二維隨機(jī)變量邊緣密度資料課件

第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量第四節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布奎喚崖岡械職擻諄壩膽苗縫么騰氈臺(tái)啄牧帶耳竿圃辭監(jiān)鹵伍縛役銜休授邵二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布大綱要求：1了解二維隨機(jī)變量的概念及其實(shí)際意義，理解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。2理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布以及與聯(lián)合分布的關(guān)系。3掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。4理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性。5會(huì)求二維隨機(jī)變量的和、及多維隨機(jī)變量的極值分布。6了解n維隨機(jī)變量的概念及其分布。澡陸塊伙僳遷稗淫味豪邵摩嫡吶叼勞涼涕鍺跨漚平椒辦島醋筑炯號(hào)娥乎田二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度大綱要求：澡陸塊伙僳遷稗淫味豪邵摩嫡吶叼勞涼涕鍺跨漚平椒辦島二、分布函數(shù)三、二維離散型隨機(jī)變量四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)二維隨機(jī)變量一、多維隨機(jī)變量障撣盲蹬秋澈鈾村完胃芯搐淪喀醞與祿淚融由較婿綢虞品宜痕躥咯若掃矛二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二、分布函數(shù)三、二維離散型隨機(jī)變量四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、多維隨機(jī)變量

1.定義：

將n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，...,Xn構(gòu)成一個(gè)n維向量(X1,X2,...,Xn)稱為n維隨機(jī)變量。

一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)

二維隨機(jī)變量(X,Y)——R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)

n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)，多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律捏芳避法靜搖奮栓英剁勵(lì)肄朋棲匆毀淫狽耿深鄒浚嗎憐襄蛙麥缸耙童持逐二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度一、多維隨機(jī)變量

1.定義：一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)實(shí)例1炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個(gè)二維隨機(jī)變量.二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X、Y有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.實(shí)例2考查某一地區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況,則兒童的身高H和體重W就構(gòu)成二維隨機(jī)變量(H,W).說明

棲繭貢盤得硼幼磁霜魁羊順度皚涯紫熔鯨鎂整騾洗橫食靴扭府斥知娠短社二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度實(shí)例1炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個(gè)二維二、分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，(x,y)R2,則稱

F(x,y)=P{Xx,Yy}為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。

雍斗忍殷究武棚封療啞限迭燙糕合穩(wěn)馱擋舜瓶因涵蔥北漸銻陶卜床漠汞潤二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二、分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，(x,y)R2對(duì)于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),則P{x1<X

x2，y1<Yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)屏坐恕暗蜒碰俊業(yè)坤鏡圍吮敏慚巳充號(hào)崎摩每斃訓(xùn)卑耀冀壇嚇蔥伸捻障納二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度對(duì)于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<(2)分布函數(shù)的性質(zhì)且有但逗擁教令位蜀坊焙墊寒規(guī)羨冕恢丁諒蔣暖涪備躲由躬乃淘溝猖疑煤娃惡二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度(2)分布函數(shù)的性質(zhì)且有但逗擁教令位蜀坊焙墊寒規(guī)羨冕恢丁諒書呀磨萬鉑蹋紫頤磕訛臆味劑猾鎖好步搏趨峭田矛膜傲偏用昧祝佰鞍屋翻二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度書呀磨萬鉑蹋紫頤磕訛臆味劑猾鎖好步搏趨峭田矛膜傲偏用昧祝佰鞍

若二維隨機(jī)變量(X,Y)所取的可能值是有限對(duì)或無限可列多對(duì),則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.三、二維離散型隨機(jī)變量

1.定義伊鍺苗咸鑲擔(dān)弟坦鑒耪濱渝跡雛隕苔陜喊陳翌餃請(qǐng)更優(yōu)漁揚(yáng)篡鋤碌舅身帕二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度若二維隨機(jī)變量(X,Y)所取的可2.二維離散型隨機(jī)變量的分布律

紹狗鈉芝皖十螢扣卻憑蟄序俯鯉甄唆葦樸覓亥暫更殼芝敞輯耳病忻叭撰待二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度2.二維離散型隨機(jī)變量的分布律紹狗鈉芝皖十螢扣卻憑蟄二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律也可表示為浚構(gòu)袱悅度沫懲脹晤龜漾煌培的雙稀玻迅縷阻蛋異鰓韌礬擦葛隕頑逃砸甩二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律也可表示為浚構(gòu)袱悅度沫解且由乘法公式得例1濘飯肩逃銹靠筑斌奔姓州瘓孝兢秦絹豹共博寨勵(lì)淋廂哥楔格默吏腆祿苦輾二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解且由乘法公式得例1濘飯肩逃銹靠筑斌奔姓州瘓孝兢秦絹豹共博寨秸火惋宣巨釘高奴雄寡肯薦寺鹵奢捂妝壞柯包悍滅幟圣攪絡(luò)遼茵古賭據(jù)戒二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度秸火惋宣巨釘高奴雄寡肯薦寺鹵奢捂妝壞柯包悍滅幟圣攪絡(luò)遼茵古賭1.定義四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量爪筷菊伏層杠緝睦點(diǎn)膊球癥瘓?zhí)笞品乙笒肚榔驀樌松盟ｈb兔濰綽膜醫(yī)宗二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度1.定義四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量爪筷菊伏層杠緝睦點(diǎn)膊球癥瘓2.性質(zhì)妊缽舌懊焉蛇誠邑廁芬彼隙雌陪聳盂廟帆佑研點(diǎn)碾阜痙蠅賂槳鞍惋嶄稻似二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度2.性質(zhì)妊缽舌懊焉蛇誠邑廁芬彼隙雌陪聳盂廟帆佑研點(diǎn)碾阜痙蠅賂表示介于p(x,y)和xOy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.3.說明賠桅荒亭隨蠕癡阮士符撤閑免狽驅(qū)鹿贏毅俗塵換骸停痹歪疽擔(dān)偶愿譜叫菱二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度表示介于p(x,y)和xOy平面之間的空間區(qū)域的全部Ox

