4-4-2-圓與扇形教師版

圓與扇形例題精講研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，通過(guò)變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補(bǔ)，使它變成可以計(jì)算出面積的規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算它們的面積.圓的面積二n2；扇形的面積二n2—;360圓的周長(zhǎng)=2n;扇形的弧長(zhǎng)=2n.360一、跟曲線有關(guān)的圖形元素：扇形：扇形由頂點(diǎn)在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分.我們經(jīng)常說(shuō)的1圓、1圓、1圓等等其實(shí)都是扇形，而這個(gè)幾分之幾表示的其實(shí)是這個(gè)扇形的圓心角占這個(gè)圓周角的幾46分之幾.那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是丄.360比如：扇形的面積二所在圓的面積丄；360扇形中的弧長(zhǎng)部分二所在圓的周長(zhǎng)丄360扇形的周長(zhǎng)二所在圓的周長(zhǎng)—2半徑（易錯(cuò)點(diǎn)是把扇形的周長(zhǎng)等同于扇形的弧長(zhǎng)）360弓形：弓形一般不要求周長(zhǎng)，主要求面積.一般來(lái)說(shuō)，弓形面積扇形面積-三角形面積.（除了半圓）③”彎角”：如圖：彎角的面積③”彎角”：如圖：彎角的面積二正方形-扇形④”谷子”：如圖：“谷子”的面積二弓形面積2二、常用的思想方法：轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的）等積變形（害吟卜、平移、旋轉(zhuǎn)等）借來(lái)還去（加減法）外圍入手（從會(huì)求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的”關(guān)系”）板塊二曲線型面積計(jì)算【例1】如圖，已知扇形BAC的面積是半圓ADB面積的-倍，則角CAB的度數(shù)是3【考點(diǎn)】【解析】【答案】【例2】【題型】填空設(shè)半圓ADB的半徑為1,則半圓面積為-n1^二扇形BAC的面積為--^2^.因?yàn)樯刃蜝AC【考點(diǎn)】【解析】【答案】【例2】【題型】填空22233的面積為n2—，所以，n22n匕，得到n=60，即角CAB的度數(shù)是60度.360360360度A【考點(diǎn)】【解析】【答案】【例3】【考點(diǎn)】【解析】【答案】圓與扇形【難度】4星【題型】解答abc67=21,2三角形ABC內(nèi)兩扇形面積和為21-17=4,根據(jù)扇形面積公式兩扇形面積和為BCn22=4,360°所以.B.C=120°,.A=60°.60度如圖，大小兩圓的相交部分（即陰影區(qū)域）的面積是大圓面積的圓的半徑是5厘米，那么大圓半徑是多少厘米？圓與扇形【難度】3星【題型】解答-，是小圓面積的?如果量得小15523小圓的面積為n5=25n,則大小圓相交部分面積為25n-=15n,那么大圓的面積為54225225151515十-n,A【考點(diǎn)】【解析】【答案】【例3】【考點(diǎn)】【解析】【答案】圓與扇形【難度】4星【題型】解答abc67=21,2三角形ABC內(nèi)兩扇形面積和為21-17=4,根據(jù)扇形面積公式兩扇形面積和為BCn22=4,360°所以.B.C=120°,.A=60°.60度如圖，大小兩圓的相交部分（即陰影區(qū)域）的面積是大圓面積的圓的半徑是5厘米，那么大圓半徑是多少厘米？圓與扇形【難度】3星【題型】解答-，是小圓面積的?如果量得小15523小圓的面積為n5=25n,則大小圓相交部分面積為25n-=15n,那么大圓的面積為54225225151515十-n,而225=仝15，所以大圓半徑為7.5厘米.1544227.5【例4】有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆厘米？（n取3）（如圖），此時(shí)橡皮筋的長(zhǎng)度是多少【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】由右圖知，繩長(zhǎng)等于6個(gè)線段AB與6個(gè)BC弧長(zhǎng)之和.將圖中與BC弧相似的6個(gè)弧所對(duì)的圓心角平移拼補(bǔ)，可得到所以BC弧所對(duì)的圓心角是60，6個(gè)BC弧合起來(lái)等于直徑而線段AB等于塑料管的直徑，由此知繩長(zhǎng)為：5x6+5冗=45（厘米）.【答案】456個(gè)角的和是360,5厘米的圓的周長(zhǎng).【例5】如圖，邊長(zhǎng)為12厘米的正五邊形，分別以正五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)為圓心，12厘米為半徑作圓弧，請(qǐng)360'【答案】12.56【例6】如圖是一個(gè)對(duì)稱圖形.比較黑色部分面積與灰色部分面積的大小，得：黑色部分面積灰色部分面積.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】圖中四個(gè)小圓的半徑為大圓半徑的一半，所以每個(gè)小圓的面積等于大圓面積的-，則4個(gè)小圓的面4積之和等于大圓的面積?而4個(gè)小圓重疊的部分為灰色部分，未覆蓋的部分為黑色部分，所以這兩部分面積相等，即灰色部分與黑色部分面積相等.【答案】相等S1，空白部分面積為S2，那么這兩個(gè)部【例7】如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為分的面積之比是多少？（圓周率取3.14）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】如圖添加輔助線，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來(lái)，這樣，空白部分就是一個(gè)圓的內(nèi)接正方形.設(shè)大圓半徑為r，貝U§=2r2，S=曲2-2r2，所以:=[3.14-S1，空白部分面積為S2，那么這兩個(gè)部移動(dòng)圖形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關(guān)系.【答案】57:100【例8】用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了7個(gè)同樣大小的圓鋁板?問(wèn)：所余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】

