2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)軌跡

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之軌跡（2021年11月）一.選擇題（共9小題）1.（2021?金鳳區(qū)二模）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到A5C的位置，若AC=15cm,那么頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（ ）A.1OncTn B.5ncm C.15ncm D.（2021?鼓樓區(qū)一模）如圖，把直徑為60cm的圓形車輪（。0）在水平地面上沿直線/無滑動地滾動一周，設(shè)初始位置的最低點(diǎn)為P,則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A.當(dāng)點(diǎn)P離地面最高時(shí)，圓心。運(yùn)動的路徑的長為30m7”B.當(dāng)點(diǎn)尸再次回到最低點(diǎn)時(shí)，圓心。運(yùn)動的路徑的長為60ncvnC.當(dāng)點(diǎn)P第一次到達(dá)距離地面15cm的高度時(shí)，圓心O運(yùn)動的路徑的長為75ncmD.當(dāng)點(diǎn)P第二次到達(dá)距離地面30a”的高度時(shí)，圓心。運(yùn)動的路徑的長為45ircm（2021?瀘縣模擬）如圖，已知Rt/XABC中，N4BC=90°,ZBAC=30°,BC=2,將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△4FC的位置，且A、C、8三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)A經(jīng)過的路線的長度是（ ）B'

B'TOC\o"1-5"\h\zA.8 B.4J3 C.絲n D.3 3（2021?鞍山二模）如圖，拋物線y=-/-右+3與》軸交于4,C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ〃4B交y軸于Q,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著直線AB上方拋物線運(yùn)動到點(diǎn)B,則點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長為（ ）A.S B.9 C.3 D.92 4 2（2021?長興縣模擬）如圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)械設(shè)備，磨盤半徑OM=20c/n,把手MQ=15c/n,點(diǎn)O,M,。在同一直線，用長為135cm的連桿將點(diǎn)Q與動力裝置P相連（NPQM大小可變）,點(diǎn)P在軌道AB上來回滑動并帶動磨盤繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動，OA_L4B,OA=SOcm.若磨盤轉(zhuǎn)動1周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑過的路徑長為（ ）A.90cm B.150cm C.180cm D.lOncm（2021?洪山區(qū)校級模擬）如圖，OO的直徑AB=12,弦CO垂直平分半徑04,動點(diǎn)Af從點(diǎn)C出發(fā)在優(yōu)弧C8。上運(yùn)動到點(diǎn)。停止，在點(diǎn)M整個(gè)運(yùn)動過程中，線段AM的中點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為（ ）A.3n4n57T6nA.3n4n57T6n（2021?永嘉縣校級模擬）圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)械設(shè)備，磨盤半徑0M=20c7〃，把手MQ=15c/n,點(diǎn)O,M,。成一直線，用長為135cm的連桿將點(diǎn)。與動力裝置P相連（NPQM大小可變），點(diǎn)P在軌道AB上滑動并帶動磨盤點(diǎn)。轉(zhuǎn)動，0ALA8,OA=80c/m.若磨盤轉(zhuǎn)動100周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑動的路徑長為（ ）A.1A.180/77B.90mC.C.200〃?D.(107473■50)m8.（2021?海城市8.（2021?海城市模擬）如圖,。。的半徑為1,弦8cAB,BC在圓心O的兩側(cè)，求AC上有一動點(diǎn)。，AE_LBO于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，則點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為（ ）5 12經(jīng)過的路徑長為（ ）5 12 129.（2021?涕陽市一模）如圖，A（-1,1）,8（-1,4）,C（-5,4）,點(diǎn)尸是aABC邊上一動點(diǎn)，連接OP,以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作直角三角形，其中NOQP=90°,NPOQ=30°,當(dāng)點(diǎn)尸在△ABC的三條邊上運(yùn)動一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為（ ）

二.填空題（共7小題）（2021?清遠(yuǎn)模擬）如圖，AB是OO的直徑，M、N是金（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是余上一動點(diǎn)，NACB的角平分線交。。于點(diǎn)。，NBAC的平分線交CO于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)N時(shí)，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動路徑長的比是.D（2021春?東臺市月考）如圖，已知AB=12,點(diǎn)C,。在A8上，且AC=OB=2,點(diǎn)尸是線段C。上一動點(diǎn)，以AP、8P為斜邊在AB的同側(cè)畫等腰和等腰Rtz^PBF,點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)尸由點(diǎn)C移動到點(diǎn)。時(shí),EF的中點(diǎn)G移動的路徑長為.（2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，把一個(gè)含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△4B1C,已知BC=2,則在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長為.A（2021?江都區(qū)模擬）如圖，拋物線丫二22-2一旦的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A,B,D,3 3 3頂點(diǎn)為E,以AB為直徑畫半圓交y軸正半軸交于點(diǎn)C,圓心為M,P是半圓上的一動點(diǎn),連接EP,N是PE的中點(diǎn).當(dāng)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長是.（2021?江北區(qū)模擬）如圖，。。的半徑為\,弦AB=亞，AC=BC?點(diǎn)P為劣弧AC上一個(gè)動點(diǎn)，延長8P至點(diǎn)Q,使BP?BQ=AB2,當(dāng)點(diǎn)。由點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動路徑長為.（2021?杭州模擬）如圖，。。的半徑為5,弦A8=6,弦4<7_1_弦8￡>,點(diǎn)P為C。的中點(diǎn)，若點(diǎn)。在圓上逆時(shí)針運(yùn)動的路徑長為則點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為3

