最新青島版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課件47一元二次方程的應(yīng)用1

4.7一元二次方程的應(yīng)用（1）2022/12/2214.7一元二次方程的應(yīng)用（1）2022/12/201學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.（難點(diǎn)）2.能運(yùn)用一元二次方程解決與面積有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.（重點(diǎn)）2022/12/222學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.（難點(diǎn)）2導(dǎo)入新課問(wèn)題某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形土地上修建三條等寬的通道，使其中兩條與AB平行，另外一條與AD平行，其余部分種花草，要使每一塊花草的面積都為78m2，那么通道寬應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少？設(shè)通道寬為xm，則由題意列的方程為_(kāi)____________________.CBDA(30-2x)(20-x)=6×78問(wèn)題引入2022/12/223導(dǎo)入新課問(wèn)題某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形講授新課引例：要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面,封面長(zhǎng)27㎝,寬21cm正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度？(精確到0.1cm)27cm21cm合作探究幾何圖形與一元二次方程2022/12/224講授新課引例：要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面,封面長(zhǎng)27㎝,寬21cm正

分析:這本書(shū)的長(zhǎng)寬之比

：

正中央的矩形長(zhǎng)寬之比

：

，上下邊襯與左右邊襯之比

：

.979727cm21cm解：設(shè)中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為9a和7a由此得到上下邊襯寬度之比為：972022/12/225分析:這本書(shū)的長(zhǎng)寬之比：正中央的矩形長(zhǎng)寬之比27cm21cm解:設(shè)上下邊襯的9xcm，左右邊襯寬為7xcm依題意得解方程得故上下邊襯的寬度為:故左右邊襯的寬度為:方程的哪個(gè)根合乎實(shí)際意義?為什么?試一試：如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡(jiǎn)單地解決上面的問(wèn)題？2022/12/22627cm21cm解:設(shè)上下邊襯的9xcm，左右邊襯寬為7xc解:設(shè)正中央的矩形兩邊別為9xcm，7xcm.依題意得27cm21cm解得故上下邊襯的寬度為:故左右邊襯的寬度為:2022/12/227解:設(shè)正中央的矩形兩邊別為9xcm，7xcm.依題意得27c建立一元二次方程模型實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題的解解一元二次方程一元二次方程的根檢驗(yàn)運(yùn)用一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟有哪些？設(shè)未知數(shù)分析數(shù)量關(guān)系2022/12/228建立一元二次方程模型實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題的解解一元二次方程一元二例1：如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.點(diǎn)P沿AC邊從點(diǎn)A向終點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q沿CB邊從點(diǎn)C向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng).問(wèn)點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后可使△PCQ的面積為9cm2？根據(jù)題意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：若設(shè)出發(fā)xs后可使△PCQ的面積為9cm2整理，得解得

x1=x2=3答：點(diǎn)P，Q出發(fā)3s后可使△PCQ的面積為9cm2.2022/12/229例1：如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，

主要集中在幾何圖形的面積問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題的面積公式是等量關(guān)系.如果圖形不規(guī)則應(yīng)割或補(bǔ)成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關(guān)系,再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式列出方程;方法點(diǎn)撥2022/12/2210主要集中在幾何圖形的面積問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題的面積公式是2032xx解：設(shè)道路的寬為x米例2：如圖，在一塊寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540㎡,求道路的寬為多少？典例精析還有其他解法嗎？2022/12/22112032xx解：設(shè)道路的寬為x米例2：如圖，在一塊寬為20m2032xx解：設(shè)道路的寬為x米20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得x1=2,x2=50當(dāng)x=50時(shí)，32-x=-18,不合題意，舍去.∴取x=2答：道路的寬為2米.方法二：2022/12/22122032xx解：設(shè)道路的寬為x米20-x32-x(32-

在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540㎡,求這種方案下的道路的寬為多少？解：設(shè)道路的寬為x米(32-x)(20-x)=540可列方程為變式一2022/12/2213在寬為20m,長(zhǎng)為32m的2032xxx20-x

在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種種方案下的道路的寬為多少？解：設(shè)道路的寬為x米(32-2x)(20-x)=540可列方程為變式二32-2x2022/12/22142032xxx20-x在寬為2032xxxx20322x2x32-2x20-2x

在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種種方案下的道路的寬為多少？解：設(shè)道路的寬為x米(32-2x)(20-2x)=540可列方程為變式三2022/12/22152032xxxx20322x2x32-2x20-2x在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑四條道路,余下的部分種上草坪，如果橫、縱小路的寬度比為3：2，且使小路所占面積是矩形面積的四分之一,求道路的寬為多少？變式四2022/12/2216在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑四條道路,余下的部小路所占面積是矩形面積的四分之一

