2022年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列經(jīng)典題型專題提升：第27講數(shù)列與概率的交匯問題（解析版）

第27講數(shù)列與概率的交匯問題一、單選題I.（2021?江蘇?鎮(zhèn)江江河藝術(shù)高級中學(xué)有限公司高二期中）隨機(jī)數(shù)表是人們根據(jù)需要編制出來的，由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)字組成，表中每一個數(shù)都是用隨機(jī)方法產(chǎn)生的，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法主要有抽簽法、拋擲骰子法和計算機(jī)生成法.現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)合作在一個正二十面（如圖）的各面寫上0~9這10個數(shù)字（相對的兩個面上的數(shù)字相同），這樣就得到一個產(chǎn)生0~9的隨機(jī)數(shù)的骰子.依次投擲這個骰子，并逐個記下朝上一面的數(shù)字，就能按順序排成一個隨機(jī)數(shù)表，若甲、乙、丙依次投擲一次，按順序記下三個數(shù),A. 1000A. 1000r50D.r50D. 1000B. 1000【答案】D【分析】甲投1次，記下數(shù)字有10種可能，乙投1次也有10種可能；丙投I次也有10種可能，所以甲、乙、丙依次投擲1次，由分步乘法原理可得所有記下數(shù)字的總情況數(shù)，再列舉出等差數(shù)列的公差為0，1,2,3,4的所有情況，將公差為1,2,3,4的等差數(shù)列中的第1項(xiàng)和第3項(xiàng)的數(shù)字交換，分別構(gòu)成公差為-1,-2,-3,-4的等差數(shù)列，可得出構(gòu)成等差數(shù)列的可能情況數(shù)，根據(jù)古典概率公式計算可得選項(xiàng).【詳解】甲投1次，記下數(shù)字有10種可能，乙投1次也有10種可能；丙投1次也有10種可能，所以甲、乙、丙依次投擲1次，記下數(shù)字有10x10x10=1000種情況,0~9這10個數(shù)字中選3個，能構(gòu)成等差數(shù)列的情況如下:公差為0的等差數(shù)列有：0,0,0；公差為0的等差數(shù)列有：0,0,0；11；2,2,2；...；9,9,9共10種情況;公差為I的等差數(shù)列有：0,1,2；112,3；2,3,4；3?4,5；4,5,6,；5,6,7?；6,7,8；7,8,9共8種情況;公差為2的等差數(shù)列有：公差為2的等差數(shù)列有：0,2,4；1,3,5；2,4,6；3,5,7；4,6,8；5,7,9共6種情況;公差為3的等差數(shù)列有：0,3,6；1,4,7；2,5,8；3,6,9共4種情況；公差為4的等差數(shù)列有：0,4,8；1,5,9共2種情況：公差為1,2,3,4的等差數(shù)列中的第1項(xiàng)和第3項(xiàng)的數(shù)字交換，分別構(gòu)成公差為-1,-2,-3,-4的等差數(shù)列，所以構(gòu)成等差數(shù)列的可能情況有10+2x（8+6+4+2）=50,所以若甲、乙、內(nèi)依次投擲一次,按順序記下三個數(shù)，三個數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為需，故選：D.（2021?湖北?襄陽四中模擬預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的問題:已知-對兔子每個月可以生一對兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對數(shù)依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...?這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是a“=a,i+a“-2（〃23,〃eN*）,其中，4=1,生=1.若從該數(shù)列的前120項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（ ）A.- B.- C.； D.-3 3 2 4【答案】A【分析】根據(jù)已知條件先分析數(shù)列中相鄰三項(xiàng)的奇偶性情況，然后得到前120項(xiàng)中的偶數(shù)個數(shù)，由此可求解出對應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)槠鏀?shù)加奇數(shù)結(jié)果是偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)結(jié)果是奇數(shù)，偶數(shù)加奇數(shù)結(jié)果是奇數(shù)，所以數(shù)列中任意相鄰的三項(xiàng)，其中一項(xiàng)為偶數(shù)，兩項(xiàng)為奇數(shù)，所以前120項(xiàng)中偶數(shù)有40項(xiàng)，401所以這個數(shù)是偶數(shù)的概率為蒜=；.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于分析斐波那契數(shù)列中項(xiàng)的奇偶組成，通過項(xiàng)的奇偶組成確定出120項(xiàng)中奇數(shù)和偶數(shù)的項(xiàng)數(shù)，完成問題的求解.（2021?全國?高二專題練習(xí)）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)凡是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).凡一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)幣=3.8,平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要（ ）染？（初始感染者傳染凡個人為第一輪傳染，這4個人每人再傳染凡個人為第二輪傳

【分析】【詳解】則每輪新增感染人數(shù)為勺1+4+故選【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等的概率記為幾.則P5【分析】感染人數(shù)由1【分析】【詳解】則每輪新增感染人數(shù)為勺1+4+故選【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等的概率記為幾.則P5【分析】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要〃輪傳染應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1()00人大約需要5輪傳染比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時經(jīng)過〃輪傳染，總共感染人數(shù)為頂點(diǎn)的概率均為：，剛開始時，棋子在上底面點(diǎn)A處，若移了〃次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)根據(jù)題意列出方程，利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解即可(202卜江蘇海安?模擬預(yù)測)如圖，一顆棋子從三棱柱的一個頂點(diǎn)沿樓移到相鄰的另一個——=1000,解得1—3.8先求出小心，根據(jù)題意得到外、之間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】2 221(,移了〃次后棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率記為P”,故落在卜,底面頂點(diǎn)的概率為1-%,2于是移「〃+1次后棋;落在上底面頂點(diǎn)的概率為-+2~3???%-g］是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，，公比為:21 6 3111 . 111'?〃5=5+于手，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題意得到凡、凡“之間的關(guān)系是解題的重點(diǎn).5.（2021?全國?高三專題練習(xí)（文））滿足q=%=1，4=4*+〃“一2523）的數(shù)列｛〃〃｝稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.如圖，依次以斐波那契數(shù)列｛。力各項(xiàng)為邊長作正方形,在每個正方形中取半徑為該正方形邊長、圓心角為90。的圓弧，依次連接圓弧端點(diǎn)所成的曲線被稱為斐波那契螺旋線（也稱“黃金螺旋”）.下圖圓心角為90。的扇形OAB中的曲線是斐波那契螺旋線的一段，若在該扇形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在圖中陰影部分的概率為（）【答案】C【分析】由心意可得4=“2=1，%，%，%，分別讓徵陰影及扇形面積由幾何概型求解即可.【詳解】由題，q=%=1，4=2,%=3,%=5,則陰影部分面積為&（q2+W+a；++a：+a；）=M02+12+22+32+52）=lO%,o2扇形OAB的面積為空=164，4所以在該扇形內(nèi)任取?點(diǎn)，則該點(diǎn)在圖中陰影部分的概率為叱="16%8故選：C（2021?河南?溫縣第一高級中學(xué)高三月考（文））意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個關(guān)于兔子繁殖的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，從第1個月I對初生的小兔子開始，以后每個月的兔子總對數(shù)是：1,1,2,3,5,8,13,21,這就是著名的斐波那契數(shù)歹U，它的遞推公式是。“=。1+。1（〃23,〃€"），其中4=1,%=1.若從該數(shù)列的前2021項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（ ）【答案】B【分析】由斐波那契數(shù)列中偶數(shù)出現(xiàn)的周期性求前2021項(xiàng)中偶數(shù)的個數(shù)，再由古典概型概率求法求概率即可.【詳解】2021由題設(shè)，斐波那契數(shù)列從第一項(xiàng)開始，每三項(xiàng)的最后一項(xiàng)為偶數(shù)，而晉=673...2,.?.前2021項(xiàng)中有673個偶數(shù),故從該數(shù)列的前2（）21項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)為偶數(shù)的概率為6732021故選：B（2021?全國?高二課時練習(xí)）已知隨機(jī)變量E只能取三個值為，及，X3,其概率依次成等差

數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是（ ）D.[0,1]D.[0,1]A.0,- B. C.[-3,3]【答案】B【分析】設(shè)隨機(jī)變量J取XI,X2,X3的概率分別為a-d,a,a+d,根據(jù)各個變量概率和為1,可求得“值，根據(jù)概率大于等于0,即可求得答案.【詳解】設(shè)隨機(jī)變量J取X”X2,X3的概率分別為"一d,a,a+d,根據(jù)各個變量概率和為1得：（a-d）+a+（a+d）=\,解得。=；,(IP故選：B（2021?河北?衡水第一中學(xué)高三月考（理））甲、乙兩人拿兩顆如圖所示的正四面體骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：由一人同時擲兩個骰子，觀察底面點(diǎn)數(shù)，若兩個點(diǎn)數(shù)之和為5,則由原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是5,原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是5,就由對方接著擲.第一次由甲開始擲，設(shè)第"次由甲擲的概率為匕，則%的值為（ ）【答案】AC.513T024【答案】AC.513T024r257D. 512【分析】拋擲兩顆正四面體骰子觀察底面上的數(shù)字之和為5的概率為入第?次由叩擲有兩種情況:一是第次由甲擲，第〃次由甲擲，概率為;Ri；二是第〃一1次由乙擲，第〃次由甲擲,概率為N（i-Ei），由己知得工可得到數(shù)列[巴-：]是以）為首項(xiàng)，二為公4 2 4 [ 2Jz 2比的等比數(shù)列，由此可得解.

