2023屆湘潭高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

姓名準(zhǔn)考證號(hào)—（在此卷上答題無效）絕密★啟用前湘潭市2023屆高三入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上。.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后.用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如有改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí).將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。.考試結(jié)束后.將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4（）分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的..已知集合A=（xeR|x2-x=Q},B={了已叫公+工片。）,則AQB=A.{1} B.{-1} C.{0,1} D.{-1,0,1}2?復(fù)數(shù)（E）'=A.-1 B.1 C.-i D.i.若函數(shù)/（H）=sin2a-的圖象由函數(shù)g（h）=cos21的圖象經(jīng)過以下變換得到的,則該變換為A.向左平移號(hào)個(gè)單位長度 B.向左平移于個(gè)單位長度C.向右平移住個(gè)單位長度 D.向右平移f個(gè)單位長度.已知直三棱柱ABC-AIC的側(cè)棱和底面邊長均為1,M,N分別是棱上的點(diǎn)，且CM=2BIN=；l,當(dāng)MN〃平面AACC時(shí),;I的值為TOC\o"1-5"\h\zA.-j- B.- C. D.4 3 Z 3.設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5nm規(guī)格的芯片,現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊.8塊,且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為《，現(xiàn)從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為0.08.則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為A— B— C— D—,5 ,10 ?15 ,20.牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點(diǎn)近似解的另一種方法.若定義〃aeN）是函數(shù)零點(diǎn)近似解的初始值，過點(diǎn)P*（z，/（z））的切線為》=/'5）（工一加）+/5），切線與H軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為丁*十一即為函數(shù)零點(diǎn)近似解的下一個(gè)初始值，以此類推?滿足精度的初始值即為函數(shù)零點(diǎn)近似解.設(shè)函數(shù)/（了）=工?一5,滿足了。=1.應(yīng)用上述方法，則工3=A.3 B,? C. D.II.在四邊形ABCD中,G為△BCD的重心,AG=2,點(diǎn)。在線段AG上，則蘇?(說+反+0力的最小值為A.-3 B.-2 C.-1 D.0.已知a=-^-sin-^-,0=-^-sin4->c=icos■?貝U6 5 5 6 15 6A.a<Zb<Zc B.b<a<c C.a<Zc<Zb D.cVaVb二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分..已知函數(shù)f(jr)=s\n7t、r+cos兀丁(/￡R)，則下列說法正確的是A.函數(shù)/'(])是周期函數(shù)B.函數(shù)/(1)的最大值是2C.函數(shù)八工)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一十,0)對(duì)稱D.函數(shù)/(z)的圖象關(guān)于直線工=9對(duì)稱.已知函數(shù)/(x)=lnz,a>0,則下列結(jié)論中正確的是A.函數(shù)》=/3+工)一/(工)是其定義域上的減函數(shù)B.函數(shù)y=f(a—才)+/(一①)是其定義域上的減函數(shù)C.函數(shù)，=/(“一工)+/(a+])是其定義域上的增函數(shù)D.函數(shù)y=/(a+z)—/(a-i)是其定義域上的增函數(shù).已知宜線/：,=歸(工一1)(4￡0)與拋物線C：/=4h交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)()為坐標(biāo)原點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)是則A..k=2 B."?=3 C.|AB|=5 D.()A±()BTOC\o"1-5"\h\z.如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為P,其軸截面APAB是邊長為6的為正三角形為底面的圓心，EF為圓a的一條直徑,球。內(nèi)切于圓錐(與圓錐底面和側(cè)面均相切)，點(diǎn)Q是球O與圓錐側(cè)面的交線上一動(dòng)點(diǎn)?則 人A.圓錐的表面積是457rB.球。的體積是4"n /EH、C.四棱錐Q-AEBF體積的最大值為/T三東人D.|QE|+|QF|的最大值為6班’ A b三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. ,13.