多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法

多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法設(shè)計車床齒輪變速箱時，要求：

各齒輪體積總和盡可能小降低成本各傳動軸間的中心距總和使變速箱結(jié)構(gòu)緊湊。

合理選用材料使總成本盡可能小。盡可能小。盡可能小傳動效率盡可能高機(jī)械耗損率

在優(yōu)化設(shè)計中同時要求幾項指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值的問題稱為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題。兼顧多方面的要求，則稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題。一、多目標(biāo)優(yōu)化及數(shù)學(xué)模型

例如，在機(jī)械加工時，對于用單刀在一次走刀中將零件車削成形，為選擇合適的切削速度和每轉(zhuǎn)給進(jìn)量，提出以下目標(biāo)：

機(jī)械加工成本最低；生產(chǎn)率最高；刀具壽命最長。還應(yīng)滿足的約束條件是：

進(jìn)給量小于毛坯所留最大加工余量

刀具強(qiáng)度等

對于一個具有L個目標(biāo)函數(shù)和若干個約束條件的多目標(biāo)優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式可寫為：求：向量形式的目標(biāo)函數(shù)設(shè)計變量應(yīng)滿足的所有約束條件n維歐氏空間的一個向量

多目標(biāo)問題是現(xiàn)實世界中普遍遇到的一類問題，其中希望（或必須）考慮多個相互矛盾目標(biāo)的影響。例如證券投資問題中我們希望利潤最大而風(fēng)險最小，生產(chǎn)銷售問題中我們希望費用較少而獲利很大，等等。例：車間計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品均需經(jīng)過A、B、C三道工序加工。工藝資料如表一所示。2、解法：解法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題（統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法）二、多目標(biāo)優(yōu)化問題的特點及解法（續(xù))將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列單目標(biāo)優(yōu)化問題7.2

統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法（綜合目標(biāo)法）一、基本思想

統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法就是設(shè)法將各分目標(biāo)函數(shù)f1(X),f2(X),…,fl(X)統(tǒng)一到一個新構(gòu)成的總的目標(biāo)函數(shù)f(X),這樣就把原來的多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為一個具有統(tǒng)—目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)問題來求解．即：D為可行域，f1(X)，f2(X)，…，fl(X)為各個子目標(biāo)函數(shù)。7.2統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法（續(xù)）二、統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造方法1、線性加權(quán)和法（線性加權(quán)組合法）

根據(jù)各子目標(biāo)的重要程度給予相應(yīng)的權(quán)數(shù)，然后用各子目標(biāo)分別乘以他們各自的權(quán)數(shù)，再相加即構(gòu)成統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)。即評價函數(shù)為：應(yīng)滿足歸一性和非負(fù)性條件——各子目標(biāo)函數(shù)——權(quán)數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為注意：1、建立這樣的評價函數(shù)時，各子目標(biāo)的單位已經(jīng)脫離了通常的概念。2、權(quán)數(shù)（加權(quán)因子）的大小代表相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)在優(yōu)化模型中的重要程度，目標(biāo)越重要，權(quán)數(shù)越大。例：現(xiàn)有現(xiàn)金70元，可用來可用來購買菠蘿和蘋果。菠蘿5元/kg，蘋果3元/kg，要求總斤數(shù)不少于15kg，菠蘿不少于5kg。問：(1)購買菠蘿和蘋果各多少斤，才能在滿足要求的條件下花錢最少？(2)購買菠蘿和蘋果各多少斤，才能在滿足要求的條件下所買的菠蘿和蘋果最多？解：通俗地說，這是一個如何安排資金，少花錢多辦事的問題。設(shè)購買菠蘿x1kg，蘋果x2kg。可以列出如下的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：(1)如果只考慮目標(biāo)函數(shù)則應(yīng)用Matlab求解的程序為：%li9_1f=[53];A=[53;-1-1;-10];b=[70;-15;-5];xl=[0;0];[x,f,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],xl)最優(yōu)解為：X*=[510],(2)如果只考慮目標(biāo)函數(shù)則應(yīng)用Matlab求解的程序為：f=-[11];A=[53;-1-1;-10];b=[70;-15;-5];xl=[0;0];[x,f,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],xl)最優(yōu)解為：X*=[515]解：取權(quán)系數(shù)(1)w1=0.5,w2=0.5;(2)w1=0.2,w2=0.8相應(yīng)的MATLAB計算程序如下：clc;clearall;A=[53;-1-1;-10];b=[70;-15;-5];xl=[0,0];x0=[0,0];w(1,1)=0.5;w(1,2)=0.5;w(2,1)=0.2;w(2,2)=0.8;fori=1:2[x,f,exitflag]=fmincon(@(x)fun_obj(x,w(i,:)),x0,A,b,[],[],xl)f1=5*x(1)+3*x(2)f2=x(1)+x(2)endfunctionf1f2=fun_obj(x,ww)f1f2=ww(1)*(5*x(1)+3*x(2))-ww(2)*(x(1)+x(2));(1)取權(quán)系數(shù)w1=0.5,w2=0.5時最優(yōu)解為（2)取權(quán)系數(shù)w1=0.2,w2=0.8時最優(yōu)解為X*=[510],X*=[515]權(quán)因子的確定方法：

