理論力學(xué)復(fù)習(xí)資料整理

第一章考題:大題與小題各一題考點(diǎn):分析不同坐標(biāo)系下物體的速度和加速度題目:例題1.2(p17習(xí)題1.1·1.6·1.11·1.16(p42坐標(biāo)系:(1直線(xiàn)坐標(biāo)系rxiyjzkrxiyjzkarxiyjzkυυ=++==++===++(2平面極坐標(biāo)系rr2rrrererea(rre(r2reθθυθθθθ==+=-++(3自然坐標(biāo)系t2tnevaeeυυυρ==+(4柱坐標(biāo)系2tnzvaeeeezeρθυρυρρθ=+=++〈析〉上述矢量順序分別為:rktnbzi,j,k;e,e,e;e,e,e;e,e,e.θρθ矢量微分:rkrkrkkkdeeeedtdeeeedtdeee0dtθθθθθθθθ=?==?=-=?=例題1.2(自己添加習(xí)題:1.1細(xì)桿OL繞固定點(diǎn)O以勻角速率ω轉(zhuǎn)動(dòng),并推動(dòng)小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動(dòng)。O點(diǎn)與鋼絲間的垂直距離為d,如圖T1.1所示。求小環(huán)的速度v和加速度a。ABOCLxθd第1.4題圖圖T1.1解:如圖所示,OL繞O點(diǎn)以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng),C在A(yíng)B上滑動(dòng),因此C點(diǎn)有一個(gè)垂直桿的速度分量22vOCdxωω⊥=?=+C點(diǎn)速度2222(coscosvdxdxviiidωωθθ⊥++===又因?yàn)棣圈?,所以C點(diǎn)加速度為:222222222(2(dvxxxvxdxxdxaiiiidtdddddωωωωω++=====1.6已知一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),徑向和橫向的速度分量分別是rλ及μθ,這里λ及μ是常數(shù)。求出質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量a。解:由題可知質(zhì)點(diǎn)的位矢速度為://vrλ=①沿垂直于位矢速度為:vμθ⊥=②又因?yàn)?/vrrλ==,即rrλ=,③而因?yàn)関rθμθ⊥==,即rμθθ=,④所以,((rdvddareredtdtdtθθ==+⑤又因?yàn)?(rrrrdeddrreerreredtdtdtθθ=+=+2(rdeddrdreererrereredtdtdtdtθθθθθθθθθθθθθ=++=+-所以:x22((2rrrarerererererrerreθθθθθθθθθθθ=+++-=-++⑥即,沿位矢方向加速度為:2//arrθ=-⑦垂直位矢方向加速度為:2arrθθ⊥=+⑧對(duì)③求導(dǎo)得:2rrrλλ==⑨對(duì)④求導(dǎo)得:2(rrrrμθμμθθμθλ=-+=+⑩把③④⑨⑩代入式⑦⑧中可得222//arrμθλ=-,(arμμθλ⊥=+即:222((rareerrθμθμλμθλ=-++1.11一質(zhì)點(diǎn)沿著22ypx=拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng),其切向加速度的量值是法向加速度量值的-2k倍。若此質(zhì)點(diǎn)從正焦弦的一端,2pp?????以速度u出發(fā),求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)正焦弦的另一端點(diǎn),2pp??-???時(shí)的速率v。??????pp,2?????-pp,2xyO題1.10.1圖圖T1.11解:由題可知,質(zhì)點(diǎn)切向加速度:tdvadt=法向加速度2nvaρ=,而且有關(guān)系式:22dvvkdtρ=-①又因?yàn)?(3/221|''|1'yyρ=+②且22ypx=所以:'pyy=③23''pyy=-④聯(lián)立①②③④2323/222||21pdvykvdtpy-=-??+???⑤又dvdvdydvydtdydtdy=?=所以,2323/222||21pdvyykvdypy-=-??+???把22ypx=兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得:yyxp=又因?yàn)?222vxy=+所以:22221vyyp=+⑥把⑥代入⑤2321/23/22222211pvdvykvdyyppy?=-?????++??????即可化為222(dvkpdyvyp-=+對(duì)等式兩邊積分222(vpupdvdykpvyp-=-+??所以得:kvueπ-=1.16輕質(zhì)滑輪上繞有輕繩,繩端與一彈簧的一個(gè)端點(diǎn)聯(lián)結(jié),彈簧的另一端掛一質(zhì)量為m的物體,如圖T1.16所示。當(dāng)滑輪以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),質(zhì)點(diǎn)以勻速率0v下降。今若滑輪突然停止轉(zhuǎn)動(dòng),試求彈簧的最大伸長(zhǎng)及彈簧中的最大張力大小。已知彈簧受力W作用時(shí)的靜止伸長(zhǎng)是0λ。?OyW圖T1.16解:選向下為正方向,滑輪剛停時(shí)物體所在平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn).建立如圖T1.16所示的坐標(biāo)系。原點(diǎn)的重力勢(shì)能設(shè)為0.設(shè)彈簧最大伸長(zhǎng)maxλ.整個(gè)過(guò)程中,只有重力做功,機(jī)械能守恒:2max2200max00111(222WWvkgkggWkλλλλλ?