人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第七章第1節(jié)第二課時　球及其表面積與體積

第二課時球及其表面積與體積關(guān)鍵能力?課堂突破戚考點(diǎn)一球的表面積與體積.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,若不計(jì)容器厚度，則球的體積為(A)c13721T 3n2048nC. cmD. 3 3解析：c如圖，作出球的一個軸截面，則MC=8-6=2(cm),BM=1AB=1X8=4(cm).設(shè)球的半徑為Rcm,則R2=0M2+MB2=(R-2)2+42,所以R=5,所以V球三nX5J言Ji(cm:!).故選A..圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑是10cm,有一個實(shí)心鐵球浸沒于容器的水中,若取出這個鐵球,測得容器的水面下降了?cm,則這個鐵球的表面積為cm2.解析:設(shè)該鐵球的半徑為r,則由題意得gnr3-nX102x|,解得r3=53,所以r=5,所以這個鐵球的表面積S=4nX52=100n(cm").答案：100n&題后悟通.求球的體積與表面積的方法(1)要求球的體積或表面積,須通過條件能求出半徑R,然后代入體積或表面積公式求解.(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素,把握住了這兩點(diǎn),計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了..球的截面問題的解題技巧⑴有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓,將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題.(2)解題時要注意借助球半徑R,截面圓半徑r,球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2=d2+r2.岐烤點(diǎn)二球的接、切問題口角度一“相接”問題所D已知球0是三棱錐P-ABC的外接球,PA=AB=PB=AC=2,CP=2&,點(diǎn)D是PB的中點(diǎn),且CD=?,則球0的表面積為()A.—B.—3 3r28y121n八16nC. D. 27 3解析:依題意，由PA=AC=2,CP=2V2,得APIAC.連接AD(圖略)，由點(diǎn)D是PB的中點(diǎn),且PA=AB=PB=2,得AD=V3,又CD=V7,AC=2,可知AD1AC,又APnAD=A,APu平面PAB,ADu平面PAB,所以AC，平面PAB.以APAB為底面,AC為側(cè)棱補(bǔ)成一個直三棱柱,則球。是該三棱柱的外接球,球心0到底面4PAB的距離d=1AC=l.由正弦定理得4PAB的外接圓半徑r=-^—=4，2sin60V3所以球0的半徑R=VcP+「2=*,故球0的表面積S=4nR2個.故選A.解題策略處理“相接”問題，要抓住空間幾何體“外接”的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.口角度二“相切”問題(1)已知正四面體P-ABC的表面積為Si,此四面體的內(nèi)切球的表面積為S2,則*=_.(2)已知正方體的棱長為2,則與正方體的各棱都相切的球的表面積是.解析：(1)設(shè)正四面體的棱長為a,則正四面體的表面積為Sl4Xf?a2=V3a2,其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的;,即己乂洋筌a,因此內(nèi)切球的表面積為S2=431/=苧,則能普M空4d1Z 6J2 IT~6~(2)過正方體的對角面作截面如圖.故球的半徑r-V2,所以其表面積S=4JiX(VI)2=8n.答案：⑴吧⑵8n71解題策略處理“相切”問題，要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決，截面過球心.［針對訓(xùn)練］.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2,AB=AC=1,BC=V3,則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.8nB.—JiC.-nD.-n3 3 27解析:如圖，由PA=PB=PC=2,過P作PG_L平面ABC,垂足為G,則G為三角形ABC的外心.在4ABC中，由AB=AC=1,BC=V3,可得NBAC=120°.由正弦定理可得.-2AG,即AG=1,sinl20所以PG=a/P42-AG2=V3.取PA的中點(diǎn)H,作H01PA交PG于點(diǎn)0,連接0A,則點(diǎn)0為該三棱錐外接球的球心.由△PH0SHGA,可得皆考,則P0二鬻二詈竽，即該三棱錐外接球的半徑為竽，所以該三棱錐外接球的表面積為4nx（竽）2當(dāng)JI.故選B..在三棱錐P-ABC中，PA_L平面ABC且PA=2,AABC是邊長為四的等邊三角形,則該三棱錐外接球的表面積為（）A-TB.4nC.8nD.20n解析：由題意得，此三棱錐外接球即為以4ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球.因?yàn)?ABC的外接圓半徑r^xV3x1=l,外接球球心到4ABC的外接圓圓心的距離d與=1,所以外接球的半徑R=Vr2+d2=V2,所以三棱錐外接球的表面積為S=4nR2=8n.故選C..已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.解析:當(dāng)球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球時,球的半徑最大.如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時的軸截面圖.其中球心為0,設(shè)其半徑為r,AC=3,0C=l,所以A0i=，4C2-OC=2遮.因?yàn)?0尸0M=r,所以A0=A0,-00,=2V2-r,又因?yàn)椤鰽MOs^AOC,所以黑哼，即寧浮，解得「考，所以該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為V=^nX（爭3=亨.答案:叵息備選例題