（2021春?南涪區(qū)期末）如圖，已知有一張正方形紙片ABCD,邊長為9cm,點(diǎn)E,產(chǎn)分別在邊CD,AB±,CE=2cm.現(xiàn)將四邊形BCE/沿折疊，使點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)B,,C,上當(dāng)點(diǎn)6恰好落在邊AO上時(shí)，線段BF的長為c/n；在點(diǎn)尸從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A的過程中，若邊FB與邊AD交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G相應(yīng)運(yùn)動的路徑長為cm.三.解答題（共4小題）（2021秋?婺城區(qū)校級月考）圖1是小李在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)情景.圖2是小李鍛煉時(shí)上半身由EN位置運(yùn)動到與地面垂直的EM位置時(shí)的示意圖.已知BC=0.64米，40=0.24米，a=18".（參考數(shù)據(jù)：sin18°-0.31,cosl8°*0.95,tan18°g0.32）（1）求A8的長（精確到0.01米）；（2）若測得EN=0.8米，試計(jì)算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動到M點(diǎn)的路徑弧MN的長度.（結(jié)果保留n） 圖1 圖2（2021?長沙模擬）如圖，已知在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13,點(diǎn)、E是邊AB上一動點(diǎn)，ERLAC于點(diǎn)F,EO_LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)G為尸。的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形C￡>EF是矩形；(2)當(dāng)點(diǎn)E由點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動路徑長.(2021?金華模擬)桔棒俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1,是我國古代農(nóng)用工具，桔棒始見于(墨子?備城門)，是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械.如圖2所示的是桔棒示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，48是杠桿，且A8=5.4米，OA：08=2：1.當(dāng)點(diǎn)4位于最高點(diǎn)時(shí)，ZAOM=\21°；當(dāng)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)54.5°到達(dá)最低點(diǎn)4.(結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin37°40.6,sin17.5°七0.3,tan37°-0.8)(1)求此時(shí)水桶8所經(jīng)過的路徑長；(2)求此時(shí)水桶8上升的高度.(2020秋?金寨縣期末)如圖，在平行四邊形488中，AB=2,BC=4,ZABC=120將平行四邊形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(00<a<90")得到平行四邊形BEFG.(1)求點(diǎn)B到的距離；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在AO邊上時(shí)，求點(diǎn)力經(jīng)過的路徑長.2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之軌跡（2021年11月）參考答案與試題解析選擇題（共9小題）（2021?金鳳區(qū)二模）如圖，一塊含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到48C的位置，若AC=15cm,那么頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（ ）A.\0ncm B.5ucm C.15ncm D.20ncm【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【專題】計(jì)算題：動點(diǎn)型；應(yīng)用意識.【分析】利用互補(bǔ)計(jì)算出NACA'=120°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑為以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑，圓心角為120°的弧長，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算.【解答】解：；/ACB=60°,AZACA'=1800-ZACB=120°,,頂點(diǎn)A從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長=12。?兀T5=]0n（ctn）.180故選：A.【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了弧長公式：解題的關(guān)鍵是理解題意，記住弧長公式/=史紅.180（2021?鼓樓區(qū)一模）如圖，把直徑為60c/n的圓形車輪（。。）在水平地面上沿直線/無滑動地滾動一周，設(shè)初始位置的最低點(diǎn)為尸，則下列說法錯(cuò)誤的是（A.當(dāng)點(diǎn)P離地面最高時(shí)，圓心。運(yùn)動的路徑的長為30nc,"B.當(dāng)點(diǎn)P再次回到最低點(diǎn)時(shí)，圓心。運(yùn)動的路徑的長為60ncmC.當(dāng)點(diǎn)尸第一次到達(dá)距離地面15cm的高度時(shí)，圓心。運(yùn)動的路徑的長為7.5wtmD.當(dāng)點(diǎn)P第二次到達(dá)距離地面30cm的高度時(shí)，圓心O運(yùn)動的路徑的長為45ncm【考點(diǎn)】軌跡.【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；應(yīng)用意識.【分析】圓心。運(yùn)動的路徑等于圓上的點(diǎn)滾動的距離，利用弧長公式即可得到答案.【解答】解：直徑為60tro的圓，周長為A、當(dāng)點(diǎn)尸離地面最高時(shí)，圓心。運(yùn)動的路徑的長為60nX?=30n(on),故A不符360合題意；B、當(dāng)點(diǎn)P再次回到最低點(diǎn)時(shí)，圓心。運(yùn)動的路徑的長即是圓的周長60ncm,故8不符合題意；C、當(dāng)點(diǎn)P第一次到達(dá)距離地面15cm的高度時(shí)，圓上的點(diǎn)滾動的距離是60°圓心角所對的弧長，即60nx型_=10n(cm),故C符合題意；360￡＞、當(dāng)點(diǎn)P第二次到達(dá)距離地面30c,”的高度時(shí)，圓上的點(diǎn)滾動的距離是270°圓心角所對的弧長，即60Ttx2Z9=45tt(cm),故。不符合題意.360故選：C.【點(diǎn)評】本題考查圓的弧長計(jì)算，理解圓心O運(yùn)動的路徑等于圓上的點(diǎn)滾動的距離是解題的關(guān)鍵.(2021?瀘縣模擬)如圖，已知RtZ\ABC中，NABC=90°,ZBAC=30°,BC=2,將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ABC的位置，且A、C、9三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)A經(jīng)過的路線的長度是( )

