《不等式及其性質(zhì)》等式與不等式課件

2.2.1

不等式及其性質(zhì)等式與不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)等式與不等式《不等式及其性質(zhì)》等式與不等式課件一二知識點(diǎn)一、不等關(guān)系與不等式填空:(1)不等式中自然語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.(2)不等式的定義:含有不等號的式子.三四一二知識點(diǎn)一、不等關(guān)系與不等式(2)不等式的定義:含有不等號一二知識點(diǎn)二、實(shí)數(shù)大小的比較1.思考怎樣比較a2+b2與2ab的大小關(guān)系?提示:(作差法)∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab.三四一二知識點(diǎn)二、實(shí)數(shù)大小的比較三四一二2.填空:(1)數(shù)軸上的兩點(diǎn)A,B的位置關(guān)系與其對應(yīng)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系.①數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中,右邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)大.②數(shù)軸上點(diǎn)的位置與實(shí)數(shù)大小的關(guān)系(表示實(shí)數(shù)a和b的兩個點(diǎn)分別為A和B),如下:三四一二2.填空:三四一二(2)比較兩個實(shí)數(shù)的大小.三四一二(2)比較兩個實(shí)數(shù)的大小.三四一二答案:C三四一二答案:C三四一二三四知識點(diǎn)三、不等式的性質(zhì)1.不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1:如果a>b,那么a+c>b+c;(2)性質(zhì)2:如果a>b,c>0,那么ac>bc;(3)性質(zhì)3:如果a>b,c<0,那么ac<bc;(4)性質(zhì)4:如果a>b,b>c,那么a>c.(5)性質(zhì)5:a>b?b<a.2.不等式的性質(zhì)的推論(1)推論1:如果a+b>c,則a>c-b;(2)推論2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;(3)推論3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;(4)推論4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1);一二三四知識點(diǎn)三、不等式的性質(zhì)一二三四3.利用不等式性質(zhì)應(yīng)注意哪些問題?提示:在使用不等式時,一定要弄清不等式(組)成立的前提條件.不可強(qiáng)化或弱化成立的條件.如“同向不等式”才可相加、“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符號”等都需要注意.4.做一做已知a≥b,可以推出(

)解析:∵c2≥0,a≥b,∴ac2≥bc2.答案:B一二三四3.利用不等式性質(zhì)應(yīng)注意哪些問題?一二三四5.做一做判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“√”,錯誤的打“×”.(1)若a>b,c<d,則a-c>b-d.(

)(2)若a>b,則1a<1b.(

)(3)若a>b>0,c>d>0,則ad>bc.(

)(4)已知a>b,e>f,c>0,則f-ac<e-bc.(

)答案:(1)√

(2)×

(3)√

(4)√一二三四5.做一做一二三四知識點(diǎn)四、直接證明與間接證明1.直接證明(1)綜合法:一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論,則綜合法可用框圖表示為:P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q一二三四知識點(diǎn)四、直接證明與間接證明一二三四(2)分析法:一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法.用Q表示要證明的結(jié)論,則分析法可用框圖表示為:Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一個明顯

成立的條件2.間接證明反證法:一般地,假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.一二三四(2)分析法:一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使一二三四答案:C一二三四答案:C探究一探究二探究三探究四思維辨析應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明不等式

當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明不等式探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟證明不等式的解題策略1.利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上,記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.2.應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時,應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件,且不可省略條件或跳步推導(dǎo),更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.3.除了熟練掌握不等式的性質(zhì)外,還應(yīng)掌握一些常用的證明方法.如作差比較法、作商比較法、分析法等.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟證明不等式的解題策略探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析利用不等式的性質(zhì)求范圍例2

(1)已知-6<a<8,2<b<3,則2a+b的取值范圍是

,a-b的取值范圍是

.

