大學高數(shù)吉米多維奇

2006年數(shù)學二試題分析、詳解和評注一、填空題：1—6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.(1)曲線的水平漸近線方程為1【分析】直接利用曲線的水平漸近線的定義求解即可.【詳解】I+4^inx、.x4-4sinx［一Y1

nm=lim———二-^=5x-2ix>sjr上應5x故曲線的水平漸近線方程為I【評注】本題為基本題型，應熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在，為什么？(2)設函數(shù)fsin/zd/,jr^〔)/(x)=jx1九a,jc-0在jv=0處連續(xù)，則’【分析】本題為已知分段函數(shù)連續(xù)反求參數(shù)的問題.直接利用函數(shù)的連續(xù)性定義即可.【詳解】由題設知，函數(shù)/3)處連續(xù)，則又因為所以【詳解】由題設知，函數(shù)/3)處連續(xù)，則又因為所以【評注】遇到求分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性問題，一般從定義入手.本題還考查了積分上限函數(shù)的求導，洛必達法則和等價無窮小代換等多個基本知識點，屬基本題型.（3）廣義積分（3）廣義積分【分析】利用湊微分法和牛頓一萊布尼茲公式求解.【詳解】【評注】本題屬基本題型，對廣義積分，若奇點在積分域的邊界，則可用牛頓一萊布尼茲公式求解，注意取極限.(4)微分方程X的通解是p0).【分析】本方程為可分離變量型，先分離變量，然后兩邊積分即可【詳解】原方程等價為y?/，兩邊積分得=iiuf+G，整理得y-■CxcA.(【評注】本題屬基本題型.夕=少（葛v1-xcy1^1_ki一Y夕=少（葛v1-xcy1^1_ki一Y求導(汪意X的函數(shù))，一階微分形式不變性和隱函數(shù)存在定理求解.【詳解】方法一：方程兩邊對求導，得yr-xy'cy又由原方程知.代入上式得方法二：方程兩邊微分，得dy=-e^dr-j：eyd}?，代入x=0,y=1，得(5)設函數(shù)由方程確定，則【分析】本題為隱函數(shù)求導，可通過方程兩邊對X方法二:,，則故【評注】本題屬基本題型?求方程確定的隱函數(shù)在某點處的導數(shù)或微分時，不必寫出其導數(shù)或微分的一般式(6)設矩陣,E為2階單位矩陣，矩陣滿足，則方法二:,，則故【評注】本題屬基本題型?求方程確定的隱函數(shù)在某點處的導數(shù)或微分時，不必寫出其導數(shù)或微分的一般式(6)設矩陣,E【分析】將矩陣方程改寫為AX==B^AXB=(:

的形式，再用方陣相乘的行列式性質進行計算即可.【詳解】由題設，有B(A-E)=2E\H\A-E\=4|B|=W\H\A-E\=4|B|=W【評注】本題關鍵是將其轉化為用矩陣乘積形式表示.類似題2005年考過.二、選擇題：7—14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.(7)設函數(shù)具有二階導數(shù)，且r(x)>o?/v)>o，為自變量尤在點處的增量，j的分別為..小)在點處對應的增量與微分，若

Ar>0，則(A)0<dp<Ay(B)0<Av<dy(C)A>f<dy<0(D)dp<<0[A]【分析】題設條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由知，函數(shù)y-.fU)Ax>0單調增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當時，彼〉山y(tǒng)-.fU)Ax>0，故應選（A）.

