數(shù)列應(yīng)用題選講-人教課標(biāo)版課件

數(shù)列應(yīng)用題選講江蘇省洪澤中學(xué)傅啟峰數(shù)列應(yīng)用題選講江蘇省洪澤中學(xué)傅啟峰數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題,一般分為三個(gè)步驟:(1)審題;(2)建立數(shù)學(xué)模型;(3)求解數(shù)學(xué)模型。其中審題是基礎(chǔ),建模是關(guān)鍵,解題是目標(biāo)。實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型實(shí)際結(jié)果數(shù)學(xué)問題的解反演分析,聯(lián)想轉(zhuǎn)化,抽象數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題,一般分為三個(gè)步驟:(1)審題;實(shí)際問題建立數(shù)例1;用分期付款的方式購買家用電器一件,價(jià)格為1150元,購買當(dāng)天先付150元,以后每月這一天都交付50元,并加付所欠款的利息,月利率為1℅,若以付150元后的第一個(gè)月開始作為分期付款的第一月,問分期付款的第十個(gè)月該交付多少錢?全部貸款付清后,買這件家電實(shí)際花了多少錢?解:因?yàn)橘徺I當(dāng)天付150元,所以欠款為1000元,依題意共分20次付清,設(shè)每次交款數(shù)分別為a1,a2,……..,,an,則有a1=50+1000×1℅=60a2=50+(1000-50)×1﹪=59．5a3=50+（1000－2×50）×1﹪=59….例1;用分期付款的方式購買家用電器一件,價(jià)格為解:因?yàn)橘徺I當(dāng)

an=50+〔1000－（n－1）×50〕×1﹪=60+（n－1）×（－0．5）∴｛an｝構(gòu)成以60為首項(xiàng)，－0．5為公差的等差數(shù)列。

20次分期付款的總和：

S20=｛60+〔60－19×0．5〕｝/2×20=1105（元）實(shí)際付款1105+150=1255（元）∴a10=60－9×0．5=55．5（元)∴第十個(gè)月該付55﹒5（元

an=50+〔1000－（n－1）×50〕×1﹪∴｛例2:某煤礦從開始建設(shè)到出煤共需5年,每年國家投資100萬元,如果按年利率為10﹪來考慮,那么到出煤的時(shí),國家實(shí)際投資總額是多少?解:100萬元一年投資的本利和是100(1+10﹪)萬元,答:到出煤時(shí),國家實(shí)際投資總額是671.561萬元。

100萬元二年投資的本利和是100(1+10﹪)2萬元……….

100萬元五年投資的本利和是100(1+10﹪)5萬元∴｛an｝是以a1=100(1+10﹪),q=1+10﹪的等比數(shù)列例2:某煤礦從開始建設(shè)到出煤共需5年,每年國家投資100萬元例3:水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題,全國有9100萬畝的坡耕地需要退耕還林,其中西部地區(qū)占70﹪,2000年國家確定在西部地區(qū)退耕土地面積為515萬畝,以后每年退耕土地面積遞增12﹪（1）試問從2000年起到哪一年,西部地區(qū)基本解決退耕還林問題?解:從2000年起,西部地區(qū)每年退耕還林的坡地畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為515,公比為1+12﹪的等比數(shù)列,

設(shè)x年以后基本解決退耕還林問題,則

515+515(1+12﹪)+………+515(1+12%)x=9100×70%

根據(jù)等比數(shù)列求和公式得:

∴1.12x+1≈2．484，x≈7

所以，到2007年西部地區(qū)基本解決退耕還林問題。例3:水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題,全國解:從（2）為支持退耕還林工作，國家財(cái)政補(bǔ)助農(nóng)民每畝300斤糧食，每斤糧食按0．7元計(jì)算，并且每畝退耕地補(bǔ)助20元，試問：到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時(shí)，國家財(cái)政共需支付約多少億元？解：從2000年起到2007年每年退耕還林的畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列｛an｝，由題意得a1+a2+··············+a8=9100×70%×104到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時(shí)，國家財(cái)政共需支付：

