4.4-全概率公式與貝葉斯公式

4.4全概率公式與貝葉斯公式一、背景介紹對(duì)于簡(jiǎn)單的條件概率問(wèn)題，完全可以利用條件概率的定義及其乘法公式進(jìn)行求解。而對(duì)復(fù)雜條件概率問(wèn)題的求解，就需要進(jìn)一步的引入全概率公式以及貝葉斯公式了。首先看下面的引例。引例某廠有四個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品。第一、二、三、四車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%30%，35%，次品率分別為5%，4%，3%，2%。從該廠的產(chǎn)品中任取一件，求檢好取到次品的概率。解：用表示“取到的是第i車間的產(chǎn)品”，B表示“取到的是次品”，則，，，，并且兩兩互不相容，且，即構(gòu)成完備事件組，于是。上例確定P（B）的方法具有普遍意義，把其一般化就得到了我們想要的全概率公式。二、全概率公式定理1（全概率公式）設(shè)事件構(gòu)成完備事件組，且，則對(duì)任意事件B，有

特別地，當(dāng)n=2時(shí)，全概率公式為例1甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，零件由甲、乙、丙機(jī)床加工的概率分別為0.5，0.3，0.2,甲、乙、丙機(jī)床加工的零件為合格品的概率分別為0.9，0.8，0.7。今從全部零件隨機(jī)抽取一個(gè)，求檢好為合格品的概率。解：設(shè)A1={取到的是甲機(jī)床加工的零件}；A2={取到的是乙機(jī)床加工的零件}；A3={取到的是丙機(jī)床加工的零件}；B={取到的是合格品}。顯然，構(gòu)成完備事件組。依題意，有，，，根據(jù)全概率公式，得三、貝葉斯公式通過(guò)以上的學(xué)習(xí)我們了解，只要知道了各種原因發(fā)生的概率以及在該條件下某事件發(fā)生的概率，此事件的無(wú)條件概率就可通過(guò)全概率公式求得。那么，反過(guò)來(lái)，同樣是在各原因概率已知的前提下，設(shè)在隨機(jī)試驗(yàn)中該事件已發(fā)生，各原因發(fā)生的條件概率又是多少呢？例2在引例中，若已知取到的產(chǎn)品為次品，求該次品是第一車間的產(chǎn)品的概率。解：我們?nèi)匀谎赜昧死械姆?hào)，所求的概率為把這道題的解法一般化，使得到了重要的貝葉斯公式。定理2（貝葉斯公式）設(shè)事件構(gòu)成完備事件組，，則對(duì)任意事件B，有例3甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次發(fā)射中擊中靶子的概率分別為。他們同時(shí)打一發(fā)子彈，結(jié)果有兩彈擊中靶子。求運(yùn)動(dòng)員丙脫靶的概率。解：設(shè)事件A表示