【評注】對于題設條件有明顯的幾何意義或所給函數(shù)圖形容易繪出時，圖示法是求解此題的首選方法.本題還可用拉格朗日定理求解：華=/氏十Ax）-/&）=尸（￡）Ax%<^<x0+Ax因為r（.V）>o，所以CM單調增加，即性WK），又Ax>0則皈廣（吒），即0<dp<Ajh（8）設/⑴是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，￥-0是其第一類間斷點，則是（A）連續(xù)的奇函數(shù).（B）連續(xù)的偶函數(shù)（C）在x-0間斷的奇函數(shù)（D）在間斷的偶函數(shù).【分析】由于題設條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設條件的特殊函數(shù)去計算，然后選擇正確選項.【詳解】取則當x黃()時，叫-⑴虹削J?山弓覲(尸-/)_y，而垣0)=0=1買F(x)，所以為連續(xù)的偶函數(shù)，則選項(B)正確，故選(B).【評注】對于題設條件含抽象函數(shù)或備選項為抽象函數(shù)形式結果以及數(shù)值型結果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效.設函數(shù)可微，紀)=/"偵(1)=1,航1)=2，則N)等于(A)It】3—1.(B)一hi3—L(C)—1n2—1.(D)li】2—1.[C]【分析】題設條件兩邊對求導，再令X-1即可.【詳解】恢)=8響"兩邊對求導，得h\x)=cl+^]gf(x)上式中令-V-1，又枷)=1:必1)=2，可得1=擴（1）=廿*官'⑴=2甘*司ng（[}=_m2「1，故選（C）.【評注】本題考查復合函數(shù)求導，屬基本題型.（10）函數(shù)了=8+*口+E（A）滿足的一個微分方程是yK-y'-2v=3jccj.（A）（B）(C)y-V-2y=3/.(C)yn+yr-2y-3xex.（D）+，*D]【分析】本題考查二階常系數(shù)線性非齊次微分方程解的結構及非齊次方程的特解與對應齊次微分方程特征根的關系.故先從所給解分析出對應齊次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齊次項形式.【詳解】由所給解的形式，可知原微分方程對應的齊次微分方程的特征根為A=1./^=—2.則對應的齊次微分方程的特征方程為（4-IX人+2）=0,即；2—2=0故對應的齊次微分方程為

yn+yr-2y-0為原微分方程的一個特解，而2=yn+yr-2y-0為特征單根，故原非齊次線性微分方程右端的非齊次項應具有形式ceC為常數(shù)）.所以綜合比較四個選項，應選（D）.【評注】對于由常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解反求微分方程的問題，關鍵是要掌握對應齊次微分方程的特征根和對應特解的關系以及非齊次方程的特解形式..（11）設為連續(xù)函數(shù)，則dHf(rcos8、rsin0)rdr等于(A)(B)(C)(D)F（s，）心

【分析】本題考查將坐標系下的累次積分轉換為直角坐標系下的累次積分，首先由題設畫出積分區(qū)域的圖形，然后化為直角坐標系下累次積分即可.(D)F（s，）心【詳解】由題設可知積分區(qū)域D如右圖所示，顯然是￥型域，則原式二F虬七皿時故選（C）.【評注】本題為基本題型，關鍵是首先畫出積分區(qū)域的圖形.(12)設六與wS）均為可微函數(shù)，且與面）*0，已知3："仆）是在約束條件例工J)二0下的一個極值點，下列選項正確的是若廠(標為)二0，則f；wm二。若九'(利頃)=0，則⑶成片。.若fCwh)《o，則#(部為)二。若fCw’Jwo，則.[D]【分析】利用拉格朗日函數(shù)FG*肉2)=f(x,y)+/L例＞,y)在(■wM)(%

是對應的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】作拉格朗日函數(shù)F0>U）=f（x,y）+義心y）【詳解】，并記對應的參數(shù)的值為，則，即《（五況）+4"（如坊）=0,￡（%為）+4序；（％劉）二。消去，得工（而必*;伉夙）-*（%丸）衫（如知二0整理得.（因為"（為而整理得.（因為"（為而0），，則.故選（D）.【評注】本題考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法.(13)設均為維列向量，矩陣，下列選項正確的是(A)若線性相關，則Aarj4a?,---tj4av線性相關.(B)若線性相關，線性無關.(C)線性無關，線性相關.若線性無關，則Aa^Aa^'^Aax線性無關.[A]【分析】本題考查向量組的線性相關性問題，利用定義或性質進行判定.【詳解】記。二(皿皿，…偵J，則(AalfAa2,-,AaJ-AB所以，若向量組線性相關，則，從而，向量組Aa^Aa2^'^Aax也線性相關，故應選(A).【評注】對于向量組的線性相關問題，可用定義，秩，也可轉化為齊次線性方程組有無非零解進行討論.(14)設A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將

