2023屆高考數(shù)學(xué)練習(xí)（湖南）-考點04平面向量的應(yīng)用（解析版）

考點04 平面向量的應(yīng)用一、單選題(共12小題)L在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=[-,a=3,b=次，則c=( )oA.V3 B.3-V3 c.3 D.2Vs【答案】D【分析】由已知利用余弦定理可得c'Fc-6=0,解方程即可求解c的值.【解答】解：因為A=^~,a=3,b=V3>所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得9=3+c?-2X?Xcx￡,整理可得c?-?c-6=0,解得c=2。^,或-(舍去).故選：D.【知識點】余弦定理、正弦定理2,已知作用在坐標(biāo)原點的三個力==(3,4),及=(2,-5), =(3,1),則作用在原點的合力F=再+再+及的坐標(biāo)為( )A.(8,0) B.(8,8) C.(-2,0)D.(-2,8)【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算公式，計算即可.【解答】解：=(3,4),y?=(2,-5),弓=(3,1),則F=y^+司+司=(3+2+3,4-5+1)=(8,0).故選：A.【知識點】向量在物理中的應(yīng)用3.在aABC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,若A+C=2B,a=l,b=?,則Smbc等于( )A.V2 B.5/3 C.返 D.22【答案】C【分析】易得B=2,再由正弦定理求得sinA的值，然后利用“大邊對大角”判斷角A為鈍角還是銳角，最后由三角形的面積公式，即可得解.【解答】解：；A+C=2B,A+B+C=3B=n,即B=由正弦定理知,sinAsinB由正弦定理知,sinAsinBiVs...i = ——,..sinA=一,sinA.兀 2s1rlVa<b,.Va<b,.\A<B,即A為銳角,AA=714.在AABC中，已知a=4&,兀B=一4則b等于（A.472B4.在AABC中，已知a=4&,兀B=一4則b等于（A.472B.476C.D.12【答案】C【分析】先由三角形的內(nèi)角和定理求出角A,再由正弦定理，即可得解.【解答】解：；B=12n「 冗??A=n-B-C=n 4由正弦定理知,5打~12b7T~3sinAsinBSaabc=-■ab=—■X1X2 2故選：c.【知識點】正弦定理KsirrT故選：c.【知識點】正弦定理5.若△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a2=b?+c2-be,5.若△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a2=b?+c2-be,則角A的大小為（【答案】BR耳D. 32兀~3~D.當(dāng)或.【分析】由條件利用余弦定理求得得，從而求得角A的大小.【解答】解：,?,△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a°=b°+c°-be,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a2l2bc2,3故選：B.【知識點】余弦定理6.4ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=&,則b=(A.1B.A.1B.V2D.2【答案】A【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求B的值，進而根據(jù)正弦定理即可求解b的值.【解答】解：因為A=105°,C=45°,c=V2>可得B=180°-A-C=30°,由正弦定理c?sinB由正弦定理c?sinBsinBsinCsinC故選：A.【知識點】正弦定理、余弦定理.如圖，Z\ABC中，AC=4、/§,cosA=返，D為AABC外一點，且ND=2NA,DC=2,Z\BCD的面積為43則AB=(BA.6B.7則AB=(BA.6B.7C.8D.9【答案】C【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.【解答】解：AABC中，AC=4?,cosA=^l,3所以：sinA=Y5,3且ND=2NA,所以sinD=sin2A=2sinAcosA=Z^巨,32 1cosD=cos2A=2cosA-1= ,3由于DC=2,ZiBCD的面積為4&,所以SABDC-yX2XBDX等=班，乙 O解得BD=6,由余弦定理得：BC2=BD2+CD2-2?BD?CD?cosD=62+22-2X6X2X(。)=48，0解得BC=4?.在AABC中，利用余弦定理：BC2=AC2+AB2-2AC?ABcosA,即48=48+AB2-8yx返A(chǔ)B,3解得AB=8.故選：C.【知識點】三角形中的幾何計算、余弦定理、正弦定理.在aABC中，a,b,c是三角形A,B,C的對邊，若2cosc(acosB+bcosA)=(:且?=聽，sinA=YS.,TOC\o"1-5"\h\z_ 7sinB=3Si,則△ABC的面積為()_14A. B.返 C.25/3 D.3\o"CurrentDocument"2 2【答案】A【分析】直接利用正弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.【解答】解：2cosC(acosB+bcosA)=c,利用正弦定理：2cosCsin(A+B)=sinC,整理得：2sinCcosC=sinC,由于sinCWO,所以cosC=—,由于OVCVn,JT所以c=q,由于c=J7，sinA=Y^",sinB=2^Z,_7 14所以2R=——sinC3則SAABC=yabsinC=yX2RsinAX2RsinBXsinC^^-故選：A.【知識點】正弦定理k—rr9.已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2+c2+ac-b2=0,則cos2—->/^sin5cos彳的取值范圍為(

