2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.己知集合A={x|-l<x<l},B={x|0<x<2},則A|JB=()A.(-1,2) B.(-1,2］ C.(0,1) D.［0,11【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意利用并集的定義計算即可.【詳解】由題意可得：AU^={x|-l<x<2},即AUB=(-1,2］.故選：B..在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(l-i)z=2,則2=()2+z2-z1-z2+z2-z1-z1+z【答案】D【解析】【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得:2 2(1+/) 2(1+/)【詳解】由題意可得:，一口一(j)(1+4―_2-故選：D..已知是定義在上［0,1］的函數(shù),那么“函數(shù)Ax)在［0,1］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)Ax)在［0,1］上的最大值為了⑴”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用兩者之間推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)/(X)在［0,1］上單調(diào)遞增，則“X)在［0,1］上的最大值為了⑴，若/(力在［0,1］上的最大值為/(1),

比如y(x)=［x-§J,但〃x)=(x—g)在0,1為減函數(shù)，在1,1為增函數(shù)，故/(x)在［0,1］上的最大值為了⑴推不出/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增,故“函數(shù)/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增”是“f(x)在［0,1］上的最大值為/(1)”的充分不必要條件,故選：A..某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為()A. B.4 C.3+6 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體(三棱錐)，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計算該幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐O-ABC，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1,故其表面積為3x^xlxl+走=2 4、, 2故選：A.X2雙X2雙曲線C:二a=1過點(也,6),且離心率為2則該雙曲線的標準方程為(A.x2-^-=\ B.--/=1 C./-叵Ll D.叵一J=i3 3 3 3 '【答案】A【解析】【分析】分析可得人再將點(夜，6)代入雙曲線的方程，求出。的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】：e=￡=2,則c=2a,0=J?W=6a，則雙曲線的方程為「一當(dāng)=1，a a3a將點(也,6)的坐標代入雙曲線的方程可得提-京=*=1,解得。=i,故人=百，因此，雙曲線的方程為r一上=i.3故選：A.6.｛叫和低｝是兩個等差數(shù)列,其中去(14火45)為常值,4=288,?5=96,4=192,則4=()A.64 B.128 C.256 D.512【答案】B【解析】【分析】由已知條件求出么的值，利用等差中項的性質(zhì)可求得久的值.【詳解】由己知條件可得?吟，貝1也=她=96：：2=64,因此， 192^64=128O,b5 4 288 - 2 2故選：B.7.函數(shù)/(x)=cosx-cos2x,試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值()A.奇函數(shù)，最大值為2 B.偶函數(shù)，最大值為2C.奇函數(shù)，最大值為3 D.偶函數(shù)，最大值為一8 8【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，/(-%)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=/(x),所以該函數(shù)為偶函數(shù)，， ( 1Y9又fM=cosx-cos2x=-2cos 9所以當(dāng)COSX=一時，/(x)取最大值一.4 8故選：D.8.定義:24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度 9所以當(dāng)COSX=一時，/(x)取最大值一.4 8故選：D.8.定義:24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度.其中小雨(<10mm),中雨(10mm-25mm),大雨(25mm-50mm),暴雨(50mm-100mm),小明用一個圓錐形容器接了24小時雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級()A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】B【解析】【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為等=100(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為=50(mm),高為150(mm)的圓錐,所以積水厚度小產(chǎn)5。