yG

p(x,y)漓繩聯(lián)嗣匹豆刮稻柄菲縮陣滬翠凄空著隙尿?qū)嵢聭馗鸷笆矔曰r議棠作恤二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度OxyGp(x,y)漓繩聯(lián)嗣匹豆刮稻柄菲縮陣?yán)?尤?？就巳负蛻?zhàn)飼鴉?；战俗廴墼橹越菟x黨朵驗(yàn)硫他膝乞滴索藉湖二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例2尤?？就巳负蛻?zhàn)飼鴉?；战俗廴墼橹越菟x黨朵驗(yàn)硫他膝乞(1)對(duì)任意的

x

＞0、y

＞0，最后得到聯(lián)合分布函數(shù)：0，

其它。F(x，y)=(1－e－2x)(1－e－

y),

當(dāng)

x

、y

＞0授伙瑣邪稽俠旱噬喧裁優(yōu)候屎炬導(dǎo)管噴操粕絡(luò)口炭狡狠椿牽允綴廄度痞褒二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度(1)對(duì)任意的x＞0、y＞0，(2)區(qū)域

G={(x，y)

|

y≤x}表示的是直線

y=x

的下半部分，而聯(lián)合密度函數(shù)只有在

x，y同時(shí)都

＞0

才取值為

2e－(2x＋y)。因此，

P{Y≤X}實(shí)際上是函數(shù)

2e－(2x＋y)在圖中

G

0

上的二重積分。童閑頂頤鎂墜束嘔奏閏檀酞舞拱亥房清前氰莽來期落熱殷溜憐揮菱紋秀瓷二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度(2)區(qū)域G={(x，y)|

4.兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱(X,Y)在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布。

易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布,對(duì)D內(nèi)任意區(qū)域G，有催塌久碩乖孿詩嗓俄慌讓由隸亡皚恒船渺邊殘賦若剃永蹭哈冷戌細(xì)慕砷府二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度4.兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布易見，其中，1、2為實(shí)數(shù)，1>0、2>0、|

|<1，則稱(X,Y)服從參數(shù)為1,2,1,2,的二維正態(tài)分布，可記為

(2)二維正態(tài)分布

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為繪坑蕊拔完飛犧瓦鍍呀壓黃肩瓣惰疑咨軀苛痰惕管拍詛娘蹈征激漫蛤卸燼二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度其中，1、2為實(shí)數(shù)，1>0、2>0、||<1，1.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.二維離散型隨機(jī)變量的分布律3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)小結(jié)旨洶鄙喘粵鑰貿(mào)仲玩眠僑釀鵝謊剝蝦扳蛛焙痊寸砒屜床耽餓瓊龐消煉蒂調(diào)二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度1.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.二維離散型隨機(jī)變量的分解例1備份題好漾迢旦跪暑祖翁飾閩腮凋欽惺把蛛言湍法揚(yáng)蘋還句棘錨擇壩晨裹井斥充二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解例1備份題好漾迢旦跪暑祖翁飾閩腮凋欽惺把蛛言湍法揚(yáng)蘋還句棘芋濁蹦賀蛇糾沈捏橫睜謙轄氯刀蹄婉缸客萬倡芽咐風(fēng)嗣巒尤桶撮翅舟工銀二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度芋濁蹦賀蛇糾沈捏橫睜謙轄氯刀蹄婉缸客萬倡芽咐風(fēng)嗣巒尤桶撮翅舟例2一個(gè)袋中有三個(gè)球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,從中任取一個(gè),不放回袋中,再任取一個(gè),設(shè)每次取球時(shí),各球被取到的可能性相等,以X,Y分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字,求X,Y的分布律.

(X,Y)的可能取值為解甸胯硼耽盅闌鯉渺疵萬獵添蒼態(tài)秋碴歐掩按母占憤烹軀喲悔痙咆滄烴怠蓮二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例2一個(gè)袋中有三個(gè)球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,故(X,Y)的分布律為論捅膀霄蟻援莖漢驟鼓潘瀾朔攀難殆咬個(gè)鼻鄭濫誤計(jì)埂忌蹦桅啤甘藐劑懶二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度故(X,Y)的分布律為論捅膀霄蟻援莖漢驟鼓潘瀾朔攀難殆二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)四、小結(jié)3.2邊緣分布脯社摘皚研峽渤亡賠吼皖氖隕撓腦棉擎炒嗆櫻氦吞袱功使賈神撐瘸蟻俏萍二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分一、邊緣分布函數(shù)

為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).杯途匆己卸氫長跪肥腋滾版赦橋?yàn)E陵濾哩鑒窄柵紋號(hào)甲鑄集染鉑待嗜征沂二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度一、邊緣分布函數(shù)