【解析】由于直接求陰影部分面積太麻煩，所以考慮采用增加面積的方法來(lái)構(gòu)造新圖形.11由右圖可見，陰影部分面積等于丄大圓面積減去一個(gè)小圓面積，再加上120的小扇形面積（即-小圓63面積），所以相當(dāng)于1大圓面積減去2小圓面積.而大圓的半徑為小圓的3倍，所以其面積為小圓的319_26332=9倍，那么陰影部分面積為n12n=2.5.6【答案】2.5【例10】如圖所示，求陰影面積，圖中是厘米的小扇形.（圓周率取3.14）個(gè)正六邊形，面積為【考點(diǎn)】

【解析】由于直接求陰影部分面積太麻煩，所以考慮采用增加面積的方法來(lái)構(gòu)造新圖形.11由右圖可見，陰影部分面積等于丄大圓面積減去一個(gè)小圓面積，再加上120的小扇形面積（即-小圓63面積），所以相當(dāng)于1大圓面積減去2小圓面積.而大圓的半徑為小圓的3倍，所以其面積為小圓的319_26332=9倍，那么陰影部分面積為n12n=2.5.6【答案】2.5【例10】如圖所示，求陰影面積，圖中是厘米的小扇形.（圓周率取3.14）個(gè)正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個(gè)半徑為10【答案】81?求陰影部分的面積.【例9】如圖，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個(gè)小圓和三個(gè)半圓的半徑都是【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星1?求陰影部分的面積.【解析】所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個(gè)小扇形面積、正六邊形的面積已知，現(xiàn)在關(guān)鍵是小扇形面積如何求，有扇形面積公式S扇一nn?360可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數(shù)，由已知正六邊形每邊所對(duì)圓心角為60°,那么.AOC=120,又知四邊形ABCO是平行四邊形，所以.ABC=120,這樣就可求出扇形的面積和為6120n102=628（平方厘米），陰影部分的面積=1040-628=412（平方厘米）.360【答案】412BO【例11】（09年第十四屆華杯賽初賽）如下圖所示，AB是半圓的直徑，O是圓心，AC二CD=DB,M是CD的中點(diǎn)，H是弦CD的中點(diǎn)?若N是OB上一點(diǎn)，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積是平方厘米.BOM【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3M【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【解析】如下圖所示，連接0C、OD、OH?M【題型】填空本題中由于C、D是半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)，M是CD的中點(diǎn)，H是弦CD的中點(diǎn)，可見這個(gè)圖形是對(duì)稱的，由對(duì)稱性可知CD與AB平行.由此可得ACHN的面積與.CHO的面積相等，所以陰影部分面積等于扇形COD面積的一半，而扇形COD的面積又等于半圓面積的1,所以陰影部分面積等于3半圓面積的1,為12-=2平方厘米.66【答案】2【鞏固】如圖，C、D是以AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，O是圓心，且半徑為6?求圖中陰影部分的面積.【題型】解答【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【解析】如圖，連接OC、OD、CD.【題型】解答由于C、D是半圓的三等分點(diǎn)，所以.叭0C和COD都是正三角形，那么CD與AO是平行的?所以.'ACD的面積與OCD的面積相等，那么陰影部分的面積等于扇形OCD的面積，為21n618.84.6【答案】18.84【例12】如圖，兩個(gè)半徑為1的半圓垂直相交，橫放的半圓直徑通過(guò)豎放半圓的圓心，求圖中兩塊陰影部【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】本題要求兩塊陰影部分的面積之差，可以先分別求出兩塊陰影部分的面積，再計(jì)算它們的差，但是這樣較為繁瑣?由于是要求面積之差，可以考慮先從面積較大的陰影中割去與面積較小的陰影相同的圖形，再求剩余圖形的面積.如右圖所示，可知弓形BC或CD均與弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC?剩下的圖形中，容易看出來(lái)AB與CD是平行的，所以BCD與.ACD的面積相等，所以剩余圖形的面積與扇形ACD的面積相等，而扇形ACD的面積為n12-60=0.5，所以圖中兩塊陰影部分的面積之差為0.5.36012,那么陰影部分面積是多少？（圓周率取【答案】0.5【例13】如圖，兩個(gè)正方形擺放在一起，其中大正方形邊長(zhǎng)為3.14)【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，則三角形ABF與梯形ABCD的面積均為a12a"2.陰影部分為：大正方形?梯形-三角形ABF-右上角不規(guī)則部分二大正方形-右上角不規(guī)則部分圓?