+=-??-+???=?①-②聯(lián)立①②得max00vgλλλ=+000mmgvWWλλ=+彈簧的最大張力即為彈簧伸長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)的彈力,maxT為最大張力,即0maxmax01vTkWgλλ??==+??????0Wmmgvλ=+第二章有心運(yùn)動(dòng)和二體問(wèn)題題型:大題一題題目:例題2.1(p52習(xí)題2.1·2.4·2.13(此題有可能改編1有心力和有心運(yùn)動(dòng)((rrrrFFFer==(1有心運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征:平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)量守恒(0M≡機(jī)械能守恒(ETV=+(2運(yùn)動(dòng)微分方程((2(2rmrrFmrrFθθθθ?-=??+=??可導(dǎo)出:(((2222222221(21((,rruFrrmrhhmrrVEdumhuuFudrθθθθ?-=???=??++=???-+==??(為常量(機(jī)械能守恒比內(nèi)公式〈析〉0Lhm=是一個(gè)恒量,解題時(shí)應(yīng)充分利用。恰當(dāng)運(yùn)用會(huì)使你絕處逢生,可謂是柳暗花明又一村的大門(mén)。2距離平方反比引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2222kFkur=-=-可由比內(nèi)公式導(dǎo)出:2220201cos(1cos(mhpkrmheAkθθθθ==+-+-(220,,,mhpepAAkθ==為由初始條件決定的常量近日點(diǎn):1mpre=+遠(yuǎn)日點(diǎn):1Mpre=-且422(12kETVemh=+=-可得半長(zhǎng)軸長(zhǎng):221(212mMpkarreE=+==--〈析〉用a來(lái)求E,進(jìn)而得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律,即便是開(kāi)普勒三定律亦是須臾即得。2距離平方反比斥力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(粒子散射的雙曲線(xiàn)模型22kFr=(204Qqkπε=可導(dǎo)出:01cos(preθθ-=--散射角:12cosarce?π??=-???2004cos2mQqπευ?ρ??=???盧瑟福散射公式:24011(44sin2dQqdσ?πε=Ω(式中散射截面:2ddσπρρ=,立體角:2sinddπ??Ω=將散射角公式兩側(cè)微分并代入即得散射公式4質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的討論(1圓軌道的穩(wěn)定條件((220,0rrdUdUdrdr=>(等效勢(shì)能:((222rrmhUVr=+再利用((rrdVFdr=-可導(dǎo)出:3n<(2nkFr=(2軌道的軌跡曲線(xiàn)000EEE<??=??>?(1(1(1eee<=>橢圓拋物線(xiàn)雙曲線(xiàn)〈析〉通過(guò)E與0的關(guān)系,即可判斷天體運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線(xiàn)例題2.1(自己添加習(xí)題:2.1質(zhì)點(diǎn)在有心力F(r作用下運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)的速度的大小為avr=,這里a是常數(shù)。已知0=θ時(shí)0rr=,速度與位置矢徑間的夾角為?,求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程。解:因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)速率avr=2222vrrθ=+所以22222arrrθ=+又由于2hrθ=即242222(adrrrdtrθ=+22222(adrdhrddtrθθ=+22222(drhahdrrθ-=又因?yàn)?2ah所以22drahdrhθ-=±兩邊積分0220rrdrahdrhθθ-=±??即220lnrahrhθ-=±所以質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為螺旋線(xiàn):cot0rreθ?=2.4如果質(zhì)點(diǎn)受到的有心力為223rFmerrμλ??=-+???,式中μ及λ都是常數(shù),并且2hλ<。試證其軌道方程可寫(xiě)成/(1cosraekθ=+。式中222222222,,hkhAkhkaehλμμ-===(A為積分常數(shù);2hrθ=。證明:由畢耐公式:222Fduhuumdθ??=-+???質(zhì)點(diǎn)所受有心力做雙紐線(xiàn)θ2cos22ar=運(yùn)動(dòng),故θ2cos11aru==(232cos12sin1θθθ??=addu((??????????+=-θθθθθθ2sin22cos2sin232cos2cos21252322adud((??????+=--252212cos2sin32cos21θθθa故??????+-=ududumhF2222θ((??????++-=--θθθθθ2cos12cos2sin32cos22cos12522132amh((θθ2tan12cos322332+-=-amh(27322cos3--=θamh2722323??????