2：5。= 屬于中雨%X1(X)2 \ )故選：B.9.已知圓C:爐+y2=4,直線/:y=Ax+m,當(dāng)%變化時，/截得圓C弦長的最小值為2,則山=()A.±A.±2B.±\[2 C.±GD.±>/5【答案】C【解析】【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出團【詳解】由題可得圓心為(0,0)，半徑為2,\m\則圓心到直線的距離d=~J=收+1則弦長為2則弦長為2則當(dāng)％=0時，弦長取得最小值為2,4-加2=2,解得膽=±百?故選：C.10.數(shù)列｛《,｝是遞增的整數(shù)數(shù)列，且623,4+%+--+q=100,則〃的最大值為A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式即可得解.【詳解】若要使〃盡可能的大，則外,遞增幅度要盡可能小,

不妨設(shè)數(shù)列｛%｝是首項為3,公差為1的等差數(shù)列，其前"項和為S”,3+14=-3+14=-——x12=102>100,12 2則%=〃+2,5,,=—^―xll=88<100,所以〃的最大值為11.故選：C.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題5小題，每小題5分，共25分.(V-34展開式中常數(shù)項為X【答案】-4【解析】【詳解】試題分析：的展開式的通項=(2；卜3廣=(—1)飛：產(chǎn)川，令r=3得常數(shù)項為n=(-tyc=-4.考點：二項式定理.已知拋物線C:y2=4x,焦點為E，點M為拋物線C上的點，且|FM|=6,則M的橫坐標是作MN_Lx軸于N,則S.fmn=.【答案】 ①.5 ②.475【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式可求M的橫坐標，求出縱坐標后可求S/MN.【詳解】因為拋物線的方程為：/=4x,故〃=2且口(1,0).因為=6,xM+-^-=6,解得%=5,故％=±2^5，所以久的=三(5-1卜2際=46，故答案為：5,475.a—(2,1)?b=(2,-1)?c=(0,1)?則(a+B)c=；a-b=【答案】 ①.0 ②.3【解析】【分析】根據(jù)坐標求出d+5,再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算直接計算即可.【詳解】?/a=（2/）,5=（2,-1）,c=（O,l）,=（4,0）,「.（五+5）?了=4x0+0xl=0,...q.B=2x2+1x（-1）=3.故答案為：0；3.14.若點P（cos，,sin。）與點。（8§（。+5）,§后（6+。）關(guān)于丁軸對稱，寫出一個符合題意的。=.【答案】||（滿足。喑+GeZ即可）【解析】7F 7T【分析】根據(jù)只。在單位圓上，可得ae+7關(guān)于y軸對稱，得出夕+7+8="+2左肛求解.6 6【詳解】P（cosd,sin6?）與Q（cos（e+0，sin[（9+。）關(guān)于＞軸對稱,7[即—關(guān)于y軸對稱，6。+石+。=萬+2&匹&eZ,65萬則。=&乃+—,k^Z,1257r當(dāng)我=（）時，可取。的一個值為一.1257r 5乃故答案為：—（滿足6=%乃+二,AgZ即可）.12 12.已知函數(shù)/（X）=|】gx|一履-2,給出下列四個結(jié)論：①若％=0,則〃尤）有兩個零點；②及＜0,使得/（X）有一個零點；③業(yè)＜0,使得JU）有三個零點；④at＞0,使得/（X）有三個零點.以上正確結(jié)論得序號是.【答案】①②④【解析】【分析】由/（x）=0可得出|館可=米+2,考查直線y=h+2與曲線g（x）=|lgx|的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.

【詳解】對于①，當(dāng)2=0時，由/(x)=|lgX-2=0,可得x=f—或x=100,①正確;對于②，考查直線y=kx+2與曲線y=-lgx(0<x<1)相切于點P(r,-lgr),(kt+2=-\gt t=—對函數(shù)y=-lgx求導(dǎo)得y'=-一二，由題意可得L 1 ,解得《xlnlO k= . 100.IHnlOk= Igee所以，存出=-W21ge<0,使得/(x)只有一個零點，②正確；e對于③，當(dāng)直線y=H+2過點(1,0)時，％+2=0,解得Z=—2,所以，當(dāng)(左<一2時，直線y="+2與曲線y=—lgx(O<x<l)有兩個交點,若函數(shù)“X)有三個零點，則直線丁=丘+2與曲線y=-lgx(O<x<l)有兩個交點，r100, ,c/ 、 1ge<女<—2直線y=H+2與曲線y=lgx(x>l)有一個交點，所以，\e6 ,此不等式無解,k+2>0因此，不存在左<0,使得函數(shù)/(x)有三個零點，③錯誤；r=100ek=曳M100e對于④，考查直線y=依+2與曲線y=r=100ek=曳M100e對函數(shù)y=lgx求導(dǎo)得y'=」一，由題意可得L1 ,解得xlnlO k= [rlnlO所以，當(dāng)o(左<龍￡時，函數(shù)/(x)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：(1)轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題：(2)列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；(3)得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程..