機械工程控制基礎(chǔ)-系統(tǒng)的穩(wěn)定性概述

5系統(tǒng)的穩(wěn)定性機械工程控制基礎(chǔ)5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)5.3Nyquist（乃奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)5.5系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念1穩(wěn)定性的概念

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析、判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是自動控制理論的基本任務(wù)之一。定義：如果在擾動作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的準確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2穩(wěn)定的充要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)所有閉環(huán)特征根均具有負的實部，

或所有閉環(huán)特征根均位于左半s平面。根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義，若,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

必要性：充分性：

5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)避免直接求解特征根，討論特征根的分布(1)必要條件說明：例1不穩(wěn)定不穩(wěn)定可能穩(wěn)定

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)(2)勞斯（Routh）判據(jù)勞斯表勞斯表第一列元素均大于零時系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定且第一列元素符號改變的次數(shù)就是特征方程中正實部根的個數(shù)

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)s4s3s2s1s0解.列勞斯表171052勞斯表第一列元素變號2次，有2個正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定

1010

例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)s3s2s1s0解.列勞斯表1-3

e2勞斯表第一列元素變號2次，有2個正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

0

例3：D(s)=s3-3s+2=0

判定在右半平面的極點數(shù)。

(3)勞斯判據(jù)特殊情況處理某行第一列元素為0，而該行元素不全為0時:將此0改為e

，繼續(xù)運算。

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)解.

列勞斯表1123532025s5s4s3s2s1s05

25

0

0

0

0

例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)出現(xiàn)全零行時：用上一行元素組成輔助方程，將其對S求導(dǎo)一次，用新方程的系數(shù)代替全零行系數(shù)，之后繼續(xù)運算。列輔助方程：

例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)解.列勞斯表1123532025s5s4s3s2s1s05

25

0

0

1025

0

例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=05.2Routh（勞勞斯斯））穩(wěn)穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0計算算勞勞斯斯表表時時,某一一行行各各項項全全為為零零。。這這表表明明特特征征方方程程具具有有對對稱稱于于原原點點的的根根:系統(tǒng)統(tǒng)可可能能出出現(xiàn)現(xiàn)一一對對共共軛軛虛虛根根；；或或一一對對符符號號相反反的的實實根根；；或或兩兩對對實實部部符符號號相相異異、、虛虛部部相相同同的的復(fù)復(fù)根根。。其根根的的數(shù)數(shù)目目總總是是偶偶數(shù)數(shù)的的這些些對對稱稱于于原原點點的的根根可可由由令令輔助助多多項項式式等等于于零零構(gòu)成成的的輔助助方方程程求得得列輔輔助助方方程程：：S=±j5解.列勞斯表10-120-2s5s4s3s2s1s00-216/e08-20列輔輔助助方方程程：：例5D(s)=s5+2s4-s-2=0e第一一列列元元素素變變號號一一次次，，有有一一個個正正根根，，系系統(tǒng)統(tǒng)不不穩(wěn)穩(wěn)定定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5)5.2Routh（勞斯））穩(wěn)定判判據(jù)(4)勞斯判據(jù)據(jù)的應(yīng)用用例6某單位反反饋系統(tǒng)統(tǒng)的開環(huán)環(huán)零、極極點分布布如圖所所示，判判定系統(tǒng)統(tǒng)能否穩(wěn)定定，若能能穩(wěn)定，，試確定定相應(yīng)開開環(huán)增益益K的范圍。。解依依題意有有系統(tǒng)閉環(huán)環(huán)穩(wěn)定與與開環(huán)穩(wěn)穩(wěn)定之間間沒有直直接關(guān)系系5.2Routh（勞斯））穩(wěn)定判判據(jù)例7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)構(gòu)圖如右右，(1)確定使系系統(tǒng)穩(wěn)定定的參數(shù)數(shù)(K,x)的范圍;(2)當x=2時，確定定使全部部極點均均位于s=-1之左的K值范圍。。解.(1)5.2Routh（勞斯））穩(wěn)定判判據(jù)(2)當x=2時，確定定使全部部極點均均位于s=-1之左的K值范圍。。當x=2時，進行平移變換：5.2Routh（勞斯））穩(wěn)定判判據(jù)問題討論論：(1)系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性是是其自身身的屬性性，與輸輸入類型型，形式式無關(guān)。。(2)閉環(huán)穩(wěn)定定與否，，只取決決于閉環(huán)環(huán)極點，，與閉環(huán)環(huán)零點無無關(guān)。閉環(huán)零點點影響系系數(shù)Ci，只會改改變動態(tài)態(tài)性能。。閉環(huán)極點點決定穩(wěn)穩(wěn)定性，，也決定定模態(tài)，，同時影影響穩(wěn)定定性和動動態(tài)性能能。(3)閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)的穩(wěn)定定性與開開環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定與與否無直直接關(guān)系系。5.2Routh（勞斯））穩(wěn)定判判據(jù)5.3Nyquist（乃奎斯斯特）穩(wěn)穩(wěn)定判據(jù)據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定定的充要要條件—全部閉環(huán)環(huán)極點均均具有負負的實部部由閉環(huán)特特征多項項式系數(shù)數(shù)（不解解根）判判定系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定性性不能用于于研究如如何調(diào)整整系統(tǒng)結(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)來改善善系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性及及性能的的問題代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

—

Ruoth判據(jù)