【詳解】拋擲兩顆正四面體骰子觀察底面上的數(shù)字之和為5有4種情況，得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為4_116-41第〃次由甲擲有兩種情況：是第〃一1次由斗?擲，第〃次由甲擲，概率為:匕「二是第〃-1次由乙擲，第〃次由甲擲，概率為；（1-4一）.這兩種情況是互斥的，所以2=1匕+:（1-己一|），即匕=-］匕-+：，所以匕；（匕T-￡j,即數(shù)列｛匕-g｝是以=g為首項(xiàng)，-；為公比的等比數(shù)歹I,所以匕所以匕=5111024所以匕=5111024故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，互斥事件概率加法公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，在數(shù)列｛q｝中,an=ka?_t+b（k、b均為常數(shù)，且&H1,女工0）,可以利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式：設(shè)an+m=k（an_l+m）,得到b=（k-l）/n,m= 可得出數(shù)列*“+\j｝是以女的等比數(shù)列，可求出二、多選題（2021?江蘇?海安高級中學(xué)高二期中）根據(jù)中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個等級，現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級別每高一級就多分加處（加為正整數(shù)），按這種分法，下列結(jié)論正確的是（ ）A.為“男''的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是:B.為“子''的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是:C.為“伯''的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是ID.為“公''的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是:【答案】ACD【分析】由題意可知，五位諸侯分得的領(lǐng)地成等條數(shù)列｛4｝,利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式得到｛4｝的首項(xiàng)和公差，再分類討論分別求出每種情況中男、子、伯、侯、公五個等級分到的領(lǐng)地數(shù),再利用概率對四個選項(xiàng)逐一分析，即可得正確選項(xiàng).【詳解】由題意可知，五位諸侯分得的領(lǐng)地成等差數(shù)列｛4｝,設(shè)其前〃項(xiàng)和為S.，則5q+早帆=50,得4=10-2加.因?yàn)閰n，用均為正整數(shù)，所以有如下幾種情況：以=8fa,=6[a=4fa=21,. 1 . 1 .',共4種情況，每種情況各位諸侯分到領(lǐng)地的處數(shù)如下表[w=1 [m=2[m=5 =4所列：分子伯侯公q=8,m=\89101112q=6,m=2681012144=4,m=3471013164=2,7n=4261014183由表中數(shù)據(jù)可知：為“男''的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是T：故選項(xiàng)A正確;4為“子''的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是。=1；故選項(xiàng)B不正確；為‘'伯''的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是3=1；故選項(xiàng)C正確；為“公''的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是I,故選項(xiàng)D正確：4故選：ACD.10.（2021?山東聊城?高三期末）已知紅箱內(nèi)有5個紅球、3個白球，白箱內(nèi)有3個紅球、5個白球，所有小球大小、形狀完全相同.第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出-球，然后再放回去，依次類推，第k+1次從與第女次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出-球，然后:再放回去.記第〃次取出的球是紅球的概率為則下列說法正確的是（ ）P,=—2323/+!

C.巴lE+I=E￡+2-g（匕+6+2）D.對任意的且 Z卜-：］卜-0=白（1-4."）（1-4~）i<i<j<n\［八 乙）IbU【答案】ACD【分析】TOC\o"1-5"\h\z5 331先由題中條件，得到第〃+1次，取出紅球的概率為6m=匕9+（1-勺）祗=?+：勺，判斷Bo oo4錯；利用構(gòu)造法，得到數(shù)列，匕-;｝為以;為公比，以（為苜項(xiàng)的等比數(shù)列，求出kMT''可判斷AC正確：再由2 =Z\2.） 14<j^n\ z/\乙）Z=1j=i+l據(jù)等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，可判斷D正確.【詳解】第〃次取出的球是紅球的概率為2,則取出的是白球概率為1-匕，對于第〃+1次，取出紅球有兩種情況：TOC\o"1-5"\h\z①從紅箱取出匕2：②從白箱取出（1-匕）?，O O5 3 3 1則%=乙1+（1-匕）14+北，故B錯；o o o 4所以以「;二小-「因?yàn)?I,所以乙 乙） oZ o故A正確;則數(shù)列｛匕-g｝為以:為公比，以"為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以匕-3故A正確;*匕M=匕〃2 +匕+2），即C正確;l^<j<n\ 乙八乙）r=lj=i+\先定i，對/求和，再對i求和,Ii=]y=i+l“一1=Zri2/+I2/+31-2J+I江/=12n+32m”I-z>1+1117Ii=]y=i+l“一1=Zri2/+I2/+31-2J+I江/=12n+32m”I-z>1+1117_3§2T川+4)_2~(2"+3)二§白 ~3,n-\M-11=12421+1)4/23、.*?叫=±2

i=i 3L(2i+3) 2-(2"+3)-(4+4) 2-(4〃+4)1一2”_42-(2n+3)3l-2~2A”TA”T A "T A-^-(4+4) o-(4〃+4)d_zy2T4i+4)_2.2一(2〃+3)y2T2汨】)_Z.工_ Z.2T2〃+3)臺3 -3 1-2^ 32一（2訓(xùn)_2電研1-2-24163T?(2“2-(4"+4)-a-(2/1+6) 2-(4〃+4)4163T?(2“2-(4"+4)-a-(2/1+6) 2-(4〃+4)18045361803645180364-〃+_L.4-2w45確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:31求解本題的關(guān)鍵在「先由題中條件，得出&個+產(chǎn)再由構(gòu)造法求出〃的通項(xiàng)，結(jié)價等比數(shù)列的求和公式，即可求解.（求解時，要注意對求和符號的理解，即Z缶Z缶T仍TNZleI*j"11.（2021?山東濟(jì)南.高三期末）已知紅箱內(nèi)有5個紅球、3個球，白箱內(nèi)有3個紅球、5個白球，所有小球大小、形狀完全相同?第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，依次類推，第Z+1次從與第女次取出的球顏色相同的箱箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去.記第〃次取出的球是紅球的概率為P?,則下列說法正確的是（ ）C.巴lE+I=E￡+2-g（匕+6+2）D.對任意的i、且2m4-撲擊（1-，"）（1-4~）【答案】ACD【分析】分析可得匕”與2的遞推關(guān)系，求出數(shù)列｛丐｝的通項(xiàng)公式，可判斷ABC選項(xiàng)的正誤，利用數(shù)列求和以及數(shù)學(xué)歸納法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】第〃次取出的球是紅球的概率為2，則取出的球?yàn)榘浊虻母怕蕿?-6，對于第"+1次，取出紅球有兩種情況.①從紅箱中取出，概率為:匕；O②從白箱中取出，概率為O所以，匕“=/+劍-匕）=2+1則&-；=；上一￡|,令《一3=可，則。用=>“，則數(shù)列｛。,,｝為等比數(shù)列，且公比為:，TOC\o"1-5"\h\z?.?[=，，則4=].?.%=a/：r=2-（2"M）,則2=2-（2"川+；.O O 21 17對于A選項(xiàng)，^=2-5+-=—,A選項(xiàng)正確；1 3對于B選項(xiàng)，匕7=：《+?，B選項(xiàng)錯誤；4 8對于C選項(xiàng)，匕*2-；（月+匕+2）=卜&|-?土 包+1+Z I Z7\4 o）Z\ Z4o7,9 917 9,=匕+1+三匕+1一；7一~丁匕+i+；7=《+i一匕+1,C選項(xiàng)正確：o 1Oo 1O對于D選項(xiàng)，當(dāng)”=2時，i=l,J=2,[《一j?擊x（l-5）x（l_｛|=g，左邊=右邊，假設(shè)當(dāng)〃=%時，等式成立，即左邊=2（耳-g）（弓卜匯[4-；）（弓一；）+（詞加+局+…=焉(1-4一*)(1-4~)+[27+2與+…+20+|)}2+"3)=_L(l_4Y)(l-4-)+81:人2&+3)1——4=—(l-4-*)(l-4'-*)+-(l-2-2t)-2-(2t+3)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的原理可知D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用遞推法求概率，解題的關(guān)鍵在于分析出匕T與4的關(guān)系，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識求解.12.(2021?江蘇?海安高級中學(xué)高二期末)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為X”，恰有2個黑球的概率為小，恰有1個黑球的概率為q“，則下列結(jié)論正確的是(), 16 7A.P2=萬，^2=—B.數(shù)列｛2p“+g“-1｝是等比數(shù)列C.X”的數(shù)學(xué)期望E(X”)=l+(g)(neAT)D.數(shù)列｛p”｝的通項(xiàng)公式為p”=得1—【答案】BC【分析】TOC\o"1-5"\h\z12 1 ? 12利用已知條件求出Pl=-,91=3,推出P1X%即可判斷A.推出p?+i=-p?+-qn, +-.i 2 1得到2p”u+=§(2p.+g“)+§,推出2p“+%-1=§(2p“_1+g“_1-1),說明數(shù)列｛2%+g“-1｝是首項(xiàng)為:，公比為:的等比數(shù)列，然后求解的通項(xiàng)公式以及期望即判斷8,C；把〃=1代入，可判斷。.【詳解】

