初中數(shù)學(xué)北師大八年級(jí)上冊(cè)第七章平行線的證明-第課時(shí)三角形的外角PPT

導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入2.什么是三角形的內(nèi)角？其內(nèi)角和等于多少？三角形相鄰兩邊組成的角叫作三角形的內(nèi)角，它們的和是180°.1.如圖，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,則∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°講授新課三角形的外角的概念一定義△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角稱為△ABC的外角，如圖,∠ACD是△ABC的一個(gè)外角CBAD問(wèn)題1

如圖，延長(zhǎng)AC到E,∠BCE是不是△ABC的一個(gè)外角？∠DCE是不是△ABC的一個(gè)外角？E在三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角.∠ACD與∠BCE為對(duì)頂角，∠ACD=∠BCE；CBAD∠BCE是△ABC的一個(gè)外角，∠DCE不是△ABC的一個(gè)外角.問(wèn)題2

如圖，∠ACD與∠BCE有什么關(guān)系？在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處有多少個(gè)外角？ABC畫(huà)一畫(huà)

畫(huà)出△ABC的所有外角，共有幾個(gè)呢?每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．每一個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的外角都有2個(gè)，且這2個(gè)角為對(duì)頂角.∠ACD是△ABC的一個(gè)外角CBAD每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．總結(jié)歸納三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角三角形的外角的性質(zhì)二問(wèn)題1

如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？∠BCD與∠ACB互補(bǔ).問(wèn)題2

如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行線的方法證明此結(jié)論嗎？D證明：過(guò)C作CE平行于BA，ABC12∴∠1=∠B，（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠A，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.驗(yàn)證結(jié)論如圖，試比較∠2、∠1的大??；如圖，試比較∠3、∠2、∠1的大小.圖圖解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.拓展探究定理：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

定理：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

歸納總結(jié)三角形內(nèi)角和定理的推論1和推論2練一練：1.說(shuō)出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=40°,∠2=140°∠1=18°,∠2=130°2.如圖，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F

等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A例1如圖,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求證:AD∥BC.ACDBE典例精析例題是運(yùn)用了定理“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”得到了證實(shí).證法一:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和),∠B=∠C(已知),∴∠C=∠EAC(等式的性質(zhì)).∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠EAC(角平分線的定義).∴∠DAC=∠C(等量代換).∴AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).證法二:推理可得:∠DAC=∠C(已證),∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠BAC+∠B+∠DAC=180°(等量代換).∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).這里是運(yùn)用了定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”得到了證實(shí).ACDBE證法三：運(yùn)用同位角相等，兩直線平行例2如圖,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB，PC.求證:∠BPC＞∠A.證明:如圖，延長(zhǎng)BP，交AC于點(diǎn)D.∵∠BPC是△PDC的一個(gè)外角(外角定義),∴∠BPC>∠PDC(三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角).∵∠PDC是△ABD的一個(gè)外角(外角定義),∴∠PDC>∠A(三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角).∴∠BPC>∠A.ABCPD還有其他證明方法嗎？【變式題】

(一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).ABCD(((51°20°30°思路點(diǎn)撥：添加適當(dāng)?shù)妮o助線將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.ABCD(((51°20°30°E

)1解法一：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.∵∠1=∠ABE+∠BAE，

∠BDC=∠1+∠ECD.∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.解法二:延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F（解題過(guò)程同解法一）.)2F

解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形，利用三角形的相關(guān)定理把未知角與已知角聯(lián)系起來(lái)求解.ABCD((20°30°解法三：如圖，連接AD并延長(zhǎng)于點(diǎn)E.∵∠1+∠ABD=∠3，∠2+∠ACD=∠4.且∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.E

))12)3)4你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？三角形的外角和三例3如圖，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？解：由三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你還有其他解法嗎？解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213課堂小結(jié)三角形的外角定義三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角定理1.三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360°2.三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角ABCDE12FG解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+∠E,同理∠2=∠A+∠D.在△