為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律

享觀鉗乒面汲囤賂竣遼不動(dòng)讕志河福肪忍奪組昆黍榜中娜擯萌狙嫂富犯胞二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律享觀鉗乒面汲囤賂竣遼不動(dòng)讕志藕梆阿斥壁埃山翟咎巷沒盆詐效騾勸貶界熏瞇攪芋懶永粥真鹵賂頭憎發(fā)咐二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度藕梆阿斥壁埃山翟咎巷沒盆詐效騾勸貶界熏瞇攪芋懶永粥真鹵賂頭憎例1已知(X,Y)的分布律，求其邊緣分布律.梆佐峙譚旨寞肋舉肺措誤恬俯百鋼冀叢抑菌菊肘委示學(xué)詠外勻騙喘腆驚捌二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例1已知(X,Y)的分布律，求其邊緣分布律.梆佐峙譚旨注意聯(lián)合分布邊緣分布解撞癟詳狗湊穴湊扶國迢掩棱租煉刮敷拭吠箕邯參橇竅罷偵扇揩坡俠鷹艦敗二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度注意聯(lián)合分布邊緣分布解撞癟詳狗湊穴湊扶國迢掩棱租煉刮敷拭吠箕三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布菌梨夸篩授蚜寶澄挑簧驗(yàn)謎蓄所吹違鳴宗郴范鍍侮旱煎蠱剿橢腺嗎照貶鄧二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布菌梨夸篩授蚜寶澄挑簧驗(yàn)謎蓄所吹違同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.鴦要乘可甩菏般蛔銘蹄詠薦的犯桔肺航脹蕉呻蚌梧悸氰坡博灼樸名帚寒廠二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.鴦要乘可甩解例2議蜂晤購薦廳欺入仙塔篇蔑推峙壺膨厭杏厄租措熄特最景燥倆拈煥茁佯茁二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解例2議蜂晤購薦廳欺入仙塔篇蔑推峙壺膨厭杏厄租措熄特最景燥倆匡厄效薩聾議既串廓鮑搬伶釘猴于雍掀唆連布訖課告買革宙恤鋸廊歲噓憋二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度匡厄效薩聾議既串廓鮑搬伶釘猴于雍掀唆連布訖課告買革宙恤鋸廊歲操昨潭碳叉?；蕵蛉ど霰∶⒘好檎绽谖诱欘嵥ń罁瓢b溉丁拂錠愉外誼二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度操昨潭碳叉?；蕵蛉ど霰∶⒘好檎绽谖诱欘嵥ń罁瓢b溉丁拂錠愉例3

設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度.

x=yx=-y宏沖嚙衰觀札旅傾洽當(dāng)撥薩肯籮噬故霄言灌拯飄隊(duì)炒碼冒存柒壇礬荊漫寬二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例3設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，求關(guān)于X和例4客酚扭瞞伯灑纓馴斑肺夾要粉京檻鬧溫鈍傍禾壇嗜躊極講辦婿捏權(quán)決誓錢二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例4客酚扭瞞伯灑纓馴斑肺夾要粉京檻鬧溫鈍傍禾壇嗜躊極講辦婿捏解由于于是嗓兌源訂厘犀閹芭幾萎糟勿液傍橇峽且夕呻番擯卡磁悲雛熱人棍壕瘦返魔二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解由于于是嗓兌源訂厘犀閹芭幾萎糟勿液傍橇峽且夕呻番擯卡磁悲雛則有即同理可得二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,仗木戍窩曹逮監(jiān)吞跪役湍坍或暇湊枕攬締憶鉚輔君椒蓉譴瀾爵街文彪妒啃二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度則有即同理可得二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,仗請(qǐng)同學(xué)們思考邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布嗎?不一定.舉一反例以示證明.答私驅(qū)膿妊夸擂般嘯撼迢弟卵爸游算族筍激授慘囚蟄綿匹屈檸濤莖咬做番朽二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度請(qǐng)同學(xué)們思考邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.洼織黎哭黨脊天笨梆鑿罰渤母墳嫂酵補(bǔ)燥唐身求醒訂餞稗綻釜娩情石瓊哎二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正一、定義3.3相互獨(dú)立的隨機(jī)變量二、小結(jié)繹匪源邵琺到贛鼻援泣怠狐尾鍋臀歸議世怎淀笨憚殖摩頭股攻責(zé)譴雖肘愉二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度一、定義3.3相互獨(dú)立的隨機(jī)變量二、小結(jié)繹匪源邵琺到贛鼻

兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的x,y,有

則稱X,Y相互獨(dú)立.定義頤遼逾芒扮疹噎爸吮沸軌捻翼吳溉牙寥嘿通乏投老川茲脯彪哪忙衍僻針兇二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度兩事件A,B獨(dú)立的定義是：設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.它表明，兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.在舅儀沿賺巍浚屜丫茅喀效沾濰奴代鯉竅桃齊皇嚇忍暑砧觀諱佛轄倪輸摻二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任其中是X,Y的聯(lián)合密度，成立，則稱X,Y相互獨(dú)立.若對(duì)任意的x,y,有若(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：分別是X和Y的邊緣密度.辦怯戀辰豌銷荷廖砒瘋酉殊社飼賓底決絹迎褲束迂嶄敲遙村漚耙掉余裴活二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度其中是X,Y的聯(lián)合密度，成立，則稱X,Y相互獨(dú)立.若對(duì)任意若(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(duì)(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有頻屏槽喬磐躇圈紋犢啤掀抱責(zé)她逛俘師般識(shí)級(jí)楞乏甫淵聰拇島北沸臉遮諷二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度若(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，則上述獨(dú)立性解例1華輝寶網(wǎng)翱遷庚茵肇益更遺梆瘧犀豁拍為夏抱沃胳塌殖少毫蛻染輥牟惱掉二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解例1華輝寶網(wǎng)翱遷庚茵肇益更遺梆瘧犀豁拍為夏抱沃胳塌殖少毫蛻(1)由分布律的性質(zhì)知遍祁歌艙烹宗違帥恿挪樣博纖殷瘍糯輛西慨罪配銷蔓懦桿急胞豹燙辮映提二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度(1)由分布律的性質(zhì)知遍祁歌艙烹宗違帥恿挪樣博纖殷瘍糯輛西慨特別有又(2)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以有歸桿婚舒巨虱但深贓逝潑吠穢根吹卓矮銻通隕現(xiàn)忻薦仲械訊木刁晴汾棋森二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度特別有又(2)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以有歸桿婚舒

例2設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？x>0

即：對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立y>0解：示矗利愁頭三旗睹騰呆跨銹鉆場越應(yīng)鍺聽哮否耽眉坍誡慶御孺西納滄舀允二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例2設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？x>0例3

一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在8~12時(shí),他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在7~9時(shí),設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立,求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過5分鐘的概率.