因4此陰影部分面積為：3.141212“4=113.04.12,那么陰影部分面積是多少？（圓周率取方法二：連接AC、DF,設(shè)AF與CD的交點(diǎn)為M，由于四邊形ACDF是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶定理有Saadm=Sacmf,所以S陰影=S扇形dcf-3.141212一：4=113.04【答案】113.04GFGF【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【解析】（法1）觀察可知陰影部分面積等于三角形【題型】解答ACD的面積減去月牙BCD的面積，那么求出月牙BCD的面積就成了解題的關(guān)鍵.1月牙BCD的面積為正方形BCDE的面積減去四分之一圓：66-丄n66=9;4則陰影部分的面積為三角形ACD的面積減去月牙BCD的面積，為：1,S陰影10GFGF【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【解析】（法1）觀察可知陰影部分面積等于三角形【題型】解答ACD的面積減去月牙BCD的面積，那么求出月牙BCD的面積就成了解題的關(guān)鍵.1月牙BCD的面積為正方形BCDE的面積減去四分之一圓：66-丄n66=9;4則陰影部分的面積為三角形ACD的面積減去月牙BCD的面積，為：1,S陰影1066—9=39-（法2）觀察可知AF和BD是平行的，于是連接AF、BD、DF.則ABD與.BDF面積相等，那么陰影部分面積等于GBDF與小弓形的面積之和,也就等于DEF與11扇形BED的面積之和，為：（10_6）6n62=39.24【答案】39【例14】如圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周的中點(diǎn),么陰影部分的面積是多少？（圓周率取3.14）BC是半圓的直徑?已知AB二BC=10,那DABP的面積為：1010“2“2=25；弓形面積：3.1455亠4-55亠2=7.125;陰影部分面積為：25+7.125=32.125.【答案】32.125【例15】圖中給出了兩個(gè)對(duì)齊擺放的正方形，并以小正方形中右上頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑作一個(gè)扇形，按圖中所給長(zhǎng)度陰影部分面積為;（n=3.14AD4C6AD4C6B【題型】填空【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【解析】連接小正方形AC,有圖可見2陰影=SaACD'S扇形ABC???1IaC2J44222【題型】填空2二AC=32同理CE2=72,???ACCE=481…acd48=2429021S扇形n4一12.56,S^abc44_83602?S陰影=2412.56_8=28.56【答案】28.56【例16】如圖，圖形中的曲線是用半徑長(zhǎng)度的比為2:1.5:0.5的6條半圓曲線連成的.問(wèn)：涂有陰影的部分的面積與未涂有陰影的部分的面積的比是多少？【考點(diǎn)】4星【解析】假設(shè)最小圓的半徑為【題型】解答4r,3r和【考點(diǎn)】4星【解析】假設(shè)最小圓的半徑為【題型】解答4r,3r和r.陰影部分的面積為：12121222n4rn3rnn=5n,空白部分的面積為：222n4r5n=11n,r，則三種半圓曲線的半徑分別為則陰影部分面積與空白部分面積的比為5:11.【答案】5:11【例17】（西城實(shí)驗(yàn)考題）奧運(yùn)會(huì)的會(huì)徽是五環(huán)圖，一個(gè)五環(huán)圖是由內(nèi)圓直徑為6厘米，外圓直徑為8厘米的五個(gè)環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等，已知五個(gè)圓環(huán)蓋住的面積是77.1平方厘米，求每個(gè)小曲邊四邊形的面積.（n3.14）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】⑴每個(gè)圓環(huán)的面積為：n42-n32=7n=21.98（平方厘米）；⑵五個(gè)圓環(huán)的面積和為：21.985=109.9（平方厘米）;⑶八個(gè)陰影的面積為：109.9-77.1=32.8（平方厘米）;⑷每個(gè)陰影的面積為：32.8*8=4.1（平方厘米）.【答案】4.1【例18】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10厘米，過(guò)它的四個(gè)頂點(diǎn)作一個(gè)大圓，過(guò)它的各邊中點(diǎn)作一個(gè)小圓,再將對(duì)邊中點(diǎn)用直線連擎起來(lái)得右圖.那么，圖中陰影部分的總面積等于方厘米.（n3.14）【考點(diǎn)】再將對(duì)邊中點(diǎn)用直線連擎起來(lái)得右圖.那么，圖中陰影部分的總面積等于方厘米.（n3.14）【考點(diǎn)】Ar>(AFH圓與扇形【難度】4星【題型】填空【解析】39.25【答案】39.25【例19】如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以【例19】如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以AB、BC、CD、DA分別為直徑畫半圓，求這四個(gè)半圓弧所【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】這道題目是很常見的面積計(jì)算問(wèn)題?陰影部分是一個(gè)花瓣?duì)畹牟灰?guī)則圖形，不能直接通過(guò)面積公式求解，觀察發(fā)現(xiàn)陰影部分是一個(gè)對(duì)稱圖形，我們只需要在陰影部分的對(duì)稱軸上作兩條輔助線就明了了.S陰影如圖，這樣陰影部分就劃分成了4個(gè)半圓減去三角形，我們可以求得，=4S半圓一'S三角形「1一=4x-xnxI—/I【答案】【鞏固】正方形如圖，影部分面積.ABCD的邊長(zhǎng)為（n取3）4厘米，分別以BS陰影【鞏固】正方形如圖，影部分面積.ABCD的邊長(zhǎng)為（n取3）4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓?求陰D【考點(diǎn)】解法一：把兩個(gè)扇形放在一起得到1個(gè)正方形的同時(shí)還重疊了一塊陰影部分.則陰影部分的面積為=-n42-44=8；2解法二：連接AC,我們發(fā)現(xiàn)陰影部分面積的一半就是扇形減去三角形的面積,所以陰影部分面積=2（丄n42-44一：一2）=8.4【答案】8【例20】（四中考題）已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm,BC=2cm，求陰影部分的面積【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】從圖中可以看出，陰影部分的面積等于兩個(gè)半圓的面積和與直角三角形ABC的面積之差，所以陰影部分的面積為：1nI41nI2--42=2.5n-4=3.85（cm2）.2「2丿2（2丿2【答案】3.85【例21】（奧林匹克決賽試題）在桌面上放置3個(gè)兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片144平方厘米，3張紙片共同重疊的面積是是平方厘米..3個(gè)兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片144平方厘米，3張紙片共同重疊的面積是是平方厘米..它們的面積都42平方厘米【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】填空【解析】根據(jù)容斥原理得1003-S陰影-242=144，所以S陰影=1003-144—242=72（平方厘米）【答案】72【例22】如圖所示，ABCD是一邊長(zhǎng)為4cm的正方形，E是AD的中點(diǎn)，而F是BC的中點(diǎn).以C為圓心、半徑為4cm的四分之一圓的圓弧交EF于G,以F為圓心、半徑為2cm的四分之一圓的圓弧交EF于H點(diǎn)，若圖中0和S2兩塊面積之差為mn-n（cm2）（其中m、n為正整數(shù)），請(qǐng)問(wèn)m5之值為何？【關(guān)鍵詞】國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽【題型】圖1答【解析】(法1)Sfcde=24【關(guān)鍵詞】國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽【題型】圖1答【解析】(法1)Sfcde=24=8cm2,s扇形BCD工1n4^4n(cm2),4S扇形BFH122n2=n(cm)，而4S1_S2-S扇形BCDS扇形BFH2-Sfcde=4n-n-8=3n-8(cm),所以m=3,n=8,mn=38=11.(法2)如右上圖，S-S^=Sbfea-S扇形bfh=24-22n?4=8-n(cm2),2SS2-Sabcd-S扇形BCD-44-44n*4=16-4n(cm),所以，S-S2=(8-冗)一(16-4冗)=3n—8(cm2)，故mn=38=11.【答案】11【鞏固】在圖中，兩個(gè)四分之一圓弧的半徑分別是2和4,求兩個(gè)陰影部分的面積差.（圓周率取3.14）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3【答案】11【鞏固】在圖中，兩個(gè)四分之一圓弧的半徑分別是2和4,求兩個(gè)陰影部分的面積差.（圓周率取3.14）形減去小扇形，再減去長(zhǎng)方形?則為:【答案】1.42nn4422-42=33.14-8=1.42?44【例23】如圖，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半徑AE=6厘米，扇形CBF的半徑CB=4厘米，求陰影部分的面積.（n取3）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：觀察發(fā)現(xiàn)，陰影部分屬于一個(gè)大的扇形，而這個(gè)扇形除了陰影部分之外，還有一個(gè)不規(guī)則的空白部分ABFD在左上，求出這個(gè)不規(guī)則部分的面積就成了解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵.我們先確定ABFD的面積，因?yàn)椴灰?guī)則部分ABFD與扇形BCF共同構(gòu)成長(zhǎng)方形ABCD,1所以不規(guī)則部分ABFD的面積為64「-n42=12（平方厘米），4再?gòu)纳刃蜛BE中考慮，讓扇形ABE減去ABFD的面積，則有陰影部分面積為1n62—12=15（平方厘米）.4方法二：利用容斥原理S陰影=S扇形eab'S扇形bcf-S長(zhǎng)方形abcdn6—n4-46=15（平方厘米）44【答案】15【鞏固】求圖中陰影部分的面積.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】陰影部分面積二半圓面積?扇形面積-三角形面積=-n（^）21n122-丄122=41.04.2282【答案】41.04【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】觀察可知陰影部分是被以AD為半徑的扇形、以AB為直徑的半圓形和對(duì)角線BD分割出來(lái)的，分頭求各小塊陰影部分面積明顯不是很方便，我們發(fā)現(xiàn)如果能求出左下邊空白部分的面積，就很容易求出陰影部分的面積了，我們?cè)儆^察可以發(fā)現(xiàn)左下邊空白部分的面積就等于三角形ABD的面積減去扇形ADE的面積，那么我們的思路就很清楚了.因?yàn)镸ADB=45,所以扇形ADE的面積為：竺nAD2=-453.1452=9.8125（平方厘米），3603601那么左下邊空白的面積為：—55-9.8125=2.6875（平方厘米），2角彳又因?yàn)榘雸A面積為：-n-=9.8125（平方厘米），吃丿所以陰影部分面積為：9.8125—2.6875=7.125（平方厘米）.