淺談初中數(shù)學(xué)中非負(fù)數(shù)的應(yīng)用策略

淺談初中數(shù)學(xué)中“非負(fù)數(shù)”的應(yīng)用策略

摘

要：在初中數(shù)學(xué)中，”非負(fù)數(shù)”和方程是一個(gè)不可缺少的重要組成部分，從七年級的絕對值開始，非負(fù)數(shù)一直貫穿到九年級;同時(shí)，歷屆中考試題或平時(shí)的測試中，非負(fù)數(shù)和方程既是命題注重的難點(diǎn)又是重點(diǎn)。那么什么是非負(fù)數(shù)？所謂”非負(fù)數(shù)”，顧名思義，就是不是負(fù)數(shù)的數(shù)，也就是零和正數(shù)或是≥0的數(shù);在數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)以及數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都是“非負(fù)數(shù)”，這是非負(fù)數(shù)的幾何意義。Key：初中;數(shù)學(xué);非負(fù)數(shù);應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中存在很多影響教學(xué)效果的問題，大部分教師將目光放在學(xué)生的學(xué)習(xí)成績上，而忽略培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，沒有發(fā)揮數(shù)學(xué)教育對培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)的重要作用。初中數(shù)學(xué)教材中“非負(fù)數(shù)”知識是在數(shù)軸、絕對值、二次根式、方程、方差等概念的教學(xué)中建立起來的，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在解題中既非常重要又頗為實(shí)用?！胺秦?fù)數(shù)”的知識設(shè)計(jì)內(nèi)容之廣，時(shí)間之長是眾所周知的。在教學(xué)中必須遵循學(xué)生的認(rèn)知特征和數(shù)學(xué)學(xué)科特性，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，幫助學(xué)生積累總結(jié)解題規(guī)律，提高解決綜合問題的能力，使學(xué)生在解題的過程中提高對“數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想，應(yīng)用意識，創(chuàng)新意識”這十個(gè)核心概念的再認(rèn)識再消化。在教學(xué)中教師要樹立新的基礎(chǔ)教育觀、學(xué)生觀、教學(xué)觀、課程觀、質(zhì)量觀，幫助學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，切實(shí)落實(shí)數(shù)學(xué)育人的目標(biāo)?，F(xiàn)就初中數(shù)學(xué)中常見“非負(fù)數(shù)”的應(yīng)用淺談幾點(diǎn)自己的看法，供大家參考。所謂”非負(fù)數(shù)”，是指零和正數(shù)。“非負(fù)數(shù)”的性質(zhì)在解題中頗有用處。常見的非負(fù)數(shù)有四種：有理數(shù)的偶數(shù)次冪、有理數(shù)的絕對值和非負(fù)實(shí)數(shù)的偶次方根，用二次根式表示的數(shù)。一、

初中數(shù)學(xué)中常用的非負(fù)數(shù)1.

任意一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù);我們知道一個(gè)正數(shù)的絕對值等于它本身;0的絕對值等于0;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，也就是在這個(gè)數(shù)的前面加個(gè)“-”號。即：|a|=a（a≥0）-a（a≤0）2.

任意一個(gè)實(shí)數(shù)的偶次方是非負(fù)數(shù)，即：a2n≥0（n是整數(shù)）。3.

任意一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即：a≥0（a≥0）;a2=|a|=a（a≥0）-a（a≤0）4.

一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根時(shí)，根的判別式是非負(fù)數(shù)，反過來也成立。若二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則b2-4ac≥0。若b2-4ac≥0（a≠0），則二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。5.

數(shù)軸上，原點(diǎn)和它的右邊所表示的數(shù)是非負(fù)數(shù)，幾何中的距離，圖形中的線段、面積、體積的量數(shù)也都是非負(fù)數(shù)。6.

樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做樣本方差，都是非負(fù)數(shù)。7.

非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：（1）非負(fù)數(shù)集合里，有一個(gè)最小值，它就是零。（2）如果一個(gè)數(shù)和它的相反數(shù)都是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)就是零。（3）有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和或積仍是非負(fù)數(shù)。（4）若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)也都只能是零。二、

非負(fù)數(shù)的運(yùn)用（一）在方程中非負(fù)數(shù)的直接應(yīng)用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有實(shí)數(shù)根的條件是Δ=b2-4ac≥0，此時(shí)為一個(gè)非負(fù)數(shù)。【例1】

若關(guān)于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有實(shí)根，則k的取值范圍是（）A.

k>-74B.

k≥-74且k≠0C.

k≥-74D.

k>74且k≠0分析：要確定k的取值范圍，必須先要把方程整理成一元二次方程的一般形式ky2-7y-7=0，再利用一元二次方程有實(shí)根的非負(fù)數(shù)條件Δ=b2-4ac≥0去確定，故答案是B。【例2】

