：“對每個U，UgZ當(dāng)且僅當(dāng)UgX并且UwY?！蔽覀儗⒃谙鹿?jié)中看到：(1)對每個X和Y,存在Z使得Q(X,Y,Z)成立。⑵對每個X和Y,如果Q(X,Y,Z)并且Q(X,Y,Z)成立，那么Z=Z。(即：對每個X和Y，至多存在一個Z使得Q(X,Y,Z)O)條件(1)和(2)(必須證明，無論何時，這種類型的定義都能夠被使用)保證了對每個X和Y,存在一個唯一的集合Z使得Q(X,Y,Z)成立。那么，對這個唯一的集合乙我們可以引入一個名字，記作XcY,并且稱XcY為X和Y的交。因此,Q（X,Y,XnY）成立。我們把c作為由性質(zhì)Q定義的算子。3公理現(xiàn)在，我們開始著手建立我們的公理系統(tǒng)并且嘗試給出每一條公理的直觀意義。我們采用的第一條原則假定我們的“討論的論域”是非空的，即：某些集合存在。為了具體，我們假定一個特定集合的存在，即空集。存在公理存在一個沒有元素的集合。沒有元素的集合在直觀上可以有多種描述，例如，1789年之前的所有美國總統(tǒng)的集合，滿足x2=-1的所有實數(shù)x的集合等等。這里描述的集合都是相同的，即空集。因此，直觀上，只存在一個唯一的空集。但是到目前為止，我們還不能證明這個論斷。我們需要其它的假定來表達(dá)這個事實，即：每個集合都由它的元素決定。讓我們看看另外一些例子：X是由恰有數(shù)2、3和5組成的集合。Y是由大于1并且小于7的所有素數(shù)組成的集合。Z是由方程式x3-10x2+31x-30=0的所有解組成的集合。這里，X=Y、X=Z并且Y=Z，并且我們有一個集合的三種不同的描述。這就需要下面的外延公理。外延公理如果X的每個元素都是Y的一個元素，并且Y的每個元素也都是X的一個元素，那么X=Y。顯然，如果兩個集合有相同的元素，那么它們是相等的。我們現(xiàn)在可以證明下面的引理3.1。引理存在一個唯一沒有元素的集合。證明假定A和B都是沒有元素的集合。那么，A的每個元素都是B的一個元素（因為A沒有元素，陳述“aoA蘊(yùn)涵awB”是一個前件為假的蘊(yùn)涵式，因此自然為真）。類似地，B的每個元素也是A的一個元素（因為B沒有元素）。因此，根據(jù)外延公理，有A=B。3.2定義沒有元素的（唯一的）集合被稱為空集，并且記作0。注意，常元0的定義可以被存在公理和引理3.1證明。直觀上，集合是具有某種共同性質(zhì)的對象的收集，因此，我們希望有公理表達(dá)這個事實。但是，正如第1節(jié)中被悖論證實的那樣，并不是每個性質(zhì)都描述一個集合：性質(zhì)'XwX”或“X=X”就是典型的例子。在這兩種情況中，問題似乎都是為了把具有這樣一個性質(zhì)的所有對象收集到一個集合中?，F(xiàn)在我們已經(jīng)能夠感知所有的集合。如果我們假定具有一個給定性質(zhì)的所有對象的集合的存在除非這些對象已經(jīng)屬于某個已經(jīng)存在的集合，那么這個困難能就能被避免。于是，我們需要下面的概括公理模式。概括公理模式令P(x)是x的一個性質(zhì)。對任意集合A,存在一個集合B使得xeB當(dāng)且僅當(dāng)xeA并且P(x)。這是一個公理模式，即，對每一個性質(zhì)P，我們都有一條公理。例如，如果P(x)是“x=x”,那么這條公理是說：對任意集合A,存在一個集合B使得xeB當(dāng)且僅當(dāng)xeA并且x=x(在這種情況下,B=A。)如果P(x)是“xgx”，這條公理假定：對任意集合A,存在一個集合B使得xeB當(dāng)且僅當(dāng)xeA并且xgx。雖然這條公理的供給是無窮的，但這不會引起問題，因為一個具體的陳述是否為一個公理是很容易判斷的，并且每個證明也只能使用到有窮多次公理。