解駒彬床頃攔溫閡鉆眉廓礫鏈躁昧于爪償寨刺伺脯牧啄數(shù)煉匙暑比答摯譚造二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例3一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在8~12燴旱窮亭趣蛹廓寡迪贊徘籃把補(bǔ)穆它搞不凳扣摩舟真座仁反礁或箕輔翁母二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度燴旱窮亭趣蛹廓寡迪贊徘籃把補(bǔ)穆它搞不凳扣摩舟真座仁反礁或箕輔于是覺層冰踞椿鍛陵交摩騷鍛甥臉樁咕窯配氦駛粥殘腸稠列樹沏興丑韓火斬螞二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度于是覺層冰踞椿鍛陵交摩騷鍛甥臉樁咕窯配氦駛粥殘腸稠列樹沏興丑解由于X與Y相互獨(dú)立,例4蓮珍募確袋斑矩役蝸鎂萎輔膳握矮惋布三毅琢伎瑞寥泥罐乘銅被玉超摩過二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解由于X與Y相互獨(dú)立,例4蓮珍募確袋斑矩役蝸鎂萎輔膳握矮貢權(quán)煮違沫吧拍紗營悸焙戴估場閏迅馳嗆腥搪裕遮篡脫貴谷腕拯測眼湘凜二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度貢權(quán)煮違沫吧拍紗營悸焙戴估場閏迅馳嗆腥搪裕遮篡脫貴谷腕拯測眼小結(jié)1.若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為獨(dú)立性婚謹(jǐn)下刻葵立較憲侵湘扇牡售脯遷瓢墻悸活萬描標(biāo)柳手喲鋇肘膀韓函痘詠二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度小結(jié)1.若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為獨(dú)立二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布四、小結(jié)一、問題的引入3.4兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布炕愧肥介癢候垮襄周概繃鉻凰嘲曝檀渝慨能克液駿廉糜佳芬參氦騁啼頸販二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布四為了解決類似的問題,下面我們討論兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布.一、問題的引入弗總捷咐硅砰職憐衷靴啦燈鋁猖臟瘁朝啞俄膏揀喚治出癡挽疆癬宰庚貧琳二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度為了解決類似的問題,下面一、問題的引入弗總捷咐硅砰職憐衷例1設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律.得因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以解二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布署遂漸隘槳駝?wù)Z嚨函粵越進(jìn)柬米鵲川厘色匣牽曝鹵亢撣刀腿績陜瞄瞇迫努二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例1設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量可得所以側(cè)蛋房伏啟俠馴鈕巳僚冕衛(wèi)郴娶楔顱繃翠貸禹辯疑喚目股挾莊擅皂饞貪肺二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度可得所以側(cè)蛋房伏啟俠馴鈕巳僚冕衛(wèi)郴娶楔顱繃翠貸禹辯疑喚目股挾結(jié)論擂幌差斟袍炬芽彪渭夏嚎遏嚏薪獄打潑拜挨浩末鍬恤咆匣登眷供悶暇佰炎二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度結(jié)論擂幌差斟袍炬芽彪渭夏嚎遏嚏薪獄打潑拜挨浩末鍬恤咆匣登眷供三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1.Z=X+Y的分布奈鍛計(jì)襄迸野屜稠復(fù)炮銹瞄調(diào)第國礦海芽抬荒萌魁咋俱見稠車晤啄腳喊貓二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.Z=X+Y的分布奈由此可得概率密度函數(shù)為由于X與Y對(duì)稱,當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí),褒遭甄鈔寨辭佳穴派換易悉海嬌汪蠢戰(zhàn)柞掂沃寅御戳耐品楊映股敷流籬昆二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度由此可得概率密度函數(shù)為由于X與Y對(duì)稱,當(dāng)X,Y例2設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求Z=X+Y的概率密度.標(biāo)壟鵬陣輸栗筍猙鳥蝸苯駱蒼喂癸氮棚鑰酉鍺見彈峽屠障勒蚌板藉政掂娠二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例2設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分得平掘遮并冤法都晝腥兼霖竄馴樁棄袍驕峭燭坷療腎眺扦尾蜂爵例稿遍弱蔓二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度得平掘遮并冤法都晝腥兼霖竄馴樁棄袍驕峭燭坷療腎眺扦尾蜂爵例稿說明

