第七章-非線性系統(tǒng)的分析講解課件

第七章非線性系統(tǒng)的分析§7.1非線性系統(tǒng)的概述§7.2非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法

§7.3典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性第七章非線性系統(tǒng)的分析§7.1非線性系統(tǒng)的概述§7.21嚴格地說線性系統(tǒng)在實地實際中不存在，而非線性系統(tǒng)是普遍存在的。構(gòu)成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)中有一個或一個以上的非線性特性時，即稱此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)千差萬別。線性系統(tǒng)中引入非線性控制可以改善系統(tǒng)的性能。線性控制系統(tǒng)：

由線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性和均勻性性質(zhì)。非線性控制系統(tǒng)：

系統(tǒng)中含有非線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性和均勻性性質(zhì)。嚴格地說線性系統(tǒng)在實地實際中不存在，而非線性系統(tǒng)是普遍存在2非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)之間的本質(zhì)差別：１非線性系統(tǒng)疊加原理不能應(yīng)用。3非線性系統(tǒng)不能求出完整的解，只能對非線性系統(tǒng)的運動情況進行估計，例如系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)等等。非線性科學(xué)耗散結(jié)構(gòu)論、突變論、協(xié)同論、混沌、分形。更具有前沿性、交叉性和普適性。2線性系統(tǒng)可以用常微分方程來描述，而非線性的微分方程只在某些特殊的情況下才有解析解。4非線性系統(tǒng)呈現(xiàn)出更為復(fù)雜和多樣的動力學(xué)特性。非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)之間的本質(zhì)差別：１非線性系統(tǒng)疊加原理不3§7.1非線性系統(tǒng)的概述一、非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

描述大多數(shù)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n階非線性非線性常微分方程，形式為：h(·)表示非線性函數(shù)。u(t)是輸入，y(t)是輸出?！?.1非線性系統(tǒng)的概述一、非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述4二、控制系統(tǒng)中非線性特性的分類非本質(zhì)非線性：光滑連續(xù)可以局部線性化。本質(zhì)非線性：當(dāng)輸入信號超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化而保持恒定。放大器的飽和輸出特性磁飽和元件的行程限制功率限制等等。1.飽和特性二、控制系統(tǒng)中非線性特性的分類非本質(zhì)非線性：光滑連續(xù)可以局部5輸入輸出2.死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）很小時作為線性特性處理較大時將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差增加，系統(tǒng)低速不平滑性各類液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫倫摩擦；測量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力；等等。數(shù)學(xué)描述為：a－為死區(qū)寬度輸入輸出2.死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）很小時較大時6輸出輸入輸出輸入3.滯環(huán)特性鐵磁部件的元件：電液伺服閥中的力矩馬達非單值非線性輸出輸入輸出輸入3.滯環(huán)特性鐵磁部件的元74.間隙特性（回環(huán)）齒輪傳動中的齒隙液壓傳動中的油隙數(shù)學(xué)描述為：間隙輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動特性變壞自持振蕩。同時使穩(wěn)態(tài)誤差增大。4.間隙特性（回環(huán)）齒輪傳動中的齒隙液壓傳動中的油隙數(shù)85.繼電器特性a－為繼電器的吸合電壓。ma－為繼電器的釋放電壓。M－為常值輸出。幾種特殊的繼電器特性5.繼電器特性a－為繼電器的吸合電壓。ma－為繼電器的9輸入輸出在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。6.非線性增益大偏差時，具有較大增益加快系統(tǒng)響應(yīng)。小偏差時，具有較小增益提高零位附近的系統(tǒng)穩(wěn)定性。輸入輸出在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。10三、非線性系統(tǒng)的特點與分析方法（一）非線性系統(tǒng)的特點1.系統(tǒng)的穩(wěn)定性動態(tài)特性和穩(wěn)定性不僅和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還和初始條件有關(guān)。同一結(jié)構(gòu)和參數(shù)的系統(tǒng)可能因為初始條件的不同運動的最終狀態(tài)可能完全不同。2.系統(tǒng)的自持振蕩線性系統(tǒng)只能當(dāng)其參數(shù)不位于穩(wěn)定邊界時，只能收斂于平衡狀態(tài)或者發(fā)散，只有處于臨界穩(wěn)定時，才能產(chǎn)生自持振蕩。非線性系統(tǒng)中即使沒有外界的激勵也可能發(fā)生某一固定幅值和頻率的振蕩，稱為自持振蕩。三、非線性系統(tǒng)的特點與分析方法（一）非線性系統(tǒng)的特點1.系113.頻率響應(yīng)的畸變在非線性系統(tǒng)中，輸入是正弦函數(shù)時，輸出則是包含了高次諧波分量的非正弦周期函數(shù)，因此不能應(yīng)用頻率特性、傳遞函數(shù)這些線性系統(tǒng)常用的方法來分析和綜合非線性系統(tǒng)，也不能應(yīng)用象單位階躍等典型輸入信號作為評價非線性系統(tǒng)性能的試驗信號。因此目前尚無一般通用的方法來分析和設(shè)計非線性控制系統(tǒng)。4.系統(tǒng)的共振現(xiàn)象