已知在△ABC中，c=2bcos8,C=—3（1）求3的大?。唬?）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使aABC存在且唯一確定，并求出8c邊上的中線的長度.①c=6｝）；②周長為4+26；③面積為％此=苧；【答案】（1）7：（2）答案不唯一，具體見解析.【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.【詳解】（1）;c=2bcosB,則由正弦定理可得sinC=2sin8cos8,??.sin2B=s哼考，?.七音以（0g），28m7T TT：,2B=—,解得3=一；3 6（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得￡="￡==-=石，bsinB12與。=而矛盾，故這樣的aAbc不存在；7T若選擇②：由（1）可得A=一,6設(shè)的外接圓半徑為R,7t則由正弦定理可得a=b=2Rsin-=R,6勺c=2/?sin—=73/?,3則周長。+入+。=2/?+67?=4+26，解得R=2，則。=2,c=2>/J,由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：J（2y/3）2+12-2x2x/3x1xcos-=V7；TT若選擇③：由（1）可得A=一，即6則S4月「='absinC=■/X—,解得4=6,TOC\o"1-5"\h\z?2 2 2 4則由余弦定理可得8C邊上的中線的長度為:,2(a\~I~,a2n 1_3 /=~y/21b'+\—\-2x/?x—xcos——=J3+—+>/3x—= .⑴ 2 3V4 2 217.已知正方體A8C￡>-4gGA,點E為AR中點，直線用G交平面CDE于點F.（1）證明：點廠為國G中點;（2）若點M為棱A耳上一點，且二面角M-CF-E的余弦值為上，求黃的值.3 A冉【答案】（1）證明見解析；（2）智=；.44 2【解析】【分析】（1）首先將平面CDE進行擴展，然后結(jié)合所得的平面與直線4G的交點即可證得題中的結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，利用空間直角坐標系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實數(shù)4的值.【詳解】（1）如圖所示，取用G的中點EL連結(jié)由于ABCD—AgG"為正方體，改尸為中點，故政'||。>,從而E,尸,C,。四點共面，即平面CDE即平面CDEF',據(jù)此可得：直線與￡交平面C0E于點尸'，當(dāng)直線與平面相交時只有唯一的交點，故點F與點尸重合，即點尸為B￡中點.（2）以點。為坐標原點，。4。。,。。方向分別為》軸，y軸，z軸正方形，建立空間直角坐標系。-孫z,不妨設(shè)正方體的棱長為2,設(shè)整=4（04441）,則：M（2,242）,C（0,2,0）,尸（1,2,2）,E（1,0,2）,從而：MC=（-2,2-22,-2）,CF=（1,0,2）,FE=（0,-2,0）,設(shè)平面MCF的法向量為：/"=（%,,x，zj,則：tn?M-C=—2%+(2—24)必—2z1=0

m-CF=X]+2Z]=0令令Z|=-l可得：m設(shè)平面CEE的法向量為：n=(x2,y2,z2),則:n?FE=-2y2=0n-CF=x2+2z2=0令Z]=-l可得：n=(2,0,-l),【點睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解..為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機構(gòu)采取“k合1檢測法”，即將上個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的；若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測.現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病毒.(1)①若采用“10合1檢測法”，且兩名患者在同一組，求總檢測次數(shù)：②已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為《，定義隨機變量X為總檢測次數(shù)，求檢測次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(2)若采用“5合1檢測法”，檢測次數(shù)y的期望為E(F),試比較E(X)和E(F)的大小(直接寫出結(jié)果).320 / /、【答案】(1)①20次；②分布列見解析；期望為亍??；(2)E(y)>E(X).【解析】分析】(1)①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解；(2)求出兩名感染者在一組的概率，進而求出七(y),即可得解.