（a1+a2+·········+a8）×（300×0·7+20）

=（a1+a2+········+a8）×230≈1·465×1010（元）=146·5（億元）答：國家財(cái)政共需支付約146·5億元（2）為支持退耕還林工作，國家財(cái)政補(bǔ)助農(nóng)民每畝300斤解：從例4:銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定時(shí)間結(jié)算存(貸)款的利息一次,結(jié)息后即將利息并入本金,這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利,現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案,甲方案----一次性貸款10萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比前一年增加30%的利潤;乙方案---每年貸款1萬元,第一年可獲利1萬元,以后每年比前一年增加5千元,兩方案使用期都是10年,到期后一次性歸還本息,若銀行貸款利息均按本息10%的復(fù)利計(jì)算,試比較兩種方案誰獲利更多?（精確到千元，數(shù)據(jù)1．110≈2．594，1．310≈13．79）例4:銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定時(shí)間結(jié)算存(貸)款的利息一次,結(jié)息解:甲方案10年中每年獲利數(shù)組成首項(xiàng)為1,公比為1+30%的等比數(shù)列,其和為1+(1+30%)+(1+30%)2+·········+(1+30%)9=

≈42.63(萬元)

到期時(shí)銀行貸款的本息為

10(1+0.1)10≈10×2.594(萬元)

∴甲方案扣除貸款本息后，凈獲利約為：42·63–25·94≈16．7（萬元）解:甲方案10年中每年獲利數(shù)組成首項(xiàng)為1,公比為1+30乙方案逐年獲利數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，10年共獲利小結(jié)：例1為等差數(shù)列型；例2，3為等比數(shù)列型；例4為等差等比數(shù)列型。1+1.5+······+(1+9×0.5）=10(1+5.5)/2=32.50（萬元）而貸款本息和為1．1×〔1+（1+10%）+········+（1+10%）9〕=1．1×∴乙方案扣除貸款本息后，凈獲利約為32．50-17．53≈15．0（萬元）

比較得，甲方案凈獲利多于乙方案凈獲利。乙方案逐年獲利數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，10年共獲利小結(jié)：例1為等分期付款的有關(guān)規(guī)定1.分期付款分若干次付款,每次付款額相同,各次付款的時(shí)間間隔相同.2.分期付款中雙方的每月(年)利息均按復(fù)利計(jì)算,即上月(年)的利息要計(jì)入本金.3.各期所付的款額連同到最后一次付款時(shí)所產(chǎn)生的利息和,等于商品售價(jià)及從購買到最后一次付款的利息和,這在市場經(jīng)濟(jì)中是相對(duì)公平的.分期付款的有關(guān)規(guī)定1.分期付款分若干次付款,每次付款額相同,例5.分期付款模型小華準(zhǔn)備購買一臺(tái)售價(jià)為5000元的電腦,采用分期付款的方式,并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買后2個(gè)月第1次付款,再過2個(gè)月第2次付款……購買后12個(gè)月第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算.求小華每期付的金額是多少?分析1:考慮小華每次還款后,還欠商場的金額.例5.分期付款模型小華準(zhǔn)備購買一臺(tái)售價(jià)為5000元的電設(shè)小華每期還款x元,第k個(gè)月末還款后的本利欠款數(shù)為Ak元,則設(shè)小華每期還款x元,第k個(gè)月末還款后的本利欠款數(shù)為Ak元,則由題意年底還清,所以解得:答:小華每次付款的金額為880.8元.由題意年底還清,所以解得:答:小華每次付款的金額為880.8分析2:小華在12月中共付款6次,它們在12個(gè)月后的本利和的累加與一年后付款總額相等.例5.分期付款模型小華準(zhǔn)備購買一臺(tái)售價(jià)為5000元的電腦,采用分期付款的方式,并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買后2個(gè)月第1次付款,再過2個(gè)月第2次付款……購買后12個(gè)月第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算.求小華每期付的金額是多少?分析2:小華在12月中共付款6次,它們在12個(gè)月后的本利和的解:設(shè)小華每期還款元,則購買2個(gè)月后第1次付款元,此元到10個(gè)月后本利和為元購買4個(gè)月后第2次付款元,此元到8個(gè)月后本利和為元同理,購買12個(gè)月后第6次付款元,此元當(dāng)月的本利和為元解:設(shè)小華每期還款元,則購買2個(gè)月后第1次付款元,此又,小華一年后應(yīng)還給商場的總金額增值為:又,小華一年后應(yīng)還給商場的總金額增值為:思考交流商場出售電腦,提出了如下的3種付款方式,以供顧客選擇.請(qǐng)分別算出各種付款方式每次應(yīng)付款金額.方案類別分幾次付清付款方法13次購買后4個(gè)月第1次付款,再過4個(gè)月第2次付款,再過4個(gè)月第3次付款26次購買后2個(gè)月第1次付款,再過2個(gè)月第2次付款,……,再過12個(gè)月第6次付款312次購買后1個(gè)月第1次付款,再過2個(gè)月第2次付款,……,再過12個(gè)月第12次付款思考交流商場出售電腦,提出了如下的3種付款方式,以供顧客選擇作業(yè)：