(2)已知函數(shù)f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍.(1)答案:(-10,19)

(-9,6)當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析利用不等式的性質(zhì)求范圍當(dāng)堂檢探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問題1.恰當(dāng)設(shè)計解題步驟,合理利用不等式的性質(zhì).2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)時要切實(shí)注意不等式性質(zhì)的前提條件,切不可用似乎是很顯然的理由,代替不等式范圍的求解.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟利用不等式的性質(zhì)求代探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究在本例2(1)條件下,求ab和

的取值范圍.解:(1)因?yàn)?6<a<8,2<b<3,所以①當(dāng)0≤a<8時,0≤ab<24,②當(dāng)-6<a<0時,0<-a<6,所以0<-ab<18,所以-18<ab<0,由①②知-18<ab<24.(2)因?yàn)?6<a<8,2<b<3,當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究在本例2(1)條件下探究一探究二探究三探究四思維辨析綜合法與分析法的應(yīng)用例3設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(請用分析法和綜合法兩種方法證明)證明:方法一:(綜合法)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,從而(3a2-2b2)(a-b)≥0,所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2.方法二:(分析法)要證3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需證3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0,只需證(3a2-2b2)(a-b)≥0,∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0,∴(3a2-2b2)(a-b)≥0成立,∴原不等式得證.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析綜合法與分析法的應(yīng)用當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟

分析綜合法的解題思路分析綜合法的解題思路是:根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)論P(yáng);若由P可推出Q,即可得證.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟分析綜合法的解題思探究一探究二探究三探究四思維辨析答案:a≠b且a≥0,b≥0當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析答案:a≠b且a≥0,b≥0探究一探究二探究三探究四思維辨析不等式性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例4

建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn),窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于

,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析不等式性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究現(xiàn)有A,B,C,D四個長方體容器,A,B的底面積均為a2,C,D的底面積均為b2,A,C的高都是a,B,D的高都是b,且a≠b.現(xiàn)在規(guī)定一種游戲規(guī)則:每人一次從四種容器中取兩個,盛水總和多者為勝.請研究對于先取者是否有必勝的方案?如果有,有幾種?分析:通過建立起問題的數(shù)學(xué)模型,可以發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)就是比較其中兩個容器的容積之和與另外兩個容器的容積之和的大小關(guān)系.為此,需先計算出A,B,C,D四個容器的容積,再運(yùn)用作差比較法進(jìn)行比較大小.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究現(xiàn)有A,B,C,D四探究一探究二探究三探究四思維辨析解:設(shè)A,B,C,D四個容器的容積依次為VA,VB,VC,VD.由題意,有VA=a3,VB=a2b,VC=ab2,VD=b3.將A,B,C,D兩兩一組進(jìn)行比較有下列三種可能:(VA+VB)-(VC+VD)=a3+a2b-ab2-b3=(a-b)·(a+b)2,(VA+VC)-(VB+VD)=a3+ab2-a2b-b3=(a-b)·(a2+b2),(VA+VD)-(VB+VC)=a3+b3-a2b-b2a=(a+b)·(a-b)2.由題設(shè)知,a>0,b>0,a≠b,因此只有(VA+VD)-(VB+VC)=(a+b)(a-b)2能判斷其大于0,而其他兩組結(jié)果的正負(fù)依賴于a,b的取值.a>b時為正,a<b時為負(fù).因此,先取A,D者必勝,并且答案是唯一的.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析解:設(shè)A,B,C,D四個容器探究一探究二探究三探究四思維辨析作差(商)法比較大小典例(1)已知a>0,試比較a與

的大小.(2)已知x∈R,m∈R,比較x2+x+1與-2m2+2mx的大小.分析:(1)本題需要分類討論.(2)分別把“x2+x+1”與“-2m2+2mx”視為整體,利用作差比較法進(jìn)行比較.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析作差(商)法比較大小當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析方法點(diǎn)睛

作差法和作商法是比較實(shí)數(shù)大小和證明不等式的重要方法,但是它們又有各自的適用范圍,對于不同的問題應(yīng)當(dāng)選擇不同的方法進(jìn)行解決.(1)一般實(shí)數(shù)大小的比較都可以采用作差法,但是我們要考慮作差后與0的比較,通常要進(jìn)行因式分解,配方或者其他變形操作,所以,作差后必須容易變形到能看出與0的大小關(guān)系的式子.(2)作商法主要適用于那些能夠判斷出恒為正數(shù)的數(shù)或者式子,具有一定的局限性,作商后要與1進(jìn)行比較,所以,作商后必須易于變成能與1比較大小的式子,此種方法主要適用于那些含有冪指數(shù)的數(shù)或式子的大小的比較.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析方法點(diǎn)睛作差法和作商法是比探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測1.已知a<0,-1<b<0,則下列不等式成立的是(

)A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a解析:本題可以根據(jù)不等式的性質(zhì)來解,由于-1<b<0,所以0<b2<1.所以a<ab2<0,且ab>0,易得答案D.本題也可以根據(jù)a,b的取值范圍取特殊值,比如令a=-1,b=-,也容易得到正確答案.答案:D2.設(shè)a,b,c∈R,且a>b,則(