【詳解】(1)①對每組進行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次;所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，X可以取20,30,P（X=20）=；,P（X=30）=l-p=—所以E(X)=20x所以E(X)=20x1+30x12111132011則X的分布列:(2)由題意，V可以取25,30,20。2c3 4 05兩名感染者在同一組的概率為《=y=而，不在同一組的概率為，=一,Goo 99 99貝皿)=25喑+30＞新等"(X).3-?r.已知函數(shù)/(%)=——.廠+。(1)若a=0,求y=/(x)在處切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在X=—1處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.【答案】(1)4x+y—5=0：(2)函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(f,-1)、(4,+<?),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4),最大值為1，最小值為—.4【解析】【分析】(1)求出/(1)、/'(1)的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；(2)由尸(-1)=()可求得實數(shù)。的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(力的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)a=0時，=則r(x)=2g：3),.../⑴=],=X X此時，曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線方程為y-l=T(x-l),即4x+y-5=0；

⑵因為〃加冷則，（加-⑵因為〃加冷則，（加-2(d+a)-2x(3-2x)2(f—3x-a)(J+〃)、2（4-a）由題意可得八叫=逅F=°'解得。=4,故〃x）=E'"爺早歹裱如下:增極大值減極小值增所以，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（一8,—1）、（4,內(nèi)），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1,4）.3 3 、當(dāng)冗＜；時，/（x）＞0；當(dāng)尤＞j時，/（x）＜0.所以,〃x)皿="T)=L/(x)mm=/(4)=.g20.已知橢圓E:0+與=l（a＞》＞0）過點4（0,-2）,以四個頂點圍成的四邊形面積為46.ab~（1）求橢圓E的標準方程；（2）過點P（0,-3）的直線/斜率為％,交橢圓E于不同的兩點8,C,直線AB,AC交尸-3于點M、N,直線AC交尸-3于點N,若IPM+IPNW15,求k的取值范圍.【答案】（1）—+^=1；（2）[-3,—1）51,3].5 4【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點及四個頂點圍成的四邊形的面積可求仇從而可求橢圓的標準方程.⑵設(shè)3（大方）,。（心％），求出直線AB,AC的方程后可得M,N的橫坐標，從而可得|PM|+|/W|,聯(lián)立直線8。的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達定理化簡|PM|+|PN|,從而可求女的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因為橢圓過A（0,-2）,故b=2,因為四個頂點圍成的四邊形的面積為4石，故gx2ax2b=46，即。=石，TOC\o"1-5"\h\z故橢圓的標準方程為：三+匕=1.5 4(2)設(shè)),。(七,力)，因為直線3C的斜率存在，故%彳2工0,… y+2 c x. x9故直線A3：y=」一x-2,令y=-3,則x”= 、，同理= -X Ji+2 必+2直線8C:y=Ax-3,由廠產(chǎn), 可得（4+5%2）%2-30Ax+25=0,l4x2+5y2=20 ' '故△=900父一100(4+5〃)>0,解得左<一1或々>1.r 30k 25,故XW>0,所以x“Xn>0又X]+,故XW>0,所以x“Xn>01 -4+5/1-4+5公又|加|+|附|=同+/|=亢+已故5網(wǎng)415即陽43,綜上，一34左＜一1或1＜左43.21.定義數(shù)列｛4,｝：對實數(shù)p,滿足：①q+pNO,a2+p=O.②V〃wN?，叫＜%,；③。小“e{am+a“+P，am+a”+P+l}，m,neN'.(1)對于前4項2,-2,0,1的數(shù)列，可以是刷數(shù)列嗎？說明理由；(2)若｛《,｝是當(dāng)數(shù)列，求生的值；(3)是否存在p,使得存在(數(shù)列｛4｝,對XMeN'S2/?若存在，求出所有這樣的p；若不存在，說明理由.【答案】(1)不可以是&數(shù)列；理由見解析；(2)%=1；(3)存在；p=2.【解析】【分析】(1)由題意考查知的值即可說明數(shù)列不是&數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項，然后討論計算即可確定為的值:(3)構(gòu)造數(shù)列勿+p,易知數(shù)列｛〃,｝是4的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實數(shù)P的值.【詳解】(1)由性質(zhì)③結(jié)合題意可知0=4w{q+4+2,q+q+2+1}={2,3},矛盾，故前4項2,-2,0,1的數(shù)列，不可能是&數(shù)列.(2)性質(zhì)①q>0,a2=0,由性質(zhì)③2G{。,"，4+1}，因此%=4或%=4+1，4=。或4=1，若4=0，由性質(zhì)②可知4<4，即q<0或q+1<0,矛盾；若q=1，%=4+1，由%<4有4+1<1，矛盾.因此只能是4=1,%=4.又因為%=4+/或％=4+%+1，所以4=]或4=0.若q=一，則4=q+[e{q+q+0,q+q+0+1}=