剩余面積是矩形面積的四分之三解:設(shè)橫、豎小路的寬度分別為3x、2x，于是可列方程(30-4x)(20-6x)=—×20×3020㎝30㎝3x2x30-4x20-6x433x2x6x4x30-4x20-6x2022/12/2217小路所占面積是矩形面積的四分之一剩余面積是矩形面積的四分我們利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置修路）.方法點(diǎn)撥2022/12/2218我們利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)解：設(shè)AB長(zhǎng)是xm.(100-4x)x=400

x2-25x+100=0

x1=5，x2=20

x=20,100-4x=20<25

x=5,100-4x=80>25x=5(舍去)答：羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)個(gè)是20m,20m.例3：如圖：要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)個(gè)是多少米？DCBA25米解：設(shè)AB長(zhǎng)是xm.例3：如圖：要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米變式：如圖，一農(nóng)戶(hù)要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m的門(mén)，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80平方米？住房墻1m解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長(zhǎng)為x

m，由題意得

x(25-2x+1)=80化簡(jiǎn)，得x2-13x+40=0解得x1=5,x2=8當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=16>12(舍去）當(dāng)x=8時(shí)，26-2x=10<12

故所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m,寬為8m.則平行于住房墻的一邊長(zhǎng)(25-2x+1)m.2022/12/2220變式：如圖，一農(nóng)戶(hù)要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m1.在一幅長(zhǎng)80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿(mǎn)足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=080cmxxxx50cmB當(dāng)堂練習(xí)2022/12/22211.在一幅長(zhǎng)80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金2.一塊長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)是寬的2倍，如果在4個(gè)角上截去邊長(zhǎng)為5cm的小正方形，

然后把四邊折起來(lái)，做成一個(gè)沒(méi)有蓋的盒子，盒子的容積是3000cm3，求鐵板的長(zhǎng)和寬．解：設(shè)鐵板的寬為x

cm,則有長(zhǎng)為2xcm5(2x-10)(x-10)=3000x2-15x-250=0解得x1=25x2=-10(舍去）所以2x=50答：鐵板的長(zhǎng)50cm,寬為25cm.2.一塊長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)是寬的2倍，如果在4個(gè)角上截去邊長(zhǎng)為53.如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)寬20cm,長(zhǎng)為30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎彩條，橫豎彩條的寬度之比為2∶3

，若使所有彩條的面積是原來(lái)矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？解：設(shè)橫向彩條的寬度2xcm,豎彩條的寬度3xcm(20-6x)(30-4x)=4006x2-65x+50=02022/12/22233.如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)寬20cm,長(zhǎng)為30cm的矩形圖案，其中課堂小結(jié)幾何圖形與一元二次方程問(wèn)題幾何圖形常見(jiàn)幾何圖形面積是等量關(guān)系.類(lèi)型課本封面問(wèn)題彩條/小路寬度問(wèn)題常采用圖形平移能聚零為整方便列方程2022/12/2224課堂小結(jié)幾何圖形與一元二次方程問(wèn)題幾何圖形常見(jiàn)幾何圖形面積是4.7一元二次方程的應(yīng)用（1）2022/12/22254.7一元二次方程的應(yīng)用（1）2022/12/201學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.（難點(diǎn)）2.能運(yùn)用一元二次方程解決與面積有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.（重點(diǎn)）2022/12/2226學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.（難點(diǎn)）2導(dǎo)入新課問(wèn)題某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形土地上修建三條等寬的通道，使其中兩條與AB平行，另外一條與AD平行，其余部分種花草，要使每一塊花草的面積都為78m2，那么通道寬應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少？設(shè)通道寬為xm，則由題意列的方程為_(kāi)____________________.CBDA(30-2x)(20-x)=6×78問(wèn)題引入2022/12/2227導(dǎo)入新課問(wèn)題某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形講授新課引例：要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面,封面長(zhǎng)27㎝,寬21cm正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形,如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度？(精確到0.1cm)27cm21cm合作探究幾何圖形與一元二次方程2022/12/2228講授新課引例：要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面,封面長(zhǎng)27㎝,寬21cm正