)解析:選項(xiàng)A中c有可能為負(fù)值或零,故錯誤;選項(xiàng)B中當(dāng)a>0,b<0時錯誤;選項(xiàng)C中當(dāng)b<a<0時,不成立.答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測1.已知a<0,-1探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測3.已知a<0,-1<b<0,則下列不等式成立的是(

)A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a解析:本題可以根據(jù)不等式的性質(zhì)來解,由于-1<b<0,所以0<b2<1.所以a<ab2<0,且ab>0,易得答案D.本題也可以根據(jù)a,b的取值范圍取特殊值,比如令a=-1,b=-,也容易得到正確答案.答案:D4.設(shè)a,b,c∈R,且a>b,則(

)C.a2>b2

D.a3>b3解析:選項(xiàng)A中c有可能為負(fù)值或零,故錯誤;選項(xiàng)B中當(dāng)a>0,b<0時錯誤;選項(xiàng)C中當(dāng)b<a<0時,不成立.答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測3.已知a<0,-1探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測5.設(shè)m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,則m,n的大小關(guān)系是

.

解析:m-n=2a2+2a+1-(a+1)2=a2≥0.答案:m≥n探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測5.設(shè)m=2a2+2有時候，人太清醒反而覺得累，覺得不快樂，但是想要學(xué)會裝糊涂還真是難。不要等到人生垂暮，才想起俯拾朝花，且行且珍惜。你可能在一個人面前一文不值，卻在另一個人面前是無價之寶。謹(jǐn)記自己的價值所在。路再遠(yuǎn)，也有盡頭;苦再深，也會結(jié)束，只要不放棄，就有希望。只是，在漫漫的長途中跋涉，在深深的痛苦中掙扎，我們常常為環(huán)境所迫，被困難所迷惑，放棄了希望，厭倦了生活，覺得路越走越窄，苦越來越深。其實(shí)，窄的不是路，是思想與感情，深的不是苦，是感受與心情，路邊是路，苦中有甜，看得是你自己。許多人，不是擦肩，就是錯過，總是無緣;許多事，不是無能，就是無情，總是無緣。人生，就是一次艱辛的旅行，得意時，頓生許多豪情，期盼著，瀏覽更多美好的風(fēng)景;失意時，憑添許多傷心，渴望著，走出困境擺脫愁情。人生所有的一切，得意也好，失意也罷，圓滿很少，完美不多，人如此，事這樣，如意很少。人生，有許多無奈，好多人或事，明明喜歡，偏偏不能;明明熱愛，恰恰不能;生活，有許多無能，好多事情，明明討厭，常常不做不行;明明厭倦，往往不做不成。想做的不能，想說的不行;不愿做的，卻又不能，不想說的，就是不行。我們就是這樣無奈，無能。何時，能隨心如愿，給心身最大的自由，那該多好。這個世界有兩件事我們不能不做：一是趕路，二是停下來看看自己是否擁有一份好心態(tài)。好心態(tài)是人們一生中的好伴侶，讓人愉悅和健康。人生感悟：要有陽光般的心態(tài)。沒有愛的生活就像一片荒漠，贈人玫瑰，手有余香“學(xué)會愛別人，其實(shí)就是愛自己”，讓愛如同午后陽光，溫暖每個人的心房。人生感悟：學(xué)會愛別人多去尊重理解別人，常懷寬容和感激之心，寬容是一種美德，是一種智慧，海納百川才有了海的廣闊，感激你的朋友，是他們給了你幫助：感激你的敵人，是讓你變得堅強(qiáng)。人生感悟：懂得寬容和感恩。管好自己的嘴，講話不要只顧一時痛快信口開河，“良言一句三冬暖，傷人一語六月寒”說話要用腦子。不揚(yáng)人惡，自然能化敵為友。人生感悟：切記禍從口出！人情、人情，人之常情，要樂善好施，常與交往，“平時多燒香，急時有人幫”，所以，“人情要多儲存，就像銀行存款，存的越多，時間越長，紅利就越大。人生感悟：多儲存人情。遇事不要急躁！不要急于下結(jié)論特別是生氣的時候做決斷，要學(xué)會換位思考，或者等一等，大事化小，小事化了。把復(fù)雜的事情盡量簡單處理，千萬不要把簡單的事情復(fù)雜化。人生感悟：遇事莫急躁！真正學(xué)會知足。人生最大的煩惱是從沒有意義的比較開始，大千世界總有比如你的和比你強(qiáng)的人，“當(dāng)我哭泣沒鞋穿的時候，我發(fā)現(xiàn)有人卻沒腳”。人生感悟：真正學(xué)會知足。