理論力學-12動能定理

1動力學普遍定理的研究方法：動力法（矢量法）：動量定理和動量矩定理能量法：動能定理能量法的應用機械運動機械運動和其它形式運動的轉換動能定理：與運動有關的物理量動能與作用力有關的物理量功、功率2§12–1功和功率

§12–2動能

§12–3動能定理

§12–4動力學普遍定理及綜合應用第十二章動能定理3動力學12-1功和功率

力沿路程累積效應的度量。力的功是代數(shù)量。1．常力的功一、力的功s時,正功；時,功為零；時,負功。單位：焦耳（Ｊ）；42.變力的功

力在曲線路程中做功為:（自然坐標表達式）（矢量式）（直角坐標表達式）動力學元功：aFMM'drdsrr'yxzM1M2yxzO53.合力的功

質(zhì)點M受n個力作用,合力為則合力的功。在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。動力學即：6二、常見力的功

1．重力的功質(zhì)點系：

質(zhì)點系重力的功：等于質(zhì)點系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點的路徑無關。動力學質(zhì)點：重力在三軸上的投影：72．彈性力的功動力學k：彈簧的剛度系數(shù),表示使彈簧發(fā)生單位變形時所需的力.單位：N/m,N/cm。彈簧原長l0，在彈性極限內(nèi):rMl0F82．彈性力的功

彈性力的功只與彈簧的起始變形和終止變形有關，而與質(zhì)點運動的路徑無關。動力學rMl0F9作用于轉動剛體上力的功等于力矩的功。若M=常量,則動力學如果作用力偶M,且力偶的作用面垂直轉軸。

3．作用于轉動剛體上的力的功，力偶的功

設在繞z

軸轉動的剛體上M點作用有力，計算剛體轉過一角度時力所作的功。M點軌跡已知。10法向壓力，摩擦力作用于瞬心C處，而瞬心的元位移(2)圓輪沿固定面作純滾動時，滑動摩擦力的功4．摩擦力的功FN=常量時,W=–f′FNs,與質(zhì)點的路徑有關。動力學(1)動滑動摩擦力的功115．質(zhì)點系內(nèi)力的功只要A、B兩點間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。不變質(zhì)點系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等于零。動力學126．理想約束反力的功

約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。（1）

光滑面約束（2）固定鉸支座、活動鉸支座和向心軸承（3）剛體沿固定面作純滾動（4）光滑鉸鏈（中間鉸）（5）柔索約束（不可伸長的繩索）

動力學拉緊時，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。drAA13三、功率力的功率：力矩的功率：功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。動力學

力在單位時間內(nèi)所做的功（它是衡量機器工作能力的一個重要指標）。功率是代數(shù)量，并有瞬時性。14§12-2動能

動能是由于物體運動而具有的能量，是機械運動強弱的又一種度量。動力學瞬時量,與速度方向無關的正標量。單位：J。

對于任一質(zhì)點系：（為第i個質(zhì)點相對質(zhì)心的速度）柯尼希定理二、質(zhì)點系的動能一、質(zhì)點的動能15柯尼希定理：質(zhì)點系的動能等于質(zhì)點系質(zhì)量集中在質(zhì)心處的動能與相對質(zhì)心的動能之和。動力學16（P為速度瞬心）1．平動剛體2．定軸轉動剛體3．平面運動剛體動力學三、剛體的動能17§12-3動能定理一、質(zhì)點的動能定理動能定理的微分形式將上式沿路徑積分，可得動能定理的積分形式動力學兩邊點乘:

18對質(zhì)點系中的一質(zhì)點：質(zhì)點系動能定理的微分形式質(zhì)點系動能定理的積分形式在理想約束的條件下，質(zhì)點系的動能定理可寫成以下的形式動力學對整個質(zhì)點系，有二、質(zhì)點系的動能定理將上式沿路徑積分，可得19三、功率方程

動力學由

的兩邊同除以dt得功率方程任一瞬時動能對時間的導數(shù)等于主動力的功率。做功的摩擦力可視為主動力，但摩擦力做功為負。20三、功率方程

動力學分析：起動階段（加速）：即制動階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即機器穩(wěn)定運行時，機械效率：是評定機器質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標之一。21[例1]

圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M（常量）的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。（繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止。）動力學解：取系統(tǒng)為研究對象受力分析：只畫主動力和做功的摩擦力。22運動分析：確定一基本未知量（速度或角速度），求其它運動量與基本未知量的關系。動力學vC選取適當形式的動能定理計算動能、功、功率并求基本未知量：求速度、角速度，初始靜止，兩個時刻。求加速度、角加速度，沒有明確時刻。23動力學vC24動力學求其它未知量（加速度或角加速度）：25例2圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設彈簧常數(shù)k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉到水平位置OA'，在鉛直位置時的角速度至少應為多大？解：研究OA桿由動力學26例3行星齒輪傳動機構,放在水平面內(nèi)。動齒輪半徑r,重P,視為均質(zhì)圓盤;曲柄重Q,長l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉動;求曲柄的角速度(以轉角的函數(shù)表示)和角加速度。動力學解：取整個系統(tǒng)為研究對象根據(jù)動能定理，得將式對t求導數(shù)，得27例4在圖示機構中，已知：純滾動的勻質(zhì)輪與物A的質(zhì)量均為m，輪半徑為r，斜面傾角為，物A與斜面間的動滑動摩擦系數(shù)為f′，不計桿OA的質(zhì)量，試求輪心O點的加速度。AOmgmgFf解：選系統(tǒng)為研究對象用功率方程vawO動力學28§12-4動力學普遍定理及綜合應用動力學動力學普遍定理動量定理動量矩定理動能定理質(zhì)心運動定理定軸轉動微分方程守恒定律矢量形式標量形式微分形式積分形式功率方程動量守恒動量矩守恒質(zhì)心運動守恒平面運動微分方程29根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當?shù)亩ɡ砬蠼猓ǜ鞣N守恒情況的判斷，相應守恒定理的應用。避開那些無關的未知量，直接求得需求的結果。對比較復雜的問題，能根據(jù)需要選用兩、三個定理聯(lián)合求解。動力學動力學普遍定理提供了解決動力學問題的一般方法。動力學普遍定理的綜合應用：求解過程中,要正確進行運動分析,提供正確的運動學補充方程。

30動力學

[例1]

基本量計算（動量，動量矩，動能）。ppp動力學普遍定理的綜合應用舉例31

[例2]

兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點高度為h，求鉸C到達地面時的速度。動力學動力學普遍定理的綜合應用舉例PP解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開。選整體研究對象。且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。FNAFNBA、B分別為AC、BC的速度瞬心。vCvBvAwACwBC32動力學動力學普遍定理的綜合應用舉例PPFNAFNB動能定理:wACwBCvC/2vC/233解：取桿為研究對象由質(zhì)心運動定理求約束反力：動力學例3

均質(zhì)桿OA，重P，長l，繩子突然剪斷。求該瞬時，角加速度及O處反力。由定軸轉動剛體微分方程求角加速度：CaaCtxy34例4兩根均質(zhì)直桿組成的機構及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計，如機構在圖示位置從靜止釋放，求當OA桿轉到鉛垂位置時，AB桿B端的速度。動力學解：取整個系統(tǒng)為研究對象，用動能定理。vv設AB的質(zhì)量為m.35

取系統(tǒng)為研究對象，桿作平動，圓柱體作平面運動。設任一瞬時，桿的速度為v，則圓柱體質(zhì)心速度為v/2，角速度例5

質(zhì)量為m的桿置于兩個半徑為r

，質(zhì)量為m/2的實心圓柱上，圓柱放在水平面上，求當桿上加水平力P時，桿的加速度。設接觸處都有摩擦，而無相對滑動。動力學解：用動能定理求解。由功率方程：36解法二：用動量矩定理求解取系統(tǒng)為研究對象動力學根據(jù)動量矩定理：FNAFNAFfAFfBO37[例6]

重150N的均質(zhì)圓盤與重60N、長24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置B'點時的速度及支座A的約束反力。解：（1）取圓盤為研究對象，圓盤平動。動力學FBxFBy38（2）用動能定理求速度。

代入數(shù)據(jù)，得動力學G1G1G2G2wvB'初始時:T1=0最低位置時：取系統(tǒng)研究。39（3）用動量矩定理求桿的角加速度a

。由于所以a＝0。動力學桿質(zhì)心

C的加速度：盤質(zhì)心加速度：（4）由質(zhì)心運動定理求支座反力。研究整個系統(tǒng)。代入數(shù)據(jù)，得FAxFAyw40相對質(zhì)心動量矩守恒定理+動能定理+動量矩定理+質(zhì)心運動定理。可用對積分形式的動能定理求導計算a，但要注意需取桿AB在一般位置進行分析。動力學41例7勻質(zhì)桿AB，質(zhì)量為m，長為l，CD＝d，與鉛垂墻間夾角為q，D棱是光滑的，在圖示位置將桿突然釋放，試求剛釋放時，質(zhì)心C的加速度和D處的反力。ABqDC動力學42ABqDC解：選AB為研究對象受力分析運動分析：AB作平面運動，釋放瞬時角速度為零，即AB作瞬時平動。mgF