線性系統(tǒng)中，如外施信號的頻率與系統(tǒng)本身固有的無阻尼自振頻率相同時，系統(tǒng)將產(chǎn)生共振。而非線性系統(tǒng)不會發(fā)生線性系統(tǒng)那樣的共振現(xiàn)象。3.頻率響應(yīng)的畸變在非線性系統(tǒng)中，輸入是正弦函數(shù)時，輸12（二）非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法非線性方程沒有統(tǒng)一的求解方法，不能應(yīng)用疊加原理。對于非線性不嚴重的系統(tǒng)可用小偏差線性化的方法，對于本質(zhì)非線性可采用分段線性化的方法。對于非線性控制系統(tǒng)，在許多實際問題中，并不需要求得其響應(yīng)的精確解。而是討論問題①系統(tǒng)是否穩(wěn)定；②系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，如產(chǎn)生，其幅值和頻率是多少；③如何消除自持振蕩。分析方法：頻域上有描述函數(shù)法和波波夫法；時域上有相平面法和李亞普諾夫第二法。計算機仿真的方法也可以分析復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。（二）非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法非線性方程沒有統(tǒng)一的求解13§7.2非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法一、描述函數(shù)法的基本概念假設(shè)非線性系統(tǒng)的輸入函數(shù)為輸出n(t)將是非正弦的周期信號?？梢哉钩筛道~級數(shù)，y(t)是由恒定分量、基波分量、和高次諧波組成。假設(shè)1：如果非線性部分的特性曲線具有中心對稱性質(zhì)，那以輸出信號y(t)的波形具有奇次對稱性（波形的后半個周期重復(fù)前半個周期的變化，但符號相反）輸出不含直流分量，輸出響應(yīng)的平均值為零?！?.2非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法一、描述函數(shù)法的基本概念14假設(shè)2：線性部分具有良好的低通濾波性，那么高次諧波的幅值遠小于基波。閉環(huán)通道內(nèi)近似地只有一次諧波信號流通。對于一般的非線性系統(tǒng)而言這個條件是滿足的，線性部分的低通濾波性越好，用描述函數(shù)法分析的精度越高。上述兩個假設(shè)滿足時，非線性環(huán)節(jié)的輸入是一個正弦信號，系統(tǒng)的輸出是相同頻率的正弦信號，對于非線性環(huán)節(jié)的輸出只研究其基波成分就足夠了。假設(shè)系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)的輸入函數(shù)為輸出信號可以展成傅利葉級數(shù)假設(shè)2：線性部分具有良好的低通濾波性，那么高次諧波的幅值遠小15若非線性部分是齊次對稱的，則A0=0，線性部分又具有低通濾波特性，可以認為非線性環(huán)節(jié)的輸出中只有基波分量能夠通過閉環(huán)回路反饋到輸入端。輸出部分的基波分量為若非線性部分是齊次對稱的，則A0=0，線性部分又具16可以用一個復(fù)數(shù)來描述非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號和輸出信號基波的關(guān)系。在非線性環(huán)節(jié)不含有儲能元件的前提下，這個復(fù)數(shù)是輸入正弦信號幅值的函數(shù)，而與頻率無關(guān)，稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。用符號N(A)表示：X1非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量的振幅；φ1表示其相位差；A表示輸入正弦信號的幅值。這樣一種僅取輸出的基波（把非線性環(huán)節(jié)等效為一個線性環(huán)節(jié)）而忽略高次諧波的方法稱為諧波線性化法。非線性環(huán)節(jié)等效為一個具有復(fù)放大系數(shù)的放大器，所以描述函數(shù)又稱復(fù)放大系數(shù)?？梢杂靡粋€復(fù)數(shù)來描述非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號和輸出17非線性函數(shù)中含有儲能元件時，描述函數(shù)同時為輸入信號幅值A(chǔ)和頻率ω的函數(shù)，表示為N(A,ω)。如果非線性特性是單值奇函數(shù)的，則A0=0，A1=0。N(A)是一個實函數(shù)。非線性函數(shù)中含有儲能元件時，描述函數(shù)同時為輸入18二、典型環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1、繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開斜對稱、奇函數(shù)A0=An=0(偶次對稱性)二、典型環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1、繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開斜對稱192、飽和特性3、死區(qū)特性4、死區(qū)飽和特性2、飽和特性3、死區(qū)特性4、死區(qū)飽和特性20理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性21間隙、滯環(huán)特性間隙、滯環(huán)特性22非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωt23