如果敵人讓你生氣，那說明你還有勝他的把握，根本不必回頭去看咒罵你的人是誰。如果有一條瘋狗咬你一口，難道你也要趴下去反咬它一口嗎？人生感悟：不和小人生氣計較。別把工作當(dāng)負(fù)擔(dān)，既然目前改不了行，也沒有更好的選擇，與其生氣埋怨，不如積極快樂的去面對。當(dāng)你把工作當(dāng)做生活和藝術(shù)時，你就會享受到生活的樂趣。人生感悟：享受工作的快樂。人活著一天就是福氣，就該珍惜，人生短短幾十年，不要給自己留下更多的遺憾。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天；遇事不鉆牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。人生感悟：珍惜自己的生活。1.人生就像蒲公英，看似自由，卻往往身不由己。生活沒有如果，只有結(jié)果，自己盡力了，努力了，就好。有的人像WIFI熱點(diǎn)，即使遠(yuǎn)了，但是只要你沒改密碼，再相見的時候也會自動連上，只是改不改密碼，也是人家的事了。要么敢愛敢恨快意人生，要么沒心每肺扮傻到底，別讓自己活成了那種，懂得很多道理卻過不好這一生的人。成大事的人，往往做小事也認(rèn)真，而做小事不認(rèn)真的人，往往也做不成大事?？磩e人不順眼，其實(shí)是自已的修養(yǎng)不夠。人生在世，順少逆多，一輩子不容易，千萬不要總是跟別人過不去，更不要跟自已過不去。如果是一堆蘋果，有好有壞，你就應(yīng)該先吃好的，把壞的扔掉，如果你先吃壞的，好的也會變壞，你將永遠(yuǎn)吃不到好的，人生亦如此。人，總愛跟別人比較，看看有誰比自己好，又有誰比不上自己。而其實(shí)，為你的煩惱和憂傷墊底的，從來不是別人的不幸和痛苦，而是你自己的態(tài)度。學(xué)習(xí)中經(jīng)常取得成功可能會導(dǎo)致更大的學(xué)習(xí)興趣，并改善學(xué)生作為學(xué)習(xí)的自我概念。為了成功地生活，少年人必須學(xué)習(xí)自立，鏟除埋伏各處的障礙，在家庭要教養(yǎng)他，使他具有為人所認(rèn)可的獨(dú)立人格。勞動教養(yǎng)了身體，學(xué)習(xí)教養(yǎng)了心靈我們的事業(yè)就是學(xué)習(xí)再學(xué)習(xí)，努力積累更多的知識，因?yàn)橛辛酥R，社會就會有長足的進(jìn)步，人類的勵志語錄未來幸福就在于此。青年是整個社會力量中的一部分最積極最有生氣的力量。他們最肯學(xué)習(xí)，最少保守思想，在社會主義時代尤其是這樣。必須記住我們學(xué)習(xí)的時間有限的。時間有限，不只由于人生短促，更由于人事紛繁。在學(xué)習(xí)上做一眼勤手勤腦勤，就可以成為有學(xué)問的人。聰明在于學(xué)習(xí)，天才在于積累。所謂天才，實(shí)際上是依靠學(xué)習(xí)。天才不能使人不必工作，不能代替勞動。要發(fā)展天才，必須長時間地學(xué)習(xí)和高度緊張地工作。人越有天才，他面臨的任務(wù)也就越復(fù)雜，越重要。諾夫?qū)λ鶎W(xué)知識內(nèi)容的興趣可能成為學(xué)習(xí)動機(jī)。12、要建設(shè)，就必須有知識，必須掌握科學(xué)。而要有知識，就必須學(xué)習(xí)，頑強(qiáng)地耐心地學(xué)習(xí)。向所有的人學(xué)習(xí)，不論向敵人或朋友都要學(xué)習(xí)，特別是向敵人學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)專看文學(xué)書，也是不好的。先前的文學(xué)青年，往往厭惡數(shù)學(xué)理化史地生物學(xué)，以為這些都無足輕重，后來變成連常識也沒有。只有讓學(xué)生不把全部時間都用在學(xué)習(xí)上，而留下許多自由支配的時間，他才能順利地學(xué)習(xí)，這是教育過程的邏輯。游手好閑地學(xué)習(xí)，并不比學(xué)習(xí)游手好閑好。學(xué)習(xí)的敵人是自己的滿足，要認(rèn)真學(xué)習(xí)一點(diǎn)東西，必須從不自滿開始。對自己，“學(xué)而不厭”，對人家，“誨人不倦”，我們應(yīng)取這種態(tài)度。鋼是在烈火和急劇冷卻里鍛煉出來的，所以才能堅硬和什么也不怕。我們的一代也是這樣的在斗爭中和可怕的考驗(yàn)中鍛煉出來的，學(xué)習(xí)了不在生活面前屈服。讀和寫是學(xué)生最必要的兩種學(xué)習(xí)方法，也是通向周圍世界的兩扇窗口。有時候，人太清醒反而覺得累，覺得不快樂，但是想要學(xué)會裝糊涂還332.2.1