在確定權(quán)因子前，應(yīng)先將各子目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無量綱化，處理的方法是：是多目標(biāo)問題中某個帶量綱的子目標(biāo)；是作了無量綱處理后的第i個子目標(biāo)函數(shù)(1)專家評判法（老手法）憑經(jīng)驗評估，并結(jié)合統(tǒng)計處理來確定權(quán)數(shù)的方法。特點：方法實用，但要求專家人數(shù)不能太少。（2）容限法若已知子目標(biāo)函數(shù)fi(X)的變動范圍為：則稱為該目標(biāo)函數(shù)的容限這時權(quán)數(shù)可取為：目的：在目標(biāo)函數(shù)中使各子目標(biāo)在數(shù)量級上達(dá)到統(tǒng)一平衡。7.2統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法（續(xù)）2、理想點法

基本思想：使各個目標(biāo)盡可能接近各自的最優(yōu)值，從而求出多目標(biāo)函數(shù)的較好的非劣解。二、統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造方法（續(xù)）

步驟：先用單目標(biāo)優(yōu)化方法求得各子目標(biāo)的約束最優(yōu)值和相應(yīng)的最優(yōu)點，然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)：7.2統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法（續(xù)）3、平方和加權(quán)法

基本思想：在理想點法的基礎(chǔ)上引入權(quán)數(shù)二、統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造方法（續(xù)）目標(biāo)函數(shù)：構(gòu)造評價函數(shù)。滿足歸一性和非負(fù)性條件7.3

主要目標(biāo)函數(shù)法

基本思想：從所有L個子目標(biāo)函數(shù)中選出一個設(shè)計者認(rèn)為最重要的作為主要目標(biāo)函數(shù)，而將其余L-1個子目標(biāo)限制在一定的范圍內(nèi)，并轉(zhuǎn)化為新的約束條件，將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題。設(shè)f2(X)為主要目標(biāo)函數(shù)，則優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為：——原問題第t個目標(biāo)函數(shù)的上限值。7.4極大極小法

MATLAB：函數(shù)fminimax

minmax{f1,f2,…,f3}s.t.AX≤b（線性不等式約束）

AeqX=beq（線性等式約束）

C(X)≤0（非線性不等式約束條件）

Ceq(X)=0（非線性等式約束）

Lb≤X≤Ub（邊界約束條件）一、多目標(biāo)優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型各分目標(biāo)函數(shù)

二、優(yōu)化函數(shù)使用格式

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminimax(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)設(shè)置優(yōu)化選項參數(shù)目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度優(yōu)化算法信息的一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)返回算法的終止標(biāo)志返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解附加參數(shù)非線性約束條件的函數(shù)名設(shè)計變量的下界和上界線性等式約束的常數(shù)向量線性等式約束的系數(shù)矩陣線性不等式約束的常數(shù)向量線性不等式約束的系數(shù)矩陣無定義時以空矩陣符號“[]”代替函數(shù)fminimax初始點目標(biāo)函數(shù)文件名三、例題

已知直徑為1單位長度的圓柱梁，要求將它制成矩形截面梁，滿足重量最輕和強(qiáng)度最大的條件，試確定矩形截面尺寸。解:(1)建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型①設(shè)計變量：矩形截面的寬和高

X=[x1,x2]T②目標(biāo)函數(shù)：重量→截面積：彎曲強(qiáng)度→矩形截面矩量:minf1(X)=x1x2r=1x1x2

③約束條件:含性能約束和邊界約束變量x1的上下限變量x2的上下限等式約束性能約束邊界約束(2)編制優(yōu)化設(shè)計的M文件[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminimax(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)%矩形截面梁兩目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)文件functionf=JXL_2mb_MB(x)f(1)=x(1)*x(2);

%f1：梁的截面積f(2)=-x(1)*x(2)^2/6;

