初中數(shù)學(xué)教學(xué)探討課件

第二部分

初中數(shù)學(xué)教學(xué)探討414第二部分414思辨性和程序性的數(shù)學(xué)知識

思辨性：

基本對象：有理數(shù)、無理數(shù)、三角形…基本概念：方程、函數(shù)、概率……基本方法：邏輯推理，問題解決……

程序性：

基本運(yùn)算規(guī)則：有理數(shù)四則運(yùn)算、冪的運(yùn)算、式的運(yùn)算、基本表示方式：符號表示、證明的格式……424思辨性和程序性的數(shù)學(xué)知識思辨性：424初中數(shù)學(xué)教學(xué)，以接受為主超經(jīng)驗(yàn)的知識：無理數(shù)，平行公理……規(guī)則性的知識；有理數(shù)加減，負(fù)負(fù)得正、冪的運(yùn)算，書寫格式……難以證明只能說明的知識：數(shù)的交換律、分配律……大量的是遵循規(guī)則，不允許自由發(fā)揮。這是許多人不喜歡數(shù)學(xué)的地方，也正是數(shù)學(xué)作為科學(xué)語言的進(jìn)化所在。434初中數(shù)學(xué)教學(xué)，以接受為主超經(jīng)驗(yàn)的知識：無理數(shù)，平行公理…雙基教學(xué)的內(nèi)涵：四個(gè)維度運(yùn)算速度：速度贏得效率知識記憶：記憶通向理解邏輯精確：必要的形式化變式訓(xùn)練：變化中求重復(fù)

雙基研究有待深入444雙基教學(xué)的內(nèi)涵：四個(gè)維度444教育形態(tài)之一方程概念

外在的邏輯形式：

含有未知數(shù)的等式叫方程。

內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)：

方程是為了尋求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等價(jià)關(guān)系。（教育形態(tài)）“方程”思想的本質(zhì)在于建立關(guān)系為了認(rèn)識“未知數(shù)”先生，必須請已知數(shù)“先生為媒介，找到一種關(guān)系，根據(jù)關(guān)系就能認(rèn)識“未知數(shù)”先生了。454教育形態(tài)之一方程概念外在的邏輯形式：454方程思想（三根電線的長度）上海51中學(xué)陳振宣提供:他的一個(gè)學(xué)生在和平飯店做電工。發(fā)現(xiàn)地下室到10樓的三根電線不一樣長。如何測知他們的電阻？袁枚（清）：“學(xué)如箭鏃，才如弓弩；識以領(lǐng)之，方能中鵠”。這是中國的創(chuàng)造。xyz珍視，流傳，進(jìn)教科書X+y=aY+z=bZ+x=c464方程思想（三根電線的長度）上海51中學(xué)陳振宣提供:他的一在“看不見數(shù)學(xué)的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)1948：美國仙農(nóng)發(fā)表《信息的數(shù)學(xué)理論》1948：維納發(fā)表《控制論》。信息、控制是數(shù)學(xué)嗎？1948：vonNeuman計(jì)算機(jī)方案形成

中國缺乏這樣的數(shù)學(xué)偶像474在“看不見數(shù)學(xué)的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)1948：美國仙農(nóng)發(fā)表《信息的仙農(nóng)(Shannon)研究信息論

一.信息量烽火臺.傳送一個(gè)信息量log22=1.兩個(gè)烽火臺.1.敵人來?2.要否補(bǔ)給?四種情況.log24=2.信息是0,1符號串.

二.概率和信息量:“狗咬人”“人咬狗”.“今天太陽升起”,“今天日食”.事件的概率P(E)大,傳送此事件的信息量H(E)小.H(E)=1/P(E)?

H(E)=-P(E)log2P(E).