TOC\o"1-5"\h\z2解：由題意可知：Pi=：,則0=,+《/=今2211 16,,…」%=,四+（.*,+鼻*3）［=方?故A,昔誤；J JJJJ 4/21 1 2由題意可知：〃"+i=§P"+§x§% ，2211 2 1 2%+i=§0“+（§乂,+§*5）/+§（l_p“一/）=一§/+§,兩式相加可得：c 2 121c 22p〃+i+%+i=3〃“+§“”+§=5（2〃“+/）+§，八 1小 、2??2憶+/=§（22y+/t）+§，??22+/一1= +%」-1）,?,24+/-1=；,.??數(shù)列（2%+%-1｝是首項(xiàng)為:，公比為:的等比數(shù)列，故B正確:??數(shù)列（24+磯-1｝是首項(xiàng)為：，公比為;的等比數(shù)列，二2%+%-1=（3,即2Pli+%=（g）"+1,.'.E（X?）=2p?++0x（1-p?-）=（1）"+1.（ne/V*）,故C正確：若數(shù)列｛pj的通項(xiàng)公式為P?=4（-3- M）’則“=會”-：）-；*:+:=°”:，故。錯誤?1\J y4JJ J故選：BC.三、雙空題（2021?湖北?宜昌市夷陵中學(xué)高二月考）甲、乙兩人輪流擲一枚骰子，甲先擲.規(guī)定：若甲擲到1點(diǎn)，則甲繼續(xù)擲，否則由乙擲；若乙擲到3點(diǎn)，則乙繼續(xù)擲，否則由甲擲.兩人始終按此規(guī)律進(jìn)行，記第"次由甲擲的概率為2，則6=；P?=.【答案】7 -+6 22【分析】易知甲擲到I點(diǎn)，乙擲到3點(diǎn)的概率都是，，再由甲先擲，得到第一次甲擲到1點(diǎn)的概率,6

再根據(jù)規(guī)律，若第二次仍由甲擲，由求解；設(shè)第〃-1次由甲擲的概率是Pi，("N2),第〃次仍由甲擲，分第"-1次由甲擲和第次由乙擲兩類求解.【詳解】由題意得：甲擲到1點(diǎn)，乙擲到3點(diǎn)的概率都是J,因?yàn)榧紫葦S，若第二次仍由甲擲，則說明第一次甲擲到1點(diǎn)，則生=:,設(shè)第次由甲擲的概率是幾一，("22),則若第〃-1次由甲擲，第"次仍山甲擲的概率是若第止1次由乙擲，第〃次仍由甲擲的概率是所以第〃次仍由甲擲的概率是4=，+/I- )，Hll2 5nn1_2( 1)即Pn=--Pn-\+-?即〃7 P〃-1一彳卜3O 2 3\Z)所以］凡一;｝是以3為首項(xiàng)，以為公比的等邊數(shù)列，故答案為：75故答案為：75~622(2021?江蘇省江陰高級中學(xué)高二期中)在桌面上有一個正四面體D—ABC.任意選取和桌面接觸的平面的三邊的其中一條邊，以此邊為軸將正四面體翻轉(zhuǎn)至另一個平面，稱為一次操作.如圖，現(xiàn)底面為A8C,且每次翻轉(zhuǎn)后正四面體均在桌面上，則操作3次后，平面A8C再度與桌面接觸的概率為;操作〃次后，平面A8C再度與桌面接觸的概率為.【分析】（1）基本事件總數(shù)”=3x3x3=27,操作3次后，平面ABC再度與桌面接觸包含的基本事件次數(shù),”=3x2xl=6.由此能求出操作3次后，平面.A8C再度J常而接觸的概率；（2）設(shè)操作”次后，平面ABC再度與桌面接觸的概率為其它各個面在底面的概率為“，則q+32=1,all+l=b?,所以。,,+3%”=1,再利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)即得解.【詳解】（1）現(xiàn)底面為ABC,且每次翻轉(zhuǎn)后正四面體均在桌面上，操作3次，基本事件總數(shù)”=3x3x3=27,操作3次后，平面ABC再度與桌面接觸包含的基本事件次數(shù)”,=3x2x1=6..??操作3次后，平面ABC再度與桌面接觸的概率。=色=:=]（2）設(shè)操作”次后，平面ABC再度與桌面接觸的概率為4，其它各個面在底面的概率為“，則a“+3b”=1, +；優(yōu)+^bn=b?,所以a“+3a”|=1,所以4+] ，所以所以[凡-J]是一個以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，[ 4J 44 3所以4-9（一*尸，所以〃〃=四、填空題（2021?全國?高三專題練習(xí)）據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、候、公，共五級.現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，共五人要把80個橘子分完且每人都要分到橘子，級別每高一級就多分加個（機(jī)為正整數(shù)），若按這種方法分橘子，“公”恰好分得30個橘子的概率是【答案】j【分析】根據(jù)等差數(shù)列前"項(xiàng)和公式得出苜項(xiàng)與公差用的關(guān)系，列舉得出所有的分配方案，從而得出結(jié)論.【詳解】由題意可知：等級從低到高的5個諸侯所分的橘子個數(shù)組成公差為m的等差數(shù)列，設(shè)“男''分的橘子個數(shù)為6,其前〃項(xiàng)和為S.，5x4則Ss=5q+號一m=80,即q+2m=16,且q,加均為正整數(shù)，若q=2,則m=7,此時。$=2+4x7=30,若4=4,則6=6,此時。$=4+4x6=28,若4=6,則川=5,此時火=6+4x5=26,若q=8,則m=4,此時。$=8+4x4=24,若4=10,則川=3,此時％=10+4x3=22,若4=12,則m=2,此時%=12+4x2=20,若4=14,則〃7=1,此時%=14+4x1=18,所以“公”恰好分得30個橘子的概率為:，故答案為：（2021?浙江麗水?高三專題練習(xí)）2019年暑假期間，河南有一新開發(fā)的景區(qū)在各大媒體循環(huán)播放廣告，觀眾甲首次看到該景區(qū)的廣告后，不來此景區(qū)的概率為獸，從第二次看到14廣告起，若前一次不來此景區(qū)，則這次來此景區(qū)的概率是:，若前一次來此景區(qū)，則這次來此景區(qū)的概率是!■?記觀眾甲第〃次看到廣告后不來此景區(qū)的概率為匕，若當(dāng)〃N2時，恒成立，則M的最小值為.137【答案】m【分析】設(shè)pn為觀眾甲笫〃次看到廣告后不來此景區(qū)的概率，根據(jù)題意可得｛匕-白卜是首項(xiàng)為9 1 ZX6-3,公比為2的等比數(shù)列，求出｛4｝的通項(xiàng)公式，再判斷其單調(diào)性，即可得答案.14 15【詳解】根據(jù)題意，匕為觀眾甲笫〃次看到廣告后不來此景區(qū)的概率,