C.(~>1]【答案】B【分析】利用余弦定理求出B的值，再根據(jù)題意利用三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求得對應(yīng)的取值范圍.【解答】解：Z\ABC中，由a'c'ac-1^=0,得a^+c?-b'=-ac,又BG(0,Jt),所以B=§L；由題意得cos--x/3sin—cos—=—(cosA+1)-Y^sinCTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 22 21八F?/兀八,1=—cosA--S-iisin( A)+—\o"CurrentDocument"2 2 3 2=—cosA-返(返cosA--sinA)+—\o"CurrentDocument"2 2 2 2 2=--cosA+^^-sinA+—又0<A<一二「，所以一二~所以-即cos,即cos,1--^3sin與cos,的取值范圍是(1,故選：B.【知識點】余弦定理10.在aABC10.在aABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,外接圓半徑為R,若bsinB-asinA=]asinC，-0-AABC的面積為2/sinB(1-cos2A),則cosB=(【答案】D【分析】由bsinB-asinA=萬asinC結(jié)合正弦定理=b-a-=1-ac①，由AABC的面積為2R“sinB(1-cos2A)=a2sinB,=>-1-acsinB=a2sinB,即c=2a,代入①得，b2=2a~,再由余弦定理即可得出答案.

【解答】解：因為bsinB-asinAh^■asinC，所以由正弦定理得，b2-a2=*ac①，因為4ABC的面積為2R2sinB(1-cos2A)=a2sinB,所以一acsinB=aJsinB,2則c=2a,代入①得，b2=2a2,一卜2 24a2-2a23由余弦定理得，cosB=7S—2_=-_4aoZa=4TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2ac 4a2 4故選：D.【知識點】余弦定理、正弦定理.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2cos?釁■+cosB=g，且AABC的面積為返b?,2 2 4則角B=( )C.豆或D.C.豆或D.專或.【答案】B【分析】由已知利用二倍角公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡可得sinAsinC=4'利用三角形的面積4TTQTT公式，正弦定理結(jié)合sinBWO,可求sinB的值，結(jié)合范圍BG(0,n),可求B=1「，,又TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 3由已知可得cosB=4-2cos2-^4-從而可求B=」.\o"CurrentDocument"2 2 2 3【解答】解：因為2coszA|C+cosBh|，可得1+cos(A-C)+cosB=l+cos(A-C)-cos(A+C)=1+cosAcosC+sinAsinC-5 , 3cosAcosC+sinAsinC=—,可得sinAsinC=一,\o"CurrentDocument"2 4因為AABC的面積為Y@b"=』acsinB,可得Y?sir?B=』sinAsinCsinB,\o"CurrentDocument"4 2 4 2由于sinBWO,可得YasinB=2^sinAsinC=LX—,解得sinB=Y￡4 2 2 48 2因為B￡(0,n),所以B哼拳又因為cosB=—-2cos2—-2=-,\o"CurrentDocument"2 2 2 2所以B=--.o