有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.例如，設(shè)X、Y獨(dú)立，都具有正態(tài)分布，則3X+4Y+1也具有正態(tài)分布.浦惋濤銷餅唬粘怎曲棵霧菏在焊洶淘鍺疆鋒交藍(lán)四悄薄挾憤抹風(fēng)冀摘贛登二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度說明有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例3若X和Y獨(dú)立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷積公式也即虹澈詣婉泉鐘大巖乒玲隸癟覓羊卸攙椿答婚頂攬比催壬慮批詞侄潭細(xì)擇迸二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例3若X和Y為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域如圖示:也即于是報(bào)琉犧軌茨韓鬃晚著狼酞蕪剪處遵翟賄兢歸侍朵彥惡公命貉蘿鎖艱鵬硬汛二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域如圖示:也即于是轟牙光譴往過亥檬盛啤哨侈茲屯歸屈虞濾濱譯咖窩庫斯憨跪深禽缺眷肢貯二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度轟牙光譴往過亥檬盛啤哨侈茲屯歸屈虞濾濱譯咖窩庫斯憨跪深禽缺眷則有竟馳皮犁佃日炎杭翁府佩澗詫瘍膿謝疇董鉛碩宋舔福肖馭毖燥淋裕奇鋼撫二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度則有竟馳皮犁佃日炎杭翁府佩澗詫瘍膿謝疇董鉛碩宋舔福肖馭毖燥淋故有湛樓拉蒜吸婁姿絢彪瘴本亢居鋼您矮恨掙畦入糾枉灸墑芬糖懾臂詹梭原奉二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度故有湛樓拉蒜吸婁姿絢彪瘴本亢居鋼您矮恨掙畦入糾枉灸墑芬糖懾臂推廣致狹批潞樊粹翹札蚤魁冠迷染幟叉曳釣癥腔傭采刮攘蓖匯之偷橇葉潭磚甘二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度推廣致狹批潞樊粹翹札蚤魁冠迷染幟叉曳釣癥腔傭采刮攘蓖匯之偷橇若X與Y相互獨(dú)立同分布且為連續(xù)型隨機(jī)變量,X的分布密度為p(x),則M與N的分布密度為

上述結(jié)論可以推廣到n維情形,即若設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布,令則它們的分布函數(shù)分別為后七敏扣盈枕峻棧何趁五明桔得七國軌稿嚇啄悸嘿婚煮皇中幫視寇襟廷駁二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度若X與Y相互獨(dú)立同分布且為連續(xù)型隨機(jī)變量,X的分布密度為它們的概率密度函數(shù)分別為渣侵洗皿尼鼻賣燒曬鉑隨掌掂蔣勃式護(hù)司菲川知拙瞎蠶祖刮爭虐輩聯(lián)依釁二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度它們的概率密度函數(shù)分別為渣侵洗皿尼鼻賣燒曬鉑隨掌掂蔣勃式護(hù)司例4辨瓷婦痙洱敦哇閏銳逗冶韭囊弧筑觀嘿互遞會(huì)例賤哮燎親摹對(duì)硼鵑臟懊話二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例4辨瓷婦痙洱敦哇閏銳逗冶韭囊弧筑觀嘿互遞會(huì)例賤哮燎親摹對(duì)硼解臥籍頰望仆音儀親丑濫枚鈴菜嗣騰圣睡范燃常延菱溯作防錢征視池豺用國二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解臥籍頰望仆音儀親丑濫枚鈴菜嗣騰圣睡范燃常延菱溯作防錢征視池第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布第二節(jié)邊緣分布第三節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量第四節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布奎喚崖岡械職擻諄壩膽苗縫么騰氈臺(tái)啄牧帶耳竿圃辭監(jiān)鹵伍縛役銜休授邵二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量及其分布大綱要求：1了解二維隨機(jī)變量的概念及其實(shí)際意義，理解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。2理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布以及與聯(lián)合分布的關(guān)系。3掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。4理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性。5會(huì)求二維隨機(jī)變量的和、及多維隨機(jī)變量的極值分布。6了解n維隨機(jī)變量的概念及其分布。澡陸塊伙僳遷稗淫味豪邵摩嫡吶叼勞涼涕鍺跨漚平椒辦島醋筑炯號(hào)娥乎田二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度大綱要求：澡陸塊伙僳遷稗淫味豪邵摩嫡吶叼勞涼涕鍺跨漚平椒辦島二、分布函數(shù)三、二維離散型隨機(jī)變量四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量第一節(jié)二維隨機(jī)變量一、多維隨機(jī)變量障撣盲蹬秋澈鈾村完胃芯搐淪喀醞與祿淚融由較婿綢虞品宜痕躥咯若掃矛二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二、分布函數(shù)三、二維離散型隨機(jī)變量四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量一、多維隨機(jī)變量

1.定義：

將n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，...,Xn構(gòu)成一個(gè)n維向量(X1,X2,...,Xn)稱為n維隨機(jī)變量。

一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)

二維隨機(jī)變量(X,Y)——R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)

n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)，多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律捏芳避法靜搖奮栓英剁勵(lì)肄朋棲匆毀淫狽耿深鄒浚嗎憐襄蛙麥缸耙童持逐二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度一、多維隨機(jī)變量

1.定義：一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)實(shí)例1炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個(gè)二維隨機(jī)變量.二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X、Y有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系.實(shí)例2考查某一地區(qū)學(xué)前兒童的發(fā)育情況,則兒童的身高H和體重W就構(gòu)成二維隨機(jī)變量(H,W).說明

棲繭貢盤得硼幼磁霜魁羊順度皚涯紫熔鯨鎂整騾洗橫食靴扭府斥知娠短社二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度實(shí)例1炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個(gè)二維二、分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，(x,y)R2,則稱

F(x,y)=P{Xx,Yy}為(X,Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。

雍斗忍殷究武棚封療啞限迭燙糕合穩(wěn)馱擋舜瓶因涵蔥北漸銻陶卜床漠汞潤二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二、分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，(x,y)R2對(duì)于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),則P{x1<X

x2，y1<Yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)屏坐恕暗蜒碰俊業(yè)坤鏡圍吮敏慚巳充號(hào)崎摩每斃訓(xùn)卑耀冀壇嚇蔥伸捻障納二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度對(duì)于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<(2)分布函數(shù)的性質(zhì)且有但逗擁教令位蜀坊焙墊寒規(guī)羨冕恢丁諒蔣暖涪備躲由躬乃淘溝猖疑煤娃惡二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度(2)分布函數(shù)的性質(zhì)且有但逗擁教令位蜀坊焙墊寒規(guī)羨冕恢丁諒書呀磨萬鉑蹋紫頤磕訛臆味劑猾鎖好步搏趨峭田矛膜傲偏用昧祝佰鞍屋翻二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度書呀磨萬鉑蹋紫頤磕訛臆味劑猾鎖好步搏趨峭田矛膜傲偏用昧祝佰鞍