由開環(huán)頻頻率特性性直接判判定閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)的的穩(wěn)定性性可研究如何何調(diào)整系統(tǒng)統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)改善系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定性及及性能問題題頻域穩(wěn)定判據(jù)

—

Nyquist

判據(jù)

對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)1、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的的基本原理理（1）映射原理Nyquist判據(jù)依據(jù)復(fù)復(fù)變函數(shù)中中的映射原理。設(shè)有復(fù)變變函數(shù)S平面上的點點,將按式映射射到F(S)平面上的相相應(yīng)點;零點將映射到F(S)平面上的原點,極點將映射到F(S)平面上的無限遠點,而其它普通點將映射到F(S)平面上除原原點外的有限值點。5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)映射原理：設(shè)C為s平面上不經(jīng)經(jīng)過F(s)的任何極點點的封閉曲曲線，C中包含了F(s)的p個極點和z個零點，則則當動點s順時針在C上圍繞一周周時,映射到F(s)平面上的閉閉曲線將順時針圍圍繞坐標原原點N次，且有N=z-p5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)（2）特征函數(shù)數(shù)F(s)與G(S)H(S)的關(guān)系系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖如圖所示示設(shè)令F(s)的特點極點pi:開環(huán)極點零點li:閉環(huán)極點個數(shù)相同5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)F(s)的零點就是是閉環(huán)傳遞遞函數(shù)的極極點。F(s)的極點就是是開環(huán)傳遞遞函數(shù)的極極點;設(shè)F(s)在右半s平面有P個極點(開環(huán)極點)Z個零點(閉環(huán)極點)Z=2P=1s繞包圍整個個右半平面面的奈氏路路徑順時針針轉(zhuǎn)過一周周，F(xiàn)(jw)繞[F]平面原點轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)過的角度度jF(w)為5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)s繞奈氏路徑徑一周時，，F(xiàn)(jw)包圍[F]平面(0,j0)點的圈數(shù)，，既是開環(huán)環(huán)幅相曲線線GH(jw)包圍[G]平面(-1,j0)點的圈數(shù)。。2、Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)據(jù)(一)當系統(tǒng)開環(huán)環(huán)傳遞函數(shù)數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點點及虛軸上上沒有極點點時(例如0型系統(tǒng))a)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定時,即p=0,如果從-+時Nyquist曲線G(j)H(j)不包圍(-1,0j)點,N等于零,則z=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定;否則不穩(wěn)定定b)開環(huán)系統(tǒng)不不穩(wěn)定時,即p≥1。如果從-+時Nyquist曲線G(j)H(j)逆時針包圍(-1,0j)點N次(N<0),且N=-p,則z=N+p=0,系統(tǒng)穩(wěn)定。。否則系統(tǒng)統(tǒng)不穩(wěn)定。。c)當Nyquist曲線G(j)H(j)通過(-l,0j)點時,表明在s平面虛軸上上有閉環(huán)極極點,系統(tǒng)處于臨臨界穩(wěn)定狀狀態(tài)，屬于于不穩(wěn)定。*z≥≥0,p≥05.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)據(jù)(二)當系統(tǒng)開環(huán)環(huán)傳遞函數(shù)數(shù)中有極點點位于S平面虛軸上上時(如I型及以上系系統(tǒng)),如系統(tǒng)開環(huán)環(huán)頻率特性性G(j)H(j)在從-+變化逆時針針包圍(-1,j0)點的次數(shù)N等于G(s)H(s)位于s右半平面的的極點數(shù)p,系統(tǒng)閉環(huán)極極點數(shù)z=N+p=0,則閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定。否否則系統(tǒng)不不穩(wěn)定。5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)3、Nyquist軌跡例1設(shè)不穩(wěn)定不穩(wěn)定5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)例2已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性。解依題有有(不穩(wěn)定)(穩(wěn)定)5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)ω應(yīng)為-∞~∞例3已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析析系系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定定性性。解依依題題有有(穩(wěn)定定)(不穩(wěn)穩(wěn)定定)5.3Nyquist（乃乃奎奎斯斯特特））穩(wěn)穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)5.3Nyquist（乃乃奎奎斯斯特特））穩(wěn)穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)含有有位位于于上極極點點和和/或零零點點的的特特殊殊情情況況變量量沿著著軸從從運動動到到，從到，變量沿著半徑為為）的半圓運運動，再沿沿著正軸從運動到（5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)即按常規(guī)方方法作出ω由0+→∞∞變化時時的Nyquist曲線后，從從G(j0)開始，以∞∞的半徑順順時針補畫畫v90°°的圓弧(輔輔助線)得得到完整的的Nyquist曲線。顯然然，對于最最小相位系系統(tǒng)，其輔輔助線的起起始點始終終在無窮遠遠的正實軸軸上。例4已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性。解依題有有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)例5已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性。解依題有有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)例6已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性。(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)對數(shù)穩(wěn)定判判據(jù)5.4Bode（伯德）穩(wěn)穩(wěn)定判據(jù)5.4Bode（伯德）穩(wěn)穩(wěn)定判據(jù)例7已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性。(不穩(wěn)定)(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)注意問題閉環(huán)系統(tǒng)不不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定計算錯！2.ω應(yīng)為-∞~∞，按ω=0~∞圖型取得的的N應(yīng)乘2，此時N的最小單位位為二分之之一當[s]平面虛軸上上有開環(huán)極極點時，奈奈氏路徑要要從其右邊邊繞出半徑為為無窮小的的圓?。?/p>