§7.3典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(尼奎斯特判據(jù))若開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j)軌跡不包圍G平面的(-1,j0)。．負倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負倒特性)線性系統(tǒng)(-1,j0)?§7.3典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(尼奎斯特判據(jù))．負倒描述24③G(j)與負倒描述函數(shù)相交閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩)？穩(wěn)定？不穩(wěn)定振幅（A）？頻率()？設(shè)：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定

①G(j)不包圍負倒描述函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定②G(j)包圍負倒描述函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定③G(j)與負倒描述函數(shù)相交設(shè)：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(25當(dāng)微小擾動使振幅A增大到c點時，c點“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)增大； 不返回到a。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到d點，d點“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)減小； 不返回到a。a點為不穩(wěn)定自振交點。分析法當(dāng)微小擾動使振幅A增大到c點時，c點“(-1,j0)”26當(dāng)微小擾動使振幅A增大到e點時，e點“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A減小； 返回到b。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到f點，f點“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A增大； 返回到b。b點為穩(wěn)定自振交點。當(dāng)微小擾動使振幅A增大到e點時，e點“(-1,j0)”未被27振幅A增大側(cè)取點作為“(-1,j0)”，連接“(-1,0j)”與原點，“負實軸”a點為不穩(wěn)定自振交點b點為穩(wěn)定自振交點負實軸法振幅A增大側(cè)取點作為“(-1,j0)”，連接“(-1,0j)28c點:不穩(wěn)定自振交點a點:不穩(wěn)定自振交點b點:穩(wěn)定自振交點c點:不穩(wěn)定自振交點a點:不穩(wěn)定自振交點b點:穩(wěn)定自振交點29具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌跡=實軸上（-1/k,-∞)。G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交 不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:穩(wěn)定自振交點(b，Ab)具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌30具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌跡=實軸上（-∞,-1/k)。G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:不穩(wěn)定自振交點具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌31具有間隙特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)為G平面上一條曲線。A∞時G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交 不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:穩(wěn)定自振交點bAb具有間隙特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)為G平面上一條曲線32具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)軌跡為整個負實軸2）如有數(shù)個交點

必有穩(wěn)定的自振交點1）如只有一個交點

必為穩(wěn)定的自振交點具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)軌跡為整個負實軸233具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)為第三象限內(nèi)平行于橫軸的一組直線。3）單邊滯環(huán)寬度h增加