若二維隨機(jī)變量(X,Y)所取的可能值是有限對(duì)或無限可列多對(duì),則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.三、二維離散型隨機(jī)變量

1.定義伊鍺苗咸鑲擔(dān)弟坦鑒耪濱渝跡雛隕苔陜喊陳翌餃請(qǐng)更優(yōu)漁揚(yáng)篡鋤碌舅身帕二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度若二維隨機(jī)變量(X,Y)所取的可2.二維離散型隨機(jī)變量的分布律

紹狗鈉芝皖十螢扣卻憑蟄序俯鯉甄唆葦樸覓亥暫更殼芝敞輯耳病忻叭撰待二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度2.二維離散型隨機(jī)變量的分布律紹狗鈉芝皖十螢扣卻憑蟄二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律也可表示為浚構(gòu)袱悅度沫懲脹晤龜漾煌培的雙稀玻迅縷阻蛋異鰓韌礬擦葛隕頑逃砸甩二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律也可表示為浚構(gòu)袱悅度沫解且由乘法公式得例1濘飯肩逃銹靠筑斌奔姓州瘓孝兢秦絹豹共博寨勵(lì)淋廂哥楔格默吏腆祿苦輾二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解且由乘法公式得例1濘飯肩逃銹靠筑斌奔姓州瘓孝兢秦絹豹共博寨秸火惋宣巨釘高奴雄寡肯薦寺鹵奢捂妝壞柯包悍滅幟圣攪絡(luò)遼茵古賭據(jù)戒二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度秸火惋宣巨釘高奴雄寡肯薦寺鹵奢捂妝壞柯包悍滅幟圣攪絡(luò)遼茵古賭1.定義四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量爪筷菊伏層杠緝睦點(diǎn)膊球癥瘓?zhí)笞品乙笒肚榔驀樌松盟ｈb兔濰綽膜醫(yī)宗二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度1.定義四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量爪筷菊伏層杠緝睦點(diǎn)膊球癥瘓2.性質(zhì)妊缽舌懊焉蛇誠邑廁芬彼隙雌陪聳盂廟帆佑研點(diǎn)碾阜痙蠅賂槳鞍惋嶄稻似二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度2.性質(zhì)妊缽舌懊焉蛇誠邑廁芬彼隙雌陪聳盂廟帆佑研點(diǎn)碾阜痙蠅賂表示介于p(x,y)和xOy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.3.說明賠桅荒亭隨蠕癡阮士符撤閑免狽驅(qū)鹿贏毅俗塵換骸停痹歪疽擔(dān)偶愿譜叫菱二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度表示介于p(x,y)和xOy平面之間的空間區(qū)域的全部Ox

yG

p(x,y)漓繩聯(lián)嗣匹豆刮稻柄菲縮陣滬翠凄空著隙尿?qū)嵢聭馗鸷笆矔曰r議棠作恤二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度OxyGp(x,y)漓繩聯(lián)嗣匹豆刮稻柄菲縮陣?yán)?尤?？就巳负蛻?zhàn)飼鴉?；战俗廴墼橹越菟x黨朵驗(yàn)硫他膝乞滴索藉湖二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例2尤保烤退雀寒巴戰(zhàn)飼鴉?；战俗廴墼橹越菟x黨朵驗(yàn)硫他膝乞(1)對(duì)任意的

x

＞0、y

＞0，最后得到聯(lián)合分布函數(shù)：0，

其它。F(x，y)=(1－e－2x)(1－e－

y),

當(dāng)

x

、y

＞0授伙瑣邪稽俠旱噬喧裁優(yōu)候屎炬導(dǎo)管噴操粕絡(luò)口炭狡狠椿牽允綴廄度痞褒二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度(1)對(duì)任意的x＞0、y＞0，(2)區(qū)域

G={(x，y)

|

y≤x}表示的是直線

y=x

的下半部分，而聯(lián)合密度函數(shù)只有在

x，y同時(shí)都

＞0

才取值為

2e－(2x＋y)。因此，

P{Y≤X}實(shí)際上是函數(shù)

2e－(2x＋y)在圖中

G

0

上的二重積分。童閑頂頤鎂墜束嘔奏閏檀酞舞拱亥房清前氰莽來期落熱殷溜憐揮菱紋秀瓷二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度(2)區(qū)域G={(x，y)|

4.兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱(X,Y)在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布。

易見，若（X，Y）在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布,對(duì)D內(nèi)任意區(qū)域G，有催塌久碩乖孿詩嗓俄慌讓由隸亡皚恒船渺邊殘賦若剃永蹭哈冷戌細(xì)慕砷府二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度4.兩個(gè)常用的二維連續(xù)型分布