的第1列的的第1列的倍加到第2列得，記，則B-I「110、P=010(A)C=P~]AP(B)C=PAP~]C=PJAPC=PAPt(C)(C=PJAPC=PAPt【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關系以及初等矩陣的性質可得.【詳解】由題設可得0'，0'而r1-1k二。1〔）k。。1J，則有C=PAP~}.故應選（B）.【評注】（1）每一個初等變換都對應一個初等矩陣，并且對矩陣A施行一個初等行（列）變換，相當于左（右）乘相應的初等矩陣.（2）牢記三種初等矩陣的轉置和逆矩陣與初等矩陣的關系.三、解答題：15-23小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）試確定偵,（：的值，使得cx（l"母+匚￥）=1+如ho（x3），其中是當x-0時比高階的無窮小.【分析】題設方程右邊為關于的多項式，要聯(lián)想到的泰勒級數(shù)展開式，比較的同次項系數(shù)，可得ARC的值.【詳解】將的泰勒級數(shù)展開式C1=1+工+=+壬+心，）代入題設等式得一[I+Z?x+Cr2]—I+整理得比較兩邊同次幕系數(shù)得，解得【評注】題設條件中含有高階無窮小形式的條件時，要想到用麥克勞林公式或泰勒公式求解.要熟練掌握常用函數(shù)的泰勒公式.（16）（本題滿分10分）

arcsin【分析】題設積分中含反三角函數(shù)，利用分部積分法.【詳解】=\'l-e3T，則，所以【評注】被積函數(shù)中為兩種不同類型函數(shù)乘積且無法用湊微分法求解時，要想到用分部積分法計算；對含根式的積分，要想到分式有理化及根式代換.（17）（本題滿分10分）設區(qū)域

。=｛（時），計算二重積分。=｛（時）【分析】由于積分區(qū)域關于軸對稱，故可先利用二重積分的對稱性結論簡化所求積分，又積分區(qū)域為圓域的一部分，則將其化為極坐標系下累次積分即可.【詳解】積分區(qū)域如右圖所示.因為區(qū)域關于軸對稱，函數(shù)是變量的偶函數(shù)，函數(shù)是變量的奇函數(shù).則駐土7岫』細ggd或占卜號

!!擊岫=。，故.【評注】只要見到積分區(qū)域具有對稱性的二重積分計算問題，就要想到考查被積函數(shù)或其代數(shù)和的每一部分是否具有奇偶性，以便簡化計算.(本題滿分12分)設數(shù)列化｝滿足0<-5,二sin后g1,2,…)證明lim吒存在，并求該極限；計算【分析】一般利用單調增加有上界或單調減少有下界數(shù)列必有極限的準則來證明數(shù)列極限的存在.（II）的計算需利用（I）的結果.【詳解】（I）因為0<為<笠，則0<習二sin玉<1可推得0<=sinx}i壬1.〈江m二1,2■…，則數(shù)列有界.于是上%'，（因當x>0時?sicx<jt）,則有，可見數(shù)列單調減少，故由單調減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設linixn-1，在Lt二血五兩邊令，得/-sin/

，解得,即1-()1imxft—，解得,即1-()1imxft—0(II)因，由（I）知該極限為型,令f=町，則HT0，而（利用了sillA的麥克勞林展開式）故【評注】對于有遞推關系的數(shù)列極限的證明問題，一般利用單調有界數(shù)列必有極限準則來證明.(本題滿分10分)證明：當時，biihi8+2cm8十充占>"sing十2cofs1十.【分析】利用“參數(shù)變易法”構造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調性證明.【詳解】令f(jc)=+2coax+?sinw-2eusa-0<a?一—"用，則/^r)-sinx+xcosx-2sin,Y+^=xcosx-sinx+^，且,n>)=o.又jp)-cosx-xsinx-cosj：--xsinx<0，(0<x<dtf7xsinx>0)，故當l)<a<x^b<n-

時，廣⑴單調減少，即，則單調增加，于是，即/FsinA+2cos/?+zr^>osmCT-r2cos?+zra時，廣⑴單調減少，即，則單調增加，于是，即【評注】本題也可用拉格朗日中值