%f2:梁的截面矩量%矩形截面梁兩目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的約束函數(shù)文件function[c,ceq]=JXL_2mb_YS(x)ceq=x(1)^2+x(2)^2-1;%非線性等式約束c=[];%所有非線性不等式約束%矩形截面梁兩目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計x0=[1;1];lb=[0;0];ub=[1;1];[xopt,fopt]=fminimax(@JXL_2mb_MB,x0,[],[],[],[],lb,ub,@JXL_2mb_YS)(3)運行結(jié)果Optimizationterminatedsuccessfully:xopt=0.70710.7071fopt=0.5000-0.0589[],[],[],[],7.4功效系數(shù)法基本思想：

先按各子目標(biāo)值的“優(yōu)”或“劣”（即“功效”）分別求出與其對應(yīng)的功效函數(shù)，然后再由各個功效函數(shù)構(gòu)造出問題的評價函數(shù)進(jìn)行求解。

目的是將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題7.4功效系數(shù)法一、功效系數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中，各子目標(biāo)的要求不同極小值極大值一個合適的數(shù)值每個子目標(biāo)都用一個功效函數(shù)di表示——其值為功效系數(shù)功效函數(shù)的范圍[0,1]fi(X)的值滿意時，di=1fi(X)的值不滿意時，di=0二、評價函數(shù)7.4功效系數(shù)法（續(xù)）用所有子目標(biāo)的功效系數(shù)的幾何平均值作為評價函數(shù)f(X)的值越大，設(shè)計方案越好；反之越差；f(X)=1時，表示取得最滿意的設(shè)計方案f(X)=0時，表示此設(shè)計方案不能接受

該評價函數(shù)不會使某一個目標(biāo)最不滿意——功效系數(shù)法的特點三、功效函數(shù)的確定(a)目標(biāo)函數(shù)越大越好(b)目標(biāo)函數(shù)越小越好(c)目標(biāo)函數(shù)過大過小都不好

對于一個具有L個目標(biāo)函數(shù)和若干個約束條件的多目標(biāo)優(yōu)化問題，若有S個子目標(biāo)函數(shù)為求極小，而其余L-S個子目標(biāo)函數(shù)為求極大時，各子目標(biāo)對應(yīng)的功效函數(shù)的求法：7.4功效系數(shù)法（續(xù)）三、功效函數(shù)的確定（續(xù)）1、在可行域D中求出各子目標(biāo)函數(shù)的最小值和最大值7.4功效系數(shù)法（續(xù)）三、功效函數(shù)的確定（續(xù)）2、對于前S個要求極小化的子目標(biāo)函數(shù)fi(X)，若規(guī)定對應(yīng)的功效函數(shù)滿足則可得線性功效函數(shù)為7.4功效系數(shù)法（續(xù)）三、功效函數(shù)的確定（續(xù)）3、對于后面L-S個要求極大化的子目標(biāo)函數(shù)fi(X)，若規(guī)定對應(yīng)的功效函數(shù)滿足則可得功效函數(shù)為7.4功效系數(shù)法（續(xù)）三、功效函數(shù)的確定（續(xù)）4、對于L個子目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的功效函數(shù)為5、優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為：評價函數(shù)：五、功效系數(shù)法的特點1、直接按要求的性能指標(biāo)來評價函數(shù)，直觀，且初步試算后，調(diào)整方便；2、無論各子目標(biāo)的量級和量綱如何，最終都轉(zhuǎn)化為在[0,1]區(qū)間取值，而且一旦有一個子目標(biāo)達(dá)不到要求，則其相應(yīng)的功效系數(shù)為0，從而使評價函數(shù)也為0，表明不能接受所得設(shè)計方案；3、可以處理既非越大越好，也非越小越好的目標(biāo)函數(shù)；4、對難以事先確定目標(biāo)函數(shù)取值范圍的情況不適用。7.5

分層序列法及寬容分層序列法將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列單目標(biāo)優(yōu)化問題的求解方法：分層序列法寬容分層序列法7.5分層序列法及寬容分層序列法（續(xù)）一、分層序列法1、基本思想

將多目標(biāo)優(yōu)化問題中的l個目標(biāo)函數(shù)分清主次，按照其重要程度逐一排除，然后依次對各個目標(biāo)函數(shù)求最優(yōu)解，只是后一目標(biāo)應(yīng)在前一目標(biāo)最優(yōu)解的集合域內(nèi)尋優(yōu)。2、基本步驟設(shè)最重要，其次，