設(shè)關(guān)于7的不等式xz-aa-+6<0的解集為A={N|-1Vz<2},則a+〃的值等于.14.設(shè)(1+#)"=%+&i才+。21*+…+a”z"(”eN',"》4),若 {0,1,2,}.則〃的所有可能取值的個(gè)數(shù)是..某燈泡廠對(duì)編號(hào)為1,2,…，15的十五個(gè)燈泡進(jìn)行使用壽命試驗(yàn)，得到奇數(shù)號(hào)燈泡的平均使用壽命(單位：小時(shí))為1580,方差為15000.偶數(shù)號(hào)燈泡的平均使用壽命為1580,方差為12000,則這十五個(gè)燈泡的使用壽命的方差為..已知雙曲線C：]-￡=l(a>0,6>0)的右頂點(diǎn)為A,若以點(diǎn)A為圓心，以〃為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于M.N兩點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且。訪=5蘇，則雙曲線C的離心率為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟..（本小題滿分10分）設(shè)數(shù)列｛?！埃?，亡2）的前〃項(xiàng)和為5.，5“=2卬-1.數(shù)列｛4｝（〃62）是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和是T“，且4=。3,b：,=a：..（D求數(shù)列｛七｝和｛6｝的通項(xiàng)公式;（2）求使得T,?是數(shù)列｛6“）中的項(xiàng)的，〃的取值集合..（本小題滿分12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,〃,c,A為鈍角，且tanB=-.a（1）探究人與8的關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍..（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知四邊形ABCD是梯形，AB〃CD,AD，AB,AB=BC=2CD=2,APBC是正三角形.（1）求證：8二1_2八；（2）當(dāng)四棱錐P-ABCD體積最大時(shí).求：①點(diǎn)A到平面PBC的距離； \\②平面PAB與平面PAD夾角的余弦值. 鄉(xiāng)/\\.（本小題滿分12分）湘潭是偉人故里，生態(tài)宜居之城,市民幸福感與日俱增.某機(jī)構(gòu)為了解市民對(duì)幸福感滿意度，隨機(jī)抽取了120位市民進(jìn)行調(diào)查，其結(jié)果如下：回答“滿意”的“工薪族”人數(shù)是40人，回答“不滿意”的“工薪族”人數(shù)是30人，回答,?滿意”的“非工薪族”人數(shù)是40人，回答“不滿意”的“非工薪族”人數(shù)是10人.（1）請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面2X2列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為市民對(duì)于幸福感滿意度與是否為工薪族有關(guān)聯(lián)？滿意不滿意合計(jì)工薪族非工薪族合計(jì)（2）用上述調(diào)查所得到的滿意度頻率估計(jì)概率，機(jī)構(gòu)欲隨機(jī)抽取部分市民做進(jìn)一步調(diào)查.規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過“sev）.若隨機(jī)抽取的市民屬于不滿意群體,則抽樣結(jié)束；若隨機(jī)抽取的市民屬于滿意群體,則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達(dá)到〃時(shí)，抽樣結(jié)束.記此時(shí)抽樣次數(shù)為X,,.①若〃=5,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②請(qǐng)寫出X,.的數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式（不需證明），根據(jù)你的理解說明X,,的數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義.附：a0.0500.0100.005?To3.8416.6357.879參考公式:二刖留瑞E‘其中"j+b+c+乩.（本小題滿分12分）如圖，已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2,0）,（2,0）,直線AP,BP的交點(diǎn)為P,且它們的斜率之積為一十.（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；（2）設(shè)點(diǎn)C為工軸上（不同于A,B）一定點(diǎn)，若過點(diǎn)P的動(dòng)直線與E的交點(diǎn)為Q,直線PQ與直線7=一2和直線工=2分別交于M,N兩點(diǎn)，求證：NACM=/ACN的充要條件為NACP=/ACQ..（本小題滿分12分）已知/（1）=』一+（a+l）lnh.（1）若/（外在定義域上單調(diào)遞增,求a的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)g（_r）=/（;r）—ai,其中a》一■，若g（>r）存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B,jc2①求。的取值范圍；②證明m+工2>2.湘潭市2023屆高三入學(xué)摸底考試-數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則.【答案】A【解析】因?yàn)锳={0,1} {_r€R|工/0,工大一1},所以AC|B={1}.