【答案】7.125【例24】如圖所示，陰影部分的面積為多少？（圓周率取3）3【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答3【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】圖中A、B兩部分的面積分別等于右邊兩幅圖中的A、B的面積.22927所以『Sb".5…533^332-3廠4?8冷.【答案】2716【鞏固】【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】如右上圖，虛線將陰影部分分成兩部分，分別計(jì)算這兩部分的面積，再相加即可得到陰影部分的面積.【答案】2716【鞏固】所分成的弓形的面積為：1n①_3\：1\<1=-9n_-；TOC\o"1-5"\h\z2\2)4」2168另一部分的面積為：1n32_321n-;8484所以陰影部分面積為：—%-99%-9==27n27=1.92375".92.16884168【答案】1.92【例25】已知右圖中正方形的邊長(zhǎng)為20厘米，中間的三段圓弧分別以O(shè)1、O2、03為圓心，求陰影部分的面積.（n3）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】圖中兩塊陰影部分的面積相等，可以先求出其中一塊的面積?而這一塊的面積，等于大正方形的面積減去一個(gè)90。扇形的面積，再減去角上的小空白部分的面積，為：__12__、S正方形一S扇形|:S正方形一S圓4=20X20n（202—&20漢20—100冗）斗4】=75（平方厘米），所以陰影部分的面積為757=150（平方厘米）.【答案】150【例26】一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為9，寬為6,一個(gè)半徑為I的圓在這個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)，在長(zhǎng)方形內(nèi)這圓無(wú)法運(yùn)動(dòng)到的部分，面積的和是.（n取3）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【解析】方法一：圓在長(zhǎng)方形內(nèi)部無(wú)法運(yùn)動(dòng)到的地方就是長(zhǎng)方形的四個(gè)角，而圓在角處運(yùn)動(dòng)時(shí)的情況如左下圖，圓無(wú)法運(yùn)動(dòng)到的部分是圖中陰影部分，那么我們可以先求出陰影部分面積，四個(gè)角的情況都相似，我們就可以求出總的面積是陰影部分面積的四倍.陰影部分面積是小正方形面積減去扇形面積，所以我們可以得到：每個(gè)角陰影部分面積為11-n12-90=1;3604方法二：如果把四個(gè)角拼起來(lái)，則陰影如右上圖所示，則陰影面積為22-3勺2=1【答案】1【例27】已知半圓所在的圓的面積為62.8平方厘米，求陰影部分的面積.（n3.14）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】由于陰影部分是一個(gè)不規(guī)則圖形，所以要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算?從圖中可以看出，陰影部分的面積是一個(gè)45°的扇形與一個(gè)等腰直角三角形的面積差.由于半圓的面積為62.8平方厘米，所以0A2=62.8+3.14=20?因此：Saaob=OAOB2=OA22=10（平方厘米）?由于AOB是等腰直角三角形，所以AB2=202=40?4545因此：扇形ABC的面積=nAB2——n40——15.7（平方厘米）.360360所以，陰影部分的面積等于：15.7—10=5.7（平方厘米）?【答案】5.7【例28】如圖，等腰直角三角形ABC的腰為10;以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形AEF;兩個(gè)陰影部分的面積相等?求扇形所在的圓面積.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】題目已經(jīng)明確告訴我們ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似沒(méi)有關(guān)系的兩個(gè)陰影部分通過(guò)空白部分聯(lián)系起來(lái).等腰直角三角形的角A為45度，則扇形所在圓的面積為扇形面積的8倍.而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即S扇形二-1010=50,則圓的面積為50住=400【答案】400【例29】如圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB=20，陰影甲的面積比陰影乙的面積大7,求BC長(zhǎng).（n^3.14）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】因?yàn)閮蓧K陰影部分都是不規(guī)則圖形，單獨(dú)對(duì)待它們無(wú)法運(yùn)用面積公式進(jìn)行處理，而解題的關(guān)鍵就是如何把它們聯(lián)系起來(lái)，我們發(fā)現(xiàn)把兩塊陰影加上中間的一塊，則變成1個(gè)半圓和1個(gè)直角三角形,這個(gè)時(shí)候我們就可以利用面積公式來(lái)求解了.因?yàn)殛幱凹妆汝幱耙颐娣e大7,也就是半圓面積比直角三角形面積大7.1半圓面積為：—nIO?=157，則直角三角形的面積為157—7=150,可得BC=2150“20=15.2【答案】15【鞏固】三角形ABC是直角三角形，陰影I的面積比陰影II的面積小【鞏固】三角形ABC是直角三角形，陰影I的面積比陰影II的面積小25cm2,AB=8cm，求BC的長(zhǎng)度.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】【解析】由于陰影I的面積比陰影為25cm2，則直角三角形3星II的面積小25cm2，根據(jù)差不變?cè)恚苯侨切?