再其次，….。

首先對第一個目標(biāo)函數(shù)求解，得最優(yōu)值在第一個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解集合域內(nèi)，求第二個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，也就是將第一個目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為輔助約束。即求的最優(yōu)值，記作

然后再在第一、第二個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解集合域內(nèi)，求第三個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，此時，第一、第二個目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為輔助約束，即求：最優(yōu)值，記作一、分層序列法(續(xù)）最優(yōu)值是一、分層序列法(續(xù)）以此類推，最后求第目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，即,對應(yīng)的最優(yōu)點是3、分層序列法的優(yōu)缺點：

在求解過程中可能會出現(xiàn)中斷現(xiàn)象，使求解過程無法繼續(xù)進(jìn)行下去。當(dāng)求解到第k個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一時，則再往后求第（k+1），(k+2)，….，l個目標(biāo)函數(shù)的解就完全沒有意義了。尤其是當(dāng)求得的第一個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一時，則失去了多目標(biāo)優(yōu)化的意義了。二、寬容分層序列法1、基本思想

這種方法是對各目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值放寬要求，可以對各目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值取給定的寬容值，即ε1>0，ε2>0,…。這樣，在求后一個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值時，對前一目標(biāo)函數(shù)不嚴(yán)格限制在最優(yōu)解內(nèi)，而是在前一目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值附近的某一范圍內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化，因而避免了計算過程的中斷?！?、寬容分層序列法（續(xù)）其中，最后求得最優(yōu)解

兩目標(biāo)優(yōu)化問題用寬容分層序列法求最優(yōu)解的情況如圖。二、寬容分層序列法（續(xù)）二、寬容分層序列法（續(xù)）例題：用寬容分層序列法求解式中解：按重要程度將目標(biāo)函數(shù)排隊為：f1(x)，f2(x)首先求解，得最優(yōu)點x(1)=2對應(yīng)的最優(yōu)值為設(shè)給定的寬容值ε1=0.052，則可得：然后求解最優(yōu)解即求：求得最優(yōu)解為：x(2)=1.9這就是該兩目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點x*,對應(yīng)的最優(yōu)值為優(yōu)化方法主要目標(biāo)法

統(tǒng)一目標(biāo)方法分層序列法及寬容分層序列法線性加權(quán)和法理想點法與平方和加權(quán)法功效系數(shù)法-幾何平均法方法特點1、找出主要顧及其余；2、分析出正確的主要目標(biāo)函數(shù)至關(guān)重要；3、對決策者專業(yè)知識要求較高。1、可綜合考慮各分目標(biāo)函數(shù)的影響2、按各分目標(biāo)函數(shù)的重要程度綜合考慮了各分目標(biāo)函數(shù)的影響。

希望能達(dá)到各分目標(biāo)都為最優(yōu)化，盡量向該理想點去靠近?？蓪Ω鞣帜繕?biāo)函數(shù)求極大，求極小，及求逼近某一合適值的各分目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)?？蓪Χ嗄繕?biāo)優(yōu)化中優(yōu)化優(yōu)先次序等級有區(qū)別的多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化?；舅悸愤x出對問題影響最重要的函數(shù)作為主要目標(biāo)函數(shù)，其余目標(biāo)函數(shù)作為約束條件建立起單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解各分目標(biāo)函數(shù)以加權(quán)系數(shù)的形式體現(xiàn)了他們的重要程度，組成線性加權(quán)和作為綜合目標(biāo)函數(shù)。以各分目標(biāo)各自優(yōu)化解作為理想點，盡量向該點逼近。求各分目標(biāo)的功效系數(shù)；以功效系數(shù)的幾何平均值作為評價函數(shù)求優(yōu)。先對最重要的目標(biāo)函數(shù)，再對次要目標(biāo)函數(shù)分層進(jìn)行優(yōu)化，對后者優(yōu)化時必須保持前者在允許范圍內(nèi)變化。多目標(biāo)優(yōu)化方法的比較主要步驟1、將多目標(biāo)優(yōu)化問題中選出主要目標(biāo)作為單目標(biāo)，其余目標(biāo)以約束形式出現(xiàn)，保證其不致太差。2、用單目標(biāo)優(yōu)化方法求解，得出原多目標(biāo)問題的近似優(yōu)化解。1、確定各分目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)系數(shù)；2、各分目標(biāo)函數(shù)乘以權(quán)系數(shù)后相加組成綜合目標(biāo)函數(shù)；3、以此轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題求解作為其優(yōu)化解。1、找出各分目標(biāo)函數(shù)的各自優(yōu)化解；2、構(gòu)造出各分目標(biāo)函數(shù)離各自優(yōu)化解的距離相對值，作為單一目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)作為原問題的優(yōu)化解。以功效系數(shù)的幾何平均值組成綜合目標(biāo)函數(shù)，對它用單目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)，作為原問題優(yōu)化解。1、按重要程度分清主次進(jìn)行排序。2、先對第一重要目標(biāo)函數(shù)按單目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化；3、再對第二重要目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，此時應(yīng)保證前者不變壞，或在允許范圍之內(nèi)。4、重復(fù)上述步驟直至最終分目標(biāo)優(yōu)化解止作為原問題優(yōu)化解。一、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的一般過程1．建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型；選取設(shè)計變量，列出目標(biāo)函數(shù)，給出約束條件。2．選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法；3．編寫計算機(jī)程序；4．準(zhǔn)備必要的初始數(shù)據(jù)并上機(jī)計算；5．對計算機(jī)求得的結(jié)果進(jìn)行必要的分析。1．設(shè)計變量的選擇（1）在充分了解設(shè)計要求的基礎(chǔ)上，應(yīng)根據(jù)各設(shè)計參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響程度認(rèn)真分析主次，盡量減少設(shè)計變量的數(shù)目，以簡化優(yōu)化設(shè)計問題。（2）設(shè)計變量應(yīng)當(dāng)相互獨立。二、建立數(shù)學(xué)模型的基本原則能夠確切反映工程實際問題的基礎(chǔ)上力求簡潔。