-=aramh7243rhma-=2.13質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在有心斥力場(chǎng)3mcr中運(yùn)動(dòng),式中r為是力心到質(zhì)點(diǎn)的距離,c為常數(shù)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)離力心很遠(yuǎn)時(shí),質(zhì)點(diǎn)的速度為∞v,瞄準(zhǔn)距離是ρ。試求質(zhì)點(diǎn)與力心間可能達(dá)到的最近距離d。解質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),能量和角動(dòng)量均守恒。無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零。OmAaρ??v∞v第1.50題圖圖T2.13所以:22(1122dmvmvV∞=+①又,mvmvdρ∞=②任意一處:(32(2ddmcmcVFrdrdrrd∞=-=-=??由②vvdρ∞=代入①得:22222vcvddρ∞∞=+所以:1/222cdvρ∞??=+???第三章非慣性參考系題型:大題一題題目:例題3.1(p763.3(p831相對(duì)運(yùn)動(dòng)trrr'=+ttdrdrdrdrdrrdtdtdtdtdtυω'''==+=++?trυυω''=++?(tdvdvdvradtdtdtω''+?==+222**22(tdrdrddrrvrdtdtdtdtωωωω'''''=++?+?+?+?(2taarrvωωωω''''=++?+??+?tcaaa'=++〈析〉僅此三式便可以使“第心說(shuō)”與“日心說(shuō)”歸于一家。(1平動(dòng)非慣性系(0ω=taaa'=+即:(tmaFma'=+-(2旋轉(zhuǎn)非慣性系(0ttaυ==(2aarrωωωωυ''''=+?+??+?2地球自轉(zhuǎn)的效應(yīng)(以地心為參考點(diǎn)2mrFmgmrω=--?寫(xiě)成分量形式為:2sin2(sincos2cosxyzmxFmymyFmxzmzFmgmyωλωλλωλ?=+?=-+??=-+?〈析〉坐標(biāo)系選取物質(zhì)在地面上一定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸指向南方,y軸指向東方,鉛直方向?yàn)閦軸方向。2mrFmgmrω=--?為旋轉(zhuǎn)非慣性系(2Fmgmrmrmrmrωωωω-=+?+??+?在,rRωω條件下忽略mrω?與(mrωω??所得。正因如此,地球上的物體運(yùn)動(dòng)均受著地球自轉(zhuǎn)而帶來(lái)的科氏力2mrω-?的作用,也正是它導(dǎo)致了氣旋,反氣旋,熱帶風(fēng)暴,信風(fēng),河岸右側(cè)沖刷嚴(yán)重,自由落體,傅科擺等多姿多彩的自然現(xiàn)象。〈注〉自由落體偏東的推導(dǎo)時(shí),取F=0,且須應(yīng)用級(jí)數(shù)展開(kāi),對(duì)小量ω作近似21cos21(2,sin222ttttωωωω≈-≈例題:3.1(P76一長(zhǎng)為l的棒,兩端點(diǎn)A和B分別沿十字槽滑動(dòng),A端的速率為常數(shù)c。棒上有一質(zhì)點(diǎn)M沿棒以恒定的相對(duì)速率u向B端移動(dòng),如圖。已知初始時(shí),A端與O點(diǎn)相距為d,M點(diǎn)位于A(yíng)端處。求M點(diǎn)的速度。θAMuBxyy’x’Oc'Avvvruicjutjωθ'''=++?=-+sincoscossiniijjijθθθθ''=-=+(cossinsinAdljcvljcjdtlθθθθθ==-=-?=(000sincoscoscostdlltdtdccdlcθθθθθθθθθθθ====--=???(coscos2[(sinsin2]sinsinuuvdlidlcjllθθθθθθ=-+--[例3.3](P82一半頂角為的圓錐,沿圓錐的母線(xiàn)開(kāi)有一槽,圓錐繞鉛直的對(duì)稱(chēng)軸線(xiàn)以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自圓錐頂點(diǎn)從靜止開(kāi)始無(wú)摩擦的向下滑動(dòng),如圖L3.3所示。求出當(dāng)質(zhì)點(diǎn)離圓錐頂點(diǎn)為s距離時(shí),質(zhì)點(diǎn)對(duì)槽作用的壓力FN。解]以圓錐為參考系。由于圓錐旋轉(zhuǎn),因此是非慣性系?，F(xiàn)在我們就以這個(gè)圓錐非慣性參考系來(lái)求解問(wèn)題。取坐標(biāo)軸固定在圓錐上;如圖L3.3所示,x軸沿圓錐母線(xiàn),y軸和z軸分別沿錐面的切線(xiàn)和法線(xiàn)方向。則有:質(zhì)點(diǎn)的位置矢量:(1速度:(2角速度:(3加速度:(4外力:(5式中和分別是圓錐上光滑槽的側(cè)壁和槽底對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力分量。慣性力:*'rxi=(cossinikωωαα=-+'axi=''''cos(sinyzyzFmgFjFkmgiFjFmgkαα=++=++-'yF'zFzOαmgωint2('2'sin(sincos2sinFmrmmxikmxjωωωυωαααωα=-??-?=+-'xiυ=(6初始條件:運(yùn)動(dòng)微分方程:它的分量方程為:(7第一個(gè)方程的通解,可寫(xiě)為熟知的形式:由初始條件定得:故得解:(8式中shx和chx分別是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)。對(duì)(7式第一個(gè)方程積分,則:int'maFF=+22''2cossin02sin0sinsincosyzmxmgmxFmxFmgmxαωαωααωαα?