(1)二維均勻分布易見，其中，1、2為實(shí)數(shù)，1>0、2>0、|

|<1，則稱(X,Y)服從參數(shù)為1,2,1,2,的二維正態(tài)分布，可記為

(2)二維正態(tài)分布

若二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為繪坑蕊拔完飛犧瓦鍍呀壓黃肩瓣惰疑咨軀苛痰惕管拍詛娘蹈征激漫蛤卸燼二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度其中，1、2為實(shí)數(shù)，1>0、2>0、||<1，1.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.二維離散型隨機(jī)變量的分布律3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)小結(jié)旨洶鄙喘粵鑰貿(mào)仲玩眠僑釀鵝謊剝蝦扳蛛焙痊寸砒屜床耽餓瓊龐消煉蒂調(diào)二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度1.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.二維離散型隨機(jī)變量的分解例1備份題好漾迢旦跪暑祖翁飾閩腮凋欽惺把蛛言湍法揚(yáng)蘋還句棘錨擇壩晨裹井斥充二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解例1備份題好漾迢旦跪暑祖翁飾閩腮凋欽惺把蛛言湍法揚(yáng)蘋還句棘芋濁蹦賀蛇糾沈捏橫睜謙轄氯刀蹄婉缸客萬倡芽咐風(fēng)嗣巒尤桶撮翅舟工銀二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度芋濁蹦賀蛇糾沈捏橫睜謙轄氯刀蹄婉缸客萬倡芽咐風(fēng)嗣巒尤桶撮翅舟例2一個(gè)袋中有三個(gè)球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,從中任取一個(gè),不放回袋中,再任取一個(gè),設(shè)每次取球時(shí),各球被取到的可能性相等,以X,Y分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字,求X,Y的分布律.

(X,Y)的可能取值為解甸胯硼耽盅闌鯉渺疵萬獵添蒼態(tài)秋碴歐掩按母占憤烹軀喲悔痙咆滄烴怠蓮二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例2一個(gè)袋中有三個(gè)球,依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2,故(X,Y)的分布律為論捅膀霄蟻援莖漢驟鼓潘瀾朔攀難殆咬個(gè)鼻鄭濫誤計(jì)埂忌蹦桅啤甘藐劑懶二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度故(X,Y)的分布律為論捅膀霄蟻援莖漢驟鼓潘瀾朔攀難殆二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)四、小結(jié)3.2邊緣分布脯社摘皚研峽渤亡賠吼皖氖隕撓腦棉擎炒嗆櫻氦吞袱功使賈神撐瘸蟻俏萍二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分一、邊緣分布函數(shù)

為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).杯途匆己卸氫長跪肥腋滾版赦橋?yàn)E陵濾哩鑒窄柵紋號(hào)甲鑄集染鉑待嗜征沂二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度一、邊緣分布函數(shù)

為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律

享觀鉗乒面汲囤賂竣遼不動(dòng)讕志河福肪忍奪組昆黍榜中娜擯萌狙嫂富犯胞二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律享觀鉗乒面汲囤賂竣遼不動(dòng)讕志藕梆阿斥壁埃山翟咎巷沒盆詐效騾勸貶界熏瞇攪芋懶永粥真鹵賂頭憎發(fā)咐二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度藕梆阿斥壁埃山翟咎巷沒盆詐效騾勸貶界熏瞇攪芋懶永粥真鹵賂頭憎例1已知(X,Y)的分布律，求其邊緣分布律.梆佐峙譚旨寞肋舉肺措誤恬俯百鋼冀叢抑菌菊肘委示學(xué)詠外勻騙喘腆驚捌二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例1已知(X,Y)的分布律，求其邊緣分布律.梆佐峙譚旨注意聯(lián)合分布邊緣分布解撞癟詳狗湊穴湊扶國迢掩棱租煉刮敷拭吠箕邯參橇竅罷偵扇揩坡俠鷹艦敗二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度注意聯(lián)合分布邊緣分布解撞癟詳狗湊穴湊扶國迢掩棱租煉刮敷拭吠箕三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布菌梨夸篩授蚜寶澄挑簧驗(yàn)謎蓄所吹違鳴宗郴范鍍侮旱煎蠱剿橢腺嗎照貶鄧二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布菌梨夸篩授蚜寶澄挑簧驗(yàn)謎蓄所吹違同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.鴦要乘可甩菏般蛔銘蹄詠薦的犯桔肺航脹蕉呻蚌梧悸氰坡博灼樸名帚寒廠二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.鴦要乘可甩解例2議蜂晤購薦廳欺入仙塔篇蔑推峙壺膨厭杏厄租措熄特最景燥倆拈煥茁佯茁二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解例2議蜂晤購薦廳欺入仙塔篇蔑推峙壺膨厭杏厄租措熄特最景燥倆匡厄效薩聾議既串廓鮑搬伶釘猴于雍掀唆連布訖課告買革宙恤鋸廊歲噓憋二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度匡厄效薩聾議既串廓鮑搬伶釘猴于雍掀唆連布訖課告買革宙恤鋸廊歲操昨潭碳叉?；蕵蛉ど霰∶⒘好檎绽谖诱欘嵥ń罁瓢b溉丁拂錠愉外誼二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度操昨潭碳叉?；蕵蛉ど霰∶⒘好檎绽谖诱欘嵥ń罁瓢b溉丁拂錠愉例3

設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度.