（1）最基本的要求是能夠用來評價設(shè)計的優(yōu)劣，同時必須是設(shè)計變量的可計算函數(shù)。（2）對于需要追求多目標(biāo)的情況，應(yīng)當(dāng)對所追求的各項指標(biāo)進(jìn)行細(xì)致的分析，從中選擇最重要最具有代表性的指標(biāo)作為設(shè)計追求的目標(biāo)。（3）若一項工程設(shè)計追求的目標(biāo)是相互矛盾的，常常取其中最主要的指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，而其余的指標(biāo)列為約束條件。（4）在工程實際中，應(yīng)根據(jù)不同的設(shè)計對象，不同的設(shè)計要求靈活的選擇某項指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)。2．目標(biāo)函數(shù)的確定3．約束條件的確定（1）選取約束條件時應(yīng)當(dāng)特別注意避免出現(xiàn)相互矛盾的約束。（2）盡量減少不必要的約束三、數(shù)學(xué)模型的尺度變換1．目標(biāo)函數(shù)的尺度變換目標(biāo)函數(shù)嚴(yán)重非線性，致使函數(shù)性態(tài)惡化，對目標(biāo)函數(shù)作尺度變化，可大大改善性態(tài)。2．設(shè)計變量的尺度變換（1）概念設(shè)計變量在量級上相差很大，在給定的搜索方向上各自的靈敏度也相差很大。靈敏度大的，則搜索變快，否則相反。為了消除這種差別，可以對設(shè)計變量進(jìn)行重新標(biāo)度，使它們成為無量綱和規(guī)格化的設(shè)計變量，并稱這種處理為設(shè)計變量的尺度變換。（2）具體做法給原設(shè)計變量乘以一個尺度變換因子得到新的設(shè)計變量通常可以簡單地取——原設(shè)計變量的初始值，將帶入原數(shù)學(xué)模型求得最優(yōu)解后，再通過逆變換，即可得到原問題的最優(yōu)點3、約束函數(shù)的規(guī)格化由于約束函數(shù)所表達(dá)的意義不同，使得各約束函數(shù)值在量級上相差很大，對約束函數(shù)進(jìn)行規(guī)格化處理可以避免對設(shè)計的不利。

例如某熱壓機(jī)框架的優(yōu)化設(shè)計中，許用應(yīng)力為[σ]=150MPa，而下橫梁的許用撓度[δ]=0.5mm，約束函數(shù)為：四、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計實例例1：機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

在設(shè)計這根主軸時，有兩個重要因素需要考慮。一是主軸的自重；一是主軸伸出端c點的撓度。

解決：對于普通機(jī)床，不要求過高的加工精度，對機(jī)床主軸的優(yōu)化設(shè)計，以選取主軸的自重最輕為目標(biāo)，外伸端的撓度為約束條件。

當(dāng)主軸的材料選定時，其設(shè)計方案由四個設(shè)計變量決定?？讖絛、外徑D、跨距l(xiāng)及外伸端長度a。由于機(jī)床主軸內(nèi)孔用于通過待加工的棒料，其大小由機(jī)床型號決定。