2, 3 1 3則與=匕一「3+（1-匕一|）芋=話￡1+^所以月一看中2-得）,所以｛匕一部是首項(xiàng)為44公比為5的等比數(shù)列,顯然數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減,顯然數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減,911 137所以當(dāng)“22時，P?<P,=-+-x—=—”214715210所以M2萬萬，所以A7的最小值為王8.【點(diǎn)睛】本題考查概率與數(shù)列的綜合題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意尋找遞推關(guān)系是解題的關(guān)鍵.（2021?上海交大附中高三月考）甲乙兩位同學(xué)玩游戲，對于給定的實(shí)數(shù)4,按下列方法操作一次產(chǎn)生一個新的實(shí)數(shù)：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把q乘以2后再減去6；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝上，則把q除以2后再加上6,這樣就可得到一個新的實(shí)數(shù)外,對實(shí)數(shù)%仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又得到一個新的實(shí)數(shù)%,當(dāng)外>4時，甲獲勝，否則乙獲勝，若甲勝的概率為:,則%的取4值范圍是—.【答案】J?,6]512,+?）【分析】由題意可知，進(jìn)行兩次操作后，得出出的所有可能情況，根據(jù)甲勝的概率，列出相應(yīng)的不等式組，即可求解.【詳解】由題意可知，進(jìn)行兩次操作后，可得如下情況：當(dāng)％=2（24-6）—6=44—18,其出現(xiàn)的概率為（3尸=；,當(dāng)4=g（2q—6）+6=4+3,其出現(xiàn)的概率為（5？=；,當(dāng)4=2（]+6）-6=q+6,其出現(xiàn)的概率為（；了=；,

（等6）+6/+9其出現(xiàn)的概率為（權(quán)=；,3 3；甲獲勝的概率為“即4>4的概率為14?,-18<at?4?,-18<at? 或—+9>a,4 1a，+9< 整理得q46或4212.彳+-o.【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率的綜合應(yīng)用，以及數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題，其中解答中認(rèn)真審題，明確題意，得出出的所有可能情況，再根據(jù)甲勝的概率，列出相應(yīng)的不等式組求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.（2021?全國?高二專題練習(xí)）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)凡是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).凡一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)4=3（注：對于9>1的傳染病，要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑），那么由I個初始感染者經(jīng)過六輪傳染被感染（不含初始感染者）的總?cè)藬?shù)為（注：初始感染者傳染凡個人為第一輪傳染，這4個人每人再傳染幾個人為第二輪傳染……）【答案】1092【分析】由題意分析，傳染模型為一個4=1國=4=3等比數(shù)列，可解.【詳解】由題意：%=T,q=4=3所以a“=q尸=3"T第六輪的傳染人數(shù)為%所以前六輪被傳染的人數(shù)為S7-%=上3-1=1092.1-3故答案為：1092【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：求解應(yīng)用性問題時，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型：（2021?上海交大附中模擬預(yù)測）袋中裝有7個大小相同的小球，每個小球上標(biāo)記一個正整數(shù)號碼，號碼各不相同，且成等差數(shù)列，這7個號碼的和為49,現(xiàn)從袋中任取兩個小球，則這兩個小球上的號碼均小于7的概率為.【答案】:【分析】山題意可知76=49,則標(biāo)號小于7有三個球，應(yīng)用古典概型的概率求法，求任取兩個小球號碼均小于7的概率即可.【詳解】由題意知：4+。2+。3 +。5+。6+。7=49,即74=49,可得4=7,???標(biāo)號小于7有三個球,.?.任取兩個小球,號碼均小于7的概率為P=^=J-'-z7 .?.任取兩個小球,故答案為：y（2021?山東棗莊?高三期末）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)凡是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).凡一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)4=4,那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要輪感染？（結(jié)果取整數(shù)，初始感染者傳染&個人為第一輪傳染，這凡個人再分別傳染給幾個人為第二輪傳染……）【答案】5【分析】由題意分析出第一輪有5人，第二輪有20人，第三輪有80人，剛好構(gòu)成等比數(shù)列，求出4，令41000求解即可【詳解】由題可知，第一輪傳染感染的人數(shù)為1+K=5；第：輪傳染感染的人能數(shù)為：55=2（）人；第三輪傳染感染的人能數(shù)為：20%=80人；故感染人數(shù)可看作首項(xiàng)為5,公比為4的等比數(shù)列，a?=5x4"-',令441（X）0,B[Ja?=5x4"*'<1000,得4”800,“Gog,800=誓=1+71r4.82,所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需耍5Ig421g2輪故答案為：5五、解答題（2021?全國?高二課時練習(xí)）甲、乙、丙、丁四人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個人得到球后都等可能地傳給其余三個人之一，設(shè)2表示經(jīng)過〃次傳遞后球回到甲手中的概率.（1）求小鳥；（2）用〃表示出P?.【答案】⑴"0；￡=：；（2）匕；3（-；尸.44 3【分析】（1）E表示經(jīng)過一次傳球后球回到甲手中，易得4=0,經(jīng)過兩次傳球后球回到甲手中有3種情況，分別是乙傳給甲，丙傳給甲，丁傳給甲；（2）ih〃次傳遞后與“-1次傳遞后得到日的遞推公式，再通過構(gòu)造法求出通項(xiàng)即可.經(jīng)過?次傳遞后，落隹乙內(nèi)「手中的概率均為g,而落在甲手里的概率為（），所以6=0,兩次傳遞后球落在甲手里的概率為=要想經(jīng)過〃次傳遞后球落在甲手中，那么次傳遞后球一定不在甲『中，所以2=%1-匕-1），〃=2,3,4......,所以匕又6十一:,所以｛e-3是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，4 4 3%=（-%（-,所以儀=；一;22.（2021?全國?高二單元測試）武漢又稱江城，它不僅有深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，還有眾多名勝古跡與旅游景點(diǎn)，其中黃鶴樓與東湖被稱為武漢的兩張名片.為合理配置旅游資源，現(xiàn)對某日已游覽黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若不繼續(xù)游玩東湖記1分，繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客游玩東湖的概率均為游客是否游玩東湖相互獨(dú)立.（1）若從游客中隨機(jī)抽取，”人，記總分恰為加分的概率為4,求數(shù)列｛A,,｝的前10項(xiàng)和;（2）在對所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的游客的累計得分恰為〃分的概率為紇，探討紇與B.t之間的關(guān)系，并求數(shù)列｛紇｝的通項(xiàng)公式.【答案】（1）*：（2）+ +1024 2 3312J【分析】(1)由題意求出4,利用等比數(shù)列求和即可;(2)根據(jù)概率關(guān)系可得紇=-g紇T+1,構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式即可.【詳解】(I)總分恰為，”分的概率為4=(；j，...數(shù)列｛A“｝是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，則其前10項(xiàng)和S10=2(1 =些.11 1024—(2)已調(diào)查過的游客的累計得分恰為〃分的概率為以，得不到〃分的情況只有先得〃—1分,再得2分，概率為:紇…用=；.???數(shù)列｛紇得是首項(xiàng)為十公比為-;的等比數(shù)列,23.(2021?全國?高三課時練習(xí))某地的一個“黃金樓盤”售樓中心統(tǒng)計了2019年1月至5月來本樓盤看房的人數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：X/月份I2345y/百人2050100150180(1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測幾月份開始來該樓盤看房的人數(shù)超過30000人；附附：線性回歸方程？=晟+4中的斜率與截距的最小二乘法估計分別為G=丹 ^xj-rix2

1=1(2)該樓盤為了吸引購房者，特別推出“玩擲硬幣游戲，送購房券”活動，購房者可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營“，則購房

者可獲得購房券5000元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則購房者可獲得購房券2000元.已知拋擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上與反面朝上的概率是相等的，方格圖上標(biāo)有第0格，第1格、第2格 第20格.遙控車開始在第。格，購房者每拋擲一次硬幣，遙控車向前移動一次.若正面朝上，遙控車向前移動一格（從k到&+1,&eN）,若反面朝上，遙控車向前移動兩格（從上到Z+2,keN）,直到遙控車移到第19格（“勝利大本營”）或第20格（“失敗大本營”）時，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第〃（14〃419）格的概率為匕，試證明｛乙-儀/是等比數(shù)列，并求購房者參與一次游戲獲得購房券5000元的概率.【答案】（1）線性回歸方程為￡=42x-26；預(yù)測8月份開始來該樓盤看房的人數(shù)超過30000人；（2）證明見解析：|1-（；）.【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)和最小二乘法可求得線性回歸方程，令42x-26>300,解之可求得結(jié)論：（2）由已知得4=1, 遙捽車移到第〃（2W〃W19）格的情況有下列兩種：①遙控車先移到第〃-1格，又?jǐn)S出正面朝上，K概率為;Ei；②遙控車先移到第〃-2格，又?jǐn)S出反面朝上，其概率為:立2?從而有￡-%=-；（%-%?）,"J■得證；再運(yùn)用累加法可求得答案.【詳解】解：（1）由題意知,_1+2+3+4+5.x= =3,20+50+100+150+180 =100,TOC\o"1-5"\h\z5 5^x,y,=1x20+2x50+3x100+4x150+5x180=1920, =12+22+32+42+52=55,i=l 1=15A二斗?-5孫1920-5x3x100 .所以匕= =―/二=42,從而&=尸一版=100-42x3=-26,力x”5M55-5x3-所以所求線性回歸方程為亍=42x-26.令42x-26>300,xeN",所以x28,xeN".故預(yù)測8月份開始來該樓盤看房的人數(shù)超過30000人.（2）遙控車開始在第0格為必然事件，所以《=1.若第一次擲硬幣正面朝上，則遙控車移到第1格，其概率為即遙控車移到第”（24〃419）格的情況有下列兩種:

①遙控車先移到第〃-1格，乂擲出正面朝上，其概率為:巴―；②遙控車先移到笫〃-2格，乂擲出反向朝上，其概率為所以匕=3立|+；22,所以匕-乙7=-：（匕.廠匕一2），乂6-4=-；，所以當(dāng)1OW19時，數(shù)列優(yōu)一%｝是首項(xiàng)為公比為-g比數(shù)列,所以匕一匕-=卜｛|"，所以/=《+（《一庶）仍一切+仍-￡）+..?+（%—%）2所以購房者參與一次游戲獲得購房券5000元的概率為§24.（2021?全國?高三月考）擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國民間游戲，數(shù)人或幾十人圍成圓圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）：另有一人背著大家或蒙眼擊鼓（桌子、黑板或其他能發(fā)出聲音的物體），鼓響時眾人開始傳花（順序不定），至鼓停止為止.此時花在誰手中（或其座位前），誰就上臺表演節(jié)目，某單位組織團(tuán)建活動，9人一組，共10組，玩擊鼓傳花，（前五組）組號x與組內(nèi)女性人數(shù)》統(tǒng)計結(jié)果如表：X12345y22334（I）女性人數(shù)y與組號X（組號變量X依次為1,2,3,4,5,...）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測從第幾組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；參考公式：t>=吟 ,a=y-bx2 —2工毛一以-（=1（II）在（I）的前提下，從10組中隨機(jī)抽取3組，求若3組中女性人數(shù)不低于5人的有X組，求X的分布列與期望；（IH）游戲開始后，若傳給相鄰的人得1分，間隔人傳得2分，每擊一次鼓傳一次花，得1分的概率為0.2,得2分的概率為0.8.記鼓聲停止后得分恰為“分的概率為4,求4.o【答案】（1）從笫8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；（H）分布列見解析，E（X）=S；【分析】（I）根據(jù)題中表格結(jié)合參考公式即可求解；（1【）先寫出X的所有可能取值，再求出對應(yīng)的概率，即可求解；（HI）根據(jù)對立事件列出關(guān)系式，再利用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】（I）由題可得T=]x（l+2+3+4+5）=3,,2+2+3+3+4c。6y= =2.8,\X，"=473 1=1^V=l2+22+32+42+52=55.i=l5 _A則b=V -=0-5,Ex.2-5x;=]= =2.8-0.5x3=1.3?:.y=0.5x+1.3,當(dāng)O.5x+L325時，x>7.4,工預(yù)測從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù).（II）由題可知X的所有可能取值為0,1,2,3,、C37尸—。）=#五，C2C171P（X=|）=W^=而'r]r27P（X=2）=7J=—,C,o40尸（x=3）=q=」-,\ ,d120則X的分布列為X0123P72421407401120(Ill)在得分為(〃-1)分的基礎(chǔ)上再傳一次，則得分可能為“分或(〃+1)分，記“合計得〃分”為事件A,“合計得6+1)分”為事件8,事件A與8為對立事件.P(A)=4' =l-a?(n>2),。<>一：=-2),. 4(4Y525.(2021?遼寧阜新?高二月考)某植物學(xué)家培養(yǎng)出一種觀賞性植物，會開出紅花或黃花，已知該植物第一代開紅花和黃花的概率都是從第二代開始，若上一代開紅花，則這一代開紅花的概率是開黃花的概率是:，若上一代開黃花，則這一代開紅花的概率是］,開黃花的概率是：，記第〃代開紅花的概率是P.，第〃代開黃花的概率為%,(1)求P2；(2)試求數(shù)列｛p,,｝(〃eM)的通項(xiàng)公式：(3)第〃(〃€乂,〃22)代開哪種顏色的花的概率更大.7 4【答案】(1)P2=-；(2)P?=--A,.,；(3)第"代開黃花的概率更大.【分析】(1)由P2=gP|+|名計算；(2)由關(guān)系式*="+如凡)可得｛氏-胃是等比數(shù)列，從而求得0,；(3)由P”的表達(dá)式可得p.4；,從而%=1-P,；g,從而可得結(jié)論.【詳解】解(1)第二代開紅花包含兩個互斥事件，即第一代開紅花后第二代也開紅花，第一代開黃花而第二代開紅花，故由Pi=；.得：1Zl、37P2=Pi-+(l-Pi)-=—?(2)由題意可知，笫〃代開紅花的概率與第〃-1代的開花的情況相關(guān)，故有TOC\o"1-5"\h\z1 \3 4 3Pn=Pn-\+ -=Pn-I+-niI_9_4f9Ait9 19 1illjP| = = 9'1921938所以數(shù)列12,一亮］是以!為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列.I 1刃3o 15rrrl9 1(4Y-1rrbl91(4Y-1所以凡一歷，所以p”=歷+兔⑶由⑵0，+L(」『42+，=Lln1938I15J 19382故有當(dāng)"eN+時，P?<p因此第〃代開黃花的概率更大.(2021?河北邢臺?高二月考)有一對夫妻打算購房，對本城市30個樓盤的均價進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下頻數(shù)分布表:均價X(單位：千元)[4,5)[5,6)[6,7)P，8)[&9)[9,10]頻數(shù)22111041(1)若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，用樣本平均數(shù)［作為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計值，現(xiàn)任取一個樓盤的均價X,假定X?N(〃u2),求均價恰在8.12千元到9.24千元之間的概率；(2)經(jīng)過一番比較，這對夫妻選定了一個自己滿意的樓盤，恰巧該樓盤推出了趣味蹦臺階送憂惠活動，由兩個客戶配合完成該活動，在一個口袋中有大小材質(zhì)均相同的紅球40個，黑球20個，客戶甲可隨機(jī)從口袋中取出一個球，取后放回，若取出的是紅球，則客戶乙向上蹦兩個臺階，若取出的是黑球，則客戶乙向上蹦一個臺階，直到客戶乙蹦上第5個臺階(每平方米優(yōu)惠0.3千元)或第6個臺階(每平方米優(yōu)惠3千元)時(活動開始時的位置記為第。個臺階)，游戲結(jié)束.①設(shè)客戶乙站到第〃(O4〃46,〃eN)個臺階的概率為匕，證明：當(dāng)14〃45時，數(shù)列｛匕-/：1是等比數(shù)列；②若不參加蹦臺階活動，則直接每平方米優(yōu)惠14千元，為了獲得更大的優(yōu)惠幅度，請問該對夫妻是否應(yīng)參與蹦臺階活動.參考數(shù)據(jù)：MX^/L25=1.12.(：)=0.13.若X?N(〃,cr2),貝lj尸(〃一tr<g?〃+cr)=0.68,P(//-2cr<^<〃+2o■卜0.95,P(〃-3er<gw〃+3o?卜0.997.【答案】(1)0.135；(2)①證明見解析；②應(yīng)參與.【分析】(I)根據(jù)頻數(shù)分布表計算均值與方差，得X?N(7,1.25),然后由時稱性和特定區(qū)間的概率得出結(jié)論；(2)①由已知《=1, ，而〃22時，即客戶到第〃人臺階分為兩種情況：一是從第〃-1個臺階跳一級過來，另一個是從第〃-2個臺階跳2級過來，由此可得與遞推關(guān)系，變形后可證題設(shè)結(jié)論；②利用①求得乙，計算參加活動的期望值03求+3”與1.4比較可得.【詳解】TOC\o"1-5"\h\zx=4.5x—+5.5x—+6,5x—+7.5x—+8.5x—+9.5x—=730 30 30 30 30, ,2 ,2 , ,11 ,10s2=(4.5-7)2x—+(5.5-7)2x—+(6.5-7)2x—+(7.5-7)2x—30 30 30 30,4 ,1+(8.5-7)2x—+(9.5-7)2x—=1.25.30 30因?yàn)椤?x=7,s2=1,25,er=s=IA2.所以X?N(7,1.25).所以P(8.12<X49.24)a吧二螫=0.135.2(2)①證明：客戶開始游戲時在第0個臺階為必然事件，故4=1,客戶甲第一次摸得黑球,客戶乙邁上第一個臺階，其概率為：，故客戶乙邁入第"(24〃45)個臺階的情況為下列兩種，而且也只有兩種.?是客戶乙先到第〃一2格，客戶甲乂摸出紅球，其概率為;以2；二是客戶乙先到第”-1格，客戶甲乂摸出黑球，其概率為;Et，1 2 2所以2=§匕.I+§P..-2，則匕一%=-§(%一立2).所以當(dāng)14〃45時，數(shù)列優(yōu)-%｝是首項(xiàng)為6-庶=-(,公比為的等比數(shù)列.②由①知，當(dāng)時，Pn-Pn_,=所以與一兄=(4一兄)+(5一A)+…+優(yōu)一%)設(shè)這對夫妻參與游戲獲得優(yōu)惠的期望為每平方米y千元，則E（Y）=0.3/+3￡=03x0.548+3x0.452=1.5204（千元）.因?yàn)?.5204>1.4,所以參與游戲比較劃算.（2021?江蘇省天一中學(xué)高二期末）根據(jù)各方達(dá)成的共識，軍運(yùn)會于2019年10月18日至27日在武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項(xiàng)、329個小項(xiàng).其中，空軍五項(xiàng)、軍事五項(xiàng)、海軍五項(xiàng)、定向越野和跳傘5個項(xiàng)目為軍事特色項(xiàng)目，其他項(xiàng)目為奧運(yùn)項(xiàng)目.現(xiàn)對Z國在射擊比賽預(yù)賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下的頻率分布直方圖：頻率（1）估計Z國射擊比賽預(yù)賽成績得分的平均值最（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）根據(jù)大量的射擊成績測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為射擊成績X近似地服從正態(tài)分布經(jīng)計算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50,用樣本平均數(shù)最作為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差$作為b的估計值，求射擊成績得分X恰在350到400的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N（〃,cr2）,貝lj：P（〃一b<JW〃+b）=0.6827,P（〃-2cr<gW〃+2b）=0.9545,P（/z-3cr<^<//+3cr）?0.9973）.（3）某汽車銷售公司在軍運(yùn)會期間推廣一款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”，活動，客戶可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.已知骰子出現(xiàn)任意點(diǎn)數(shù)的概率都是!，方格圖6上標(biāo)有第0格，第1格，第2格，……第50格.遙控車開始在第0格，客戶每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次，若拋擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4,5點(diǎn)，遙控車向前移動一格（從&到&+1）,若拋擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是6點(diǎn)，遙控車向前移動兩格（從%到&+2）,直到遙控車移動到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移動到第"格的概率為B，試證明｛乙-Ei｝是等比數(shù)列，并求&，以及根據(jù)4的值解釋這種游戲方案對意向客戶是否有吸引力.【答案】⑴300；（2）0.1359：（3）證明見解析，1+（，）j,對意向客戶有吸引力.【分析】（1）利用組中值代入求平均值；（2）寫出正態(tài)分布N（〃，〃），代入即可；（3）根據(jù)題意確定，優(yōu)-匕）是首項(xiàng)為"4=-，，公比為的等比數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，利用差分求出P,,求出勺，%通過比較，可得結(jié)論.【詳解】（1）X=0.002x50x205+0.004x50x255+0.009x50x305+0.004x50x355+0.001x50x405=300（2）因?yàn)閄~N（3OO,5O2）,所以P（35O<X<400）=-（0.9545-0.6827）=0.1359；2（3）搖控車開始在第0格為必然事件，兄=1,第一次擲骰子，正面向上不出現(xiàn)6點(diǎn)，搖控車移動到第1格，其概率為。，即［=，；搖控車移到第〃格（2W〃W49）格的情況是卜列兩種，而且也只有兩種；1搖控車先到第〃-2格，拋擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)為6點(diǎn)，其概率為。匕2；6②搖控車先到第〃-1格，拋擲骰子正面向上不出現(xiàn)6點(diǎn)，其概率為。與一6故5=!*+注T，2-*=-!（兒尸&2），OO O故14〃449時，匕-匕t是首項(xiàng)為4-馬=-!，公比為的等比數(shù)列，6 64=4+（［—6）+（6—［）+…+（勺-Ei）3=i-4>5，故這種游戲方案客戶參與中獎的可能性較大，對意向客戶有吸引力.（2021?全國?高三專題練習(xí)（理））為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?已知某同學(xué)每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的4概率為g,如此往復(fù).（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?；?）記該同學(xué)第〃天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿樨?（i）證明：,匕-為等比數(shù)列；（ii）證明：當(dāng)〃22時，24.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（I）設(shè)An?笫1天選擇米飯?zhí)撞?，4=”第2天選擇米飯?zhí)撞?，A=”第1天不選擇米飯?zhí)撞汀?由全概率公式有p（4）=p（A）p（4|A）+p（A）p（4|A），計算可得；（2）（1）設(shè)A,=“第〃天選擇米飯?zhí)撞?，則匕=尸（凡），依照（1）可得心與匕的關(guān)系，然后根據(jù)等比數(shù)列定義證明：（ii）求出通項(xiàng)公式2，然后分類討論證明結(jié)論.【詳解】解：（1）設(shè)4=“第1天選擇米飯?zhí)撞汀保?="第2天選擇米飯實(shí)密.，則A=”第1天不選擇米飯?zhí)撞透鶕?jù)題意p（A）=|，鶴）=：，p（4|A）=；，P⑷4）=1-；=；.

