機(jī)械工程控制基礎(chǔ)-系統(tǒng)的穩(wěn)定性概述

5系統(tǒng)的穩(wěn)定性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)5.3Nyquist（乃奎斯特）穩(wěn)定判據(jù)5.4Bode（伯德）穩(wěn)定判據(jù)5.5系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念1穩(wěn)定性的概念

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析、判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。定義：如果在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2穩(wěn)定的充要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)所有閉環(huán)特征根均具有負(fù)的實(shí)部，

或所有閉環(huán)特征根均位于左半s平面。根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義，若,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

必要性：充分性：

5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)避免直接求解特征根，討論特征根的分布(1)必要條件說(shuō)明：例1不穩(wěn)定不穩(wěn)定可能穩(wěn)定

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)(2)勞斯（Routh）判據(jù)勞斯表勞斯表第一列元素均大于零時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定且第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)就是特征方程中正實(shí)部根的個(gè)數(shù)

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)s4s3s2s1s0解.列勞斯表171052勞斯表第一列元素變號(hào)2次，有2個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定

1010

例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)s3s2s1s0解.列勞斯表1-3

e2勞斯表第一列元素變號(hào)2次，有2個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

0

例3：D(s)=s3-3s+2=0

判定在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。

(3)勞斯判據(jù)特殊情況處理某行第一列元素為0，而該行元素不全為0時(shí):將此0改為e

，繼續(xù)運(yùn)算。

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)解.

列勞斯表1123532025s5s4s3s2s1s05

25

0

0

0

0

例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)出現(xiàn)全零行時(shí)：用上一行元素組成輔助方程，將其對(duì)S求導(dǎo)一次，用新方程的系數(shù)代替全零行系數(shù)，之后繼續(xù)運(yùn)算。列輔助方程：

例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0

5.2Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)解.列勞斯表1123532025s5s4s3s2s1s05

25

0

0

1025

0

例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=05.2Routh（勞勞斯斯））穩(wěn)穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0計(jì)算算勞勞斯斯表表時(shí)時(shí),某一一行行各各項(xiàng)項(xiàng)全全為為零零。。這這表表明明特特征征方方程程具具有有對(duì)對(duì)稱稱于于原原點(diǎn)點(diǎn)的的根根:系統(tǒng)統(tǒng)可可能能出出現(xiàn)現(xiàn)一一對(duì)對(duì)共共軛軛虛虛根根；；或或一一對(duì)對(duì)符符號(hào)號(hào)相反反的的實(shí)實(shí)根根；；或或兩兩對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)部部符符號(hào)號(hào)相相異異、、虛虛部部相相同同的的復(fù)復(fù)根根。。其根根的的數(shù)數(shù)目目總總是是偶偶數(shù)數(shù)的的這些些對(duì)對(duì)稱稱于于原原點(diǎn)點(diǎn)的的根根可可由由令令輔助助多多項(xiàng)項(xiàng)式式等等于于零零構(gòu)成成的的輔助助方方程程求得得列輔輔助助方方程程：：S=±j5解.列勞斯表10-120-2s5s4s3s2s1s00-216/e08-20列輔輔助助方方程程：：例5D(s)=s5+2s4-s-2=0e第一一列列元元素素變變號(hào)號(hào)一一次次，，有有一一個(gè)個(gè)正正根根，，系系統(tǒng)統(tǒng)不不穩(wěn)穩(wěn)定定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5)5.2Routh（勞斯））穩(wěn)定判判據(jù)(4)勞斯判據(jù)據(jù)的應(yīng)用用例6某單位反反饋系統(tǒng)統(tǒng)的開環(huán)環(huán)零、極極點(diǎn)分布布如圖所所示，判判定系統(tǒng)統(tǒng)能否穩(wěn)定定，若能能穩(wěn)定，，試確定定相應(yīng)開開環(huán)增益益K的范圍。。解依依題意有有系統(tǒng)閉環(huán)環(huán)穩(wěn)定與與開環(huán)穩(wěn)穩(wěn)定之間間沒(méi)有直直接關(guān)系系5.2Routh（勞斯））穩(wěn)定判判據(jù)例7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)構(gòu)圖如右右，(1)確定使系系統(tǒng)穩(wěn)定定的參數(shù)數(shù)(K,x)的范圍;(2)當(dāng)x=2時(shí)，確定定使全部部極點(diǎn)均均位于s=-1之左的K值范圍。。解.(1)5.2Routh（勞斯））穩(wěn)定判判據(jù)(2)當(dāng)x=2時(shí)，確定定使全部部極點(diǎn)均均位于s=-1之左的K值范圍。。當(dāng)x=2時(shí)，進(jìn)行平移變換：5.2Routh（勞斯））穩(wěn)定判判據(jù)問(wèn)題討論論：(1)系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性是是其自身身的屬性性，與輸輸入類型型，形式式無(wú)關(guān)。。(2)閉環(huán)穩(wěn)定定與否，，只取決決于閉環(huán)環(huán)極點(diǎn)，，與閉環(huán)環(huán)零點(diǎn)無(wú)無(wú)關(guān)。閉環(huán)零點(diǎn)點(diǎn)影響系系數(shù)Ci，只會(huì)改改變動(dòng)態(tài)態(tài)性能。。閉環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)決定穩(wěn)穩(wěn)定性，，也決定定模態(tài)，，同時(shí)影影響穩(wěn)定定性和動(dòng)動(dòng)態(tài)性能能。(3)閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)的穩(wěn)定定性與開開環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定與與否無(wú)直直接關(guān)系系。5.2Routh（勞斯））穩(wěn)定判判據(jù)5.3Nyquist（乃奎斯斯特）穩(wěn)穩(wěn)定判據(jù)據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定定的充要要條件—全部閉環(huán)環(huán)極點(diǎn)均均具有負(fù)負(fù)的實(shí)部部由閉環(huán)特特征多項(xiàng)項(xiàng)式系數(shù)數(shù)（不解解根）判判定系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定性性不能用于于研究如如何調(diào)整整系統(tǒng)結(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)來(lái)改善善系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性及及性能的的問(wèn)題代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

