高中數(shù)學(xué) 2.1.2 平面直角坐標(biāo)系中的基本公式 新人教B必修2

2.1.2平面直角坐標(biāo)系中的

基本公式編輯ppt一.兩點(diǎn)間的距離公式當(dāng)AB不平行于坐標(biāo)軸，也不在坐標(biāo)軸上時(shí)，從點(diǎn)A和點(diǎn)B分別向x軸，y軸作垂線AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分別為A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直線BB1和AA2相交于點(diǎn)C。C編輯ppt在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|，|BC|=|A2B2|=|y2－y1|，C由勾股定理得|AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2，由此得到計(jì)算兩點(diǎn)間距離的公式：d(A，B)=|AB|編輯ppt當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，d(A，B)=|x2－x1|；當(dāng)AB平行于y軸時(shí)，d(A，B)=|y2－y1|；當(dāng)B為原點(diǎn)時(shí)，d(A，B)=編輯ppt求兩點(diǎn)距離的步驟已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，為了運(yùn)用兩點(diǎn)距離公式正確地計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離，我們可分步驟計(jì)算：（1）給兩點(diǎn)的坐標(biāo)賦值：(x1，y1)，(x2，y2).（2）計(jì)算兩個(gè)坐標(biāo)的差，并賦值給另外兩個(gè)變量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.編輯ppt（3）計(jì)算d=（4）給出兩點(diǎn)的距離d.通過以上步驟，對(duì)任意的兩點(diǎn)，只要給出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，就可一步步地求值，最后算出兩點(diǎn)的距離.編輯ppt例1.已知A(2，－4)，B(－2，3)，求d(A，B)。解：x1=2，x2=－2，y1=－4，y2=3，△x=x2－x1=－4，△y=y2－y1=7，∴d(A，B)=編輯ppt例2．已知點(diǎn)A(1，2)，B(3，4)，C(5，0),求證：△ABC是等腰三角形。證明：因?yàn)閐(A，B)=d(A，C)=d(B，C)=因?yàn)閨AC|=|BC|，且A，B，C不共線，所以△ABC是等腰三角形。編輯ppt二.坐標(biāo)法坐標(biāo)法：就是通過建立坐標(biāo)系（直線坐標(biāo)系或者是直角坐標(biāo)系），將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過一步步地計(jì)算來(lái)解決問題的方法.用坐標(biāo)法證題的步驟編輯ppt用坐標(biāo)法證題的步驟（1）根據(jù)題設(shè)條件，在適當(dāng)位置建立坐標(biāo)系（直線坐標(biāo)系或者是直角坐標(biāo)系）；（2）設(shè)出未知坐標(biāo)；（3）根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)出所需未知點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而推導(dǎo)結(jié)論.編輯ppt例3．已知□ABCD，求證：AC2+BD2=2(AB2+AD2).證明：取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可設(shè)點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)為A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(b－a，c)，編輯ppt所以AB2=a2，AD2=(b－a)2+c2，AC2=b2+c2，BD2=(b－2a)2+c2，AC2+BD2=4a2+2b2+2c2－4ab

=2(2a2+b2+c2－2ab)，AB2+AD2=2a2+b2+c2－2ab，所以：AC2+BD2=2(AB2+AD2).編輯ppt三.中點(diǎn)坐標(biāo)公式已知A(x1，y1),B(x2，y2)兩點(diǎn)，M(x，y)是線段AB的中點(diǎn)，則有編輯ppt（1）兩點(diǎn)間線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是常遇到的問題，中點(diǎn)法也是數(shù)形結(jié)合中?？疾斓闹R(shí)點(diǎn)，這一思想常借助于圖象的線段中點(diǎn)特征加以研究，確定解題策略。（2）若已知點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(x0，y0)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為P’(2x0－x，2y0－y).編輯ppt（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)可以求得△ABC（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐標(biāo)為編輯ppt例4．已知□ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。解：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬蓷l對(duì)角線的中點(diǎn)相同，所以它們的坐標(biāo)也相同。設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，編輯ppt則解得所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，4).編輯ppt例5．已知點(diǎn)A(－1，3)，B(3，1)，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，∠ACB=90°，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）（A）1（B）2（C）3（D）4解：若點(diǎn)C在x軸上，設(shè)C(x，0)，由∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，∴(－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12，解得x=0或x=2,編輯ppt若點(diǎn)C在y軸上，設(shè)C(0，y)，由∠ACB=90°得|AB|2=|AC|2+|BC|2，可得y=0或y=4，而其中原點(diǎn)O(0，0)計(jì)算了兩次，故選C.編輯ppt例6．△ABD和△BCE是在直線AC同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，用坐標(biāo)法證明：|AE|=|CE|.證明：如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)△ABD和△BCE的邊長(zhǎng)分別為a和c，則A(－a，0)，C(c，0)編輯pptD，E，于是|AE|=|CD|=所以|AE|=|CD|.編輯ppt例7.求函數(shù)y=的最小值.解：函數(shù)的解析式可化為令A(yù)(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，則問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點(diǎn)P(x，0)，使得|PA|+|PB|取最小值.編輯pptA(0，1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A’(0，－1)，∵即函數(shù)y=的最小值為編輯ppt練習(xí)題：1．如果一條線段的長(zhǎng)是5個(gè)單位，它的一個(gè)端點(diǎn)是A(2，1)，另一個(gè)端點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是－1，則端點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是（

）（A）－3（B）5（C）－3或5（D）－1或3C編輯ppt2．設(shè)A(1，2)，在x軸上求一點(diǎn)B，使得|AB|=5，則B點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）（A）(2，0)或(0，0)（B）(，0)（C）(，0)（D）(，0)或(，0)D編輯ppt3．若x軸上的點(diǎn)M到原點(diǎn)及點(diǎn)(5，－3)的距離相等，則M點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）（A）(－2，0)（B）(1，0)（C）(1.5，0)（D）(3.4，0)D編輯ppt4．若點(diǎn)M在y軸上，且和點(diǎn)(－4，－1)，(2，3)等距離，則M點(diǎn)的坐標(biāo)是

.5．若點(diǎn)P(x，y)到兩點(diǎn)M(2，3)和N(4，5)的距離相等，則x+y的值等于

.7編輯ppt6．已知點(diǎn)A(x，5)關(guān)于點(diǎn)C(1，y)的對(duì)稱點(diǎn)是B(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是

。7．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(3，7)，