484仙農(nóng)(Shannon)研究信息論一.信息量烽火臺教育形態(tài)之二。正負(fù)數(shù)加減贏多輸少，進(jìn)少出多……3–5=？，-6+3=？

只要智力正常的人都會做，何必興師動(dòng)眾？

學(xué)術(shù)形態(tài)：絕對值？

教育形態(tài)：抵消我們怎樣把教科書上的敘述，轉(zhuǎn)化為容易接受的教育形態(tài)494教育形態(tài)之二。正負(fù)數(shù)加減贏多輸少，進(jìn)少出多……494

教育形態(tài)之三：負(fù)負(fù)得正？？探究式教學(xué)。例：一列每小時(shí)80公里的火車向西開，12時(shí)火車恰在上海。用上海向東向西表示方向的正負(fù)，12點(diǎn)之后之前為時(shí)間的正負(fù)。問10點(diǎn)時(shí)火車在什么位置？答案：（-2）x（-80）=160于是概括得出數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律負(fù)負(fù)得正。

數(shù)學(xué)不允許這樣的概括。

教育形態(tài)：有意義的接受。乘（-1）相反，再乘（-1）回歸。（先做后說）。先有規(guī)則，后有解釋。先執(zhí)行，然后舉例說明其合理性。反思也是創(chuàng)新的必要步驟。先舉例是探究，后舉例說明是有意義接受。4104

教育形態(tài)之三：負(fù)負(fù)得正？？探究式教學(xué)。例：一列每小時(shí)

“代數(shù)式”一課的教學(xué)

文字代表數(shù)的本質(zhì)：符號運(yùn)算實(shí)際問題引入，喧賓奪主，流行病由數(shù)字、表示數(shù)字的字母及運(yùn)算符號組成的式子稱為代數(shù)式。

這個(gè)定義重要嗎？“由文字題列代數(shù)式，及說出代數(shù)式所代表示的意義”正反兩方面的例子。

兩種語言互譯：這是初中代數(shù)的關(guān)鍵、核心。雙基要求：示范，糾錯(cuò)，練習(xí)。新式教學(xué)：自主，探究，合作。

哪種有效？4114“代數(shù)式”一課的教學(xué)

文字代表數(shù)的本質(zhì)：符號運(yùn)算實(shí)際問

只代表，不運(yùn)算，沒有價(jià)值項(xiàng)武義教授：“文字代表數(shù)的本質(zhì)是不定元和數(shù)字進(jìn)行相同的運(yùn)算。如(2x+3x2)=x(2+3x)

（教材上沒有講為什么可以這樣做）。

解二次方程：因子分解、配方、同解變換根

數(shù)學(xué)家之所以有飯吃，在于能夠運(yùn)用符號獲得結(jié)果（復(fù)旦張蔭南）4124

只代表，不運(yùn)算，沒有價(jià)值項(xiàng)武義教授：“文字代數(shù)學(xué)符號是一種語言語文靠想象，將符號（方塊字）用語法表示出來。說話寫下來就是文章。數(shù)學(xué)靠理性，將數(shù)學(xué)符號通過運(yùn)算、演繹得到結(jié)論。這是人為構(gòu)造的語言。

語文、數(shù)學(xué)、詩詞、定理，都是符號運(yùn)作

語文是“飯”，不吃要死，容易煮熟。便宜

數(shù)學(xué)是“菜”，不吃菜也可以活，但身體弱。比較貴。燒菜很難。吃菜必須合理。

詩詞是“酒”，酒可以不喝，釀酒更難。有人喜歡，閑時(shí)享受才喝。定理也是酒。4134數(shù)學(xué)符號是一種語言語文靠想象，將符號（方塊字）用語法表

函數(shù)的兩個(gè)定義，初中，高中人們需要宏觀與微觀兩種觀點(diǎn)。政治上的全局與局部；物理學(xué)上的宇宙與原子；藝術(shù)上的寫意與工筆…初中的函數(shù)從大局發(fā)展著眼，宏觀地觀察數(shù)量之間彼此依存的關(guān)系，看總體發(fā)展趨勢。宏觀函數(shù)概念的本質(zhì)是變量之間的依賴性。高中函數(shù)定義講究微觀地、靜態(tài)地觀察，用兩個(gè)數(shù)集之間的對應(yīng)來描述。微觀函數(shù)概念的本質(zhì)在于精確化的對應(yīng)。