A'A'A.8 B.4J3 C.絲n D.&ir3 3【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【專題】幾何圖形；推理能力.【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)A經(jīng)過的路線是弧長，計(jì)算出半徑和圓心角即可.【解答】解：RtZ\4BC中，NABC=90°,VZBAC=30°,BC=2,：.ZACB=60°,AC=2BC=4,???4、C、B,三點(diǎn)在同一條直線上，AZACA'=120°,由弧長公式可知：點(diǎn)A經(jīng)過的路線長度為：120XHX4J_180 3故選：D.【點(diǎn)評】本題是以直角三角形為背景的旋轉(zhuǎn)，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及弧長公式，求出半徑和圓心角是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.（2021?鞍山二模）如圖，拋物線y=2x+3與x軸交于A,C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ〃48交y軸于Q,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著直線AB上方拋物線運(yùn)動到點(diǎn)B,則點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長為（ ）VaA.S B.9 C.3 D.92 4 2【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與X軸的交點(diǎn)；軌跡.【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.【分析】分別求出點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB,P。的解析式，再求出它們與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題.【解答】解：對于y--W-2x+3,令x=0,則y=3,：.B(0,3),令y=0,貝！Ix=-3或1,?點(diǎn)4在點(diǎn)C的左側(cè)，...A(-3,0),設(shè)AB所在直線解析式為y=kx+b,將A、8點(diǎn)代入得：卜3k+b=0,lb=3解得：0=1,b=3二直線AB的解析式為：y=x+3,?JPQ//AB,.,.設(shè)PQ的解析式為：y=x+a,,/點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長是直線PQ經(jīng)過拋物線的切點(diǎn)與)，軸的交點(diǎn)和點(diǎn)B的距離的2倍,方程-7-2x+3=x+a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，AA=9-4(a-3)=0,解得：a=21,4

：.Q(0,21),4當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長為2X(-^-3)=.1.故選：D.【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與直線的交點(diǎn)問題，點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長是直線尸。經(jīng)過拋物線的切點(diǎn)與y軸的交點(diǎn)和點(diǎn)B的距離的2倍是解題的關(guān)鍵.5.(2021?長興縣模擬)如圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)械設(shè)備，磨盤半徑OM=20cm,把手MQ=15c?n,點(diǎn)O,M,Q在同一直線，用長為135cm的連桿將點(diǎn)Q與動力裝置P相連(NPQM大小可變)，點(diǎn)P在軌道AB上來回滑動并帶動磨盤繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動，OALAB,OA=SOcm.若磨盤轉(zhuǎn)動1周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑過的路徑長為( )D.7D.70nc/n【考點(diǎn)】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【專題】計(jì)算題；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力：應(yīng)用意識.【分析】連接OP,求出OP的取值范圍，再求出用的取值范圍，即可得結(jié)論.【解答】解：由題意可知OQ=OM+MQ=35c?n,PQ=135cm,當(dāng)Q、O、尸三點(diǎn)共線且Q在線段OP左上方延長線上時(shí)，OP取得最小值，此時(shí)OP=PQ-MQ-0M=135-15-20=100c/m；當(dāng)Q、0、尸三點(diǎn)共線且。在右下方線段OP上時(shí)，。尸取得最大值，此時(shí)OP=PQ+MQ+OM=135+15+20=170cm.：OAJ_AP,OA=80cw,①當(dāng)op=170c,”時(shí)，^=7oP2-OA2=V1702-802=I50(cm);②當(dāng)OP=100a”時(shí)，4尸=V]0()2.go2=60(cm).?.,每轉(zhuǎn)一周，AP從最小值到最大值再到最小值，二點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為：（150-60）X2=18O（cm）.故選：C.【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，勾股定理，找出AP的最小值和最大值是解題的關(guān)鍵.（2021?洪山區(qū)校級模擬）如圖，的直徑AB=12,弦CO垂直平分半徑OA,動點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)在優(yōu)弧上運(yùn)動到點(diǎn)O停止，在點(diǎn)M整個(gè)運(yùn)動過程中，線段AM的中點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為（ ）A.3n B.41T C.5n D.67r【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理：軌跡.【專題】動點(diǎn)型；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.【分析】如圖，連接。C,設(shè)CO交AB于點(diǎn)E.首先證明在點(diǎn)M整個(gè)運(yùn)動過程中，線段AM的中點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是圖中紅線，利用弧長公式求解即可.【解答】解：如圖，連接OC,設(shè)C￡＞交AB于點(diǎn)￡垂直平分線段OA,：.CA=CO,'：OC=OA,；.AC=OC=OA,△AOC是等邊三角形,.".ZCA￡=60",