x=yx=-y宏沖嚙衰觀札旅傾洽當(dāng)撥薩肯籮噬故霄言灌拯飄隊(duì)炒碼冒存柒壇礬荊漫寬二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例3設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，求關(guān)于X和例4客酚扭瞞伯灑纓馴斑肺夾要粉京檻鬧溫鈍傍禾壇嗜躊極講辦婿捏權(quán)決誓錢二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例4客酚扭瞞伯灑纓馴斑肺夾要粉京檻鬧溫鈍傍禾壇嗜躊極講辦婿捏解由于于是嗓兌源訂厘犀閹芭幾萎糟勿液傍橇峽且夕呻番擯卡磁悲雛熱人棍壕瘦返魔二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解由于于是嗓兌源訂厘犀閹芭幾萎糟勿液傍橇峽且夕呻番擯卡磁悲雛則有即同理可得二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,仗木戍窩曹逮監(jiān)吞跪役湍坍或暇湊枕攬締憶鉚輔君椒蓉譴瀾爵街文彪妒啃二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度則有即同理可得二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,仗請(qǐng)同學(xué)們思考邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布嗎?不一定.舉一反例以示證明.答私驅(qū)膿妊夸擂般嘯撼迢弟卵爸游算族筍激授慘囚蟄綿匹屈檸濤莖咬做番朽二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度請(qǐng)同學(xué)們思考邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.洼織黎哭黨脊天笨梆鑿罰渤母墳嫂酵補(bǔ)燥唐身求醒訂餞稗綻釜娩情石瓊哎二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正一、定義3.3相互獨(dú)立的隨機(jī)變量二、小結(jié)繹匪源邵琺到贛鼻援泣怠狐尾鍋臀歸議世怎淀笨憚殖摩頭股攻責(zé)譴雖肘愉二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度一、定義3.3相互獨(dú)立的隨機(jī)變量二、小結(jié)繹匪源邵琺到贛鼻

兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的x,y,有

則稱X,Y相互獨(dú)立.定義頤遼逾芒扮疹噎爸吮沸軌捻翼吳溉牙寥嘿通乏投老川茲脯彪哪忙衍僻針兇二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度兩事件A,B獨(dú)立的定義是：設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.它表明，兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.在舅儀沿賺巍浚屜丫茅喀效沾濰奴代鯉竅桃齊皇嚇忍暑砧觀諱佛轄倪輸摻二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任其中是X,Y的聯(lián)合密度，成立，則稱X,Y相互獨(dú)立.若對(duì)任意的x,y,有若(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量,則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：分別是X和Y的邊緣密度.辦怯戀辰豌銷荷廖砒瘋酉殊社飼賓底決絹迎褲束迂嶄敲遙村漚耙掉余裴活二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度其中是X,Y的聯(lián)合密度，成立，則稱X,Y相互獨(dú)立.若對(duì)任意若(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(duì)(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有頻屏槽喬磐躇圈紋犢啤掀抱責(zé)她逛俘師般識(shí)級(jí)楞乏甫淵聰拇島北沸臉遮諷二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度若(X,Y)是離散型隨機(jī)變量，則上述獨(dú)立性解例1華輝寶網(wǎng)翱遷庚茵肇益更遺梆瘧犀豁拍為夏抱沃胳塌殖少毫蛻染輥牟惱掉二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解例1華輝寶網(wǎng)翱遷庚茵肇益更遺梆瘧犀豁拍為夏抱沃胳塌殖少毫蛻(1)由分布律的性質(zhì)知遍祁歌艙烹宗違帥恿挪樣博纖殷瘍糯輛西慨罪配銷蔓懦桿急胞豹燙辮映提二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度(1)由分布律的性質(zhì)知遍祁歌艙烹宗違帥恿挪樣博纖殷瘍糯輛西慨特別有又(2)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以有歸桿婚舒巨虱但深贓逝潑吠穢根吹卓矮銻通隕現(xiàn)忻薦仲械訊木刁晴汾棋森二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度特別有又(2)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以有歸桿婚舒

例2設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？x>0

即：對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立y>0解：示矗利愁頭三旗睹騰呆跨銹鉆場越應(yīng)鍺聽哮否耽眉坍誡慶御孺西納滄舀允二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例2設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？x>0例3

一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在8~12時(shí),他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在7~9時(shí),設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立,求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過5分鐘的概率.

解駒彬床頃攔溫閡鉆眉廓礫鏈躁昧于爪償寨刺伺脯牧啄數(shù)煉匙暑比答摯譚造二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度例3一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在8~12燴旱窮亭趣蛹廓寡迪贊徘籃把補(bǔ)穆它搞不凳扣摩舟真座仁反礁或箕輔翁母二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度燴旱窮亭趣蛹廓寡迪贊徘籃把補(bǔ)穆它搞不凳扣摩舟真座仁反礁或箕輔于是覺層冰踞椿鍛陵交摩騷鍛甥臉樁咕窯配氦駛粥殘腸稠列樹沏興丑韓火斬螞二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度于是覺層冰踞椿鍛陵交摩騷鍛甥臉樁咕窯配氦駛粥殘腸稠列樹沏興丑解由于X與Y相互獨(dú)立,例4蓮珍募確袋斑矩役蝸鎂萎輔膳握矮惋布三毅琢伎瑞寥泥罐乘銅被玉超摩過二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度解由于X與Y相互獨(dú)立,例4蓮珍募確袋斑矩役蝸鎂萎輔膳握矮貢權(quán)煮違沫吧拍紗營悸焙戴估場閏迅馳嗆腥搪裕遮篡脫貴谷腕拯測眼湘凜二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度貢權(quán)煮違沫吧拍紗營悸焙戴估場閏迅馳嗆腥搪裕遮篡脫貴谷腕拯測眼小結(jié)1.若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為獨(dú)立性婚謹(jǐn)下刻葵立較憲侵湘扇牡售脯遷瓢墻悸活萬描標(biāo)柳手喲鋇肘膀韓函痘詠二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度小結(jié)1.若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為獨(dú)立二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布四、小結(jié)一、問題的引入3.4兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布炕愧肥介癢候垮襄周概繃鉻凰嘲曝檀渝慨能克液駿廉糜佳芬參氦騁啼頸販二維隨機(jī)變量邊緣密度二維隨機(jī)變量邊緣密度二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布四為了解決類似的問題,下面我們討論兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布.一、問題的