故選：B.【知識點】正弦定理、二倍角的三角函數(shù).若aABC的三個內(nèi)角A,B,C滿足tanA,tanB,tanA+tanC,tanB(tanA+tanC)依次成等比數(shù)列，則回B,sin(B-A)值是（ ）A.值是（ ）A.叵10c.卷D?等【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及三角恒等變換求出A,sinB,cosB,sinC,cosC,從而求出迪爛出■的sin（B-A）值即可.【解答】解：VtanA,tanB,tanA+tanC,tanB(tanA+tanC)依次成等比數(shù)列，tanJB=tanA(tanA+tanC),(tanA+tanC)2=tanJB(tanA+tanC),/.(tanA-1)((tanA+tanC)2=0,A,B,C是AABC的內(nèi)角,故解得：A=：,4Atan2B=l+tan[n-(A+B)],tanJB=l-tan(~^-+B),4...tan^B=l-l±tanB(1-tanB/.tan2B-tanB-2=0,解得：tanB=2,故sinB=2y,cosB=Y^,5 5TOC\o"1-5"\h\z又tanC=-tan(A+B)=- =3,1-tanB故sinC=-W^,cosC=^A2.,10 103^2病故sin(C-B)_sinCcosB-cosCsinB__50 50_*^5sin(B-A)sinBcosA-cosBsinA 2V15VT55'\o"CurrentDocument"10 10故選：C.【知識點】正弦定理二、填空題（共8小題）.在AABC中，若AB=2,NB=92L,ZC=—,則BC=12 4

【分析】由三角形的內(nèi)角和即B,C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得邊BC的值.【解答】解：A=TT-B-C=K^-^-y,由正弦定理得AB

sinCBC

由正弦定理得AB

sinCBC

sinA,所以BC=ABsinA

sinC2sin-T-si可故答案為：Vo-【知識點】正弦定理.已知等腰三角形的底邊長為6,一腰長為12,則它的內(nèi)切圓面積為.【分析】根據(jù)題意，設(shè)等腰aABC中，AB=AC=12,BC=6,設(shè)該三角形底邊上的高為AD,其內(nèi)切圓半徑為r；結(jié)合勾股定理可得AD的值，進而可得AABC的面積，而%業(yè)=￡乂「乂(AB+AC+BC),計算可得r的值，代入圓的面積公式計算可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，如圖等腰AABC中，AB=AC=12,BC=6,設(shè)該三角形底邊上的高為AD,其內(nèi)切圓半徑為r,BD=-1-BC=3,AD=^122-32=3,^,則Saabc=/xBCXAD=9任，而弘次=/義「*(AB+AC+BC)=95/15.則r=曳逗15則其內(nèi)切圓面積S=n5故答案為：里土.【知識點】解三角形.已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c.若sinC=J^sinA,cosC=-?，則A=

【分析】由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理即可直接求解.【解答】解：因為sinC=?sinA,由正弦定理可得，c=J§a,因為cosC=->所以a2所以a2+b2-c22ab整理可得，a=b,=返2TT由A為三角形內(nèi)角可得，A=T-.6故答案為：6【知識點】正弦定理、余弦定理.如圖所示，為了測量A、B兩島嶼的距離，小明在D處觀測到A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向,則A、B兩島嶼的距離為 海里.【分析】先利用正弦定理求解AD的長，BD,再利用余弦定理求出AB.【解答】解：由題意知NADB=60°,ZACB=60°,ZADC=105",ZACD=30",CD=10,在三角形ACD中，.果。=.以。，???AD=W^，

sin30sin45在直角三角形BCD中，BD=10我，在三角形ABD中，ab=^aD2+BD2-2AD-BDcos60°=5^-故答案為：576【知識點】解三角形.在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=l,「1nB=5嗎,則一也丁=1+COSDcosAcosA]

tanA]

tanATr的取值范圍是tanB【分析】結(jié)合二倍角公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系對已知條件進行化簡，可推出B=2A,再由正弦定理即可求得」丁的值：通過銳角△ABC,可求得BG（=,=）,最后結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"cosA 3 2與兩角差公式，對所求式子進行化簡后，即可得解.［解答］解：...Ui嗎41+COSDcosA\o"CurrentDocument"9.BB2sinycosy Rz=tan—=tanA,Q2B 22cos???銳角三角形ABC,即B=2A,.*.sin2A=sinB,即2sinAcosA=sinB,由正弦定理知，一丁=一4"sinAsinB.*.2acosA=b,cosAcosA0<a<4-27T0<a<4-27T在銳角三角形ABC中，，0<C<^20<A<f即<0<2A<￡0<Jl-3A<^-2AAG），AAG），Be吟,全,? 1 ? 1 1_cosAcosB_sinBcosA-cosBsinA???— — - —— -. .tanAtanBsinAsinBsinAsinBe(1,2Vs).sinB 3故答案為：2；(1,3反).3【知識點】正弦定理sin(B-A)sinAsinBsinA