當(dāng)點(diǎn)M與C重合時(shí)，連接PE,OP,'：PA=PM,J.OPLAM,：.ZAPO=90°,'：AE=EO,.?."=』OA=3,2'：PE=AE=3,ZM￡=60",...△B4E是等邊三角形，...NAEP=60°,在點(diǎn)M整個(gè)運(yùn)動過程中，線段AM的中點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是圖中紅線，運(yùn)動路徑的長=.240?！?=如.180故選：B.【點(diǎn)評】本題考查軌跡，弧長公式，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.C.200m（2021?永嘉縣校級模擬）圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)械設(shè)備，磨盤半徑OM=20a",把手MQ=15c/n,點(diǎn)O,M,。成一直線，用長為135cm的連桿將點(diǎn)Q與動力裝置P相連（NPQM大小可變），點(diǎn)P在軌道48上滑動并帶動磨盤點(diǎn)。轉(zhuǎn)動，OALAB,OA=80cw.若磨盤轉(zhuǎn)動100周，則點(diǎn)尸在軌道AB上滑動的路徑長為（C.200mD.(IOa/473-50)m【考點(diǎn)】軌跡.【專題】動點(diǎn)型；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.【分析】連接0尸，求出OP的取值范圍.再求出用的取值范圍，可得結(jié)論.【解答】解：連接0P.圖2由題意OQ=35o〃，BQ=135cm,100cmWOPS170o〃，當(dāng)OP=170cm時(shí)，9：OA.LAP,OA=8(kvn,.?.AP=^Qp2_gA2=^17q2.802=15°(的)，當(dāng)OP=100c機(jī)時(shí)，AP=^^QQ2—gQ2—60(cm),???600〃<"<150皿???磨盤轉(zhuǎn)動100周，則點(diǎn)P在軌道AB上滑動的路徑長=100X2X(150-60)=18000(cm)=180(/n),故選：A.【點(diǎn)評】本題考查軌跡，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.TOC\o"1-5"\h\z(2021?海城市模擬)如圖，。0的半徑為1,弦AB=亞,BC=g,AB,8C在圓心O的兩側(cè)，求京上有一動點(diǎn)。，AELBO于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，則點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為( )A.3n B.Sir C. D.5 12 12【考點(diǎn)】勾股定理：垂徑定理：軌跡.【專題】數(shù)形結(jié)合；推理能力.【分析】根據(jù)4ELB。于點(diǎn)E可知，點(diǎn)E在AB為直徑的圓上運(yùn)動，然后由。的位置確定E的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解：取AB的中點(diǎn)K,作AQLBC于。，作。GLBC于G,在RtZ\BOG中，NOGB=9Q°,'：OB=1,BG=-LBC=^,cosZOBG=OB2：.ZOBG=30°,同理NABO=45°,/.ZABQ=15°,'：AE±BD,...點(diǎn)E在以K為圓心，4K為半徑的圓上,當(dāng)。與C重合時(shí)，E與。重合，當(dāng)。與A重合時(shí)，E與4重合，...點(diǎn)E的運(yùn)動路徑是弧A。，在Rtz^ABQ中，NABQ=75°,：.ZBAQ=\5°,；./AKQ=150°,故選：D.【點(diǎn)評】本題是圓形軌跡問題，根據(jù)定角所對的弦是定長，確定點(diǎn)的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵，是一道綜合性較強(qiáng)的軌跡問題.(2021?漂陽市一模)如圖，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),點(diǎn)P是4ABC邊上一動點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作直角三角形，其中NOQP=90°,NPOQ=30°,當(dāng)點(diǎn)尸在△ABC的三條邊上運(yùn)動一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為( )A.4 B.6 C.4y D.673【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；含30度角的直角三角形；軌跡.【專題】動點(diǎn)型；解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀.【分析】如圖，由題意，點(diǎn)P在△4BC的三條邊上運(yùn)動一周時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動的軌跡是4MGH.利用相似三角形的性質(zhì)求出MG,GH,即可解決問題.【解答】解：如圖，由題意，點(diǎn)P在△4BC的三條邊上運(yùn)動一周時(shí)，點(diǎn)。運(yùn)動的軌跡是△MG4.VA(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),，AB=3,BC=4,AC=5,70M_=0G=V^.ZAOB=ZMOG,0AOB24AOBsAMOG,?MG=0M=V3??瓦0A~TOC\o"1-5"\h\z2 _ _ _同法可得，GH=?BC=2M，歷，=近4c=包巨，2 2 2.?.點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長=2返+2?+殳應(yīng)=6?,2 2故選：D.【點(diǎn)評】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)Q的運(yùn)動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.填空題（共7小題）（2021?清遠(yuǎn)模擬）如圖，48是。。的直徑，M、N是窟（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是詢上一動點(diǎn)，NAC8的角平分線交00于點(diǎn)O,NBAC的平分線交CO于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)N時(shí)，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動路徑長的比是D【考點(diǎn)】圓周角定理；軌跡.【專題】推理填空題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力：推理能力.【分析】連接EB,設(shè)。4=r,作等腰直角三角形AO8,AD=DB,乙4。