故選A..【答案】C【解析】因?yàn)?￡p'=￡=—i,故選C..【答案】D【解析】因?yàn)?(h—p)=cos2(.r—5)=cos(Zx—)=sin2.r,故選D..【答案】B【解析】當(dāng)；1=1一".即入=5■時(shí)，在AB上取點(diǎn)P,使BP=f".此時(shí)平面PMN〃平面AACC,所以MN〃平面AAiGC,故選B..【答案】B【解析】以Ai，A：分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的.B表示取得的芯片為次品.則P(A,)=:，P(Az)=tp(B|AC="P(B|AC=春則由全概率公式得,P(B)=P(A)P(B|AQ+P(Az)P(B|Az)=~1~X2+~1~X熹=0.08.解得。=上，故選B.0 04U 1U.【答案】C【解析】因?yàn)榘斯?=/-5,所以/(工)=2八又工>=1,所以過點(diǎn)巴(1,一4)的切線方程為y+4=2(_r-l).令y=0得Pi(3.4),所以過點(diǎn)P,的切線方程為y-4=6(_r-3),令y=0.得R(告.卷),所以支=(.所以過點(diǎn)Pi的切線方程為y—!"=￥(" \)’令》=0?得/3=畀，故選C..【答案】A【解析】因?yàn)楹?濟(jì)+慶.。^=左+江，岔=05+而.所以溫+N?+而=3左，于是有示?(OB+OC+OD)=3OA-OG^-3|OA|?|<JG|.X|(M|?|OG|<(?(加］；］(士|y=1,當(dāng)且僅當(dāng)|不|=|而|=1時(shí)取等號(hào)，所以示?(,OB+(K'+OD)=3OA?3.故選A..【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)八工)=皂詈，工€(0,￡).則/(工)=空空手電三，令函數(shù)g(j-)=xcosx-sinmW(0，俳)，則/(.r)=-^sin/V0,所以函數(shù)在(0號(hào))上單調(diào)遞減，所以g(.r)Vg(0)=0.所以函數(shù)/(!)f(4")/⑺在(0號(hào))上單調(diào)遞減，所以/(卷)>/(三)?即T—>-L，所以aV仇TT因?yàn)?06=6sin±?,30c=2cos易證當(dāng)(0,1)時(shí)，］>sin?,所以306=6sin4~V6X《=1,而0V?■，所以30c=2cos-1>>2X十=1?所以分Vc?故選A.

.【答案】AC【解析】因?yàn)?（x）=sinn+cos 乎），所以/（”）是周期為2的周期函數(shù)，其最大值是成■，所以A正確.B錯(cuò)誤；因?yàn)?（一+）=。，/（T■）=l#土&■^所以C正確,D錯(cuò)誤.故選AC..【答案】ABD【解析】對(duì)于A,因?yàn)楹瘮?shù)），=/3+工）一/（"的定義域?yàn)镸+8）,函數(shù)y=/（a+z）—/（工）=E（1+個(gè)）在（0,+8）上單調(diào)遞減.所以A正確；對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)y=/（a—外+/（一/）的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）,函數(shù)），=/（°一"和y=f（—I）在（-8,0）上單調(diào)遞減?所以函數(shù)y=/（a—/）+/（一工）在（-8,0）上單調(diào)遞減，所以B正確；對(duì)于3因?yàn)楹瘮?shù)'=/（0—才）+/（°+7）的定義域?yàn)椋ㄒ弧?。），函數(shù)y=ln（/一/）是偶函數(shù).所以函數(shù)丫=f（a—z）+f（a+/）在（-a.a）上不可能是單調(diào)函數(shù).所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D?因?yàn)楹瘮?shù)丫=/（a+z）—/（a—i）的定義域?yàn)椋ㄒ?聞），函數(shù)了=/（.+”）和丁=一/（〃一/）在（一.“）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)了=八。+彳）一/（。一外在（一。，。）上為增函數(shù),所以D正確，故選ABD..【答案】AC= 1）, 4 A【解析】設(shè)A（力，m）,Big，M），由J[得/一了?一4=0,所以y+v=彳=2,3]?v=-4,所以及=2,又點(diǎn)乂（,"，1）在宜線/上，所以,"=等.所以A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)橐司€/經(jīng)過拋物線/=41的焦點(diǎn).所以|AB|=4+心+2=5,所以C正確；對(duì)于D,因?yàn)閥i?燃=-4,所以hi?4=號(hào)■?干=1,所以（M,OA=xi?x;+.yi?“=-3,所以D錯(cuò)誤，故選AC..【答案】BCD【解析】截面圓圓心為a,則球（）的半徑|（x）t|=#.Ipo2|=|aa|=挈,截面圓a的半徑為告.對(duì)于A.圓錐的表面積是S=KX32+7tX3X6=27z,所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B,球（）的體積是丫=號(hào)義（舟'=4房,所以B正確；對(duì)于C,因?yàn)镼到平面AEBF的距離與截面圓圓心。到平面的距離相等，均為挈，因此當(dāng)EF與AB垂宜時(shí),體積最大，其最大值為十X6X6義挈=9".所以C正確；對(duì)于D,IQO,|1=|QQ>|2+|QQ!|2=9.0rUl|QOi|=|EO||=|FQ|=3,所以QEJ_QF,所以QE2+QF2=EF?=36,市均值不等式:4知IQEI,IQFIwJ|QE|*LgjiE=372.up\QE\+|QF|46a，當(dāng)且僅當(dāng)|QE|=|QF|時(shí)取等號(hào),所以D正確.故選BCD.