=+?=-??=-+?αωααωαω22sinsinsincosgBeAextt-+=-αωα22sin2cosgBA==sin21shsincos]1sin(ch[sincos]1(21[sincos22222sinsin22αωαωααωαωααωααωαωtgtgeegxtt(=-=-+=-0|0tx==0|0tx==22cossinmxmgmxαωα=+212dxdxdxdxdxxxdtdxdtdxdx====2221cossin2dxgxdxαωα=+2222cos2sindxgdxxdxαωα=+xxgxsincos2(222αωα+=(9由(7式中的第三個(gè)方程,并將(9式代入第二個(gè)方程,即可求得槽對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力:按牛頓第三定律可得出,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)頂點(diǎn)x=s時(shí),質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓錐槽的作用力是:(10習(xí)題3.1一船篷高4m,在雨中航行時(shí),它的雨篷遮著篷的垂直投影后2m的甲板;但當(dāng)停航時(shí),甲板上干、濕兩部分的分界線(xiàn)卻在篷前3m處。如果雨點(diǎn)的速率是8m/s,求船航行的速率u。解:船停止時(shí),干濕分界線(xiàn)在蓬前3m,由題畫(huà)出速度示意圖如圖T3.1。雨絕v船v雨相vαβγα3m題1.15.1圖圖T3.1yjyxcvvv=+故sin(sin(yjcvvαβπαβγ=+---又因?yàn)?πβγ+=,所以sin(cosyjcvvαβα+=xxgxsincos2(22αωα+='222'22sin2cossinsinsincosyzFmgxxFmgmxωααωααωαα=+=-''N22222sinsin2cossin(cosyzFFjFkmsgsjmsgkωαωαααωα=-+=-++-由圖可知22yj421cos,sin554234sin,cos55v8m/sααββ===+===所以yjcv(sincossincosv8m/scosαββαα+==3.5一楔子頂角為α,以勻加速度0a沿水平方向加速運(yùn)動(dòng);質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿楔子的光滑斜面滑下,如圖T3.5所示。求質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于楔子的加速度a’及對(duì)楔子的壓力F。解:設(shè)楔子的傾角為θ,楔子向右作加速度0a的勻加速運(yùn)動(dòng),如圖T3.5。maθmamgaθ題1.32.1圖圖T3.5我們以楔子為參考系,在非慣性系中來(lái)分析此題,則質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)大小為非慣Fma=0的非慣性力,方向與0a相反。質(zhì)點(diǎn)在楔子這個(gè)非慣性系中沿斜面下滑,沿斜面的受力分析:0sincosmgmamaθθ'+=①垂直斜面受力平衡:0cossinmgmaNθθ=+②聯(lián)立①②得00sincos(cossinagaaNmggθθθθ'=+???=-??此即楔子相對(duì)斜面的加速度a'。對(duì)斜面的壓力P與斜面對(duì)m的支持力N等大反方向。同理可得當(dāng)楔子向左作加速度為0a的勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí),質(zhì)點(diǎn)m的a'和楔子對(duì)斜面的壓力P為00sincos(cossinagaaNmggθθθθ'=-???=+??綜上所述可得00sincos(cossinagaaNmggθθθθ'=???=±??3.8一豎直放置的鋼絲圓圈,半徑為r,其上套有一質(zhì)量為m的光滑小環(huán)。今若鋼絲圈以勻加速度a豎直向上運(yùn)動(dòng),求小環(huán)相對(duì)于鋼絲圈的速率u和鋼絲圈對(duì)小環(huán)的作用力F’N。已知初始時(shí)刻鋼絲圈圓心與小環(huán)的連線(xiàn)跟鉛直線(xiàn)之間的夾角0??=,小環(huán)的相對(duì)速率0uu=。解:設(shè)鋼絲圓圈以加速度a向上作勻加速運(yùn)動(dòng)如圖T3.8,?Ratvgwaω圖T3.8我們以鋼絲圓圈作參考系,在圓圈這個(gè)非慣性系里來(lái)分析此題。圓圈上的小環(huán)會(huì)受到一個(gè)大小為wag方向與a相反的慣性力的作用,則圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓圈上某點(diǎn),切線(xiàn)方向受力分析:(sinrtdvwwawmaggdt?+==-①法線(xiàn)方向受力分析有:2(cosrvwawRmgr?+-=-②對(duì)①(sinrtdvwwawmaggdt?+==-兩邊同乘以rg(sin(rrrdvdvdragrvdtdd????+=-=-即(sinrrragdvdv??+=-兩邊同時(shí)積分0(sinrrvrrvragdvdv????+=-??0202((coscosrrvvagr??=++-③把③代入②可解得020(1(3cos2cosrvwaRrrgg????=+-+??????同理可解出,當(dāng)鋼絲圓圈以加速度a豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)小環(huán)的相對(duì)速度0202((coscosrrvvgar??=+--020(1(3cos2cosrvwaRrrgg????