8=90°,則點(diǎn)E在以O(shè)為圓心D4為半徑的弧上運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是百，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是訕，由題意NMON=2NGDF,設(shè)NGOF=a,則NMON=2a,利用弧長公式計(jì)算即可解決問題.【解答】解：如圖，連接EB,設(shè)。4=r,,：AB是。。的直徑，.,.N4CB=90°,VZACB的角平分線交。。于點(diǎn)D,ZBAC的平分線交CD于點(diǎn)E.是△ACB的內(nèi)心，AZAEB=135°,作等腰直角三角形408,AD=DB,N4OB=90°,則點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的弧上運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是席，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是余，由題意NMON=2NGOF,設(shè)/GOF=a,則NM0N=2a,2ax7rXr...弧MN的長度：弧GF的長度=a*W如l=&?180故答案為：V2-【點(diǎn)評】本題考查了軌跡，圓周角定理，弧長公式，解決本題的關(guān)鍵是掌握與圓有關(guān)的性質(zhì).（2021春?東臺市月考）如圖，已知AB=12,點(diǎn)C,。在AB上，且AC=DB=2,點(diǎn)尸是線段C。上一動點(diǎn)，以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫等腰RtzMPE和等腰尸,點(diǎn)G是線段E尸的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動到點(diǎn)。時(shí)，E尸的中點(diǎn)G移動的路徑長為4.【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；軌跡.【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力：應(yīng)用意識.【分析】分別延長AE、BF交于點(diǎn)H,易證四邊形EPFH為平行四邊形.得出G為尸H中點(diǎn)，則G的軌跡為的中位線再求出CO的長，即可得到的長.【解答】解：分別延長AE、BF交于點(diǎn)H,?.?△APE和為等腰直角三角形，.../4=NB=NFP8=NEB4=45°,：.AH//PF,BH//PE,：.四邊形EPFH為平行四邊形.?JG為EF中點(diǎn),...G也為"P的中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動過程中，G始終為尸，的中點(diǎn)，.,.點(diǎn)G的軌跡為△4CO的中位線MN,'：CD=AB-AC-BD=12-2-2=8.：.MN=4.故答案為：4.【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)、動點(diǎn)軌跡問題，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，屬于中考熱點(diǎn)題.（2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）如圖，把一個(gè)含有30°角的直角三角板A8C繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△4B1C,已知BC=2,則在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長為【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；弧長的計(jì)算；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.【分析】利用直角三角形30°的性質(zhì)求出AB=4,再利用勾股定理求出C4,利用弧長公式求解即可.【解答】解：在RtZXACB中，VZACB=90°,ZA=30°,BC=2,."B=2BC=4,---AC=^ab2_bc2=^42_22=2V3>...點(diǎn)4經(jīng)過的路徑長一90兀?2?=心,180故答案為：5/加.【點(diǎn)評】本題考查直角三角形30°角的性質(zhì)，勾股定理，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是記住弧長/=史紅.180（2021?江都區(qū)模擬）如圖，拋物線丫二號-多一星的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A,B,D,

3 3 3頂點(diǎn)為E,以A8為直徑畫半圓交y軸正半軸交于點(diǎn)C,圓心為M,P是半圓上的一動點(diǎn),連接EP,N是尸E的中點(diǎn).當(dāng)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長是鼻.【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點(diǎn)；軌跡.【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.【分析】由二次函數(shù)關(guān)系式得出A,B,E的坐標(biāo)，得出E在。M上，從而得出得到N的運(yùn)動路徑即可.【解答】解：連接ME、MP,,?v=1/-2 83 3 3(-2,0),B(4,0),E(1,-3),：.MA=MB=ME=3,在OM上，為PE的中點(diǎn)，ME=MP,:.MNLPE,.??N在以ME為直徑的半圓上運(yùn)動，點(diǎn)N的運(yùn)動路徑為：—X9TCX—=^-7T.2 22故答案為：37r.2【點(diǎn)評】本題以二次函數(shù)為背景考查了圓形路徑問題，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E在圓上是解決問題的關(guān)鍵.(2021?江北區(qū)模擬)如圖，。。的半徑為1,弦48=亞，AC=BC,點(diǎn)尸為劣弧AC上一個(gè)動點(diǎn)，延長B尸至點(diǎn)。，使8P"QuAH,當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動路徑長為【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系：圓周角定理；軌跡；相似三角形的判定與性質(zhì).【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；圖形的相似；推理能力.【分析】連接AC、AQ,由得出= 從而判斷出點(diǎn)。在線段AQ上運(yùn)動，求出4Q的長即可.【解答】解：如圖，連接AC、AQ,'：BP-BQ=AB2,二BP二AB,,,市笆,:NB=NB,：*4BAPs?BQA,：.ZBPA=ZBAQ,...點(diǎn)Q在線段4Q上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，??,AC=BC.：.AC=BC,：.AB=AQ,AB=\f2,:.AQ=&故答案為：V2.【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識,判斷出點(diǎn)。在線段AQ上運(yùn)動是解題的關(guān)鍵.(2021?杭州模擬)如圖,。。的半徑為5,弦4B=6,弦AC,弦80,點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，若點(diǎn)。