.【答案】一1【解析】因?yàn)橐?,2是方程x2-ax~\-b=Q的兩根.所以。=1,6=—2,所以a-ib=~l..【答案】3【解析】因?yàn)?=C，由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)知.〃的所有可能取值為7,8,9,故〃的所有可能取值的個(gè)數(shù)是3..【答案】13600【解析】由題設(shè)知*=1580,所以方差*=4玄（],一萬）2=《、（8乂15000+7X12000）=13600.15i=? 15.【答案】爭【解析】取MN的中點(diǎn)B.連接AB.則由而=5次知.2QB=3|BM|.又因?yàn)辄c(diǎn)A（a,0）到漸近線尸勺的距離|AB|=g所以4|OB|z=9| 即l]一件）[=9，_（9門，又爐=4—?,代人化簡得9c4—18。2cz+5a*=0?即9——18e2+5=0,解得/=,或/=[■（舍去），故《=空..解：（D由S.=2a.-1知.卬=1.TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)時(shí)，S“T=2q,J—1,所以a.=2a?,，所以數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，故數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式為=2"一|. 3分又因?yàn)槌?4,仇=16,所以數(shù)列｛仇｝的公差為d=3,故數(shù)列｛》）的通項(xiàng)公式為①=4+（"—1）X3=3〃+1； 5分⑵由（1）知.7“=4，"+3叱7,=3],"+小夕D]+m.而?i+-Gyn6N.,Z>“=3"+1,所以當(dāng)且僅當(dāng)，"=3/+iaeN）時(shí)，7“是數(shù)列｛/，“》中的項(xiàng).即所求的，”的取值集合為｛m|m=3R+l.*eN｝. 10分.解：（1）由正弦定理得.坐4=里空?sinAcosn所以sinA=cosB，即cos（A—乎）=cosB， 3 分又因?yàn)閃~VAV霏，所以A—（0,--） （0,--）?于是A]=B?故A=3+-^-； 6 分⑵由⑴知,A=B=號(hào)■，所以C=￡-2B>0,所以0<B<y.所以cosA+cos3-cosC=-sin3-cos3+sin23, 9 分令￡=cosB—sin3,則E=&cos（B+子）—（0,1）,sin23=1—”,所以cosA+cos3-cosC=-t2+/+1——（t—g）+-^-，故cosA+cosB+cosC的取值范圍是（1 12分

19.（1）證明：如圖，取A3的中點(diǎn)E,連接CE,AC.因?yàn)锳3=2CD,A3〃CD,DC與AE平行且相等?四邊形AECD是平行四邊形.TOC\o"1-5"\h\z又AD_LA3,所以四邊形AECD是矩形，所以CE_LAR 乂所以AC=BC所以△A3C是等邊三角形. 什，茲X取3C的中點(diǎn)O,連接AO,則AQLBC. 3分連接PO,因?yàn)镻B=PC,所以PO_LBC, /二六“因?yàn)镻OnAO=O,PO,AOC平面PAO,所以BC_L平面PAO,所以BCJ_PA； 5分⑵解：①由⑴知，是等邊三角形，所以CE=g■，所以梯形ABCD的面積S=竽為一定值.故當(dāng)平面P3C_L平面ABCD時(shí)，四棱錐P-ABCD體積最大.因?yàn)镻O_L8C,所以PO_L平面A3CD?所以PO_LOA.于是有AOJ_平面PBC,故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。4=伍； 8分②因?yàn)镺P，OA,3B兩兩互相垂直,所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，示.湍,濟(jì)分別為 z,/軸、3軸和？軸的正方向?