負倒描述函數(shù)軌跡向下移動

自持振蕩頻率將低，振幅增大2）如有數(shù)個交點

必有穩(wěn)定的自振交點1）如只有一個交點

必為穩(wěn)定的自振交點h2>h1具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)為第三象限內(nèi)平行于34試求：①當(dāng)K＝10時，該系統(tǒng)是否存在自持振蕩，如果存在則求出自持振蕩的振幅和頻率；②當(dāng)K為何值時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界狀態(tài)。非線性飽和特性參數(shù)a=1、k=2試求：非線性飽和特性參數(shù)a=1、k=235相交于穩(wěn)定自振交點mA＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌跡為實軸上（-0.5，-∞)。相交于穩(wěn)定自振交點mA＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌跡為36a/A=0.24A=4.38A=4.38非線性飽和特性參數(shù)a=1、k=2穩(wěn)定自振交點m:a/A=0.24A=4.38A=4.38非線性飽和特性參數(shù)37臨界狀態(tài)下，軌跡在負實軸上的交點nK=3臨界狀態(tài)下，軌跡在負實軸上的交點nK=338非線性系統(tǒng)的校正！改變G(j)！改變N(A)非線性系統(tǒng)的校正！改變G(j)！改變N(A)39①試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；②如果系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩，如何消除之？K＝20，死區(qū)繼電器特性M＝3，a＝l。①試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；K＝20，死區(qū)繼電器特性M＝3，a＝l。40A＝a=1A∞G(j)軌跡與負實軸交點頻率值G(j)軌跡與負倒描述函數(shù)有兩個交點：a——不穩(wěn)定自振交點b——穩(wěn)定自振交點A＝a=1A∞G(j)軌跡與負實軸交點頻率值G(j)41a—不穩(wěn)定自振交點b——穩(wěn)定自振交點A1＝1.11A2＝2.3如要求穩(wěn)定a—不穩(wěn)定自振交點b——穩(wěn)定自振交點A1＝1.11A2＝2.421）改變G(j)——調(diào)整K1）改變G(j)——調(diào)整K432）改變N(A):調(diào)整死區(qū)繼電器特性的死區(qū)a或輸出幅值M取a=1、M=22）改變N(A):調(diào)整死區(qū)繼電器特性的死區(qū)a或輸出幅值M取a44第七章非線性系統(tǒng)的分析§7.1非線性系統(tǒng)的概述§7.2非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法

§7.3典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性第七章非線性系統(tǒng)的分析§7.1非線性系統(tǒng)的概述§7.245嚴格地說線性系統(tǒng)在實地實際中不存在，而非線性系統(tǒng)是普遍存在的。構(gòu)成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)中有一個或一個以上的非線性特性時，即稱此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)千差萬別。線性系統(tǒng)中引入非線性控制可以改善系統(tǒng)的性能。線性控制系統(tǒng)：

由線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性和均勻性性質(zhì)。非線性控制系統(tǒng)：

系統(tǒng)中含有非線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性和均勻性性質(zhì)。嚴格地說線性系統(tǒng)在實地實際中不存在，而非線性系統(tǒng)是普遍存在46非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)之間的本質(zhì)差別：１非線性系統(tǒng)疊加原理不能應(yīng)用。3非線性系統(tǒng)不能求出完整的解，只能對非線性系統(tǒng)的運動情況進行估計，例如系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)等等。非線性科學(xué)耗散結(jié)構(gòu)論、突變論、協(xié)同論、混沌、分形。更具有前沿性、交叉性和普適性。2線性系統(tǒng)可以用常微分方程來描述，而非線性的微分方程只在某些特殊的情況下才有解析解。4非線性系統(tǒng)呈現(xiàn)出更為復(fù)雜和多樣的動力學(xué)特性。非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)之間的本質(zhì)差別：１非線性系統(tǒng)疊加原理不47§7.1非線性系統(tǒng)的概述一、非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