在圓上逆時(shí)針運(yùn)動的路徑長為5m則點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為it.3【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；軌跡.【專題】動點(diǎn)型：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.【分析】如圖，連接0A,OB,AD,OP,OD,過點(diǎn)。作O//_LA8于，.證明△OH4g△CPO(AAS),推出0P=A，=3,推出點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以。為圓心，0P為半徑的圓,求出點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的角度即可解決問題.【解答】解：如圖，連接04,OB,AD,OP,0D,過點(diǎn)。作于”.D：ACLBD,\ZDAC+ZADB=90a,：ZDOC=2ZDAC,ZAOB=2ZADB,,.ZDOC+ZAOS=180°,.*OH±AB,DP=PC,\OPLCD,AH=HB=1aB=3,2：OA=OB=OC=OD,ABOH,NCOP=ZDOP,ZAOH+ZCOP=90°,/ZAOH+ZOAH=90°,,.NC0P=N0AH,VZAHO=ZCPO=90a,OA=OC,.?.△OHA絲△CPO(A45),.,.OP=4H=3,...點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以。為圓心，OP為半徑的圓,?.?點(diǎn)。在圓上逆時(shí)針運(yùn)動的路徑長為耳，設(shè)圓心角為〃,3?n?兀,5―54>?—―it,180 3，〃=60°,?：OD,OP的旋轉(zhuǎn)角度相等，...點(diǎn)p的運(yùn)動路徑的長=婦匚3=m180故答案為：n.【點(diǎn)評】本題考查軌跡，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.（2021春?南涪區(qū)期末）如圖，已知有一張正方形紙片A8CZ）,邊長為9cw,點(diǎn)E,尸分別在邊CC,AB±,CE=2cm.現(xiàn)將四邊形BCEF沿E尸折疊，使點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)B,,C,上當(dāng)點(diǎn)8恰好落在邊A3上時(shí)，線段8尸的長為5cm；在點(diǎn)尸從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A的過程中，若邊FF與邊40交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G相應(yīng)運(yùn)動的路徑長為15-8x/2cm.匕：af0【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；軌跡：翻折變換（折疊問題）.【專題】壓軸題；動點(diǎn)型；轉(zhuǎn)化思想；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識.【分析】連接BE、BE,由翻折性質(zhì)得：BE=B'E,BF=B'F,在△BEC與△B7）E中，由勾股定理得BF=5cv?：連接EG,并作G關(guān)于EF的對稱點(diǎn)G,連接EG,由對稱性知，GE=GE,由點(diǎn)到直線垂線段最短知EG最小值為EH=9,從而￡>G最小值為_72=4V2-AG最大值為9-啦,再由于9恰好落在邊40上G、夕重合時(shí)，AG=4B，=3,故G點(diǎn)在AO上先向上再向下運(yùn)動，即可得相應(yīng)運(yùn)動的路徑長為9-4>/2-3+9-幺后=

15-8&.【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)8恰好落在邊上時(shí),如圖，連接BE、BE,DB'A由翻折性質(zhì)得：BE=BE,BF=BF,在△BEC與△B75E中，由勾股定理得：B￡2=CE^+BC2=DE^+BD2,?；BC=9cm,CE=2cm,DE=7cm,：?DB'=6cm,AB,=3cm,iSBF=xcm,則犬/二北m，AF=(9-x)cm,'：B'A2+AF2=S'F2,.\32+(9-x)2=7,解得：x=5,BF=5cm；②如圖，連接EG,并作G關(guān)于Ef的對稱點(diǎn)G,連接EG,由對稱性知，GE=GE,過點(diǎn)￡作E//_LAB于，，???點(diǎn)到直線垂線段最短，，EG,最小值為EH=9,；NB=NC=NEHB=90°,四邊形為矩形，：.EH=BC=9,；.EG最小值為9,'：DG2=EG2-ED2,.?.OG最小值為后二”=W2>.".AG最大值為9-442'由①知，點(diǎn)8"恰好落在邊A3上G、8,重合時(shí)，此時(shí)AG=AB'=3,...點(diǎn)G相應(yīng)運(yùn)動的路徑長為9-4\/2-3+9-4>/2=15-872.故答案為：5cm,15-【點(diǎn)評】本題主要考查翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理知識，點(diǎn)到直線垂線段最短,解題的關(guān)鍵是作G關(guān)于E尸的對稱點(diǎn)G，，連接￡G,將GE轉(zhuǎn)化為G￡.三.解答題（共4小題）（2021秋?婺城區(qū)校級月考）圖1是小李在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)情景.圖2是小李鍛煉時(shí)上半身由EN位置運(yùn)動到與地面垂直的EM位置時(shí)的示意圖.已知BC=0.64米，A￡）=0.24米，a=18".（參考數(shù)據(jù)：sin18°七0.31,cosl8°七0.95,tan18°^0.32）（1）求AB的長（精確到0.01米）；（2）若測得EN=0.8米，試計(jì)算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動到M點(diǎn)的路徑弧的長度.（結(jié)果保留n） 圖1 圖2【考點(diǎn)】軌跡；解直角三角形的應(yīng)用.【專題】解直角三角形及其應(yīng)用：運(yùn)算能力.【分析】（1）作AELBC于F,可得四邊形AOCf是矩形，從而得出8尸的長，再根據(jù)AB=BF+sinl8°計(jì)算即可；（2）由NNEM=108°,代入弧長公式即可.【解答】解：（1）作AF_LBC于F,C D：.NAFB=ZAFC=ZADC=90°,...四邊形ADC廠是矩形，：.FC=AD,：.BF=BC-CF=BC-AD^O.64-0.24=0.4（米），：.AB=BF-rsinlS°=0.44-0.31^1.29（米）的長為1.29米；?:NNEM=90°+18°=108°,弧長為108X°?8兀=048冗（米），180 ,，小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動到M點(diǎn)的路徑弧MN的長度為0.48n米.【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定，弧長公式等知識，構(gòu)造所給銳角所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵.（2021?長沙模擬）如圖，已知在△ABC中，AC=5,8c=12,AB=13,點(diǎn)E是邊A8上一動點(diǎn)，EFLAC于點(diǎn)尸，EDLBC于點(diǎn)D,點(diǎn)G為FD的中點(diǎn).