sinAsinB18.某展館現(xiàn)有一塊三角形區(qū)域可以布展，經(jīng)過測量其三邊長分別為14、10、6（單位：m）,且該區(qū)域的租金為每天4元/nA若租用上述區(qū)域5天，則僅場地的租用費約需一元（結(jié)果保留整數(shù)）.【答案】520【答案】520【分析】直接利用余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.【解答】解：在AABC中，設(shè)AB=6,AC=10,BC=14,利用cosA=利用cosA=62+102-142

2X6X10由于AG(0,n),所以A=等.所以S/kABC卷X6X10X喙=氏0則花費用為4X5X15?-520(元).故答案為：520元.【知識點】正弦定理19.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知AABC的面積為J元，c-a=2,cosB=—,則b4的值為【答案】4【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，根據(jù)三角形的面積公式可求ac的值，結(jié)合已知利用余弦定理可求b的值.【解答】解：因為cosB=1,4所以sinB=&^"=零,因為4ABC的面積為任=[acsinB=4acx15,解得ac=8,2 2 4又c-a=2,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a"+cJ-—ac=(c-a)"+2ac-—ac=4+16-4=16,2 2解得b=4.故答案為：4.【知識點】正弦定理、余弦定理20.ZXABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=l,b=J13，ccosA+acosC=2bcosB,則AABC的面積為.【分析】由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式，結(jié)合sinB#0,可得cosB=/,結(jié)合B的范圍可求B的值，由余弦定理可得c?-c-12=0,解得c的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【解答】解：因為ccosA+acosC=2bcosB,所以由正弦定理可得sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosB,可得sin(C+A)=sinB=2sinBcosB,因為B￡(0,n),sinBWO,可得cosB=q,jr可得B=g,o又a=l,b=J13,則由余弦定理1^=/+--2accosB,可得13=1+1-2XIXcX],整理可得c''-c-12=0,解得c=4,或-3(舍去)，則AABC的面積S=-i-acsinB=—xIX4G區(qū)=6.， 2 2故答案為：【知識點】正弦定理三、解答題(共8小題)21.已知a、b、c是AABC中NA、NB、NC的對邊，a=4?,b=6,cosA=-(1)求c：(2)求cos2B的值.【分析】(1)由余弦定理即可求得c的值；(2)先由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根據(jù)cos2B=l-2sin2B,得解.【解答】解：(1)由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA,即48=36+1-2X6XcX(-—),3整理得，c2+4c-12=0,解得c=2或-6(舍負)，故c=2.VcosA=-y,且A￡(0,n),.\sinA=afJ 27=2叵，Vl-cosAg由正弦定理知，告~=1三，即集=金，sinAsinB32sinBAsinB=^^-,32 1??cos2B=l-2sin"B= .3【知識點】余弦定理22.在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b=3,sinA+asinB=25/3.(1)求角A的大小；(2)求△ABC周長的取值范圍.【分析】(1)利用正弦定理將sinB轉(zhuǎn)換成sinA,即可得到角A；(2)利用正弦定理將邊a,c轉(zhuǎn)換成與sinB有關(guān)系的量，然后根據(jù)角B的范圍求三角形周長即可.［解答］解：(1)I2=產(chǎn)=:,sinAsinBsmC.*.asinB=bsinA,sinA+asinB=sinA+bsinA=4sinA=2-\/3，..AV3??sinA=△ABC為銳角三角形，于是A=373(2)正弦定理：/=b=尸可得aM，喑，sinAsinBsmCasinBsinB等+3sinC-+3sin(罕-B)aM=. +3= 贏 ...用長竽+3(亨cosB^sinB)::加/ssB9=咨上遣° sinB 2.sinB% 22sin|-cosy2373 1 9= ? 4——.2B2tarry△又「△ABC為銳角三角形，??r(兀冗、??212，4)?e?tanr^E(2-V3? , ⑴2+?),t皿I二周長范圍為(3竽，9+3?).【知識點】正弦定理7T RTT23.已知AABC中，AB=^3?D是邊BC上一點，AD=>/2?ZADC= ,ZDAC= .3 12(1)求AC的長；(2)求4ABD的面積.