性質(zhì)P(x)可以依賴于其它的參數(shù)p,q；相應(yīng)地此時公理假定：對任意集合p,q和任意集合A,存在一個集合B(依賴于p,…，q，當(dāng)然也依賴A)恰有那些滿足xeA并且P(x,p,...,q)的x組成。3.3例如果P和Q是集合，那么存在一個集合R使得xeR當(dāng)且僅當(dāng)xeP并且xeQ。證明考慮x和Q的性質(zhì)P(x,Q)：“xeQ?！蹦敲?，由概括公理模式可得，對每個Q和每個P,存在一個集合R使得xeR當(dāng)且僅當(dāng)xeP并且P(x,Q)，即，當(dāng)且僅當(dāng)xeP并且xeQ。(P起A的作用，Q是一個參數(shù)。)3.4引理對每個集合A,僅存在一個集合B使得xeB當(dāng)且僅當(dāng)xeA并且P(x)。證明如果B'是另一個集合并且滿足：xeB'當(dāng)且僅當(dāng)xeA并且P(x),那么xeB當(dāng)且僅當(dāng)xeB'，因此，根據(jù)外延公理，B=B'。我們現(xiàn)在為這個唯一確定的集合B引入一個名字。3.5定義｛xeA|P(x)｝是所有滿足xeA并且具有性質(zhì)P(x)的集合。3.6例有了定義3.5,例3.3中的集合現(xiàn)在可以記作｛xePlxeQ｝。到目前為止，我們的公理化系統(tǒng)還不夠強(qiáng)，現(xiàn)在能被證明唯一存在的集合只有空集。對空集應(yīng)用概括公理模式,無論我們使用的性質(zhì)P是什么，都只會再次得到空集：{xe0|P(x)}=0。下面的三條公理假定了頻繁用在數(shù)學(xué)中的一些構(gòu)造可以產(chǎn)生集合。對集公理對任意的集合A和B存在一個集合C使得xeC當(dāng)且僅當(dāng)x=A或者x=B。所以，AwC并且BeC，并且C中不存在其它元素。讀者可以很容易地證明集合C是唯一的；因此，我們把只包含A和B作為其元素的集合定義為A和B的無序?qū)Γ⑶野袮和B的無序?qū)τ涀鱷A,B}。特別地，如果A=B,我們用{A}代替{A,A}。3.7例(1)令A(yù)=0并且B=0，那么{0}={0,0}是一個集合，并且0e{0}o如果xe{0}，那么x=0。所以，{0}有唯一的元素0。注意，{0}工0，因為0e{0}，但是0^0o⑵令A(yù)=0并且B={0}，那么0e{0,{0}}并且{0}e{0,{0}}，并且0和{0}是{0,{0}}僅有的兩個元素。注意：0工{0,{0}},{0}工{0,{0}}。并集公理對任意的集合S,存在一個集合U使得xeU當(dāng)且僅當(dāng)對某個AeS,xeA。再一次強(qiáng)調(diào)，集合U是唯一的；它被稱為S的并，記作US。當(dāng)我們要強(qiáng)調(diào)S的元素也是集合時，我們稱S是集合的一個系統(tǒng)或者集合的一個簇(因為我們的所有對象都是集合,因此，這總是真的。實際上，“集合”和“集合的系統(tǒng)”這兩種表達(dá)有相同的意思)。因此，一個集合系統(tǒng)S的并是由S的元素的元素組成的集合。3.8例令S={0,{0}},xeuS當(dāng)且僅當(dāng)對某個AeS,xeA,即，當(dāng)且僅當(dāng)，xe0或者xe{0}。因此，xeuS當(dāng)且僅當(dāng)x=0。因此，uS={0}ou0=0。⑶令M和N是集合；xeu{M,N}當(dāng)且僅當(dāng)xeM或者xeN。集合u{M,N}被稱為M和N的并，記作MuN。最后，我們引入了一個讀者十分熟悉的簡單的集合論的運(yùn)算。對集公理和并集公理對于定義兩個集合的并是必要的(而外延公理用來保證它的唯一性)。