不等式及其性質(zhì)等式與不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)等式與不等式《不等式及其性質(zhì)》等式與不等式課件一二知識點(diǎn)一、不等關(guān)系與不等式填空:(1)不等式中自然語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.(2)不等式的定義:含有不等號的式子.三四一二知識點(diǎn)一、不等關(guān)系與不等式(2)不等式的定義:含有不等號一二知識點(diǎn)二、實(shí)數(shù)大小的比較1.思考怎樣比較a2+b2與2ab的大小關(guān)系?提示:(作差法)∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab.三四一二知識點(diǎn)二、實(shí)數(shù)大小的比較三四一二2.填空:(1)數(shù)軸上的兩點(diǎn)A,B的位置關(guān)系與其對應(yīng)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系.①數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中,右邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)大.②數(shù)軸上點(diǎn)的位置與實(shí)數(shù)大小的關(guān)系(表示實(shí)數(shù)a和b的兩個點(diǎn)分別為A和B),如下:三四一二2.填空:三四一二(2)比較兩個實(shí)數(shù)的大小.三四一二(2)比較兩個實(shí)數(shù)的大小.三四一二答案:C三四一二答案:C三四一二三四知識點(diǎn)三、不等式的性質(zhì)1.不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1:如果a>b,那么a+c>b+c;(2)性質(zhì)2:如果a>b,c>0,那么ac>bc;(3)性質(zhì)3:如果a>b,c<0,那么ac<bc;(4)性質(zhì)4:如果a>b,b>c,那么a>c.(5)性質(zhì)5:a>b?b<a.2.不等式的性質(zhì)的推論(1)推論1:如果a+b>c,則a>c-b;(2)推論2:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;(3)推論3:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;(4)推論4:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n>1);一二三四知識點(diǎn)三、不等式的性質(zhì)一二三四3.利用不等式性質(zhì)應(yīng)注意哪些問題?提示:在使用不等式時,一定要弄清不等式(組)成立的前提條件.不可強(qiáng)化或弱化成立的條件.如“同向不等式”才可相加、“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘;可乘性中的“c的符號”等都需要注意.4.做一做已知a≥b,可以推出(

)解析:∵c2≥0,a≥b,∴ac2≥bc2.答案:B一二三四3.利用不等式性質(zhì)應(yīng)注意哪些問題?一二三四5.做一做判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“√”,錯誤的打“×”.(1)若a>b,c<d,則a-c>b-d.(

)(2)若a>b,則1a<1b.(

)(3)若a>b>0,c>d>0,則ad>bc.(

)(4)已知a>b,e>f,c>0,則f-ac<e-bc.(

)答案:(1)√

(2)×

(3)√

(4)√一二三四5.做一做一二三四知識點(diǎn)四、直接證明與間接證明1.直接證明(1)綜合法:一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論,則綜合法可用框圖表示為:P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q一二三四知識點(diǎn)四、直接證明與間接證明一二三四(2)分析法:一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法.用Q表示要證明的結(jié)論,則分析法可用框圖表示為:Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一個明顯

成立的條件2.間接證明反證法:一般地,假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.一二三四(2)分析法:一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使一二三四答案:C一二三四答案:C探究一探究二探究三探究四思維辨析應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明不等式

當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明不等式探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟證明不等式的解題策略1.利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上,記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.2.應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時,應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件,且不可省略條件或跳步推導(dǎo),更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.3.除了熟練掌握不等式的性質(zhì)外,還應(yīng)掌握一些常用的證明方法.如作差比較法、作商比較法、分析法等.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟證明不等式的解題策略探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析利用不等式的性質(zhì)求范圍例2

(1)已知-6<a<8,2<b<3,則2a+b的取值范圍是

,a-b的取值范圍是

.

