九年級數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)【知識精講+備課精研】 等腰三角形的存在性（題型精講）課件

題型一等腰三角形的存在性問題

解題策略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．◆例題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)D在坐標(biāo)為(3，4)，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果△DOP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．◆例題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)D在坐標(biāo)為(3，4)，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果△DOP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．圖1圖2圖3解：①如圖1，當(dāng)PD＝PO時(shí)，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，，，所以．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②如圖2，當(dāng)OP＝OD＝5時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，0)．③如圖3，當(dāng)DO＝DP時(shí)，點(diǎn)D在OP的垂直平分線上，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，0)．綜上所述。。?！羲?/p>

路

理

一

理

一、羅列已知信息D(3，4)

顯而易見的信息OD=5

二、考慮三種情況畫圖

三、根據(jù)等量關(guān)系列式求解做底邊的高，三角函數(shù)圖1圖2圖3◆例2

如圖，直線y＝2x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q，如果△APQ是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．OA:OB=1:2△AOB∽△QOPAP2＝(2m＋1)2AQ2＝m2＋1PQ2＝5m2m2m◆例2

如圖，直線y＝2x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q，如果△APQ是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

模型：①當(dāng)AP＝AQ時(shí)，AP2＝AQ2，(2m＋1)2＝m2＋1，得m=0或m=所以符合條件的點(diǎn)P不存在．②當(dāng)PA＝PQ時(shí)，PA2＝PQ2(2m＋1)2＝5m2，得所以③當(dāng)QA＝QP時(shí)，QA2＝QP2m2＋1＝5m2得所以

綜上所述。。。OA:OB=1:2△AOB∽△QOPAP2＝(2m＋1)2AQ2＝m2＋1PQ2＝5m2m2m◆例2

如圖，直線y＝2x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q，如果△APQ是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．不好畫圖、不好計(jì)算——用代數(shù)法用未知數(shù)表示三角形三邊根據(jù)三邊分別相等列式解方程，并判斷解是否符合題意相關(guān)知識——相似三角形的判定1、三邊對應(yīng)成比例(SSS)2、兩邊成比例且夾角相等(SAS)3、兩角分別相等(AA)4、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似◆思

路

理

一

理◆例3如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)則都停止運(yùn)動(dòng)．在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過程中，當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí)，求t的值．圖1圖2圖3CQ＝t0≤t≤5CP＝10－2tAC=10

模型：◆例3如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)則都停止運(yùn)動(dòng)．在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過程中，當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí)，求t的值．①如圖1，當(dāng)CP=CQ時(shí)t=10-2t解得(秒)②如圖2，當(dāng)時(shí)QP=QC過點(diǎn)Q作QM⊥AC于M則CM

解得(秒).圖1圖2圖3CQ＝t

0≤t≤5CP＝10－2t

③如圖3，當(dāng)PQ=PC時(shí)過點(diǎn)P作PN⊥BC于N則CN解得(秒).綜上所述。。。AC=10◆例3如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)則都停止運(yùn)動(dòng)．在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過程中，當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí)，求t的值．◆例4

如圖，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常數(shù)），BC＝8，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．連結(jié)DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE=x，BF＝y(tǒng)．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若m＝8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？◆例4

如圖，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常數(shù)），BC＝8，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．連結(jié)DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE=x，BF＝y(tǒng)．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若m＝8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？解：(1)由題可得△DCE∽△EBF，因此，即．整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為(2)如圖1，當(dāng)m＝8時(shí)，因此當(dāng)x＝4時(shí)，y取得最大值為2．(0＜x＜8)（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？解：(3)若,則整理，得解得x＝2或x＝6要使△DEF為等腰三角形，只存在ED＝EF的情況.因?yàn)椤鱀CE與△EBF全等，所以CE＝BF，即x＝y(tǒng)．將x＝y(tǒng)＝2代入，得m＝6（如圖2）；將x＝y(tǒng)＝6代入，得m＝2（如圖3）．圖二圖三等腰直角三角形，只有一種可能課堂小結(jié)解等腰三角形存在性問題的一般過程1.好畫圖——幾何法分類、畫圖、根據(jù)等量關(guān)系列式2.不好畫圖——代數(shù)法用未知數(shù)表示三邊、根據(jù)邊相等列式、解方程并檢驗(yàn)根作業(yè)來啦1.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．動(dòng)線段DE（端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始）沿BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．過點(diǎn)E作EF//AC交AB于點(diǎn)F（當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合），聯(lián)結(jié)DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．（1）直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；（2）在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求出t的值使△DEF為等腰三角形？再來個(gè)作業(yè)2.