分析:這本書(shū)的長(zhǎng)寬之比

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正中央的矩形長(zhǎng)寬之比

：

，上下邊襯與左右邊襯之比

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.979727cm21cm解：設(shè)中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為9a和7a由此得到上下邊襯寬度之比為：972022/12/2229分析:這本書(shū)的長(zhǎng)寬之比：正中央的矩形長(zhǎng)寬之比27cm21cm解:設(shè)上下邊襯的9xcm，左右邊襯寬為7xcm依題意得解方程得故上下邊襯的寬度為:故左右邊襯的寬度為:方程的哪個(gè)根合乎實(shí)際意義?為什么?試一試：如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡(jiǎn)單地解決上面的問(wèn)題？2022/12/223027cm21cm解:設(shè)上下邊襯的9xcm，左右邊襯寬為7xc解:設(shè)正中央的矩形兩邊別為9xcm，7xcm.依題意得27cm21cm解得故上下邊襯的寬度為:故左右邊襯的寬度為:2022/12/2231解:設(shè)正中央的矩形兩邊別為9xcm，7xcm.依題意得27c建立一元二次方程模型實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題的解解一元二次方程一元二次方程的根檢驗(yàn)運(yùn)用一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟有哪些？設(shè)未知數(shù)分析數(shù)量關(guān)系2022/12/2232建立一元二次方程模型實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題的解解一元二次方程一元二例1：如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.點(diǎn)P沿AC邊從點(diǎn)A向終點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q沿CB邊從點(diǎn)C向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng).問(wèn)點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后可使△PCQ的面積為9cm2？根據(jù)題意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：若設(shè)出發(fā)xs后可使△PCQ的面積為9cm2整理，得解得

x1=x2=3答：點(diǎn)P，Q出發(fā)3s后可使△PCQ的面積為9cm2.2022/12/2233例1：如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，

主要集中在幾何圖形的面積問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題的面積公式是等量關(guān)系.如果圖形不規(guī)則應(yīng)割或補(bǔ)成規(guī)則圖形,找出各部分面積之間的關(guān)系,再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式列出方程;方法點(diǎn)撥2022/12/2234主要集中在幾何圖形的面積問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題的面積公式是2032xx解：設(shè)道路的寬為x米例2：如圖，在一塊寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540㎡,求道路的寬為多少？典例精析還有其他解法嗎？2022/12/22352032xx解：設(shè)道路的寬為x米例2：如圖，在一塊寬為20m2032xx解：設(shè)道路的寬為x米20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得x1=2,x2=50當(dāng)x=50時(shí)，32-x=-18,不合題意，舍去.∴取x=2答：道路的寬為2米.方法二：2022/12/22362032xx解：設(shè)道路的寬為x米20-x32-x(32-

在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540㎡,求這種方案下的道路的寬為多少？解：設(shè)道路的寬為x米(32-x)(20-x)=540可列方程為變式一2022/12/2237在寬為20m,長(zhǎng)為32m的2032xxx20-x

在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種種方案下的道路的寬為多少？解：設(shè)道路的寬為x米(32-2x)(20-x)=540可列方程為變式二32-2x2022/12/22382032xxx20-x在寬為2032xxxx20322x2x32-2x20-2x

在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種種方案下的道路的寬為多少？解：設(shè)道路的寬為x米(32-2x)(20-2x)=540可列方程為變式三2022/12/22392032xxxx20322x2x32-2x20-2x在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑四條道路,余下的部分種上草坪，如果橫、縱小路的寬度比為3：2，且使小路所占面積是矩形面積的四分之一,求道路的寬為多少？變式四2022/12/2240在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑四條道路,余下的部小路所占面積是矩形面積的四分之一

剩余面積是矩形面積的四分之三解:設(shè)橫、豎小路的寬度分別為3x、2x，于是可列方程(30-4x)(20-6x)=—×20×3020㎝30㎝3x2x30-4x20-6x433x2x6x4x30-4x20-6x2022/12/2241小路所占面積是矩形面積的四分之一剩余面積是矩形面積的四分我們利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置修路）.方法點(diǎn)撥2022/12/2242我們利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)解：設(shè)AB長(zhǎng)是xm.(100-4x)x=400

x2-25x+100=0

x1=5，x2=20

x=20,100-4x=20<25

x=5,100-4x=80>25x=5(舍去)答：羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)個(gè)是20m,20m.例3：如圖：要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)個(gè)是多少米？DCBA25米解：設(shè)AB長(zhǎng)是xm.例3：如圖：要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米變式：如圖，一農(nóng)戶(hù)要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m的門(mén)，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80平方米？住房墻1m解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長(zhǎng)為x

m，由題意得

x(25-2x+1)=80化簡(jiǎn)，得x2-13x+40=0解得x1=5,x2=8當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=16>12(舍去）當(dāng)x=8時(shí)，26-2x=10<12

故所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m,寬為8m.則平行于住房墻的