「8丫2ABC面積為—n—25=8n25(cm2),2I2丿【題型】解答ABC面積減去半圓面積BC的長(zhǎng)度為8n252"8=2n6.25=12.53(cm).【答案】12.53【鞏固】如圖，三角形ABC是直角三角形，陰影部分①比陰影部分②的面積小28平方厘米，AB長(zhǎng)40厘【考點(diǎn)】5!H米.求BC的長(zhǎng)度？(n取【考點(diǎn)】5!H米.求BC的長(zhǎng)度？(n取3.14)圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】圖中半圓的直徑為AB，所以其面積為1X202xn&200X314=628.2有空白部分③與①的面積和為628,又②-①=28，所以②、③部分的面積和628-28=656.一11有直角三角形ABC的面積為ABBC40BC=656.所以BC=32.8厘米.22【答案】32.8【例30】圖中的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比為8:3，求陰影部分的面積.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】十三分，入學(xué)測(cè)試題【解析】如下圖，設(shè)半圓的圓心為O,連接OC.從圖中可以看出，OC=20,OB=20-4=16，根據(jù)勾股定理可得BC=12.陰影部分面積等于半圓的面積減去長(zhǎng)方形的面積，1為：n202(162)12=200n-384=244.2【答案】244【例【例【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【題型】解答【解析】如圖，圖中陰影部分為月牙兒狀，月牙兒形狀與扇形和弓形都不相同，目前我們還不能直接求出它們的面積，那么我們應(yīng)該怎么來(lái)解決呢？首先，我們分析下月牙兒狀是怎么產(chǎn)生的，觀察發(fā)現(xiàn)月牙兒形是兩條圓弧所夾部分，再分析可以知道，兩條圓弧分別是不同圓的圓周的一部分，那么我們就找到了解決問(wèn)題的方法了.陰影部分面積=-小圓面積?丄中圓面積?三角形面積-1大圓面積222TOC\o"1-5"\h\z1212112n3n434■n522226【答案】6【例32】如圖，直角三角形的三條邊長(zhǎng)度為【例32】如圖，直角三角形的三條邊長(zhǎng)度為6O86O8【題型】解答【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星【解析】S陰影=S直角三角形1s半圓，設(shè)半圓半徑為r，直角三角形面積用r表示為：—_-10_-=8r22又因?yàn)槿切沃苯沁叾家阎?，所以它的面積為168=24,2【題型】解答所以8r=24,r=3、1所以S陰影=249n=24—4.5n2【答案】24-4.5n【例33】大圓半徑為R,小圓半徑為r,兩個(gè)同心圓構(gòu)成一個(gè)環(huán)形.以圓心O為頂點(diǎn)，半徑R為邊長(zhǎng)作一個(gè)正方形：再以O(shè)為頂點(diǎn)，以r為邊長(zhǎng)作一個(gè)小正方形?圖中陰影部分的面積為50平方厘米，求環(huán)形面積.（圓周率取3.14）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】華校第一學(xué)期，期中測(cè)試，第6題【解析】環(huán)形的面積應(yīng)該用大圓的面積減去小圓的面積，但分別求出兩個(gè)圓的面積顯然不可能?題中已知陰影部分的面積，也就是R?一『=50平方厘米，那么環(huán)形的面積為：2222n-n=nR-r）=n50=157（平方厘米）.【答案】157【鞏固】圖中陰影部分的面積是25cm2，求圓環(huán)的面積.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【鞏固】圖中陰影部分的面積是25cm2，求圓環(huán)的面積.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答22【解析】設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為=50.則圓環(huán)面積為：22222n—…n…r)=50n=157(cm).r，依題有—--25,即R222【答案】157【例34】已知圖中正方形的面積是20平方厘米，則圖中里外兩個(gè)圓的面積之和是.（n取3.14）【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】101中學(xué)，考題【解析】設(shè)圖中大圓的半徑為r，正方形的邊長(zhǎng)為a，則小圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，所以小圓的半徑為a,22大圓的直徑2r等于正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，即（2r）^a2a2，得r^—.2所以，大圓的面積與正方形的面積之比為：n2：a2二n：2，所以大圓面積為：20-、2n=10n;小圓的面積與正方形的面積之比為：n?）2：a2二n：4，所以小圓的面積為：20"4n5n;兩個(gè)圓的面2積之和為：10n5n15n153.14=47.1（平方厘米）.【答案】47.1【鞏固】圖中小圓的面積是30平方厘米，則大圓的面積是平方厘米.（n取3.14）【題型】填空【解析】設(shè)圖中大圓的半徑為r，正方形的邊長(zhǎng)為a，則小圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，所以小圓的半徑為a,2【題型】填空2大圓的直徑2r等于正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，即（2r）2二a2a2，得r^—.2222所以，大圓的面積與小圓的面積之比為：n2：牡）2=r2：’=—:―=2:1,2424即大圓的面積是小圓面積的2倍，大圓的面積為30x2=60（平方厘米）.【答案】60【鞏固】（2008年四中考題）圖中大正方形邊長(zhǎng)為a,小正方形的面積是【考點(diǎn)】

