江西省2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期調(diào)研考試試題三文含解析

江西省2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期調(diào)研考試試題三文含解析江西省2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期調(diào)研考試試題三文含解析PAGE26-江西省2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期調(diào)研考試試題三文含解析江西省2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期調(diào)研考試試題（三）文（含解析)一、選擇題1。若集合，,則中元素的個(gè)數(shù)為（)A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算得到，進(jìn)而可得答案?！驹斀狻恳?yàn)榛?，所以，故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題。2。已知是純虛數(shù)，則（）A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)后，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式可得答案.【詳解】，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以，所以，故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的概念,考查了復(fù)數(shù)的模長公式，屬于基礎(chǔ)題.3。若且，則下列結(jié)論恒成立的是(）A. B. C. D。【答案】D【解析】【分析】對于選項(xiàng),分別取滿足且的特殊值，進(jìn)行排除；由展開可得選項(xiàng)正確.【詳解】取，，可排除A，取，，可排除B，取，，可排除C,由可得，展開得，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了特值排除法，考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。4.已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則（）A。 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將圓心的坐標(biāo)代入漸近線可得結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)閳A關(guān)于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，所以，，故選：D。【點(diǎn)睛】本題考查了圓的一般方程，考查了圓的對稱性，考查了雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.5.已知是單位向量，且，則（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知等式兩邊平方,結(jié)合單位向量可得，再根據(jù)計(jì)算可得結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)槭菃挝幌蛄?，，所?所以，所以所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查了求平面向量的模,屬于基礎(chǔ)題。6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,，則（）A B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的項(xiàng)的下標(biāo)的性質(zhì)可得,再根據(jù)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意得，可得，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的項(xiàng)的下標(biāo)的性質(zhì),考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題。7.新冠肺炎病毒可以通過飛沫方式傳染,已知甲通過檢測確診為新冠肺炎，經(jīng)過追蹤發(fā)現(xiàn)甲有名密切接觸者，現(xiàn)把這人分為組（一組人，一組人），分別送到個(gè)醫(yī)院進(jìn)行隔離觀察,則在同一個(gè)醫(yī)院的概率為（)A。 B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】列出所有共10種結(jié)果,統(tǒng)計(jì)滿足條件的種數(shù)，得到概率?！驹斀狻堪逊譃榻M（一組人，一組人），結(jié)果有:，,，，，，，,,，共種，在同一個(gè)醫(yī)院的結(jié)果有：，，,，共種，所以所求概率,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力。8。已知函數(shù)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(）A。 B.C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】對分情況討論，依次代入四個(gè)選項(xiàng)中進(jìn)行計(jì)算，可得到結(jié)果.【詳解】解：由，，可得當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，，成立，當(dāng)時(shí)，，,成立，當(dāng)時(shí)，，,成立,所以B正確,由，可知C錯(cuò)誤，由，,可知，D正確，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)和復(fù)合函數(shù)求值問題，考查了分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題。9。已知函數(shù)滿足，則的圖象在處的切線方程為（)A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知構(gòu)建方程求得參數(shù)，進(jìn)而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程?！驹斀狻坑煽傻?，即，所以，，故，則，又因?yàn)椋?所以的圖象在處的切線方程為,故選：A【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，還考查了由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,屬于簡單題.10.《算法統(tǒng)宗》全稱《新編直指算法統(tǒng)宗》，共卷，是中國古代數(shù)學(xué)名著，明朝數(shù)學(xué)家程大位著。書中有這樣一道著名的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大、小和尚各幾??？”