由全概率公式，得p（4）=p（a）p（4|A）+p⑷p（4同=|x；+gxg=g.（2）⑴設(shè)A,="第〃天選擇米飯?zhí)撞汀保瑒t4=P（4）,p（4）=i—r,根據(jù)題意尸（A“|A,）=；,P（4j4）=i_g=g.由全概率公式，得*=外,）=2（4）尸（4/4）+P伍）網(wǎng)4/4）=1+31-幻=-2+；.因此小24因?yàn)?一二=百.0，所以[匕-]|是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.I5J15 4（ii）由（i）可得《=2+巴（_4.當(dāng)〃為大于1的奇數(shù)時，《二+怖512當(dāng)〃為正偶數(shù)時，匕=2-225<—<一512因此〃N2當(dāng)時，P?<^.（2021?福建省福州第一中學(xué)高二期中）一只螞蟻從正方形ABC。的頂點(diǎn)A出發(fā)，每一次行動順時針或逆時針經(jīng)過一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，其中順時針的概率為:，逆時針的概率為m,設(shè)螞蟻經(jīng)過"步回到A點(diǎn)的概率為P...（1）求Pi，P2；（2）設(shè)經(jīng)過〃步到達(dá)C點(diǎn)的概率為%,求2+%的值；⑶求P”.4【答案】（i）Pi=。，P2=5，（2）當(dāng)〃為偶數(shù)時，p“+%=1,當(dāng)“為奇數(shù)時，p“+q“=°，⑶當(dāng)"為奇數(shù)時，凡=o,當(dāng)"為偶數(shù)時，p“=；（"+i）【分析】（1）Pl即經(jīng)過一步從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A的概率，P2即經(jīng)過兩步從點(diǎn)A到在點(diǎn)A的概率，即可求出Pi，P2的值；（2）當(dāng)〃為偶數(shù)時，由頂點(diǎn)A出發(fā)只能到A點(diǎn)或點(diǎn)C,可得P.+/=l,當(dāng)〃為奇數(shù)時，由頂點(diǎn)A出發(fā)只能到8點(diǎn)或。點(diǎn)，可得P”+4“=0；4 5 1 5（3）當(dāng)〃為偶數(shù)時，得到進(jìn)而得到P〃=Vpx+/再構(gòu)造等比數(shù)列即可求解【詳解】解：（1）因?yàn)镻i即經(jīng)過一步從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A的概率，所以巧=0,因?yàn)镻2即經(jīng)過兩步從點(diǎn)A到在點(diǎn)A的概率，包括先順時針再逆時針和先逆時針再順時針，… 12214所以「2=txt+-xt=->33339（2）當(dāng)〃為偶數(shù)時，由頂點(diǎn)A出發(fā)只能到A點(diǎn)或C點(diǎn)，到達(dá)的概率為P,,,到達(dá)點(diǎn)C的概率為q”,所以p“+q“=1，當(dāng)〃為奇數(shù)時，由頂點(diǎn)a出發(fā)只能到8點(diǎn)或。點(diǎn)，p”=q“=o,所以p“+q“=o,綜上，當(dāng)〃為偶數(shù)時，凡+%=1,當(dāng)〃為奇數(shù)時，p0+%=o,（3）當(dāng)〃為奇數(shù)時，p“=o,當(dāng)〃為偶數(shù)時，從點(diǎn)A或C點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過兩步到點(diǎn)A有概率分別為12214 11225―33339 cA33339從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過n步到點(diǎn)A分為兩步，4①從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過〃-2步到達(dá)點(diǎn)A,再經(jīng)過兩步到點(diǎn)A,概率為§p〃_2，②從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過〃-2步到達(dá)點(diǎn)C,再經(jīng)過兩步到點(diǎn)A,概率為一2，4 5所以，〃=6外-2+6％-2，因?yàn)閜“+%=1,所以P“=jP,-2+\'所以p”一:=一：（P"-2_4），2.'y 2.所以外o綜上，當(dāng)〃為奇數(shù)時，p“=o,當(dāng)〃為偶數(shù)時，【點(diǎn)睛】關(guān)健點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查概率的求法，考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，解題的關(guān)健是當(dāng)〃為偶數(shù)時,分兩種情況求出概率，即從點(diǎn)A或C點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過兩步到點(diǎn)A有概率，從而可得到遞推式4 5 1 5外=§Pi+g/-2,結(jié)合P,,+%=1可得P.=-gPi+g，構(gòu)造等比數(shù)列可得通項(xiàng)公式，考查計算能力，屬于難題30.（2021?廣東?中山紀(jì)念中學(xué)高二月考）為了備戰(zhàn)2021年7月在東京舉辦的奧運(yùn)會，跳水運(yùn)動員甲參加國家隊(duì)訓(xùn)練測試，已知該運(yùn)動員連續(xù)跳水"7次，每次測試都是獨(dú)立的.若運(yùn)動員甲每次選擇難度系數(shù)較小的動作A與難度系數(shù)較大的動作B的概率均為g.每次跳水測試時，若選擇動作4取得成功的概率為：，取得成功記1分，否則記。分.若選擇動作B,取得成功的概率為:，取得成功記2分，否則記0分.總得分記為X分.（1）若m=2,求分?jǐn)?shù)X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.（若結(jié)果不為整數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示）（2）若測試達(dá)到〃分則中止，記運(yùn)動員在每一次跳水均取得成功且累計得分為〃分的概率為G（〃），如G6=g.①求G（2）；②問是否存在/LeR,使得｛G（”）-/lG（"-l）｝為等比數(shù)列，其中〃 若有，求出4：若沒有，請說明理由.【答案】（1）分布列見解析，期望值。：⑵①亮，②有，入學(xué)3 1o 6【分析】（1）X的可能取值為0,1,2,3,4,依次計算概率，再求分布列和期望即可；（2）①分兩種情況：第一次就得兩分和兩次得1分②建立遞推，用待定系數(shù)法即可.【詳解】進(jìn)行一次試驗(yàn)獲得0分的概率為:+ =；21獲得1分的概率為:=g獲得2分的概率為:=?36