【解析】3星【題型】填空設(shè)圖中小正方形的邊長(zhǎng)為【鞏固】【考點(diǎn)】

【解析】3星【題型】填空設(shè)圖中小正方形的邊長(zhǎng)為b，由于圓的直徑等于大正方形的邊長(zhǎng)，所以圓的直徑為a,而從圖中可以看出，圓的直徑等于小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，所以a2=b2?b2=2b2，故b2=」a2，即小正方形的面2積為-a2.2【答案】-a22【鞏固】一些正方形內(nèi)接于一些同心圓，如圖所示?已知最小圓的半徑為1cm，請(qǐng)問(wèn)陰影部分的面積為多少平方厘米？（取冗=絲）7【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔，復(fù)賽【解析】我們將陰影部分的面積分為內(nèi)圈、中圈、外圈三部分來(lái)計(jì)算.內(nèi)圈等于內(nèi)圓面積減去內(nèi)部正方形的面積，也就是n12-22亠2n-2.內(nèi)圓的直徑為中部正方形的邊長(zhǎng)，即為2，中部正方形的對(duì)角線等于中圓的直徑，于是中圈陰影部分面積是n（2「22）"4—22=2n—4.中圓的直徑的平方即為外部正方形的面積，即為2222=8,外部正方形的對(duì)角線的平方即為外圓的直徑的平方，即為82=16，所以外圈陰影部分的面積是n16亠4-8=4冗-8.所以陰影部分的面積是7n14二227—14=8（平方厘米）?7【答案】8【例35】圖中大正方形邊長(zhǎng)為6，將其每條邊進(jìn)行三等分，連出四條虛線，再將虛線的中點(diǎn)連出一個(gè)正方形（如圖），在這個(gè)正方形中畫出一個(gè)最大的圓，則圓的面積是多少？（n3.14）【考點(diǎn)】3星【題型】解答【解析】圓的直徑也就是外切正方形的邊長(zhǎng)，它的長(zhǎng)為:16=43【考點(diǎn)】3星【題型】解答【解析】圓的直徑也就是外切正方形的邊長(zhǎng)，它的長(zhǎng)為:16=43323???圓的面積為:【答案】12.56【例36】如下圖所示，兩個(gè)相同的正方形，左圖中陰影部分是9個(gè)圓，右圖中陰影部分是16個(gè)圓.哪個(gè)圖中陰影部分的面積大？為什么？【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，每一個(gè)圓的半徑為r，則正方形的每一條邊上都有—個(gè)圓，從而正方形內(nèi)部2r共有旦■—個(gè)圓，于是這些圓的總面積為：S陰影=n2——=丄掃？?2r2r2r2r4可見陰影部分的面積與正方形的面積的比是固定的，也就是說(shuō)陰影部分的面積只與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)系，與圓的半徑無(wú)關(guān)，無(wú)論圓的半徑怎樣變化，只要正方形的邊長(zhǎng)不變，那么陰影部分的面積就是一定的.由于上圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相同，所以兩圖中陰影部分的面積相等.【答案】相等【例37】如圖，在【例37】如圖，在33方格表中，分別以A、E、F為圓心，半徑為3、2、1,圓心角都是90°的三段圓弧與正方形ABCD的邊界圍成了兩個(gè)帶形，那么這兩個(gè)帶形的面積之比S：S2二？【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】5星【題型】解答【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】5星【題型】解答【解析】如右圖，仔細(xì)觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)帶形S1的面積等于曲邊三角形BCD的面積減去曲邊三角形BQD,的面積，而這兩個(gè)曲邊三角形的面積都可以在各自所在的正方形內(nèi)求出.所以，◎的面積二3?-n32-122-n22-=5：11-n；S的I4八4丿J4丿同理可求得帶形S,的面積：帶形S?的面積工曲邊三角形B1CD1的面積一曲邊三角形B2CD2的面積=31一-；I4丿所以，S:S2=5:3.【答案】5:3【例38】如圖中，正方形的邊長(zhǎng)是5cm，兩個(gè)頂點(diǎn)正好在圓心上,求圖形的總面積是多少?（圓周率取【例38】如圖中，正方形的邊長(zhǎng)是5cm，兩個(gè)頂點(diǎn)正好在圓心上,求圖形的總面積是多少?（圓周率取3.14)【考點(diǎn)】【解析】【題型】解答【答案】142.75【例39】如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓0的半徑為15,AEB是以C為圓心，AC為半徑的圓弧陰影部分面積.BB【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答ABC【解析】陰影部分是個(gè)月牙形，不能直接通過(guò)面積公式求，那么我們可以把陰影部分看成半圓加上三角形再減去扇形ACB的結(jié)果.ABC半圓面積為1n152,2TOC\o"1-5"\h\z11三角形ABC面積為151515=152，又因?yàn)槿切蚊娣e也等于AC2,22所以AC2=2152,那么扇形ACB的面積為-90nAC2=1n2152.3604陰影部分面積S陰影=s半圓■S三角形-S扇形12212n1515-沁n21545（平方厘米）【答案】225【例40】如下圖所示，曲線PRSQ和ROS是兩個(gè)半圓.RS平行于PQ?如果大半圓的半徑是1米，那么陰【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】如左下圖所示，弓形RS的面積等于扇形ORS的面積與三角形ORS的面積之差，為121n1十、、「,n111（平萬(wàn)米）,424P1O1QP1O1Q尹,2-2--222半圓ROS的面積為1-XnRS」nOROS-1n11n（平方米）,2224244所以陰影部分的面積為n_-?