【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可求出；（2）根據(jù)余弦定理和三角形的面積公式即可求出.【解答】解：（1）由已知nacd=?L,4則4ADC中,則4ADC中,AC

sinZADCAD

sinZACD.AC_V2??逅=囪TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2-,.AC=V3；（2）Z\ABD中，AB=?,AD=V2>NADB=n-ZADC=-^y-,\o"CurrentDocument"則（F）2=BD2+（V2）2-2BDXa/2Xcos-^-,解得BD=1Z返，3 2故4ABD的面積為』XBDXADXsin4=之乂扈叵x近義近=主叵.\o"CurrentDocument"2 3 2 2 2 4【知識點】余弦定理、正弦定理24.在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,b2+c2=a2+V3bc.（1）求sinA；（2）若aABC外接圓的面積為16兀，求邊長a.【分析】（1）由余弦定理可求得角A的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sinA的值;（2）先求出外接圓的半徑R,再利用正弦定理的推論i'=2R可求得a.sinA【解答】解：（1）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,又b^+c^=a^be***2cosA=V3?%sA考.又A為三角形ABC的內(nèi)角，??*1??sinA^：（2）:△ABC外接圓的面積為16Jt,設(shè)該圓半徑為R,；.R=4,...由正弦定理得：-^―=2R=8>sinA由（1）得a=4.【知識點】正弦定理、余弦定理.已知4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,從條件①a?+b2-c2=^^^absinC,條件②Fa=bsinC+3J^ccosB,條件③(a2+b，-c,XacosB+bcosA)=abc這三個條件中任選一個，解答下列問題.(I)求角C的大?。?II)若c=2,當(dāng)a,b分別取何值時，^ABC面積取得最大值，并求出其最大值.【分析】(I)利用正弦定理，余弦定理可求C的大小，(II)由余弦定理及基本不等式可求ab的范圍，再由三角形的面積公式即可求解.【解答】解：(I)若選①由余弦定理及a2+b2-c2=ZpabsinC得2abcosC=2/?absinC，所以tanC=V3，因為CW(0,n),所以c=~^,若選②由正弦定理及J§a=bsinC+近ccosB得，V3sinA=sinBcosC+sinCcosI,所以J^sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,所以占sinBcosC二sinBsinC,因為B￡(0,n),所以sinBWO,所以tanC=所以，=告，若選③，由余弦定理及(a2+b2-c2)*(acosB+bcosA)=abc得，2abcosC(acosB+bcosA)=abc,由正弦定理得2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,所以2coscsin(A+B)=sinC,因為sinCWO,所以cosC^—,所以c=~^,(II)由c=2及c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab》ab,得ab《4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號.所以SAAK=/absinC 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號，此時△ABC面積取得最大值【知識點】余弦定理.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=jm，c=&,ZB=45°.(1)求邊BC的長;4(2)在邊BC上取一點D,使得cos/ADB=V，求sinNDAC的值.5【分析】(1)在AABC中，由余弦定理可列得關(guān)于a的方程，解之即可；4(2)在AABC中，由正弦定理求得sinC的值，再結(jié)合cosNADB=2與三角形的內(nèi)角和定理可判斷出C為銳角，并根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出cosC和sin/ADC的值，最后由正弦的兩角和公式，可得解.【解答】解：(1)在AABC中，因為C=V2-/B=45°,由余弦定理知，bJ=a2+c2-2accosB,所以5=2+a2-2X&XaX乎，即a?-2a-3=0,解得a=3或a=-l(舍)，所以BC=3.(2)在AABC中，由正弦定理知，{sinBsinC所以桑一近,解得sinC^'sm45sinC 5因為cos/ADB=5，5所以cos/ADC=~4，即NADC為鈍角，且sinNADC=±5 5又NADC+NC+NCAD=180°,所以NC為銳角，所以cosC=11-sin2c上善，所以sinNDAC=sin(180°-ZADC-ZC)=sin(ZADC+ZC)=sinZADCcos