(2)已知函數(shù)f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍.(1)答案:(-10,19)

(-9,6)當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析利用不等式的性質(zhì)求范圍當(dāng)堂檢探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問題1.恰當(dāng)設(shè)計解題步驟,合理利用不等式的性質(zhì).2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)時要切實(shí)注意不等式性質(zhì)的前提條件,切不可用似乎是很顯然的理由,代替不等式范圍的求解.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟利用不等式的性質(zhì)求代探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究在本例2(1)條件下,求ab和

的取值范圍.解:(1)因?yàn)?6<a<8,2<b<3,所以①當(dāng)0≤a<8時,0≤ab<24,②當(dāng)-6<a<0時,0<-a<6,所以0<-ab<18,所以-18<ab<0,由①②知-18<ab<24.(2)因?yàn)?6<a<8,2<b<3,當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究在本例2(1)條件下探究一探究二探究三探究四思維辨析綜合法與分析法的應(yīng)用例3設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(請用分析法和綜合法兩種方法證明)證明:方法一:(綜合法)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因?yàn)閍≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,從而(3a2-2b2)(a-b)≥0,所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2.方法二:(分析法)要證3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需證3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0,只需證(3a2-2b2)(a-b)≥0,∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0,∴(3a2-2b2)(a-b)≥0成立,∴原不等式得證.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析綜合法與分析法的應(yīng)用當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟

分析綜合法的解題思路分析綜合法的解題思路是:根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)論P(yáng);若由P可推出Q,即可得證.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟分析綜合法的解題思探究一探究二探究三探究四思維辨析答案:a≠b且a≥0,b≥0當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析答案:a≠b且a≥0,b≥0探究一探究二探究三探究四思維辨析不等式性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例4

建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn),窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于

,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析不等式性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究現(xiàn)有A,B,C,D四個長方體容器,A,B的底面積均為a2,C,D的底面積均為b2,A,C的高都是a,B,D的高都是b,且a≠b.現(xiàn)在規(guī)定一種游戲規(guī)則:每人一次從四種容器中取兩個,盛水總和多者為勝.請研究對于先取者是否有必勝的方案?如果有,有幾種?分析:通過建立起問題的數(shù)學(xué)模型,可以發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)就是比較其中兩個容器的容積之和與另外兩個容器的容積之和的大小關(guān)系.為此,需先計算出A,B,C,D四個容器的容積,再運(yùn)用作差比較法進(jìn)行比較大小.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析延伸探究現(xiàn)有A,B,C,D四探究一探究二探究三探究四思維辨析解:設(shè)A,B,C,D四個容器的容積依次為VA,VB,VC,VD.由題意,有VA=a3,VB=a2b,VC=ab2,VD=b3.將A,B,C,D兩兩一組進(jìn)行比較有下列三種可能:(VA+VB)-(VC+VD)=a3+a2b-ab2-b3=(a-b)·(a+b)2,(VA+VC)-(VB+VD)=a3+ab2-a2b-b3=(a-b)·(a2+b2),(VA+VD)-(VB+VC)=a3+b3-a2b-b2a=(a+b)·(a-b)2.由題設(shè)知,a>0,b>0,a≠b,因此只有(VA+VD)-(VB+VC)=(a+b)(a-b)2能判斷其大于0,而其他兩組結(jié)果的正負(fù)依賴于a,b的取值.a>b時為正,a<b時為負(fù).因此,先取A,D者必勝,并且答案是唯一的.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析解:設(shè)A,B,C,D四個容器探究一探究二探究三探究四思維辨析作差(商)法比較大小典例(1)已知a>0,試比較a與

的大小.(2)已知x∈R,m∈R,比較x2+x+1與-2m2+2mx的大小.分析:(1)本題需要分類討論.(2)分別把“x2+x+1”與“-2m2+2mx”視為整體,利用作差比較法進(jìn)行比較.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析作差(商)法比較大小當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析方法點(diǎn)睛