建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， “4'則a（6,o,o）,b（o,i,o）,c（o,-i,o）.p（o,o,—）.由而=/￡可得D（呼,一等,0）. 二--對(duì)所以超=（6?0.一G）?前=（0,1,一萬）. yAD=（—.—,o）,AP=（-y/3,0*^3*）.設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為/n=（jto,y），a）?m?DAm?DA=0由V—m?AP=0同理可求得平面PAB的一個(gè)法向量為〃=（］,伍,1）.設(shè)平面PAB設(shè)平面PAB與平面PAD的夾角為心則cos0=向向v/35 35故所求的平面H4B與平面PAD的夾角的余弦值為三士. 12分20.解：（1）由題意可知滿意不滿意合計(jì)工薪族403070非工薪族401050合計(jì)804012080X40X70X50120X（40X1。-30X4。）：竽*6.857>6.63"80X40X70X50根據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷乩不成立,即認(rèn)為市民對(duì)幸福感的滿意度與是否為工薪族有關(guān).此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01； 4分（2）①當(dāng)，,=5時(shí).X：的取值為1,2.3,4.5由（1）可知市民的滿意度和不滿意度分別為告和子.TOC\o"1-5"\h\z1 9 1 /?\2 1所以P(X5=1)=4-^P(X5=2)=-^X4-,P(X5=3)=(4)。 OO O O所以X的分布列為所以E(X；，)=1x4-+2X-1-x4-+3X(4)2><T+4X(幻3X0+5X(幻’=智; 9分O OO 'O7O 'D7 6 'O7O11 9 1 ?9\"2 1 /?②E(X")=］Xk+ +…+(〃一］)?(父)?三+”?(b)=3_2*( .w OO O O O O當(dāng)"趨向于正無窮大時(shí),E(X“)趨向于3,可以理解為平均每抽取3個(gè)人,就會(huì)有一個(gè)不滿意的市民.……12分（D解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（工,第），由題設(shè)得?為“，=一匕?一%=一■1。於±2）,T-VLX-L4故所求的點(diǎn)P的軌跡E的方程為〒+V=1（/W±2）. 4分（2）證明：設(shè)C（z,O）,由題設(shè)知，直線MN的斜率4存在,不妨設(shè)直線MN的方程為1y￡/+〃?，P（占，v）.Q（x2?J2）.由（ 消去y并整理得（4公+1）＞+8癡1+4（/—］）=0,|/+4丁2=4, 6分則△＞（）且彳1+彳2 6分則NACP=NACQ<=>Ap+鬲。=0<=>— "—-yi(皿-，)+2(彳］一，)=。X\—txz-t㈡(kx\+/〃)(由一1)+(卜工2+7〃)(力—Z)=0<=>2^X|X2+(〃?一*)(J|+4)—2mt—08k(rn2—1)8(rn—kt')kjno一cm,， 1、 。/ ,,o,///一、—△㈡——.，,，—— ,,,?. -27zj/=0^=>8?(m-I)-8(m—kt)km_2mt(4k~\-1)=04k~+I4k+I㈡44+，〃E=0. 10分又將l=—2代人y=kx-\-m得y”=〃?—2A,則M(—2 24)，同理N(2,〃z+2A).于是NACM=NACN-&”+缸、=0?m~2k+ =0t=>4A+M=0.-L-tL-t所以NACM=NACN的充要條件為NACP=NACQ. 12分(1)解：/(才)的定義域?yàn)?0,+8),/(/)=—3"+”匕》0.x依題意可知.V.z{(0,+8),a+l>rei恒成立.設(shè)尸(公=工』一」,則/(/)=(1一］)/一，.則F(z)在(0,1)上單調(diào)遞增?在(1,+8)上單調(diào)遞減，因此F(i)&F(1)=1?故a+l2l=>a>0； 4