兩種定義互有短長，并非高級與低級之分

。4144

函數(shù)的兩個(gè)定義，初中，高中人們需要宏觀與微觀兩種觀點(diǎn)。政

函數(shù)的兩個(gè)定義，初中，高中人們需要宏觀與微觀兩種觀點(diǎn)。政治上的全局與局部；物理學(xué)上的宇宙與原子；藝術(shù)上的寫意與工筆…初中的函數(shù)從大局發(fā)展著眼，宏觀地觀察數(shù)量之間彼此依存的關(guān)系，看總體發(fā)展趨勢。宏觀函數(shù)概念的本質(zhì)是變量之間的依賴性。高中函數(shù)定義講究微觀地、靜態(tài)地觀察，用兩個(gè)數(shù)集之間的對應(yīng)來描述。微觀函數(shù)概念的本質(zhì)在于精確化的對應(yīng)。

兩種定義互有短長，并非高級與低級之分

。4154

函數(shù)的兩個(gè)定義，初中，高中人們需要宏觀與微觀兩種觀點(diǎn)。政函數(shù)定義中“唯一”重要嗎？唯一不是本質(zhì)。不唯一成多值函數(shù)而已。多值函數(shù)單值化即可。描寫圓的函數(shù)，上半圓和下半圓。反三角函數(shù)4164函數(shù)定義中“唯一”重要嗎？唯一不是本質(zhì)。4164“圓的認(rèn)識”這樣說，對嗎？1．用甩動(dòng)系在細(xì)繩上的小球形成圓，

是傳統(tǒng)的灌輸方法。

讓小朋友排成圓形公平玩套花游戲，

是好的結(jié)合學(xué)生實(shí)踐的方法。2．用圓形紙片折紙找圓心的活動(dòng)，是傳統(tǒng)的。

甩動(dòng)不同長度的細(xì)繩形成圓的中心是圓心，

則是探究的好方法。3．用圓規(guī)劃圓在認(rèn)識圓之后，

是傳統(tǒng)的灌輸?shù)摹?/p>

在認(rèn)識圓之前使用圓規(guī)劃圓，

是“過程性“的好方法。

我的看法是，凡是能夠揭示“圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)”教學(xué)方法都有價(jià)值的。有的是動(dòng)態(tài)的，有的是靜態(tài)的。有的適合找圓心，有的適合找半徑，有的便于表達(dá)，有的著重理解。它們沒有好壞之分。

4174“圓的認(rèn)識”這樣說，對嗎？1．用甩動(dòng)系在細(xì)繩上的小球形成圓勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）的教學(xué)設(shè)計(jì)

用各種方法發(fā)現(xiàn)：方格紙上3，4，5的計(jì)算等。6張工作單：發(fā)現(xiàn)猜想a2+b2=c2換一種思維：將勾股定理直接告訴學(xué)生，用各種美麗的畫面，講述中外有關(guān)歷史，包括和外星人聯(lián)系使用的信息。把重點(diǎn)放在如何證明上。多種證明。最后聯(lián)系到費(fèi)馬大定理an+bn=cn(n>3)。

哪一種更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)？4184勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）的教學(xué)設(shè)計(jì)用各種方法發(fā)現(xiàn)：方格紙尺規(guī)作圖的教育價(jià)值體現(xiàn)“幾何運(yùn)動(dòng)”思想符合“學(xué)生活動(dòng)”觀念幾何操作有利于推理、觀察。

為什么“邊邊角”不能作為全等判定準(zhǔn)則？？用尺規(guī)作圖進(jìn)行處理很容易構(gòu)造反例，而且論證直觀，思路清晰，具有很強(qiáng)的說服力。4194尺規(guī)作圖的教育價(jià)值體現(xiàn)“幾何運(yùn)動(dòng)”思想4194概念教學(xué):淡化形式,注重實(shí)質(zhì).下列是問題是否妥當(dāng)?判斷下列各例是否正確？

1.（只）有一組對邊平行的四邊形是梯形

2。含有未知數(shù)的（等）式子叫方程

3.（平面上）不相交的兩條直線叫平行線平行四邊形也是梯形，有何不可？

x-x=0;0x=0;是方程嗎？

也許還要加上“在歐氏空間中”？

4204概念教學(xué):淡化形式,注重實(shí)質(zhì).下列是問題是否妥當(dāng)?判

流行的“本章小結(jié)”邏輯框圖解決一切導(dǎo)語：本章學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的基本概念……無意義地重復(fù)、復(fù)述4214流行的“本章小結(jié)”4214：