兩個集合的并有通常的意義：xeMuN當(dāng)且僅當(dāng)xeM或者xeN。3.9例{{0}}u{0,{0}}={0,{0}}。并集公理是非常強(qiáng)的，它不僅能使我們構(gòu)造兩個集合的并，而且還能使我們構(gòu)造任意的、可能無窮的集合的收集。如果A、B和C都是集合，現(xiàn)在我們可以證明元素恰是A、B和C的集合P的存在性和唯一性。P被記作{A,B,C},并且稱它為A、B和C的一個無序的三元組。類以地，我們能夠定義一個無序四元組或17-元組。在引入本節(jié)的最后一個公理之前，我們定義另一個簡單的概念。3.10定義A是B的一個子集當(dāng)且僅當(dāng)A的每個元素都屬于B。換句話說，A是B的一個子集，如果對每個x，xeA蘊(yùn)涵xeBo我們用AcB表示A是B的一個子集。由定義3.10和外延公理，我們可以得到如下判斷兩個集合相等的一個充要條件：A=B當(dāng)且僅當(dāng)AcB并且BcA，當(dāng)且僅當(dāng)如果對每個x，xeA蘊(yùn)涵xeB，并且，如果對每個x，xeB蘊(yùn)涵xeAo3.11例{0}匸{0,{0}}并且{{0}}c{0,{0}}o對每個集合A都有：0cA并且AcAo{xeAIP(x)}cAo如果AeS，那么AcuSo下面的公理假定：一個給定集合的所有子集能夠被收集到一個集合里。冪集公理對于任意的集合S,存在一個集合P使得XeP當(dāng)且僅當(dāng)XcSo由于集合P也是唯一確定的，我們稱S的所有子集的集合為S的幕集并且記作倒(S)o3.12例(1)P(0)={0}o⑵p({a})={0,{a}}o⑶倒({a,b})的元素是：0,{a},和{a,b}，所以倒({a,b})={0,{a},,{a,b}}°我們用另一個記號約定來結(jié)束本節(jié)。令P(x)是x的一個性質(zhì)(可能還有其它的參數(shù))如果存在一個集合A使得對所有的x，P(x)蘊(yùn)涵xeA，那么{xeA|P(x)}存在，并且它不依賴A。這意味著：如果A，是另一個集合使得對所有的x，P(x)蘊(yùn)涵xeA，，那么{xeA，IP(x)}={xeAIP(x)}o我們現(xiàn)在定義{x|P(x)}是集合{xeA|P(x)}，其中A是滿足P(x)蘊(yùn)涵xeA的任意集合。{x|P(x)}是具有性質(zhì)P(x)的所有x的集合。我們再次強(qiáng)調(diào)：只有在證明了某個集合A包含所有具有性質(zhì)P的x之后，才能使用這個記號。3.13例(1){x|xeP并且xeQ}存在。證明令P(x,P,Q)是性質(zhì)“xwP并且xwQ”；令A(yù)=P。那么，P(x,P,Q)蘊(yùn)涵xeAo因此，{xlxeP并且xgQ}={xgP|xgP并且xgQ}={xgP|xgQ},它是例3.3中的集合R。(2){x|x=a或者x=b}存在；因為在證明取A={a,b}，還可以證明{x|x=a或者x=b}={a,b}。⑶{xlxgx}不存在(因為羅素悖論)；因此，在這個例子中記號{xlP(x)}是不允許的。盡管我們還沒有列出所有的公理，現(xiàn)在暫停一下，必要時我們再引入?，F(xiàn)在，我們需要引入一些概念并且用已有的公理證明一些定理。讀者可能注意到，到目前為止，我們并不能保證任何無窮集合的存在。這個不足將在第3章中被消除。其它的公理將在第6章和第8章中給出。全部公理的一個一覽表將出現(xiàn)在第15章的第1節(jié)中。這個重要的公理化系統(tǒng)是由ErnstZermelo于1908年構(gòu)造的，通常被稱為集合論的Zermelo-Fraenkel公理化系統(tǒng)。