描述大多數(shù)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n階非線性非線性常微分方程，形式為：h(·)表示非線性函數(shù)。u(t)是輸入，y(t)是輸出。§7.1非線性系統(tǒng)的概述一、非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述48二、控制系統(tǒng)中非線性特性的分類非本質(zhì)非線性：光滑連續(xù)可以局部線性化。本質(zhì)非線性：當(dāng)輸入信號超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化而保持恒定。放大器的飽和輸出特性磁飽和元件的行程限制功率限制等等。1.飽和特性二、控制系統(tǒng)中非線性特性的分類非本質(zhì)非線性：光滑連續(xù)可以局部49輸入輸出2.死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）很小時作為線性特性處理較大時將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差增加，系統(tǒng)低速不平滑性各類液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫倫摩擦；測量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力；等等。數(shù)學(xué)描述為：a－為死區(qū)寬度輸入輸出2.死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）很小時較大時50輸出輸入輸出輸入3.滯環(huán)特性鐵磁部件的元件：電液伺服閥中的力矩馬達非單值非線性輸出輸入輸出輸入3.滯環(huán)特性鐵磁部件的元514.間隙特性（回環(huán)）齒輪傳動中的齒隙液壓傳動中的油隙數(shù)學(xué)描述為：間隙輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動特性變壞自持振蕩。同時使穩(wěn)態(tài)誤差增大。4.間隙特性（回環(huán)）齒輪傳動中的齒隙液壓傳動中的油隙數(shù)525.繼電器特性a－為繼電器的吸合電壓。ma－為繼電器的釋放電壓。M－為常值輸出。幾種特殊的繼電器特性5.繼電器特性a－為繼電器的吸合電壓。ma－為繼電器的53輸入輸出在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。6.非線性增益大偏差時，具有較大增益加快系統(tǒng)響應(yīng)。小偏差時，具有較小增益提高零位附近的系統(tǒng)穩(wěn)定性。輸入輸出在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。54三、非線性系統(tǒng)的特點與分析方法（一）非線性系統(tǒng)的特點1.系統(tǒng)的穩(wěn)定性動態(tài)特性和穩(wěn)定性不僅和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還和初始條件有關(guān)。同一結(jié)構(gòu)和參數(shù)的系統(tǒng)可能因為初始條件的不同運動的最終狀態(tài)可能完全不同。2.系統(tǒng)的自持振蕩線性系統(tǒng)只能當(dāng)其參數(shù)不位于穩(wěn)定邊界時，只能收斂于平衡狀態(tài)或者發(fā)散，只有處于臨界穩(wěn)定時，才能產(chǎn)生自持振蕩。非線性系統(tǒng)中即使沒有外界的激勵也可能發(fā)生某一固定幅值和頻率的振蕩，稱為自持振蕩。三、非線性系統(tǒng)的特點與分析方法（一）非線性系統(tǒng)的特點1.系553.頻率響應(yīng)的畸變在非線性系統(tǒng)中，輸入是正弦函數(shù)時，輸出則是包含了高次諧波分量的非正弦周期函數(shù)，因此不能應(yīng)用頻率特性、傳遞函數(shù)這些線性系統(tǒng)常用的方法來分析和綜合非線性系統(tǒng)，也不能應(yīng)用象單位階躍等典型輸入信號作為評價非線性系統(tǒng)性能的試驗信號。因此目前尚無一般通用的方法來分析和設(shè)計非線性控制系統(tǒng)。4.系統(tǒng)的共振現(xiàn)象

線性系統(tǒng)中，如外施信號的頻率與系統(tǒng)本身固有的無阻尼自振頻率相同時，系統(tǒng)將產(chǎn)生共振。而非線性系統(tǒng)不會發(fā)生線性系統(tǒng)那樣的共振現(xiàn)象。3.頻率響應(yīng)的畸變在非線性系統(tǒng)中，輸入是正弦函數(shù)時，輸56（二）非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法非線性方程沒有統(tǒng)一的求解方法，不能應(yīng)用疊加原理。對于非線性不嚴重的系統(tǒng)可用小偏差線性化的方法，對于本質(zhì)非線性可采用分段線性化的方法。對于非線性控制系統(tǒng)，在許多實際問題中，并不需要求得其響應(yīng)的精確解。而是討論問題①系統(tǒng)是否穩(wěn)定；②系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，如產(chǎn)生，其幅值和頻率是多少；③如何消除自持振蕩。分析方法：頻域上有描述函數(shù)法和波波夫法；時域上有相平面法和李亞普諾夫第二法。計算機仿真的方法也可以分析復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。（二）非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法非線性方程沒有統(tǒng)一的求解57§7.2非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法一、描述函數(shù)法的基本概念假設(shè)非線性系統(tǒng)的輸入函數(shù)為輸出n(t)將是非正弦的周期信號。可以展成傅利葉級數(shù)，y(t)是由恒定分量、基波分量、和高次諧波組成。假設(shè)1：如果非線性部分的特性曲線具有中心對稱性質(zhì)，那以輸出信號y(t)的波形具有奇次對稱性（波形的后半個周期重復(fù)前半個周期的變化，但符號相反）輸出不含直流分量，輸出響應(yīng)的平均值為零?！?.2非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法一、描述函數(shù)法的基本概念58假設(shè)2：線性部分具有良好的低通濾波性，那么高次諧波的幅值遠小于基波。閉環(huán)通道內(nèi)近似地只有一次諧波信號流通。對于一般的非線性系統(tǒng)而言這個條件是滿足的，線性部分的低通濾波性越好，用描述函數(shù)法分析的精度越高。上述兩個假設(shè)滿足時，非線性環(huán)節(jié)的輸入是一個正弦信號，系統(tǒng)的輸出是相同頻率的正弦信號，對于非線性環(huán)節(jié)的輸出只研究其基波成分就足夠了。假設(shè)系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)的輸入函數(shù)為輸出信號可以展成傅利葉級數(shù)假設(shè)2：線性部分具有良好的低通濾波性，那么高次諧波的幅值遠小59若非線性部分是齊次對稱的，則A0=0，線性部分又具有低通濾波特性，可以認為非線性環(huán)節(jié)的輸出中只有基波分量能夠通過閉環(huán)回路反饋到輸入端。輸出部分的基波分量為若非線性部分是齊次對稱的，則A0=0，線性部分又具60可以用一個復(fù)數(shù)來描述非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號和輸出信號基波的關(guān)系。在非線性環(huán)節(jié)不含有儲能元件的前提下，這個復(fù)數(shù)是輸入正弦信號幅值的函數(shù)，而與頻率無關(guān)，稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。用符號N(A)表示：X1非線性環(huán)節(jié)輸出基波分量的振幅；φ1表示其相位差；A表示輸入正弦信號的幅值。這樣一種僅取輸出的基波（把非線性環(huán)節(jié)等效為一個線性環(huán)節(jié)）而忽略高次諧波的方法稱為諧波線性化法。非線性環(huán)節(jié)等效為一個具有復(fù)放大系數(shù)的放大器，所以描述函數(shù)又稱復(fù)放大系數(shù)。可以用一個復(fù)數(shù)來描述非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號和輸出61非線性函數(shù)中含有儲能元件時，描述函數(shù)同時為輸入信號幅值A(chǔ)和頻率ω的函數(shù)，表示為N(A,ω)。如果非線性特性是單值奇函數(shù)的，則A0=0，A1=0。N(A)是一個實函數(shù)。非線性函數(shù)中含有儲能元件時，描述函數(shù)同時為輸入62二、典型環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1、繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開斜對稱、奇函數(shù)A0=An=0(偶次對稱性)二、典型環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1、繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開斜對稱632、飽和特性3、死區(qū)特性4、死區(qū)飽和特性2、飽和特性3、死區(qū)特性4、死區(qū)飽和特性64理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性65間隙、滯環(huán)特性間隙、滯環(huán)特性66非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωt67