—

Ruoth判據(jù)

由開環(huán)頻頻率特性性直接判判定閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)的的穩(wěn)定性性可研究如何何調(diào)整系統(tǒng)統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)改善系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定性及及性能問(wèn)題題頻域穩(wěn)定判據(jù)

—

Nyquist

判據(jù)

對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)1、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的的基本原理理（1）映射原理Nyquist判據(jù)依據(jù)復(fù)復(fù)變函數(shù)中中的映射原理。設(shè)有復(fù)變變函數(shù)S平面上的點(diǎn)點(diǎn),將按式映射射到F(S)平面上的相相應(yīng)點(diǎn);零點(diǎn)將映射到F(S)平面上的原點(diǎn),極點(diǎn)將映射到F(S)平面上的無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn),而其它普通點(diǎn)將映射到F(S)平面上除原原點(diǎn)外的有限值點(diǎn)。5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)映射原理：設(shè)C為s平面上不經(jīng)經(jīng)過(guò)F(s)的任何極點(diǎn)點(diǎn)的封閉曲曲線，C中包含了F(s)的p個(gè)極點(diǎn)和z個(gè)零點(diǎn)，則則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)s順時(shí)針在C上圍繞一周周時(shí),映射到F(s)平面上的閉閉曲線將順時(shí)針圍圍繞坐標(biāo)原原點(diǎn)N次，且有N=z-p5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)（2）特征函數(shù)數(shù)F(s)與G(S)H(S)的關(guān)系系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖如圖所示示設(shè)令F(s)的特點(diǎn)極點(diǎn)pi:開環(huán)極點(diǎn)零點(diǎn)li:閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)F(s)的零點(diǎn)就是是閉環(huán)傳遞遞函數(shù)的極極點(diǎn)。F(s)的極點(diǎn)就是是開環(huán)傳遞遞函數(shù)的極極點(diǎn);設(shè)F(s)在右半s平面有P個(gè)極點(diǎn)(開環(huán)極點(diǎn))Z個(gè)零點(diǎn)(閉環(huán)極點(diǎn))Z=2P=1s繞包圍整個(gè)個(gè)右半平面面的奈氏路路徑順時(shí)針針轉(zhuǎn)過(guò)一周周，F(xiàn)(jw)繞[F]平面原點(diǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度度jF(w)為5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)s繞奈氏路徑徑一周時(shí)，，F(xiàn)(jw)包圍[F]平面(0,j0)點(diǎn)的圈數(shù)，，既是開環(huán)環(huán)幅相曲線線GH(jw)包圍[G]平面(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。。2、Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)據(jù)(一)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)環(huán)傳遞函數(shù)數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)點(diǎn)及虛軸上上沒(méi)有極點(diǎn)點(diǎn)時(shí)(例如0型系統(tǒng))a)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定時(shí),即p=0,如果從-+時(shí)Nyquist曲線G(j)H(j)不包圍(-1,0j)點(diǎn),N等于零,則z=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定;否則不穩(wěn)定定b)開環(huán)系統(tǒng)不不穩(wěn)定時(shí),即p≥1。如果從-+時(shí)Nyquist曲線G(j)H(j)逆時(shí)針包圍(-1,0j)點(diǎn)N次(N<0),且N=-p,則z=N+p=0,系統(tǒng)穩(wěn)定。。否則系統(tǒng)統(tǒng)不穩(wěn)定。。