亠-n-1=1.07（平方米）4242【例41】在右圖所示的正方形【答案】1.07ABCD中，對(duì)角線AC長(zhǎng)2厘米.扇形ADC是以D為圓心，以【例41】在右圖所示的正方形圓的一部分.求陰影部分的面積【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答-nAC2-1AD2.82（如圖）.求錢幣在【解析】如右圖所示，Si=nAD2-丄AD2,TOC\o【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答-nAC2-1AD2.82（如圖）.求錢幣在n21212121212ADADnACADnACAC二n-2=1.14（平方厘米）.42824另解：觀察可知陰影部分面積等于半圓面積與扇形ADC面積之和減去正方形ABCD的面積，所以陰影部分的面積為-AD21nAC2-AD2=1.14（平方厘米）.48【答案】1.144cm【例42】某仿古錢幣直徑為4厘米，錢幣內(nèi)孔邊緣恰好是圓心在錢幣外緣均勻分布的等弧桌面上能覆蓋的面積為多少？4cm【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】將古錢幣分成8個(gè)部分，外部的4個(gè)弓形的面積和等于大圓減去內(nèi)接正方形,中間的四個(gè)扇形的面積恰好等于內(nèi)接正方形內(nèi)的內(nèi)切圓面積，所以總面積等于：4242422n2—2“4n=6n-8=10.84（cm）.￡丿\2J\2）【答案】10.84【例43】傳說(shuō)古老的天竺國(guó)有一座鐘樓，鐘樓上有一座大鐘，這座大鐘的鐘面有10平方米.每當(dāng)太陽(yáng)西下,（如右圖）.那么，陰影部分的面積是平方米.鐘面就會(huì)出現(xiàn)奇妙的陰影1212【關(guān)鍵詞】小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)【解析】1110AA33489B12B'【答案】等積變形，對(duì)應(yīng)思想將中間的正三角形旋轉(zhuǎn)如右圖，圖中陰影部分的面積與原圖陰影部分的面積相等?由A與A',B與B'面積相等，推知陰影部分占圓面積的一半.10亠2=：5（平方米）.鐘面就會(huì)出現(xiàn)奇妙的陰影1212【關(guān)鍵詞】小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)【解析】1110AA33489B12B'【答案】512111甲2乙O48573【鞏固】圖中是一個(gè)鐘表的圓面，圖中陰影部分甲與陰影部分乙的面積之比是多少?12111甲2乙O48573【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】5星【題型】解答【解析】根據(jù)圖形特點(diǎn)，可以把陰影部分甲與乙分別從不同的角度進(jìn)行分解：陰影部分甲=120。的扇形-三角形-小弓形；陰影部分乙二三角形?小弓形；由于120°扇形的面積容易求得，所以問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定弓形與三角形的面積:36111甲O48572乙■3‘6陰影部分乙的面積120°陰影部分的面積1=圓的面積的一61=圓的面積的一3綜上所述：陰影部分甲的面積【答案】1:1二圓的面積的AB陰影部分乙的面積=36111甲O48572乙■3‘6陰影部分乙的面積120°陰影部分的面積1=圓的面積的一61=圓的面積的一3綜上所述：陰影部分甲的面積【答案】1:1二圓的面積的AB陰影部分乙的面積=斜紋三角形B的面積+斜紋弓形A的面積⑴二圓的面積的￡?所以甲、乙面積之比為10平方米.每當(dāng)太陽(yáng)西下,8383AGF【難度】5星AGF【題型】解答【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】4星AGF【難度】5星AGF【題型】解答將原題圖中的等邊三角形旋轉(zhuǎn)30°（注意，只轉(zhuǎn)三角形，圓形不動(dòng)），得到右上圖.因?yàn)?AOD、厶BOD都是等邊三角形，所以四邊形OBDA是菱形，推知AOB與ADB面積相等.又因?yàn)橄褹D所對(duì)的弓形與弦BD所對(duì)的弓形面積相等，所以扇形AOB中陰影部分面積占一半?同理，在扇形AOC、扇形BOC中，陰影部分面積也占一半?所以，陰影部分面積占圓面積的一半，是10十2=5（平方米）.【答案】5O的半徑為15厘米.【鞏固】如圖，已知三角形GHI是邊長(zhǎng)為26厘米的正三角形，圓■AOBCOD=?EOF=90.求陰影部分的面積.O的半徑為15厘米.【考點(diǎn)】圓與扇形【解析】直接解決.總陰影面積二每塊陰影面積3=（大弓形一小弓形）3?關(guān)鍵在于大弓形中三角形的面積，設(shè)J為弧GI的中點(diǎn)，則可知GOIJ是菱形，GOJ是正三角形，所以，三角形GOD的面積=11526?22所以大弓形的面積：Sgji二1n152—11526TOC\o"1-5"\h\z22=235.5-97.5=138?1212小弓形的面積：Sfjen1515=176.625_112.5=64.125?2所以，總陰影面積^.138-64.1253=221.625（平方厘米）?【答案】221.625【例44】如下圖，兩個(gè)半徑相等的圓相交，兩圓的圓心相距正好等于半徑，AB弦約等于17厘米，半徑為10厘米，求陰影部分的面積.【考點(diǎn)】圓與扇形【難度】3星【題型】解答【解析】陰影部分由兩個(gè)相等的弓形組成，所以只需要求出一個(gè)弓形的面積就可以了.由已知條件，若分別連結(jié)AO1,AO2,BO1,BO2,O1O2，如圖所示，就可以得到兩個(gè)等邊三角形（各邊長(zhǎng)均等于半徑），則.AO2O^.BO2O^60，即.AO2B=120.這樣就可以求出以02為圓心的扇形AO1BO2的面積，然后再減去三角形AO2B的面積，就得到弓形的面積，三角形AO2B的面積可采用面積公式直接求出，其中底是弦AB，高是O1O2的一半.所以，陰影