進(jìn)行兩次試驗(yàn)X的可能取值為0,1,2,3,4p(X=4)=-x-=—,P(X=3)=Ux2=LP(X=l)=Ixlx2=-,6636 36 9 32 3P(x=0)=ix-=l,P(X=2)=-xlx2+ixl=—224 26 3318所以分?jǐn)?shù)X的概率分布列為⑵①G(2⑵①G(2)4+心518X01234P(X)￡435liJ_9136數(shù)學(xué)期畢EX=0xl+lxl+2xA+3xl+4x—=-4 3 18 9 363②據(jù)題意有，G5)=!g("-2)+!g(”-1),其中〃23TOC\o"1-5"\h\z6 3設(shè)G(n)-AG(n-1)=-G(m-2)+-G(/j-1)-AG(n-1)6 3=-G(?-2)+(i-2)G(n-1)=(--A)[G(m-1)-AG(n-2)]6 3 3比較系數(shù)得-4-2)2=:,解得/=生女3 6 6所以｛G(〃)-/IG(〃—1)｝是公比為的等比數(shù)列，其中〃wNFN2,人生旦.3 6(2021?全國?高三專題練習(xí))安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯?jiān)谛Ｊ程镁筒腿藬?shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%、選擇餐廳乙就餐的概率為75%,前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%、選擇餐廳甲就餐的概率也為50%,如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是],擇餐廳乙就餐的概率是:，記某同學(xué)第〃天選擇甲餐廳就餐的概率為2.(1)記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X,求X的分布列，并求E(X)；(2)請寫出與2(〃eN*)的遞推關(guān)系；(3)求數(shù)列｛?』的通項(xiàng)公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊(duì)合作精神，學(xué)校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.【答案】(1)分布列答案見解析，E(X)=1；(2)6+i=-；E,+；(〃eN*)；(3)分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)8人和12人，理由見解析.【分析】(1)依題意可得X?進(jìn)而可得分布列和期望：(2)由BT=Cx；+(l-e)xg可得結(jié)果：2(3)山(2)求得匕,且匕-g(〃—+?>)，山此可得分配方案.【詳解】(1)某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率痣=|x；+；xg=g,23112某同學(xué)第：大選擇餐廳乙就餐的概率與=；x(+：X5=：,.?.3位同學(xué)第：天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為X,則X?8①士尸(X=L)=C(￡j圖H=0,12》.?.X的分布列為X0123P8274929127故E(X)=3x；=l.(2)依題意，"汨+(1_匕)弓，即心=-；匕+；(〃€川).(3)由(2)知心=-p+g(〃eN*),則以廠|=-；(匕-］)(〃€")2224當(dāng)〃=］時，可得［一二二,一二二百，,數(shù)列1p“_al是首項(xiàng)為2公比為的等比數(shù)列.I5J15 4c2(nc2(n—>-i-oo),2所以，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為20xg=8,分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為20-8=12.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第(1)問的關(guān)鍵點(diǎn)是：探究得到X?后兩問的關(guān)鍵點(diǎn)是得到遞推為系2*1=_；U+；(”wN").(2021.山東.模擬預(yù)測)某商場擬在年末進(jìn)行促銷活動，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(形狀為正方體，六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6),若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲.(1)當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時，總分為X,求X的期望；(2)若累計得分為i的概率為p,,(初始得分為0分，%=1).①證明數(shù)列｛"-Pi｝,(i=l,2, 19)是等比數(shù)列；②求活動參與者得到紀(jì)念品的概率.2rf2Y9'【答案】(1)5：(2)①證明見解析；②gx1+1-1.【分析】(1)由題意可知每輪游戲獲得I分的概率為:，獲得2分的概率為:，而每輪游戲的結(jié)果"相獨(dú)"，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時，得1分的次數(shù)為y,所以丫?x=6-y,即可求出x的期望：(2)①根據(jù)累計得分為，的概率為Pj,分兩種情形討論得分情況，從而得到遞推式e=：匕2+g匕1(i=2,3，…,19),再根據(jù)構(gòu)造法即可證出數(shù)列｛A是等比數(shù)列；②根據(jù)①可求出P,-Pi=(-1)'，再根據(jù)累加法即可求出4=2,3,…,19),然后由心,=：耳8從而解出.【詳解】1 2(1)由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為：，獲得2分的概率為：，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時，得1分的次數(shù)為y，所以y?== 二々=0,1,2,3,而X=Y+2(3-Y)=6-Y,即隨機(jī)變量X可能取值為3,4,5,6,