作差法和作商法是比較實(shí)數(shù)大小和證明不等式的重要方法,但是它們又有各自的適用范圍,對于不同的問題應(yīng)當(dāng)選擇不同的方法進(jìn)行解決.(1)一般實(shí)數(shù)大小的比較都可以采用作差法,但是我們要考慮作差后與0的比較,通常要進(jìn)行因式分解,配方或者其他變形操作,所以,作差后必須容易變形到能看出與0的大小關(guān)系的式子.(2)作商法主要適用于那些能夠判斷出恒為正數(shù)的數(shù)或者式子,具有一定的局限性,作商后要與1進(jìn)行比較,所以,作商后必須易于變成能與1比較大小的式子,此種方法主要適用于那些含有冪指數(shù)的數(shù)或式子的大小的比較.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四思維辨析方法點(diǎn)睛作差法和作商法是比探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測1.已知a<0,-1<b<0,則下列不等式成立的是(

)A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a解析:本題可以根據(jù)不等式的性質(zhì)來解,由于-1<b<0,所以0<b2<1.所以a<ab2<0,且ab>0,易得答案D.本題也可以根據(jù)a,b的取值范圍取特殊值,比如令a=-1,b=-,也容易得到正確答案.答案:D2.設(shè)a,b,c∈R,且a>b,則(

)解析:選項(xiàng)A中c有可能為負(fù)值或零,故錯誤;選項(xiàng)B中當(dāng)a>0,b<0時錯誤;選項(xiàng)C中當(dāng)b<a<0時,不成立.答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測1.已知a<0,-1探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測3.已知a<0,-1<b<0,則下列不等式成立的是(

)A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a解析:本題可以根據(jù)不等式的性質(zhì)來解,由于-1<b<0,所以0<b2<1.所以a<ab2<0,且ab>0,易得答案D.本題也可以根據(jù)a,b的取值范圍取特殊值,比如令a=-1,b=-,也容易得到正確答案.答案:D4.設(shè)a,b,c∈R,且a>b,則(

)C.a2>b2

D.a3>b3解析:選項(xiàng)A中c有可能為負(fù)值或零,故錯誤;選項(xiàng)B中當(dāng)a>0,b<0時錯誤;選項(xiàng)C中當(dāng)b<a<0時,不成立.答案:D探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測3.已知a<0,-1探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測5.設(shè)m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,則m,n的大小關(guān)系是

.

解析:m-n=2a2+2a+1-(a+1)2=a2≥0.答案:m≥n探究一探究二探究三探究四思維辨析當(dāng)堂檢測5.設(shè)m=2a2+2有時候，人太清醒反而覺得累，覺得不快樂，但是想要學(xué)會裝糊涂還真是難。不要等到人生垂暮，才想起俯拾朝花，且行且珍惜。你可能在一個人面前一文不值，卻在另一個人面前是無價之寶。謹(jǐn)記自己的價值所在。路再遠(yuǎn)，也有盡頭;苦再深，也會結(jié)束，只要不放棄，就有希望。只是，在漫漫的長途中跋涉，在深深的痛苦中掙扎，我們常常為環(huán)境所迫，被困難所迷惑，放棄了希望，厭倦了生活，覺得路越走越窄，苦越來越深。其實(shí)，窄的不是路，是思想與感情，深的不是苦，是感受與心情，路邊是路，苦中有甜，看得是你自己。許多人，不是擦肩，就是錯過，總是無緣;許多事，不是無能，就是無情，總是無緣。人生，就是一次艱辛的旅行，得意時，頓生許多豪情，期盼著，瀏覽更多美好的風(fēng)景;失意時，憑添許多傷心，渴望著，走出困境擺脫愁情。人生所有的一切，得意也好，失意也罷，圓滿很少，完美不多，人如此，事這樣，如意很少。人生，有許多無奈，好多人或事，明明喜歡，偏偏不能;明明熱愛，恰恰不能;生活，有許多無能，好多事情，明明討厭，常常不做不行;明明厭倦，往往不做不成。想做的不能，想說的不行;不愿做的，卻又不能，不想說的，就是不行。我們就是這樣無奈，無能。何時，能隨心如愿，給心身最大的自由，那該多好。這個世界有兩件事我們不能不做：一是趕路，二是停下來看看自己是否擁有一份好心態(tài)。好心態(tài)是人們一生中的好伴侶，讓人愉悅和健康。人生感悟：要有陽光般