現(xiàn)給出該問題中求小僧人數(shù)的算法的程序框圖,則圖中①②可分別填入(）A。； B。；C.； D。；【答案】D【解析】【分析】表示小僧人數(shù)，表示大僧人數(shù)，由已知“大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)”可設(shè)饅頭數(shù)為，則；饅頭共有100個(gè)，即可作為判斷程序結(jié)束的條件?！驹斀狻坑沙绦蚩驁D可知，表示小僧人數(shù)，表示大僧人數(shù)，根據(jù)“大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)"，設(shè)饅頭數(shù)為,則，所以①中填入，當(dāng)時(shí)結(jié)束程序，輸出，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查完善程序框圖的執(zhí)行框與判斷框，屬于簡單題.11.如圖，正三角形為圓錐的軸截面，為的中點(diǎn)，為弧的中點(diǎn),則直線與所成角的余弦值為（）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別取和中點(diǎn)，連接，得到所以就是直線與所成角，設(shè)，在直角中，即可求解.【詳解】如圖所示,取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，所以就是直線與所成角，設(shè),則，,，可得，，則，因?yàn)闉榛〉闹悬c(diǎn)，可得，進(jìn)而可得平面，因?yàn)槠矫?所以,在直角中，可得，即直線與所成角的余弦值為，故選：C。【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及異面直線所成角的求解，其中解答中熟練應(yīng)用圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,熟記異面直線所成角的概念與計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵。12.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè),直線與橢圓在第四象限交于點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為，若，則橢圓的離心率為（）A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】由及可求出即,代入直線的方程求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，A點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程即可利用a、c的齊次式求得離心率.【詳解】由軸可得，,即，點(diǎn)A在直線上，，則,代入橢圓的方程得，所以。故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、橢圓的離心率，屬于中檔題。二、填空題13.若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥慨?dāng)時(shí)，，要的值域?yàn)椋恍铦M足時(shí)，,討論的取值情況,即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí),，若，時(shí),，的值域不是；若，時(shí)，，的值域不是，若，時(shí),，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，所以的取值范圍是。故答案?.【點(diǎn)睛】本題考查已知分段函數(shù)值域求參數(shù)取值范圍問題,考查分類討論的思想,屬于中檔題.14.正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則使的最小的值為______.【答案】【解析】【分析】已知條件化簡可得，即可證得為等比數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式得出結(jié)果.【詳解】由得，即,因?yàn)?所以，,即為等比數(shù)列。所以，，，所以使的最小的值為。故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式中基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。15.已知,若方程在上只有個(gè)不同實(shí)根，則的最小值為______?！敬鸢浮?【解析】【分析】由在的圖象及已知可求出的取值范圍,借助正弦函數(shù)的對稱性推理可得,計(jì)算即可得出結(jié)果?！驹斀狻孔鞒鲈趫D象如圖所示：當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),即時(shí)，，因?yàn)榉匠淘谏现挥袀€(gè)不同實(shí)根時(shí),所以.由三角函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)即時(shí)，關(guān)于對稱。因?yàn)?，所?即。所以，即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力,屬于中檔題.16。在中,，，點(diǎn)在上，且，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，且，則三棱錐的外接球半徑為______。【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)勾股定理可證得,通過補(bǔ)全幾何體可知三棱錐在與直三棱柱有相同的外接球，由正弦定理可求得底面外接圓的半徑，球心是三棱柱上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)，根據(jù)公式即可求得球的半徑?！驹斀狻坑深}意,，由余弦定理可求得,則，又因?yàn)椋瑒t。因?yàn)?，所以三棱錐中，底面,把三棱錐補(bǔ)成三棱柱，則該三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)，由正弦定理可得底面外接圓半徑，又，所以三棱錐外接球半徑.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理在空間幾何體的外接球問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題17.年上半年，隨著新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超過個(gè)國家或地區(qū)宣布進(jìn)人緊急狀態(tài)，部分國家或地區(qū)直接宣布“封國”或“封城”，隨著國外部分活動(dòng)進(jìn)入停擺，全球經(jīng)濟(jì)缺乏活力，一些企業(yè)開始倒閉,下表為年第一季度企業(yè)成立年限與倒閉分布情況統(tǒng)計(jì)表：企業(yè)成立年份20192018201720162015企業(yè)成立年限12345倒閉企業(yè)數(shù)量（萬家）5。284。723.582.702.15倒閉企業(yè)所占比例21.4％19。1%14.5%10。