幾何與代數(shù)：10- 幾何向量運(yùn)算及空間坐標(biāo)系

第3章幾何空間§3.1空間向量及其運(yùn)算一.概念及其表示1.什么叫空間向量？2.怎樣表示向量？3.什么是自由向量、單位向量、

相等向量、負(fù)向量和零向量？第3章幾何向量§3.1幾何向量及其運(yùn)算二.向量的加法1.平行四邊形法則與三角形法則2.向量加法的性質(zhì)：++++++++結(jié)合律、交換律、零元、負(fù)元三.向量與數(shù)的乘法：數(shù)乘1.定義：m

2.數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)：1=;

(kl)=k(l);(3)(k+l)=k+l;(4)k(+)=k+

k第3章幾何向量§3.1幾何向量及其運(yùn)算第3章幾何向量§3.1幾何向量及其運(yùn)算例1.設(shè)平行六面體ABCD-EFGH如下圖所示,

試用AB,AD與AE表示AG和DE.ABCEDFGH例2.設(shè)M是ABC的重心,O是ABC所在平面上任意一點(diǎn),證明:ABCMOOM=(OA+OB+OC).13第3章幾何向量§3.1幾何向量及其運(yùn)算四.共線、共面向量的判定1.定義：共線、共面，

定理3.1

設(shè)向量,向量與共線可由線性表示,且表示唯一.推論3.1

向量,共線,線性相關(guān).2.共線向量的判定第3章幾何向量§3.1幾何向量及其運(yùn)算

線性組合、線性表示，

線性相關(guān)、線性無關(guān)

3.共面向量的判定定理3.2

若向量,

不共線,則向量與

,共面可由,

線性表示,

且表示唯一.推論3.2

向量,,共面,,線性相關(guān).第3章幾何向量§3.1幾何向量及其運(yùn)算例3.設(shè)OPi

=ri

(i=1,2,3,4),試證:P1,P2,

P3,P4四點(diǎn)共面存在不全為0的實(shí)數(shù)i

(i=1,2,3,4),使得

∑i

ri=

且∑i

=0.4i=1i=14P1OP2P4P3第3章幾何向量§3.1幾何向量及其運(yùn)算§3.2空間坐標(biāo)系定理3.3

取定三個(gè)不共面的空間向量1,2,3,則

對(duì)空間中任一向量都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),

使得

=x1+y2+z3.321OPQM第3章幾何向量§3.2空間坐標(biāo)系一.仿射坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系321O2.仿射坐標(biāo)系{O;1,2,3

}

坐標(biāo)原點(diǎn);坐標(biāo)向量坐標(biāo)軸;坐標(biāo);

坐標(biāo)平面;左(右)手仿射坐標(biāo)系3.直角坐標(biāo)系{O;i,j,k}:向徑j(luò)kiO§3.2空間坐標(biāo)系第3章幾何向量二.用坐標(biāo)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算設(shè)

=(x1,x2,x3),

=(y1,y2,y3),則k1+k2=(k1x1+k2y1,k1x2+k2y2,k1x3+k3y3).例4.設(shè)兩個(gè)定點(diǎn)為P1(x1,y1,z1)與P2(x2,y2,z2),求向量P1P2的坐標(biāo).xyzP1P2O§3.2空間坐標(biāo)系第3章幾何向量例5.設(shè)兩個(gè)定點(diǎn)為P1(x1,y1,z1)與P2(x2,y2,z2),

若點(diǎn)P(x,y,z)把有向線段P1P2分成定比,

即P1P=PP2(1),求分點(diǎn)P的坐標(biāo).xyzP1POP2§3.2空間坐標(biāo)系第3章幾何向量§3.3向量的數(shù)量積,向量積和混合積一.兩個(gè)向量的數(shù)量積1.物理背景:2.兩個(gè)非零向量之間的夾角.3.數(shù)量積(點(diǎn)積,內(nèi)積)的定義：·=||||||||cos注:·=0與

垂直.§3.3向量的數(shù)量積,向量積和混合積

第3章幾何向量做功

4.數(shù)量積的性質(zhì).(1)正定性:

·=||||20,且·=0=;(2)對(duì)稱性:·=·;(3)(m)·=m(·)=·(m);(4)(+)·=·+·.5.直角坐標(biāo)系下向量數(shù)量積的計(jì)算.(1)i2=j2=k2=1,i·j=j·k=k·i=0.(2)設(shè)

=(x1,x2,x3),

=(y1,y2,y3),則·=x1y1+x2y2+x3y3.§3.3向量的數(shù)量積,向量積和混合積

第3章幾何向量6.長度,夾角,距離公式(2)設(shè)非零向量

=(x1,y1,z1),

=(x2,y2,z2)

之間的夾角為,則cos=·||||||||x1x2+y1y2+z1z2=(3)點(diǎn)P1(x1,y1,z1)與P2(x2,y2,z2)之間的距離為(1)設(shè)=(x,y,z),則||||=x2+y2+z2.x22+y22+z22x12+y12+z12||P1P2||=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2

§3.3向量的數(shù)量積,向量積和混合積

第3章幾何向量7.投影ABuABuAB向量AB在軸u上的投影為其中為向量AB與軸u的夾角.(AB)u=||AB