小結(jié)的內(nèi)容應(yīng)該包括1．本章內(nèi)容的價(jià)值和意義。

開頭講不清，

學(xué)過了可以認(rèn)識了。2．本章內(nèi)容和前后各章內(nèi)容的聯(lián)系；3．一些要點(diǎn)和難點(diǎn)的回顧，掌握其中的思想方法。4．需要進(jìn)一步思考的問題，

為以后學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。5．最后才是“邏輯框圖”。（那是數(shù)學(xué)美女的X光片，

不是全部。）

4224：

小結(jié)的內(nèi)容應(yīng)該包括1．本章內(nèi)容的價(jià)值和意義。開頭講不清分?jǐn)?shù)一章的小結(jié)

分?jǐn)?shù)是整數(shù)的擴(kuò)充，在數(shù)軸上密密麻麻地分布于整數(shù)之間。

分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)是涉及一個(gè)整體，它表示的意義是“整體的幾分之幾”。因此，

分?jǐn)?shù)的實(shí)際大小和整體有關(guān)，1/4個(gè)足球比1/2個(gè)乒乓球大。但是，在同一的整體下，

分?jǐn)?shù)可以抽象地比較大小。與小學(xué)里“分?jǐn)?shù)”內(nèi)容相比較，這一章系統(tǒng)地?cái)⑹隽苏謹(jǐn)?shù)的表示和運(yùn)算規(guī)則。主要是異分母的加減乘除運(yùn)算。其中異分母加減要通分，是掌握的難點(diǎn)。4234分?jǐn)?shù)一章的小結(jié)分?jǐn)?shù)是整數(shù)的擴(kuò)充，在數(shù)軸上密密麻麻地分布于整續(xù)前一章整除為本章做了準(zhǔn)備：約分用到公因數(shù)，通分用到最小公倍數(shù)。至于整數(shù)的一些運(yùn)算規(guī)律：結(jié)合率、交換率、分配率，

以及先乘除后加減，由內(nèi)向外脫括弧等，

在分?jǐn)?shù)范圍依然成立。這是前人通過不懈努力、追求數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的結(jié)果。和整數(shù)的四則運(yùn)算一樣，

分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算也是數(shù)學(xué)的一種“基本知識”和“基本技能”，需要熟練掌握。其中分?jǐn)?shù)加減時(shí)使用通分，

做除法時(shí)運(yùn)用顛倒相乘的規(guī)則，

都必須成為我們的數(shù)學(xué)直覺和習(xí)慣。4244續(xù)前一章整除為本章做了準(zhǔn)備：約分用到公因數(shù)，通分用到最小公倍續(xù)分?jǐn)?shù)都可以表示為小數(shù)，

反之亦然。

但是，

我們會碰到循環(huán)小數(shù)的困難。

循環(huán)小數(shù)概念是今后我們繼續(xù)擴(kuò)大數(shù)的范圍（無理數(shù)）的必要基礎(chǔ)。

但是，

我們主要是了解它，不必過于深究。一些特殊的技巧放入拓展部分。以后我們還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)負(fù)分?jǐn)?shù)，

構(gòu)成有理數(shù)系。p/q有三種意思。1。P除以q;2。（p/q)整體看作分?jǐn)?shù)；3。p是q的多少倍，下一章“比”就討論這樣的問題4254續(xù)分?jǐn)?shù)都可以表示為小數(shù)，反之亦然。但是，我們會碰到循環(huán)第二部分