§7.3典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(尼奎斯特判據(jù))若開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j)軌跡不包圍G平面的(-1,j0)。．負倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負倒特性)線性系統(tǒng)(-1,j0)?§7.3典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(尼奎斯特判據(jù))．負倒描述68③G(j)與負倒描述函數(shù)相交閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩)？穩(wěn)定？不穩(wěn)定振幅（A）？頻率()？設(shè)：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定

①G(j)不包圍負倒描述函數(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定②G(j)包圍負倒描述函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定③G(j)與負倒描述函數(shù)相交設(shè)：系統(tǒng)開環(huán)的線性部分G(69當(dāng)微小擾動使振幅A增大到c點時，c點“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)增大； 不返回到a。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到d點，d點“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A繼續(xù)減?。?不返回到a。a點為不穩(wěn)定自振交點。分析法當(dāng)微小擾動使振幅A增大到c點時，c點“(-1,j0)”70當(dāng)微小擾動使振幅A增大到e點時，e點“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)穩(wěn)定； 振幅A減?。?返回到b。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到f點，f點“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍， 系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A增大； 返回到b。b點為穩(wěn)定自振交點。當(dāng)微小擾動使振幅A增大到e點時，e點“(-1,j0)”未被71振幅A增大側(cè)取點作為“(-1,j0)”，連接“(-1,0j)”與原點，“負實軸”a點為不穩(wěn)定自振交點b點為穩(wěn)定自振交點負實軸法振幅A增大側(cè)取點作為“(-1,j0)”，連接“(-1,0j)72c點:不穩(wěn)定自振交點a點:不穩(wěn)定自振交點b點:穩(wěn)定自振交點c點:不穩(wěn)定自振交點a點:不穩(wěn)定自振交點b點:穩(wěn)定自振交點73具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌跡=實軸上（-1/k,-∞)。G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交 不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:穩(wěn)定自振交點(b，Ab)具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌74具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌跡=實軸上（-∞,-1/k)。G1(j)軌跡不與負倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負倒描述函數(shù)軌跡相交b點:不穩(wěn)定自振交點具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)A＝a時A∞時負倒描述函數(shù)軌75具有間隙特性的非線性系統(tǒng)負倒描述函數(shù)為G平面上一條