=--+??????綜上所述,小環(huán)的相對(duì)速度rv0202((coscosrrvvgar??=+-圈對(duì)小環(huán)的反作用力020(1(3cos2cosrvwaRrrgg????=±-+??????3.14一拋物線(xiàn)形金屬絲豎直放置,頂點(diǎn)向下,以勻角速率ω繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m的光滑小環(huán)套在金屬絲上。寫(xiě)出小環(huán)在金屬絲上滑動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知金屬絲構(gòu)成的拋物線(xiàn)方程為24xay=,這里a為常數(shù)。解:如右圖建立直解坐標(biāo)系,則:2242(22xrxiyjxijaxxrxijaxxxaxijaaυυ'=+=+''==+''==++則:(2ectaaarjjrxkωωωω''+=+?+??+nnbbaeaeaeττ=++其中:sincosnieeτθθ=-+,cossinnjeeτθθ=+,bke=且tan2xaθ=則:22(cos(sinsin22xxaxxxgaaτωθθθ=---+=代入tan2xaθ=得:2222(1442xxxxgxxaaaω+=--+第四章質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)題型:出小題,考概念1質(zhì)點(diǎn)組(1質(zhì)心:1Niiicmrrm==∑對(duì)于連續(xù)體:crdmrm=?(2內(nèi)力與外力:(1NeiiiijimrFF==+∑且內(nèi)力滿(mǎn)足:ijjiFF=-2質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量、角動(dòng)量、動(dòng)能(1動(dòng)量ccpmrp==(2角動(dòng)量1NiiicccciLrmrrmrLL=''=?+?=+∑(3動(dòng)能2211122NciiciTmrmrT='=+=+∑1NiiT='∑3質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)的基本定理(1動(dòng)量定理:(1NeiiidPmrFdt===∑質(zhì)心定理:(ecmrPF==(2角動(dòng)量定理:dLMdt=(ecdLMdt=ccdLMdt''=(3動(dòng)能定理:111NNNiiijiiijdTFdrFdr====+∑∑∑對(duì)質(zhì)心:,1;NiiijijijdTFdrFdr=≠'''=+∑∑4開(kāi)放的質(zhì)點(diǎn)組:(ddmmuFdtdtυυ--=或(dmdmuFdtdtυ-=第五章剛體力學(xué)題型:大題+小題大題出自定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面平行運(yùn)動(dòng)題目:例題5.1(大題p1235.4(小題p1355.5(小題p1385.8(大題p145習(xí)題5.1·5.2·(5.6.·5.7·5.8考小題求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5.11·5.14·5.171剛體的運(yùn)動(dòng)(1剛體內(nèi)的任一點(diǎn)的速度、加速度(A為基點(diǎn)Arυυω'=+?((Adraardtωωω'?'=++??(2剛體內(nèi)的瞬心S:(21sAArrωυω=+?〈析〉ω為基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的矢量和,12ωωω=++Arrr'=+drdtυ=*AAAdrdrdrrrdtdtdtυωυω''''=+=++?=+?(Adrddadtdtdtωυυ'?==++(rωω'??值得注意的是:有轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)r'與rω'?的微分,引入了rω'?與(rωω'??項(xiàng)。2剛體的動(dòng)量,角動(dòng)量,動(dòng)能(1動(dòng)量:cPmυ=(2角動(dòng)量:xxxxxyxziiiyyxyyyzyzxzyzzzzLJJJLrmLJJJJJJJLωυωωω??????--???=?===--??????--??????∑式中:轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(((222222xxyyzzJyzdmJzxdmJxydm?=+??=+??=+?????慣量積xxyyzzJxydmJyzdmJzxdm?=??=??=?????且cccLrmLυ'=?+*le方向(以l為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:(,,llJeJeJααβγβγ???==????222222xxyyzzyzzxxyJJJJJJαβγβγγααβ=++---(,,αβγ分別為le與,,xyz軸夾角的余弦*慣量主軸慣量主軸可以是對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)面的法線(xiàn)若X軸為慣量主軸,則含X的慣量積為0,即:0==xyxzJJ若,,xyz軸均為慣量主軸,則:xxyyzzLJiJjJk=++〈析〉建立的坐標(biāo)軸軸應(yīng)盡可能的是慣量主軸,這樣會(huì)降低解題繁度。(3動(dòng)能:22211112222ciicciTmmmJυυυωω'=+=+∑*定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí):212TJω=*平面平行運(yùn)動(dòng):221122ccTmJυω=+3剛體的動(dòng)力學(xué)方程與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程相同?！