求證：方程x4+3x2+2x+6=0沒有實(shí)數(shù)根。證明：把方程左邊分組配方，得（x4+2x2+1）+（x2+2x+1）+4=0即（x2+1）2+（x+1）2=-4;∵（x2+1）2>0，（x+1）2≥0，∴（x2+1）2+（x+1）2>0。但右邊是-4。∴不論x取什么實(shí)數(shù)值，等式都不能成立?！喾匠蘹4+3x2+2x+6=0沒有實(shí)數(shù)根。（二）在化簡與計(jì)算題中的直接應(yīng)用【例3】

a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|c-a|-（b-a）2-|c-b|=。分析：要化簡代數(shù)式，必須根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性來解。根據(jù)數(shù)軸看出a<0<c0，b-a>0，c-b（三）在“0+0=0”模式中的應(yīng)用由于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值和平方（偶次方）是非負(fù)數(shù)，一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根也是非負(fù)數(shù)，因此我把“|a|+b2+c=0”就定義為“0+0+0=0”的模式。1.

在“0+0=0”模式中的直接應(yīng)用【例4】

（1）已知|a+3|+b-2=0，求ab的值;（2）|x+y-1|+（2x-y-5）2=0，求（x+y）2015的值;（3）已知實(shí)數(shù)a，b，且（a+b-3）2與2-ab互為相反數(shù)，請你求出以a，b為根的一個(gè)一元二次方程。分析：（1）欲求ab的值，必須先要求出a，b的值。因?yàn)閨a+3|≥0，b-2≥0，故滿足“0+0=0”模式，所以就有a+3=0，b-2=0，即a=-3，b=2，ab=（-3）2=9。（2）欲求（x+y）2015的值，必須先要求出x，y的值。因?yàn)閨x+y-1|≥0，（2x-y-5）2≥0，故滿足“0+0=0”模式，所以就有x+y-1=02x-y-5=0，利用方程組的解法，求出x=2，y=-1，（x+y）2015=1。（3）欲求出以a，b為根的一元二次方程，必須先要求出“兩個(gè)根的和與兩個(gè)根的積”即a+b和ab的值。因?yàn)椋╝+b-3）2≥0，2-ab≥0，故滿足“0+0=0”的模式，所以就有a+b-3=0，2-ab=0，即a+b=3，ab=2，以a，b為根的一個(gè)一元二次方程是x2-3x+2=0。2.

先將問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)（或有限個(gè)）非負(fù)數(shù)的和再應(yīng)用【例5】

（1）已知三角形的三條邊x，y，z滿足x2+y2+z2+338=10x+24y+26z，則這個(gè)三角形是什么形狀的三角形？（2）已知△ABC的三邊a，b，c滿足|a+b-7|+2a-b-2=10c-25-c2，求△ABC的面積。（3）若a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，試判斷△ABC的形狀。分析：要得出三角形的形狀和面積，必須要解出三角形各邊的長，這就要根據(jù)已知條件想辦法化成“0+0=0”的模式。（1）移項(xiàng)得x2-10x+y2-24y+z2-26z+338=0，此時(shí)等號的右邊等于0了，下面用完全平方公式的特點(diǎn)“首平方，尾平方，首尾積的2倍放中央”把338分解成25+144+169，等號左邊就化成了（x2-10x+25）+（y2-24y+144）+（z2-26z+169）=0，即（x-5）2+（y-12）2+（z-13）2=0，再用“0+0+0=0”的模式解得x=5，y=12，z=13，因?yàn)?2+122=132，所以這個(gè)三角形是直角三角形。（2）移項(xiàng)得|a+b-7|+2a-b-2+c2-10c+25=0，利用完全平方公式把c2-10c+25寫成（c-5）2的形式，這時(shí)就得到了|a+b-7|+2a-b-2+（c-5）2=0，根據(jù)“0+0+0=0”的模式得出a+b-7=02a-b-2=0c-5=0，解得a=3，b=4，c=5，因?yàn)?，4，5是最簡單的勾股數(shù)，所以，以a，b，c為邊的三角形是直角三角形，面積就等于6。（3）在a2+b2+c2-ab-ac-bc=0中有平方項(xiàng)和乘積項(xiàng)，根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)缺少了2倍，因此我們就想到兩邊同時(shí)乘2得，2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，再用拆項(xiàng)法得到（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0，這時(shí)可以化成（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，根據(jù)“0+0+0=0”的模式得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，從而解得a=b=c，這樣就有三角形是等邊三角形?？傊?，“非負(fù)數(shù)”在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范圍十分廣泛，在教學(xué)中，老師應(yīng)引起足夠重視，善于總結(jié)，切忌碎片化的教學(xué)。根據(jù)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)分階段進(jìn)行針對性的輔導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和符號意識，特別強(qiáng)調(diào)有些題目中非負(fù)數(shù)比較明顯，有些題目中比較隱蔽，需要化簡、整理，要學(xué)會靈活應(yīng)用。保障學(xué)生能夠在不斷的數(shù)學(xué)實(shí)踐以及活動參與的過程之中提高個(gè)人的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正地掌握良好的數(shù)學(xué)思維能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理論知識學(xué)習(xí)與實(shí)踐研究之間的緊密結(jié)合，提升