-（1）求證：四邊形CQEF是矩形；（2）當(dāng)點(diǎn)E由點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)8時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動路徑長.【考點(diǎn)】勾股定理：勾股定理的逆定理；矩形的判定與性質(zhì)；軌跡.【專題】矩形菱形正方形；推理能力.【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到NC=90°,根據(jù)矩形的判定定理證明結(jié)論；（2）連接CE,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理解答即可.【解答】(1)證明：VAC=5,BC=12,AB=13,：.AC2+BC2=\69,3=169,：.AC1+BC2=AB2,/.ZC=90°,'：EFLAC,ED±BC,四邊形CQEF是矩形；(2)連接CE,???四邊形C￡>E尸是矩形，點(diǎn)G為F￡>的中點(diǎn)，...點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，...點(diǎn)G的運(yùn)動路徑是△4BC的中位線，...點(diǎn)G的運(yùn)動路徑長=」=48=6.5.2【點(diǎn)評】本題考查的是點(diǎn)的軌跡、勾股定理的逆定理、矩形的判定，掌握矩形的判定定理、點(diǎn)的軌跡的確定方法是解題的關(guān)鍵.(2021?金華模擬)桔梓俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1,是我國古代農(nóng)用工具，桔棒始見于(墨子?備城門)，是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械.如圖2所示的是桔株示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，A8是杠桿，且AB=5.4米，04：OB=2：1.當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)，ZAOM=\21°；當(dāng)點(diǎn)4從最高點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)54.5°到達(dá)最低點(diǎn)4.(結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin37°—0.6,sinl7.5°弋0.3,tan37°—0.8)(1)求此時(shí)水桶8所經(jīng)過的路徑長；(2)求此時(shí)水桶8上升的高度.【考點(diǎn)】軌跡；解宜角三角形的應(yīng)用.【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力.【分析】(1)根據(jù)水桶8所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，代入計(jì)算即可；(2)過。作EF±OM,過B作BCLEF于C,過Bi作B\DLEF于。，在RtAOBC中和在RtaOBi。中，分別利用三角函數(shù)求出8c和81。的長即可.【解答】解：(1)；AB=5.4米，OA：08=2：1,二08=1.8米，二水桶B所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，..〃=54.5X兀X1.8gsi.7(米)；180(2)過。作EF_L0M,過B作BCLEF于C,過Bi作BiZ)_LEF于￡),VZAOA/=127°,NEOM=90°,?\ZA0E=31°,：.ZBOC=ZAOE=31°,NB1OD=NA1OE=175°,,.?081=08=1.8（米），在RtZXOBC中，BC^sinZOCBX sin37°><08^0.6X1.8=1.08（米）,在RtZXOBi。中，fiiD=sinl7.5°X08i40.3X1.8=0.54（米），ABC+B\D=1.08+0.54^1.6（米），E圖2.?.此時(shí)水桶B上升的高度為1.6米.【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，弧長公式等知識，讀懂題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.(2020秋?金寨縣期末)如圖，在平行四邊形A8CD中，AB=2,BC=4,ZABC=120°,將平行四邊形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到平行四邊形BErG.(1)求點(diǎn)B到4。的距離；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在AO邊上時(shí)，求點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長.G【考點(diǎn)】勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.【分析】(1)過點(diǎn)8作。于H,在RtZ\AB“中，BH=sin600XAB代入計(jì)算即可:(2)連接8。，BF,點(diǎn)E落在AO邊上，可證aABE是等邊三角形，則a=60°,在Rt△BDH中,利用勾股定理求出BO的長，代入弧長公式計(jì)算即可.【解答】解：(1)如圖，過點(diǎn)8作于H,HG??四邊形ABCD是平行四邊形，：.AD//BCf：.ZA+ZABC=180°,ZABC=120°,ZA=60°,ZAHB=90°,.*.BW=sin60°XA3=?；(2)連接80,BF,,:點(diǎn)E落在AO邊上，；.AB=BE,ZA=60°,:?△ABE是等邊三角形，ZABE=60°,???將平行四邊形繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到平行四邊形BEFG,：.ZDBF=ZABE=60°,在 中，。：BH=M，DH=AD-AH=4-1=3,abd=VBH2+DH2=V§+9=2瓜...點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長為9°義兀*2返JV3180 3【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，弧長公式等知識，求出旋轉(zhuǎn)角為60°是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)卡片.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到X軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?2,有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題..二次函數(shù)的性質(zhì)2二次函數(shù)丁=/+加+U(〃W0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-士4ac-b),對稱軸直線2a4a 2a二次函數(shù)y=a?+加+c(〃W0)的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)〃>0時(shí)，拋物線歷r+c(〃#0)的開口向上，xV一旦時(shí)，y隨x的增大而減?。?aX>-也時(shí)，y隨X的增大而增大；x=-2時(shí)，y取得最小值4aq二P 即頂點(diǎn)是拋物線2a 2a 4a的最低點(diǎn).