次觥登蠼莿?dòng)量L時(shí),須注意:LJω=xyzJωωω???=????(((xxxxyyxzzyxxyyyyzzzxxzyyzzzJJJiJJJjJJJkωωωωωωωωω=--+-+-+--+4剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng):ω=zeω=?zeLJω==zxJ-ωiyzJ-ωjzzJ+ωk212TJω=質(zhì)心定理:(22ecdrmFdt=角動(dòng)量定理:(edLMdt=〈析〉須注意外力與外力矩包括軸對(duì)物體作用5剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)212cTmυ=+212JωmcdFdtυ=zdLdt=J?=zM6剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(1基本方程(以慣量主軸為坐標(biāo)軸LJω==xLi+yLj+zLkdLdt=dLdt*+Ω?L=xLi+yLj+zLk+Ω?L=M質(zhì)心定理:22cdrmdt=cmr=F機(jī)械能守恒:12(222xxxyyyzzzJJJωωω++V+E=〈析〉Ω為活動(dòng)坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)速則有:diidt=Ω?如:(xxdLidLdtdt=xxdLdiiLdtdt=+xxLiLi=+Ω?xxLiL=+Ω?(2歐拉方程(活動(dòng)坐標(biāo)系隨剛體自旋dLdt=dLdt*+LΩ?=M寫(xiě)成分量形式:(((xxyzyzxyyzxzxyzzxyxyzJJJMJJJMJJJM?Ω--ΩΩ=??Ω--ΩΩ=??Ω--ΩΩ=??〈析〉0M=時(shí),zzJΩ0=可導(dǎo)出zconstεΩ==可以解釋地球的緯度變遷。(3對(duì)稱(chēng)重陀螺的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(活動(dòng)坐標(biāo)系不隨剛體自旋三個(gè)角速度:自旋:kψ進(jìn)動(dòng):eζ?章動(dòng):iθ總角速度:iekζωθ?ψ=++(sincosijkθ?θ?θψ=+++即sincosxyzωθω?θω?θψ?=?=??=+?由于對(duì)稱(chēng);xJ=yJ=J*代入dLdt=dLdt*+LΩ?=M=(lkmgeζ?-sinmgliθ=可得:cossinsincos00xxxyzzyxxzzzzJJJmglJJJJωω?θω?θθωω?θωθω*-+=??+-=??=?代入:(sincosijkωθ?θ?θψ=+++可整理出;cos?θψ+ε=(2222sincos22zJJmglEθ?θεθ*+++=22sincoszJJS?θεθ*+=(2222coscos22sin2zzsJJJEmglJεθθεθθ**??-=+++??????(22JUθθ*=+〈析〉可以用勢(shì)函數(shù)(Uθ來(lái)判斷進(jìn)動(dòng)的規(guī)則性,如:規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí),((220,0dUdUddθθθθ=>另外,也可用S來(lái)判斷,(其實(shí)更簡(jiǎn)單。規(guī)則進(jìn)動(dòng)時(shí):0?>例題:5.3(p131解:取質(zhì)心C為坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸如圖所示,AB位于yz平面內(nèi)。由于柱體是均勻的,質(zhì)心位于幾何中心,顯然x、y和z軸都是對(duì)稱(chēng)軸,它們都是慣量主軸。對(duì)圓錐軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz即是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jzz:A02rCryzxB30'Bdle由于柱體的對(duì)稱(chēng)性,對(duì)x軸和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等,設(shè)柱體密度為,則現(xiàn)在坐標(biāo)軸是慣量主軸,諸慣量積都為零;對(duì)質(zhì)心C的慣量矩陣是一對(duì)角陣。則柱體對(duì)CB’軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是按題意,以此代入即求得再由平行軸定理,要求得柱體對(duì)AB軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,先求出AB與CB’間的垂直距離d。柱體質(zhì)心C相對(duì)于A(yíng)點(diǎn)的位矢為:AB方向的單位矢量:由此:(ii求柱體對(duì)A的角動(dòng)量柱體以角速度繞AB軸轉(zhuǎn)動(dòng),A為定點(diǎn),則柱體對(duì)A點(diǎn)的角動(dòng)量:先求Lc,即設(shè)想柱體質(zhì)量集中在質(zhì)心隨質(zhì)心一起運(yùn)動(dòng)對(duì)A點(diǎn)的角動(dòng)量。質(zhì)心C的速度000222222005200((sin77612xxxrrryyyJJyzdxdydzrzrddrdzrmrJJπσσθθσπ-==+=+====????'22200(0000xxCByyzzxxyyzzJJJJJJJααβγβγαβγ??????=????????