p(p(X=3)=—P(X=4)=C；；.X的分布列為:X3456P12729498272 4 8E(X)=3x—+4x—+5x—+6x—=5.27 9 9 27(2)①證明：n=\,即累計得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過2點(diǎn)，/>=1,2則[-4=-；，累計得分為i分的情況有兩種：2(I)/=(/-2)+2,即累計得「2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)是過2點(diǎn)，： 勺,匕2，(II)累計得分為i-l分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過2點(diǎn)，得I分，其概率為3匕1,2 1 2&(i=2,3,…,19), 月-%=-§(附一匕2),(i=2,3,…，19),.?.數(shù)列{A-A-J,(i=l,2, 19)是首項(xiàng)為公比為-：的等比數(shù)列.②..?數(shù)列{〃,一P,J，(i=l,2,....19)是苜項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，Pt~Pi-\=(-1)'，???P|-Po=-1> ，“?，P-Pi.y=P|]'各式相加，得：Pt~Po=~^X ,，活動參與者得到紀(jì)念品的概率為:2 2(2丫9 2^o=-P18=-x =-x1+【點(diǎn)睛】本題第一問解題關(guān)鍵是明確得1分的次數(shù)為y服從二項(xiàng)分布，從而找到所求變量x與丫的關(guān)系，列出分布列，求得期望：第二問①主要是遞推式的建立，分析判斷如何得到i分的情況，進(jìn)而得到匕=(《-2+；匕1，利用數(shù)列知識即可證出，②借由①的結(jié)論，求出2/>,(/=2,3,...,19),分析可知多=3%，從而解出.33.(2021?安徽馬鞍山?二模(理))為保護(hù)長江流域漁業(yè)資源，2020年國家農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布《長江十年禁漁計劃》.某市為了解決禁漁期漁民的生計問題，試點(diǎn)推出面點(diǎn)、汽修兩種職業(yè)技能培訓(xùn)，一周內(nèi)漁民可以每天自由選擇其中一個進(jìn)行職業(yè)培訓(xùn)，七天后確定具體職業(yè).政府對提供培訓(xùn)的機(jī)構(gòu)有不同的補(bǔ)貼政策：面點(diǎn)培訓(xùn)每天200元/人，汽修培訓(xùn)每天300元/人.若漁民甲當(dāng)天選擇了某種職業(yè)培訓(xùn)I,第二天他會有0.4的可能性換另一種職業(yè)培訓(xùn).假定漁民甲七天都參與全天培訓(xùn)I,且第一天選擇的是汽修培訓(xùn)I,第i天選擇汽修培訓(xùn)的概率是P,(i=1,2,3 7).(1)求P3；(2)證明：加—0.5｝(i=l,2,3 7)為等比數(shù)列；(3)試估算一周內(nèi)政府漁民甲對培訓(xùn)機(jī)構(gòu)補(bǔ)貼總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望(ON7近似看作0).【答案】(1)0.52；(2)證明見解析；(3)1812.5元.【分析】(1)根據(jù)題意得Pi=l,Pi=0.6,p3=0.6x0.6+0.4x0.4=0.52；(2)根據(jù)題意，第"1天選擇汽修培訓(xùn)時，第i天選擇汽修培訓(xùn)的概率為0.6p1,當(dāng)?shù)凇?天選擇面點(diǎn)培訓(xùn)時，第i天選擇汽修培訓(xùn)的概率為04(1-用)，進(jìn)而得P,=02%+0.4,再根據(jù)遞推關(guān)系證明即可：(3)設(shè)第i天政府的補(bǔ)貼費(fèi)為《，則4=100〃,+200,再結(jié)合(2)得q=5()-0.2一+250,再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求和即可.【詳解】解：(I)因?yàn)楫?dāng)天選擇了某種職業(yè)培訓(xùn)，第二天他會有0.4的可能性換另一種職業(yè)培訓(xùn)，所以Pi=1,p2=0.6,p3=0.6x0.6+0.4x0.4=0.52；(2)當(dāng)?shù)?1天選擇汽修培訓(xùn)時,第i天選擇汽修培訓(xùn)的概率為0.601，當(dāng)?shù)凇?天選擇面點(diǎn)培訓(xùn)時，第i天選擇汽修培訓(xùn)的概率為04(1-則Pj=0.6化+0.4(l-p,_l)=0.2p,_l+0.4,而-0.5=0.2(-0.5),所以｛口-0.5｝是以0.5為首項(xiàng)，0.2為公比的等比數(shù)列；(3)設(shè)第i天政府的補(bǔ)貼費(fèi)為，則q.=300p,+200(l—回)=100月+200,乂因?yàn)椋?0.5｝是以0.5為首項(xiàng)，0.2為公比的等比數(shù)列，所以p,?=0.5-0.2"T+0.5,所以q=100（050.2't+0.5）+200=50-0.2'-1+250,故?周內(nèi)政府因漁民甲對培訓(xùn)機(jī)構(gòu)補(bǔ)貼總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為1-0.27a.+?,+??+a,=250x7+50x :-?1812.5元.* 7 1-0.2【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，實(shí)際生活中的概率問題，考查邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，建立遞推數(shù)列的模型，根據(jù)遞推關(guān)系得p,=0.2%+0.4,進(jìn)而求解.34.（2021?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）2020年春天隨著疫情的有效控制，高三學(xué)生開始返校復(fù)課學(xué)習(xí).為了減少學(xué)生就餐時的聚集排隊(duì)時間，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會提供A、8兩種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A類套餐的概率為§、選擇8類套餐的概率為;.而前一天選擇了A類套餐第二天選擇A類套餐的概率為I、選擇B套餐的概率為3；前一天選擇8類套餐第二天選擇A類套餐的概率為:、選4 4 2擇B類套餐的概率也是如此往復(fù).記某同學(xué)第〃天選擇A類套餐的概率為匕.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（2）記高三某宿舍的3名同學(xué)在復(fù)課第二天選擇A類套餐的人數(shù)為X,求X的分布列并求E（X）;（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養(yǎng)學(xué)生的勞動意識，一個月后學(xué)校組織學(xué)生利用課余時間參加志愿者服務(wù)活動，其中有20位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)套餐.如果你是組長，如何安排分發(fā)A、B套餐的同學(xué)的人數(shù)呢，說明理由.【答案】（1）證明見解析，e,=2_3.（一_1丫；（2）分布列見解析，1；（3）A套餐的8人，515V4J8套餐的12人；理由見解析.【分析】（1）依題就得上+ 根據(jù)遞推關(guān)系即可證明［乙-。是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得｛《一1｝的通項(xiàng)，即可求得｛4,｝的通項(xiàng)公式；（2）依題意求得第：人選擇A、8類套餐的概率，列出X的可能取值，結(jié)合二項(xiàng)分布求得分布列與數(shù)學(xué)期望；9(3)由｛4｝的通項(xiàng)公式得勺z],根據(jù)總?cè)藬?shù)即可求得分發(fā)A、8套餐的同學(xué)的人數(shù).【詳解】(1)依題意，y*+(T)xg,24當(dāng)〃=1時，可得《一《二話，.??數(shù)列[匕-31是首項(xiàng)為2公比為的等比數(shù)列.I5J15 4*YU(2)第二天選擇A類套餐的概率“=|x(+；x；=g；23112第二天選擇8類套餐的概率用+ =；,??.3人在第二天的有X個人選擇A套餐，X的所有可能取值為0、1、2、3,有尸(X=A)=C；(g)(|)(%=0,1,2,3),，X的分布列為X0123P82749291Z7(3)由(1)知：P=---,51514)2 2/.呂產(chǎn)丁即第30次以后購買A套餐的概率約為不2則20x—=8,20-8=12,負(fù)責(zé)A套餐的8人，負(fù)責(zé)B套餐的12人.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：(1)根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；(2)求出隨機(jī)變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；(3)根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望(在計算時，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計算公式及期望計算公式,簡化計算)(2021?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測)冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重疾病.新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，人感染了冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.日前正在世界范圍內(nèi)廣泛傳播，并對人類生命構(gòu)成了巨大威脅.針對病毒對人類的危害，科研人員正在不斷研發(fā)冠狀病毒的抑制劑.某種病毒抑制劑的有效率為60%,現(xiàn)設(shè)計針對此抑制劑的療效試驗(yàn)：每次對病毒使用此抑制劑，如病毒被抑制，得分為2分,如抑制劑無效，得分1分，持續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)?設(shè)得分為〃(〃wN*)時的概率為(1)進(jìn)行兩次試驗(yàn)后，總得分為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求證：【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望:3.2：(2)證明見解析.【分析】(1)兩次試驗(yàn)后，隨機(jī)變量X可能取值為2、3、4,分別計算出概率后得分布列，由期望公式計算期望.(2)求出｛匕｝的遞推關(guān)系匕=：立1+：立2(〃23),得出仍是等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式后，由累加法可得自,從而證得結(jié)論成立.【詳解】(1)解：兩次試驗(yàn)后，隨機(jī)變量X可能取值為2、3、4P(X=2)=管q，P(X=3)=C；x|T嗤,p(x=4)=|.|qX的分布列為X234P4251225925X的學(xué)期望為E(x)=3.2

2（2）2（2）證明：耳=一，6=22319-X—F-=—55525TOC\o"1-5"\h\z2 3由已知匕=M乙_1+9京一2（〃之3）,4 Q 3所以優(yōu)T-心），即死一匕-J是以2-耳喂為首項(xiàng)，?；為公比的等比數(shù)列,"2 |「（心）【點(diǎn)睛】關(guān)健點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查隨機(jī)變舊的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，第（2）問的解題關(guān)犍是得出{5}的遞推關(guān)系匕=：%+j^.2（n>3）,山遞推關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列是等比數(shù)列，然后求得通項(xiàng)公式匕，從而得當(dāng).（2021?福建廈門?三模）每天鍛煉一小時，健康工作五十年，幸福生活一輩子.某公司組織全員每天進(jìn)行體育鍛煉，訂制了主題為“百年風(fēng)云''的系列紀(jì)念幣獎勵員工，該系列紀(jì)念幣有A，4,4,4四種.每個員工每天自主選擇“球類”和“田徑