②當(dāng)aVO時(shí)，拋物線yna^+bx+c(aWO)的開口向下，x<一2時(shí)，y隨x的增大而增大;2a2x>-也時(shí)，y隨X的增大而減??；x=-2時(shí)，y取得最大值4am 即頂點(diǎn)是拋物線2a 2a 4a的最高點(diǎn).③拋物線(aWO)的圖象可由拋物線y=o?的圖象向右或向左平移|一個(gè)單2a位，再向上或向下平移居空±1個(gè)單位得到的.4a.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征2二次函數(shù)丫=0?+笈+。(aWO)的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-旦，4a口，).2a4a①拋物線是關(guān)于對稱軸》=一2成軸對稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足2a函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn).②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值.③拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（XI,0）,（X2,0）,則其對稱軸為x=_—24.拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)（a,b,c是常數(shù)，aWO）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0,BPax^+bx+c=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo).（1）二次函數(shù)yua^+bx+c（a,b,c是常數(shù)，4#0）的交點(diǎn)與一元二次方程a^+W+cn。根之間的關(guān)系.△=廬-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).△=序-4m>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=序-4祀=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=/-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y=a（x-xi）（x-x2）（a,b,c是常數(shù)，aKO）,可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（xi,0）,（X2,0）..全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形..線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等..含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù).(3)注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角(30°)的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用：②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點(diǎn)明斜邊..勾股定理(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.如果直角三角形的兩條直角邊長分別是“，b,斜邊長為C,那么/+廿=。2.(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式。2+/=科的變形有：a=^c2_b2,b=*=及c="束.(4)由于a1+b1=c1>a1,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊..勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長。，b,C滿足d+廬二行，那么這個(gè)三角形就是宜角三角形.說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等.②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.(2)運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題.注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是..等腰直角三角形(1)兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.(2)等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì).即：兩個(gè)銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑(因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)小角均為45°,高又垂直于斜邊，所以兩個(gè)小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等)：(3)若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=l,則外接圓的半徑/?=揚(yáng)1,所以八/?=1：V2+1..平行四邊形的性質(zhì)(1)平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.(2)平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等.②角：平行四邊形的對角相等.③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.(3)平行線間的距離處處相等.(4)平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積.②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等..矩形的判定與性質(zhì)(1)關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形，進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等.同時(shí)平行四邊形的性質(zhì)矩形也都具有.在處理許多幾何問題中，若能靈活運(yùn)用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等有關(guān)的問題.(2)下面的結(jié)論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②NOAB=/OBA,NOCB=NOBC；③點(diǎn)。到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等..正方形的性質(zhì)(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.(2)正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).④兩條對角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角