=++2330cos,2160cos,02/cos(======γβπα20'48253(41mrJJJzzyyCB=+=krjrrc00+-=1322leijkjkαβγ=++=+設(shè)與之間的夾,則:crle?2200(133sin,(122clcdrerrdr?+==?==+20202'32473(4812314825(mrmrmdJJCBAB+=++=+=ccLLL'=+iarrkjirvccωωω31(2102321000+=?????????-=?=(31(2120jirvrmLccc++=?=ω再求柱體以同樣角速度繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量最后得柱體對(duì)A點(diǎn)的角動(dòng)量為5.4邊長(zhǎng)是a質(zhì)量為m的均質(zhì)立方體,繞對(duì)角線(xiàn)以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。求出此立方體的動(dòng)能。[解]取坐標(biāo)系如圖所示,轉(zhuǎn)軸OA方向的單位矢量用矩陣橫矢量式表示為它的三個(gè)元素分別是關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦。現(xiàn)在三個(gè)坐標(biāo)軸都不是慣量主軸,不過(guò)從對(duì)稱(chēng)性易知慣量積:對(duì)立體角點(diǎn)O的慣量矩陣2000010020032(3(763224xxccyyzzyyzzJLJJJmJjJkrjkωωωω????????'=?=??????????=+=+220020131((7632241(19123(128324ccLLLmrjkmrjkmrjkωωω'=++=+++??=+++??111(31=le225200022(33aaaxxyyzzJJJxydxdydzama===+==???520001144aaayzzxxyJJJxydxdydzama=====?????????????------=3241414132414141322maJ角速度的矩陣橫矢量或列矢量表示為按(5.22式得立方體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能為習(xí)題:5.1一長(zhǎng)為l的棒AB,靠在半徑為r的半圓形柱面上,如圖所示。今A點(diǎn)以恒定速度0υ沿水平線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。試求:(1B點(diǎn)的速度Bυ;(2畫(huà)出棒的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置.解:如右圖所示建立坐標(biāo)系xoy,依圖知:02cos(sinsinAdrrriiidtθθυθθ===得:20sincosrυθθθ=BABAkrυυθ=+?2003200sin(cossincossinsin(1cosikliljrllijrrυθυθθθθθυυθ=+?-+=--瞬心S滿(mǎn)足:21(SAArrωυω=+????????===1113111(3ωωωωle(22220211344111211111126434121112443maTJmaωωωω??--??????=??=--=???????--???0221(sincossinsinrikirrijθυθθθθθ=+?=+如上圖所示.5.2一輪的半徑為r,豎直放置于水平面上。輪心以恒定速度v0前進(jìn)。求輪緣上任一點(diǎn)(該點(diǎn)處的輪輻與水平線(xiàn)成θ角的速度和加速度。解:如題3.15.1圖所示坐標(biāo)系Oxyz。題3.15.1圖xyzθOAPω圖T5.2由于球作無(wú)滑滾動(dòng),球與地面的接觸A的速度與地面一致,等于零,所以A點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。以O(shè)為基點(diǎn)。設(shè)球的角速度kω=-ω,則000(((0AvvOAvikrjvrkωωω=+?=+-?-=-=0vrω=設(shè)輪緣上任意一點(diǎn)p,Op與x軸交角為θ,則cossinOprirjθθ=+故000(((pvvOPvikrcosirsinjvrsinirconjωωθθωθωθ=+?=+-?+=+-當(dāng)090θ=時(shí),得最高點(diǎn)的速度02topvv=02220(([((](pdaaOPOPdtakakrcosirsinjrcosirsinjvcosisinjrωωωθθωθωθθθ=+?+??=-?-?+=--=-+當(dāng)090θ=和090θ=-時(shí)分別得到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的加速度20topvajr=-20bottomvajr=5.6一邊長(zhǎng)為d,質(zhì)量為m的勻質(zhì)立方體,分別求出該立方體對(duì)過(guò)頂點(diǎn)的棱邊,面對(duì)角線(xiàn)和體對(duì)角線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,pfJJ和bJ.解:如右圖所示,取三條對(duì)稱(chēng)軸建立坐標(biāo)系oxyz.依對(duì)稱(chēng)性知:42222222233222((126ddddddxyzmmdmdJJJxydxdydydydd---===+=+=???再依平行軸定理:221223pxJJmdmd=+=22211152241211113336fxybxyzxJJJmdmdJJJJJmd=++==++==5.7一勻質(zhì)等邊三角形的薄板,邊長(zhǎng)為l。