c)當(dāng)Nyquist曲線G(j)H(j)通過(guò)(-l,0j)點(diǎn)時(shí),表明在s平面虛軸上上有閉環(huán)極極點(diǎn),系統(tǒng)處于臨臨界穩(wěn)定狀狀態(tài)，屬于于不穩(wěn)定。*z≥≥0,p≥05.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)據(jù)(二)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)環(huán)傳遞函數(shù)數(shù)中有極點(diǎn)點(diǎn)位于S平面虛軸上上時(shí)(如I型及以上系系統(tǒng)),如系統(tǒng)開環(huán)環(huán)頻率特性性G(j)H(j)在從-+變化逆時(shí)針針包圍(-1,j0)點(diǎn)的次數(shù)N等于G(s)H(s)位于s右半平面的的極點(diǎn)數(shù)p,系統(tǒng)閉環(huán)極極點(diǎn)數(shù)z=N+p=0,則閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定。否否則系統(tǒng)不不穩(wěn)定。5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)3、Nyquist軌跡例1設(shè)不穩(wěn)定不穩(wěn)定5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)例2已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性。解依題有有(不穩(wěn)定)(穩(wěn)定)5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)ω應(yīng)為-∞~∞例3已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析析系系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定定性性。解依依題題有有(穩(wěn)定定)(不穩(wěn)穩(wěn)定定)5.3Nyquist（乃乃奎奎斯斯特特））穩(wěn)穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)5.3Nyquist（乃乃奎奎斯斯特特））穩(wěn)穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)含有有位位于于上極極點(diǎn)點(diǎn)和和/或零零點(diǎn)點(diǎn)的的特特殊殊情情況況變量量沿著著軸從從運(yùn)動(dòng)動(dòng)到到，從到，變量沿著半徑為為）的半圓運(yùn)運(yùn)動(dòng)，再沿沿著正軸從運(yùn)動(dòng)到（5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)即按常規(guī)方方法作出ω由0+→∞∞變化時(shí)時(shí)的Nyquist曲線后，從從G(j0)開始，以∞∞的半徑順順時(shí)針補(bǔ)畫畫v90°°的圓弧(輔輔助線)得得到完整的的Nyquist曲線。顯然然，對(duì)于最最小相位系系統(tǒng)，其輔輔助線的起起始點(diǎn)始終終在無(wú)窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)的正實(shí)軸軸上。例4已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性。解依題有有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)例5已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性。解依題有有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)5.3Nyquist（乃奎斯特特）穩(wěn)定判判據(jù)例6已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性。(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)對(duì)數(shù)穩(wěn)定判判據(jù)5.4Bode（伯德）穩(wěn)穩(wěn)定判據(jù)5.4Bode（伯德）穩(wěn)穩(wěn)定判據(jù)例7已知單位反反饋系統(tǒng)開開環(huán)傳遞函函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定性。(不穩(wěn)定)(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)注意問(wèn)題閉環(huán)系統(tǒng)不不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定計(jì)算錯(cuò)！2.ω應(yīng)為-∞~∞，按ω=0~∞圖型取得的的N應(yīng)乘2，此時(shí)N的最小單位位為二分之之一當(dāng)[s]平面虛軸上上有開環(huán)極極點(diǎn)時(shí)，奈奈氏路徑要要從其右邊邊繞出半徑為為無(wú)窮小的的圓??；