（1）某廠試制新產(chǎn)品，為生產(chǎn)此頂產(chǎn)品需增加某些設(shè)備，若購置這些設(shè)備需一次付款25萬元，若租賃這些設(shè)備每年初付租金3．3萬元，已知一年期存款利率為9．8%，試討論哪種方案收益更大（設(shè)備可用10年）（2）1987年7月11日世界人口達(dá)到50億，聯(lián)合國將7月11日定為“世界人口日”，1992年的“世界人口日”全球人口達(dá)到54．8億（ⅰ）計(jì)算人口年平均增長率是多少？（ⅱ）測2001年7月11日世界人口數(shù)。作業(yè)：有了堅(jiān)定的意志，就等于給雙腳添了一對(duì)翅膀。一個(gè)人的價(jià)值在于他的才華，而不在他的衣飾。生活就像海洋，只有意志堅(jiān)強(qiáng)的人，才能到達(dá)彼岸。讀一切好的書，就是和許多高尚的人說話。最聰明的人是最不愿浪費(fèi)時(shí)間的人。有了堅(jiān)定的意志，就等于給雙腳添了一對(duì)翅膀。數(shù)列應(yīng)用題選講江蘇省洪澤中學(xué)傅啟峰數(shù)列應(yīng)用題選講江蘇省洪澤中學(xué)傅啟峰數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題,一般分為三個(gè)步驟:(1)審題;(2)建立數(shù)學(xué)模型;(3)求解數(shù)學(xué)模型。其中審題是基礎(chǔ),建模是關(guān)鍵,解題是目標(biāo)。實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型實(shí)際結(jié)果數(shù)學(xué)問題的解反演分析,聯(lián)想轉(zhuǎn)化,抽象數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題,一般分為三個(gè)步驟:(1)審題;實(shí)際問題建立數(shù)例1;用分期付款的方式購買家用電器一件,價(jià)格為1150元,購買當(dāng)天先付150元,以后每月這一天都交付50元,并加付所欠款的利息,月利率為1℅,若以付150元后的第一個(gè)月開始作為分期付款的第一月,問分期付款的第十個(gè)月該交付多少錢?全部貸款付清后,買這件家電實(shí)際花了多少錢?解:因?yàn)橘徺I當(dāng)天付150元,所以欠款為1000元,依題意共分20次付清,設(shè)每次交款數(shù)分別為a1,a2,……..,,an,則有a1=50+1000×1℅=60a2=50+(1000-50)×1﹪=59．5a3=50+（1000－2×50）×1﹪=59….例1;用分期付款的方式購買家用電器一件,價(jià)格為解:因?yàn)橘徺I當(dāng)

an=50+〔1000－（n－1）×50〕×1﹪=60+（n－1）×（－0．5）∴｛an｝構(gòu)成以60為首項(xiàng)，－0．5為公差的等差數(shù)列。

20次分期付款的總和：

S20=｛60+〔60－19×0．5〕｝/2×20=1105（元）實(shí)際付款1105+150=1255（元）∴a10=60－9×0．5=55．5（元)∴第十個(gè)月該付55﹒5（元

an=50+〔1000－（n－1）×50〕×1﹪∴｛例2:某煤礦從開始建設(shè)到出煤共需5年,每年國家投資100萬元,如果按年利率為10﹪來考慮,那么到出煤的時(shí),國家實(shí)際投資總額是多少?解:100萬元一年投資的本利和是100(1+10﹪)萬元,答:到出煤時(shí),國家實(shí)際投資總額是671.561萬元。

100萬元二年投資的本利和是100(1+10﹪)2萬元……….

100萬元五年投資的本利和是100(1+10﹪)5萬元∴｛an｝是以a1=100(1+10﹪),q=1+10﹪的等比數(shù)列例2:某煤礦從開始建設(shè)到出煤共需5年,每年國家投資100萬元例3:水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題,全國有9100萬畝的坡耕地需要退耕還林,其中西部地區(qū)占70﹪,2000年國家確定在西部地區(qū)退耕土地面積為515萬畝,以后每年退耕土地面積遞增12﹪（1）試問從2000年起到哪一年,西部地區(qū)基本解決退耕還林問題?解:從2000年起,西部地區(qū)每年退耕還林的坡地畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為515,公比為1+12﹪的等比數(shù)列,

設(shè)x年以后基本解決退耕還林問題,則

515+515(1+12﹪)+………+515(1+12%)x=9100×70%

根據(jù)等比數(shù)列求和公式得:

∴1.12x+1≈2．484，x≈7

所以，到2007年西部地區(qū)基本解決退耕還林問題。例3:水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題,全國解:從（2）為支持退耕還林工作，國家財(cái)政補(bǔ)助農(nóng)民每畝300斤糧食，每斤糧食按0．7元計(jì)算，并且每畝退耕地補(bǔ)助20元，試問：到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時(shí)，國家財(cái)政共需支付約多少億元？解：從2000年起到2007年每年退耕還林的畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列｛an｝，由題意得a1+a2+··············+a8=9100×70%×104到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時(shí)，國家財(cái)政共需支付：

（a1+a2+·········+a8）×（300×0·7+20）

=（a1+a2+········+a8）×230≈1·465×1010（元）=146·5（億元）答：國家財(cái)政共需支付約146·5億元（2）為支持退耕還林工作，國家財(cái)政補(bǔ)助農(nóng)民每畝300斤解：從例4:銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定時(shí)間結(jié)算存(貸)款的利息一次,結(jié)息后即將利息并入本金,這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利,現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案,甲方案----一次性貸款10萬元,第一年便可獲利1萬元,以后每年比前一年增加30%的利潤;乙方案---每年貸款1萬元,第一年可獲利1萬元,以后每年比前一年增加5千元,兩方案使用期都是10年,到期后一次性歸還本息,若銀行貸款利息均按本息10%的復(fù)利計(jì)算,試比較兩種方案誰獲利更多?（精確到千元，數(shù)據(jù)1．110≈2．594，1．310≈13．79）例4:銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定時(shí)間結(jié)算存(貸)款的利息一次,結(jié)息解:甲方案10年中每年獲利數(shù)組成首項(xiàng)為1,公比為1+30%的等比數(shù)列,其和為1+(1+30%)+(1+30%)2+·········+(1+30%)9=

≈42.63(萬元)

到期時(shí)銀行貸款的本息為

10(1+0.1)10≈10×2.594(萬元)

∴甲方案扣除貸款本息后，凈獲利約為：42·63–25·94≈16．7（萬元）解:甲方案10年中每年獲利數(shù)組成首項(xiàng)為1,公比為1+30乙方案逐年獲利數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，10年共獲利小結(jié)：例1為等差數(shù)列型；例2，3為等比數(shù)列型；例4為等差等比數(shù)列型。1+1.5+······+(1+9×0.5）=10(1+5.5)/2=32.50（萬元）而貸款本息和為1．1×〔1+（1+10%）+········+（1+10%）9〕=1．1×∴乙方案扣除貸款本息后，凈獲利約為32．50-17．53≈15．0（萬元）

比較得，甲方案凈獲利多于乙方案凈獲利。乙方案逐年獲利數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，10年共獲利小結(jié)：例1為等分期付款的有關(guān)規(guī)定1.分期付款分若干次付款,每次付款額相同,各次付款的時(shí)間間隔相同.2.分期付款中雙方的每月(年)利息均按復(fù)利計(jì)算,即上月(年)的利息要計(jì)入本金.3.各期所付的款額連同到最后一次付款時(shí)所產(chǎn)生的利息和,等于商品售價(jià)及從購買到最后一次付款的利息和,這在市場經(jīng)濟(jì)中是相對(duì)公平的.分期付款的有關(guān)規(guī)定1.分期付款分若干次付款,每次付款額相同,例5.分期付款模型小華準(zhǔn)備購買一臺(tái)售價(jià)為5000元的電腦,采用分期付款的方式,并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買后2個(gè)月第1次付款,再過2個(gè)月第2次付款……購買后12個(gè)月第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算.求小華每期付的金額是多少?分析1:考慮小華每次還款后,還欠商場的金額.例5.分期付款模型小華準(zhǔn)備購買一臺(tái)售價(jià)為5000元的電設(shè)小華每期還款x元,第k個(gè)月末還款后的本利欠款數(shù)為Ak元,則設(shè)小華每期還款x元,第k個(gè)月末還款后的本利欠款數(shù)為Ak元,則由題意年底還清,所以解得:答:小華每次付款的金額為880.8元.由題意年底還清,所以解得:答:小華每次付款的金額為880.8分析2:小華在12月中共付款6次,它們在12個(gè)月后的本利和的累加與一年后付款總額相等.例5.分期付款模型小華準(zhǔn)備購買一臺(tái)售價(jià)為5000元的電腦,采用分期付款的方式,并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買后2個(gè)月第1次付款,再過2個(gè)月第2次付款……購買后12個(gè)月第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算.求小華每期付的金額是多少?分析2:小華在12月