質(zhì)量為m,試在圖所示的坐標(biāo)系下,求出薄板對(duì)質(zhì)心C的慣量矩陣cJ,并由此導(dǎo)出對(duì)頂點(diǎn)O的慣量矩陣oJ。圖中坐標(biāo)系Cxyz和坐標(biāo)系Oξηζ的坐標(biāo)軸分別相互平行,ξη和xy都在薄板平面內(nèi).解:(1322222223361222222221222222233((342424313(3(242424(12lxxllyylzzlmlJyzdmydmylydyllmlJxzdmxdmxlxdxlmlJxydmxdmydmσσσσ--=+==-===+==-===+=+=?????????又因?yàn)閥與z為對(duì)稱(chēng)軸,則0xyyzzxJJJ===故:210001024002CmlJ???=????(2OmcCJJJ=+222222222130121210031001012424002100332302370240010ccccccccccccCcccccczyxyxzmxyxzyzJxzyzxymlmlml??+--?=-+-+??--+????-??????=-+?????????????-?=-?????5.8質(zhì)量為m,長(zhǎng)為l的細(xì)長(zhǎng)桿,繞通過(guò)桿端點(diǎn)O的鉛直軸以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。桿于轉(zhuǎn)軸間的夾角θ保持恒定。求桿對(duì)端點(diǎn)O的角動(dòng)量.解:如右圖建立坐標(biāo)系,有2222211sincossin3yJJJmlθθθ=+=則:角動(dòng)量221sin3yLJmljωωθ==5.11如圖T5.11所示,一矩形均質(zhì)薄板ABCD,長(zhǎng)為l,寬為d,質(zhì)量為m。薄板繞豎直軸AB以初角速0ω轉(zhuǎn)動(dòng),阻力與薄板表面垂直并與面積,以及速度的平方成正比,比例系數(shù)為k。問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后,薄板的角速減為初角速度的一半?解如圖T5.11,zxyOABCDωab?∧圖T5.11坐標(biāo)Oxyz與薄片固連,則沿z軸方向有:ZMdtdz=且zIzω=①現(xiàn)取如圖陰影部分的小區(qū)域adydS=,該區(qū)域受到的阻力(22ykadykdSvdfzω==df對(duì)z軸的力矩dyykaydfdMzz32ω-=?-=所以2304zazzbakdMMω-==?②又薄片對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(abmmabdyydmyIaaρρ====??2020231③由①②③得:(021431ωω+=tmbkatz當(dāng)(20ωω=tz時(shí),0234ωbkamt=5.14一矩形薄板,邊長(zhǎng)分別為l和d,以角速度ω繞對(duì)角線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)。今若突然改為繞l邊轉(zhuǎn)動(dòng),求此時(shí)薄板的角速度Ω。解:如右圖所示,則:22221(00121001210012CmldJmdml??+???=??????2222221(0031103411043OmldJmdmlmlml??+???=-???-???對(duì)OA軸:222222((12CldmldLJjkdjlkldldldωω=+=++++設(shè)繞OB軸的角速度為:jΩ=Ω則有:211(34OLJjmdjmdlk=Ω=Ω-在轉(zhuǎn)換時(shí),z方向有沖量矩作用,而y方向動(dòng)量矩守恒,故有:22221312mldmdldωΩ=+得:224ljldωΩ=+5.17長(zhǎng)為l的勻質(zhì)棒,一端以光滑鉸鏈懸掛于固定點(diǎn)。若起始時(shí),棒自水平位置靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng),當(dāng)棒通過(guò)豎直位置時(shí)鉸鏈突然松脫,棒開(kāi)始自由運(yùn)動(dòng)。在以后的運(yùn)動(dòng)中(1證明棒質(zhì)心的軌跡為一拋物線(xiàn);(2棒的質(zhì)心下降h距離時(shí),棒已轉(zhuǎn)過(guò)多少圈?解:(1證明:如右圖建立坐標(biāo)系,剛松脫時(shí),具有ω,滿(mǎn)足:22111232mlmglω=得:3glω=則此后:2322122COxCltxttgllygtυω?=-=-=????=+??消去t參數(shù)得:22221(22233CCCxxllyglgl=+=+即為拋物線(xiàn)。(2質(zhì)心下降h時(shí),有:212gth=得:2htg=則轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù):13216222tghhnlglωπππ===第六章分析力學(xué)題型:大題大題出自拉格朗日方程什么是虛位移?題目:例題6.1(p1766.4(p1896.6(p193習(xí)題6.1·6.2·6.101虛功原理:(平衡時(shí)理想條件下,力學(xué)系的平衡條件是各質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力所作的虛功之和為零:10niiiWFrδδ==?=∑用廣義坐標(biāo)來(lái)表述:310niiixWFqqααδδ=?==?∑2達(dá)朗貝爾原理(動(dòng)力學(xué)下的虛功原理:1(0niiiiiWFmrrδδ==-?=∑〈析〉rδ,Wδ均是在時(shí)間未變化(0dt=時(shí)所設(shè)想的量,而廣義坐標(biāo)aq可以是角度,長(zhǎng)度或其它的獨(dú)立的坐標(biāo)變量。3拉格朗日方程(dTTQ