CWD一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個圓面的距離是4cm,則該球的體積是（）TOC\o"1-5"\h\zalOOn3n20811 3A. cmd. cm3 3c500n 3c416\<1311 3C. cmD? cm解析:根據(jù)球的截面的性質(zhì)，得球的半徑R=V32+42=5（cm）,所以V球誓（加）.故選C.麗球內(nèi)切于正方體的六個面,正方體的棱長為a,則球的表面積解析:正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心,切點(diǎn)是六個面（正方形）的中心,經(jīng)過四個切點(diǎn)及球心作截面,如圖,所以有2r=a,「音,所以S=4nr2=na2.課時作業(yè)答案：ma?課時作業(yè)知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練球的體積與表面積1,2,3,5球的切、接問題4,6,7,8,9綜合問題10,11,12,13,14,1516,17靈活小混在鼓促混目選題明細(xì)表A級基礎(chǔ)鞏固練.已知底面邊長為1,側(cè)棱長為四的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個球面上，則該球的體積為（D）A.—B.4n3C.2nD.y解析:因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對角線的一半，所以半徑0仙+八（遮）2=1,所以V球號X代拳故選D..（2021?安徽安慶調(diào)研）已知在四面體PABC中，PA=4,BC=2①,PB=PC=26,PA_L平面PBC,則四面體PABC的外接球的表面積是（C）A.160nB.128nC.40nD.32n解析：因?yàn)镻B2+PC2=12+12=24=BC2,所以PB±PC,又PA_L平面PBC,所以PA1PB,PA±PC,即PA,PB,PC兩兩相互垂直，以PA,PB,PC為從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱補(bǔ)成長方體，所以該長方體的體對角線長為7P限+PB2+PC2=“6+12+12=2屈,故該四面體的外接球半徑為Via于是四面體PABC的外接球的表面積是4JiX（V10）M0Ji.故選C..已知A,B,C為球0的球面上的三個點(diǎn)，為4ABC的外接圓.若OOi的面積為4n,AB=BC=AC=0（k則球。的表面積為（A）A.64JiB.48nC.36nD.32n解析:如圖所示,設(shè)球0的半徑為R,00.的半徑為r,因?yàn)镺Oi的面積為4n,所以4n= 解得r=2,又AB=BC=AC=OOi,所以.蕓=2r,解得AB=2V3,故00,=2V3,所以R2=OOf+r2=(2V3)2+22-16,所以球0的表面積S=4nR\64n.故選A.B.(多選題)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點(diǎn)M,N,若線段MN的最小值為6-1,則(ABC)A.正方體的外接球的表面積為12JiB.正方體的內(nèi)切球的體積為與C.正方體的棱長為2D.線段MN的最大值為解析:設(shè)正方體的棱長為a,則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半,即fa,內(nèi)切球的半徑為棱長的一半,即會因?yàn)镸,N分別為外接球和內(nèi)切球上的動點(diǎn),所以解得a=2,即正方體的棱長為2,C正確;正方體的外接球的表面積為4nx(6)2=12n,A正確;正方體的內(nèi)切球的體積為岸B正確;線段MN的最大值為豪+舁6+1,D錯誤.故選ABC..如圖,在圓柱0@內(nèi)有一個球0,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱0。的體積為V?球0的體積為V2,則空的值是 .V2解析:設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱OQ2的底面圓的半徑為R,高為2R,故當(dāng)定號.答案卷.(2021?湖南長沙檢測)在封閉的直三棱柱ABC_AB3內(nèi)有一個體積為V的球.若AB±BC,AB=6,BC=8,AA,=3,則V的最大值是.解析：由AB±BC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的體積V最大,則球與直三棱柱的部分面相切,若球與三個側(cè)面相切,設(shè)底面AABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則卜6*8=打(6+8+10)-r,所以r=2,2r=4>3,不符合題意.則球與三棱柱的上、下底面相切時,球的半徑R最大,則2R=3,即R弓,故球的最大體積V=^nRn.答案，n.已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切,且這個球的體積是半n,那么這個三棱柱的體積是.解析:設(shè)球的半徑為r,貝方nr3=yn,得r=2,則正三棱柱的高為2r=4.又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，所以底面正三角形的邊長為4V3,所以正三棱柱的體積為V=^X(4V3)2X4=48V3.4答案：486.圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上,其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺的體積為.解析:因?yàn)閳A臺的下底面半徑為5,故下底面在外接球的大圓上,如圖所示.設(shè)球的球心為0,圓臺上底面的圓心為0',則圓臺的高00'=JoQ2-0，Q2=452-42=3,據(jù)此可得圓臺的體積為V=gnX3X(52+5X4+42)=61n.答案：61n.在半徑為15的球0內(nèi)有一個底面邊長為126的內(nèi)接正三棱錐A-BCD,求此正三棱錐的體積.解：(1)如圖甲所示的情形,顯然0A=0B=0C=0D=15.設(shè)H為4BCD的中心,則A,0,H三點(diǎn)在同一條直線上.因?yàn)镠B=HC=HD1x苧X1273=12,所以O(shè)H=VOB2//F2=9,所以正三棱錐A-BCD的高h(yuǎn)=9+15=24.又Sabcd=vX(12V3)2=108V3,4所以V三棱錐A-BCD~|X1O8V3X24-864V3.A甲⑵對于圖乙所示的情形，同理,可得正三棱錐A-BCD的高h(yuǎn)'=15-9=6,SABcd=10873,A所以V三棱…d[x10873X6=21673.綜上,可知正三棱錐的體積為8646或216vlB級綜合運(yùn)用練.已知4ABC是面積為竽的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球0的球面上若球。的表面積為16n,則0到平面ABC的距離為（C）A.V3B.|C.1 D.—2解析:設(shè)球0的半徑為R,則4JiR2=16Ji,解得R=2.設(shè)4ABC外接圓的半徑為r,邊長為a.因?yàn)?ABC是面積為竽的等邊三角形，所以41,學(xué),解得a=3,所以后?Ja2_1=：x（9-^V3,所以球心0/ / + D %JylT"到平面ABC的距離d=V/?2一故選c.11.已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上,PA=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn)，ZCEF=90°,則球0的體積為（D）A.8V6nB.4y/6nC.2y/6nD.V6n解析:因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EF〃PB,因?yàn)镹CEF=90°,所以EF_LCE,所以PBLCE.取AC的中點(diǎn)D,連接BD,PD,易證ACJ_平面BDP,所以PB±AC,又ACnCE-C,AC,CEu平面PAC,所以PBJ_平面PAC,所以PB±PA,PB_LPC,因?yàn)镻A=PB=PC,AABC為正三角形，所以PA_LPC,即PA,PB,PC兩兩相互垂直,將三棱錐P-ABC放在正方體中.因?yàn)锳B=2,所以該正方體的棱長為遮，所以該正方體的體對角線長為訴,所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑區(qū)考,所以球0的體積JrR3=gjiX（y）3=V6n.故選D..唐朝著名的鳳鳥花卉浮雕銀杯（如圖①所示），它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖②），當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁表面積固定時（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為Scm；半球的半徑為Rcm）,要使酒杯容積不大于半球體積的兩倍，則R的取值范圍為（D）解析:設(shè)圓柱的高度與酒杯的容積分別為h,V,

則表面積S=2nR2+2JiRh,故jiRh=*nR2,所以酒杯的容積V』JiR3+JiR2h^JiR3+(--JiR2)R=--R3+-R^-nR3,3 3 2 3 2 3解得解得故選D..已知兩個圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是這個球表面積的亮,則這兩個圓錐中,16體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.解析:如圖,設(shè)球的半徑為R,圓錐底面半徑為r.BB由題意得nr=^~?4nR2,16所以r號R；根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過球心0,且兩圓錐的頂點(diǎn)以及圓錐與球的交點(diǎn)是球的大圓上的點(diǎn),且AB±0,C,所以00i=V7?2-r2=p因此體積較小的圓錐的高為A0FR-^=p體積較大的圓錐的高為B0尸R+聶R,故這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為去答案q.偉大的阿基米德的墓碑上刻了一個如圖所示的圖案，圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面.試計(jì)算出圖案中圓錐、球、圓柱的體積比.解:設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則V圓柱;nr2h,由題意知圓錐的底面半徑為r,高為h,球的半徑為r,V圓錐二￡nr2h,V球=鼻nr3.又h=2r,所以V例錐：V球：V圓柱=1nr以：扛d：nr2h=1jir3：Jir3：2nr;i=l:2:3,.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=l,1=3,試求該組合體的表面積和體積.解:該組合體的表面積為S=4nr2+2nrl=4nXl2+2nX1X3=10n,該組合體的體積V=2Jir3+ndlWnX1；,+nX12X3=^