習(xí)題3.1證明滿足xeA并且xgB的所有x的集合存在。由下面的弱假設(shè)替換存在公理：弱的存在公理某個集合存在。用弱的存在公理和概括公理模式證明存在公理。［提示：令A(yù)是一個已知存在的集合；考慮{xgAIx^x}。］(1)證明一個“所有集合的集合”不存在。［提示：如果V是一個所有集合的集合，考慮{xwVlxgx}。］⑵證明對任意集合A,存在某個x^A。3.4令A(yù)和B是集合。證明存在一個唯一的集合C使得xeC當(dāng)且僅當(dāng)或者xeA并且xgB成立或者xeB并且x^A成立。3.5(1)給定集合A、B和C,存在一個集合P使得xeP當(dāng)且僅當(dāng)x=A或者x=B或者x=C。(2)推廣到四個元素。3.6證明對任意的集合X,倒(X)弐是假的。特別地，對任意的集合X,倒(X)hX。這再一次證明了一個“所有集合的集合”不存在。［提示：令Y={ueXIugu}；Yep(X)但YgX。］3.7對集公理、并集公理和冪集公理可以被替換為下面弱的版本。弱的對集公理對任意的A和B,存在一個集合C使得AeC并且BeC。弱的并集公理對任意的S,存在U使得如果XeA并且AeS，那么XeU。弱的幕集公理對任意的集合S,存在P使得XcS蘊(yùn)涵XeP。用這些弱的版本證明對集公理、并集公理和冪集公理。［提示：用概括公理模式。］

4集合的初等運(yùn)算這一節(jié)的目的是詳細(xì)闡述上一節(jié)引入的概念。特別地，我們將引入簡單的集合論運(yùn)算(并、交、差，等等)，并且證明它們的一些基本性質(zhì)。讀者在一定程度上相當(dāng)熟悉它們，我們將省略大部分細(xì)節(jié)。定義3.10告訴我們A是B的一個子集(包含于B),即：A^B。性質(zhì)匸被稱為包含。容易證明：對于任意的集合A、B和C，A^Ao如果A^B并且BuA,那么A=Bo女口果AuB并且BuC，那么AuCo例如，為了證明(3),我們必須證明：如果xeA,那么xeCo但是，因為AuB，所以，如果xeA,那么xeBo現(xiàn)在，又因為BuC，所以，xeB蘊(yùn)涵xeCo因此，xeA蘊(yùn)涵xeCo4.1定義如果AuB并且A^B,我們稱A是B的一個真子集(A真包含于B),并記為AuBo我們也用記號B?代替AuB，并用記號B=A代替AuBo這一節(jié)中大多數(shù)將要討論的集合論的運(yùn)算前面都提到過。讀者可能知道如何用Venn圖表示它們(見圖1)o1)2)AUBA (4)1)2)AUBA (4)BAAB圖1Venn圖在圖1中，(1)的陰影部分是A和B的交：AcBo(2)的陰影部分是A和B的并：AuBo⑶的陰影部分是A和B的差：A-Bo(4)的陰影部分是A和B的對稱差：AABo4.2定義A和B的交：AcB是屬于A并且也屬于B的所有x的集合。A和B的并：AuB是屬于A或者屬于B(或者屬于兩者)的所有x的集合。A和B的差：A-B是屬于A并且不屬于B的所有x的集合。(注：為了證明存在性和唯一性，參看例3.3和3.8(3)以及習(xí)題3.1和3.4o)作為一個練習(xí)，請讀者完成這些運(yùn)算的一些簡單性質(zhì)的證明。交換律AcB=BcAAuB=BuA結(jié)合律(AcB)cC=Ac(BcC)(AuB)uC=Au(BuC)由于c滿足結(jié)合律，所以我們可以省略圓括號，把集合A,B和C的交簡單地寫為AcBcC。類似地，對于u也是如此。特別地，對于數(shù)量超過三個的集合的c和u,我們也不需要圓括號。分配律Ac(BuC)=(AcB)u(AcC)Au(BcC)=(AuB)c(AuC)德摩根律C-(AcB)=(C-A)u(C-B)C-(AuB)=(C-A)c(C-