9%8.7%（1）由所給數(shù)據(jù)可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明;（2)建立關(guān)于的回歸方程，預(yù)測年成立的企業(yè)中倒閉企業(yè)所占比例.參考數(shù)據(jù):，，，，相關(guān)系數(shù),樣本的最小二乘估計(jì)公式為，.【答案】（1）詳見解析；（2）；預(yù)測年成立的企業(yè)中倒閉企業(yè)所占比例為【解析】【分析】（1)由題意計(jì)算出相關(guān)的數(shù)據(jù)，代入公式即可得,由相關(guān)系數(shù)的意義即可得解;（2）由題意求出所需數(shù)據(jù)，代入公式求得、后,即可求得線性回歸方程，代入即可預(yù)測年成立的企業(yè)中倒閉企業(yè)所占比例.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)及參考數(shù)據(jù)可得，，，，由可得，所以，所以，因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為,說明與的相關(guān)程度很高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系;(2）由題意，再結(jié)合（1）中數(shù)據(jù)可得，則，所以關(guān)于的回歸方程為；當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測年成立的企業(yè)中倒閉企業(yè)所占比例為?！军c(diǎn)睛】本題考查了相關(guān)系數(shù)的求解與應(yīng)用，考查了線性回歸方程的求解與應(yīng)用,保證運(yùn)算的正確性是解決這類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.18.已知中,角的對邊分別為，且滿足。(1）求的值；（2）若點(diǎn)在邊上,平分角，且，求的值?！敬鸢浮?1）（2）【解析】【分析】（1)由正弦定理，結(jié)合三角恒等變換公式對已知式子進(jìn)行整理得，由,即可求出的值.(2）由角平分線結(jié)合二倍角公式，可求出；由三角形的面積公式，可知，整理后即可知，從而可求出的值?！驹斀狻拷猓?1)由及正弦定理可得,即,因?yàn)?，且，?所以。（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)槠椒纸?，所以，由，可得，，整理?所以?！军c(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，三角形的面積公式,考查了二倍角公式。本題的關(guān)鍵是由正弦定理進(jìn)行邊角互化，對已知式子進(jìn)行整理。本題的難點(diǎn)在于第二問，通過面積列出邊的等量關(guān)系.19.如圖，在三棱柱中，底面,點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，，。（1）求證：平面平面；(2）求三棱錐的體積?！敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接與交于,可證明四邊形為平行四邊形，由面面垂直的性質(zhì)可判定平面，即可由面面垂直的判定證明平面平面；（2）根據(jù)線面平行性質(zhì)可知點(diǎn)到平面的距離相等，結(jié)合及三棱錐體積公式，即可求解?！驹斀狻浚?）證明：設(shè)的中點(diǎn)為,連接與交于，如下圖所示，則點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，則，且.又為的中點(diǎn)，所以,且,所以四邊形平行四邊形，所以，因?yàn)榈酌?，所以平面平面，因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以平面，所以平面.又平面，所以平面平面。(2）由(1）知，所以點(diǎn)到平面的距離相等，所以.由，，可得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平?又的面積，所以，所以三棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的性質(zhì)及判定，等體積法求三棱錐體積的應(yīng)用，應(yīng)用時(shí)注意選擇合適的底和高，屬于中檔題。20.已知拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2）①若，求證：直線過定點(diǎn)；②若是拋物線上與原點(diǎn)不重合的定點(diǎn)，且，求證：直線的斜率為定值，并求出該定值.【答案】（1)（2)①證明見解析②證明見解析，【解析】【分析】（1)聯(lián)立拋物線與直線方程,再根據(jù)二者只有一個(gè)交點(diǎn)可得，即可求解；（2）①設(shè)，，由直線斜率公式代入可得，由直線的斜率公式可得,進(jìn)而將代入直線的方程，化簡后即可求解；②設(shè)，,利用直線斜率公式代入中化簡可得,即，再根據(jù)直線斜率公式求解即可?！驹斀狻拷猓?1）與聯(lián)立得,因?yàn)閽佄锞€與直線只有一個(gè)公共點(diǎn),所以，即,所以拋物線的方程為。（2）①證明:設(shè)，,則,所以，又，所以直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，所以直線過定點(diǎn).②證明:設(shè)，，則,即，所以，則，所以直線的斜率為，因?yàn)闉槎c(diǎn),所以直線的斜率為定值。【點(diǎn)睛】本題考查由直線與拋物線的位置關(guān)系求拋物線方程,考查直線斜率公式的應(yīng)用,考查拋物線中直線恒過定點(diǎn)問題，考查直線斜率的定值問題.21.已知函數(shù).(1）若，討論的單調(diào)性；(2)若,，求證：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2)證明見解析．【解析】【分析】（1）由題意得，,分和兩種情況討論，從而得出結(jié)論；(2）由題意分析，只需證,由得，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值，從而得出證明．【詳解】解：（1)∵，∴，①若，則,當(dāng)時(shí),,是增函數(shù),當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù);②若,即，當(dāng)和時(shí),，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,是減函數(shù);綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，要證，只需證,即證，∵，∴，設(shè)，則,∴在上是增函數(shù)，，，∴,因此成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查計(jì)算能力，考查分類討論思想，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題．22。平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)坐標(biāo)為,在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半