課件-高等數(shù)學(xué)課件d9-3方向?qū)?shù)與梯度

第九章第三節(jié)一、方向?qū)?shù)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、梯度三、物理意義方向?qū)?shù)與梯度12/20/2022一、方向?qū)?shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點(diǎn)P處沿方向l

的方向?qū)?shù).在點(diǎn)處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束記作12/20/2022定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點(diǎn)P可微,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故12/20/2022機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束可微二元函數(shù)為,)的方向?qū)?shù)為向角xoyz半平面12/20/2022機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例

求在原點(diǎn)處沿非零矢量解用定義計(jì)算：的方向?qū)?shù)?！?2/20/2022機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別:?當(dāng)l與x軸同向?當(dāng)l與x軸反向思考：第二個(gè)結(jié)果為什么是負(fù)的？12/20/2022機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方向?qū)?shù)與可微之間的關(guān)系：顯然在原點(diǎn)即不可導(dǎo)也就自然不可微也?？晌⑿?依據(jù)方向?qū)?shù)的定義，有12/20/2022例1.求函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:向量l的方向余弦為12/20/2022例2.

求函數(shù)在點(diǎn)P(2,3)沿曲線相切且朝x增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)P的切向量為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束·12/20/2022例3.設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦而同理得方向的方向?qū)?shù)。在點(diǎn)P處沿求函機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)12/20/2022二、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說(shuō)明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束12/20/20221.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點(diǎn)P處的梯度記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量12/20/2022xoyz機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束稱為函數(shù)f的等值線（等量線）.2.梯度的幾何意義等高線等值線12/20/2022機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則L*上點(diǎn)P處的法向量為同樣,對(duì)應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上點(diǎn)P處的法向量為12/20/20223.梯度的基本運(yùn)算公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線),指向函數(shù)增大的方向.綜上所述：12/20/2022機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4國(guó)家大劇院的屋頂為橢球面表面光滑無(wú)摩擦，在無(wú)風(fēng)的雨天，雨水落在上面向下流，求雨滴下滑曲線的方程。解

與待求投分析

雨水會(huì)沿著z變化最快方向也就是沿著與z的方向?qū)?shù)取得最大值的方向上看即沿著平行于函數(shù)z的梯度方向運(yùn)行。流下，流下，從平面由于重力作用，12/20/2022機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束xoyz影曲線的切矢量平行，空間曲線為：方程得平面投影曲線12/20/2022例5.證:試證機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束處矢徑r的模,12/20/2022三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(chǎng)(數(shù)性函數(shù))場(chǎng)向量場(chǎng)(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(chǎng)(勢(shì))如:溫度場(chǎng),電位場(chǎng)等如:力場(chǎng),速度場(chǎng)等(向量場(chǎng))注意:任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是梯度場(chǎng).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束12/20/2022例6.已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q

在任意點(diǎn)試證證:利用例4的結(jié)果這說(shuō)明場(chǎng)強(qiáng):處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束12/20/2022內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點(diǎn)沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束12/20/20222.梯度?三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在??可微機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束梯度在方向l上的投影.12/20/2022思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)在點(diǎn)M(1,1,1)處沿曲線在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束M(1,1,1)處切線的方向向量提示:函數(shù)沿l的方向?qū)?shù)12/20/2022機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)求函數(shù)在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向

的夾角

.提示：12/20/2022機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示：2.求函數(shù)在橢球面上點(diǎn)處沿外法線方向的方向?qū)?shù)。12/20/2022補(bǔ)充題1.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度解:則注意x,y,z具有輪換對(duì)稱性(92考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)