初中數(shù)學(xué)教學(xué)探討4264第二部分414思辨性和程序性的數(shù)學(xué)知識

思辨性：

基本對象：有理數(shù)、無理數(shù)、三角形…基本概念：方程、函數(shù)、概率……基本方法：邏輯推理，問題解決……

程序性：

基本運(yùn)算規(guī)則：有理數(shù)四則運(yùn)算、冪的運(yùn)算、式的運(yùn)算、基本表示方式：符號表示、證明的格式……4274思辨性和程序性的數(shù)學(xué)知識思辨性：424初中數(shù)學(xué)教學(xué)，以接受為主超經(jīng)驗(yàn)的知識：無理數(shù)，平行公理……規(guī)則性的知識；有理數(shù)加減，負(fù)負(fù)得正、冪的運(yùn)算，書寫格式……難以證明只能說明的知識：數(shù)的交換律、分配律……大量的是遵循規(guī)則，不允許自由發(fā)揮。這是許多人不喜歡數(shù)學(xué)的地方，也正是數(shù)學(xué)作為科學(xué)語言的進(jìn)化所在。4284初中數(shù)學(xué)教學(xué)，以接受為主超經(jīng)驗(yàn)的知識：無理數(shù)，平行公理…雙基教學(xué)的內(nèi)涵：四個(gè)維度運(yùn)算速度：速度贏得效率知識記憶：記憶通向理解邏輯精確：必要的形式化變式訓(xùn)練：變化中求重復(fù)

雙基研究有待深入4294雙基教學(xué)的內(nèi)涵：四個(gè)維度444教育形態(tài)之一方程概念

外在的邏輯形式：

含有未知數(shù)的等式叫方程。

內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)：

方程是為了尋求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等價(jià)關(guān)系。（教育形態(tài)）“方程”思想的本質(zhì)在于建立關(guān)系為了認(rèn)識“未知數(shù)”先生，必須請已知數(shù)“先生為媒介，找到一種關(guān)系，根據(jù)關(guān)系就能認(rèn)識“未知數(shù)”先生了。4304教育形態(tài)之一方程概念外在的邏輯形式：454方程思想（三根電線的長度）上海51中學(xué)陳振宣提供:他的一個(gè)學(xué)生在和平飯店做電工。發(fā)現(xiàn)地下室到10樓的三根電線不一樣長。如何測知他們的電阻？袁枚（清）：“學(xué)如箭鏃，才如弓弩；識以領(lǐng)之，方能中鵠”。這是中國的創(chuàng)造。xyz珍視，流傳，進(jìn)教科書X+y=aY+z=bZ+x=c4314方程思想（三根電線的長度）上海51中學(xué)陳振宣提供:他的一在“看不見數(shù)學(xué)的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)1948：美國仙農(nóng)發(fā)表《信息的數(shù)學(xué)理論》1948：維納發(fā)表《控制論》。信息、控制是數(shù)學(xué)嗎？1948：vonNeuman計(jì)算機(jī)方案形成

中國缺乏這樣的數(shù)學(xué)偶像4324在“看不見數(shù)學(xué)的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)1948：美國仙農(nóng)發(fā)表《信息的仙農(nóng)(Shannon)研究信息論

一.信息量烽火臺.傳送一個(gè)信息量log22=1.兩個(gè)烽火臺.1.敵人來?2.要否補(bǔ)給?四種情況.log24=2.信息是0,1符號串.

二.概率和信息量:“狗咬人”“人咬狗”.“今天太陽升起”,“今天日食”.事件的概率P(E)大,傳送此事件的信息量H(E)小.H(E)=1/P(E)?

H(E)=-P(E)log2P(E).

4334仙農(nóng)(Shannon)研究信息論一.信息量烽火臺教育形態(tài)之二。正負(fù)數(shù)加減贏多輸少，進(jìn)少出多……3–5=？，-6+3=？

只要智力正常的人都會做，何必興師動(dòng)眾？

學(xué)術(shù)形態(tài)：絕對值？

教育形態(tài)：抵消我們怎樣把教科書上的敘述，轉(zhuǎn)化為容易接受的教育形態(tài)4344教育形態(tài)之二。正負(fù)數(shù)加減贏多輸少，進(jìn)少出多……494

教育形態(tài)之三：負(fù)負(fù)得正？？探究式教學(xué)。例：一列每小時(shí)80公里的火車向西開，12時(shí)火車恰在上海。用上海向東向西表示方向的正負(fù)，12點(diǎn)之后之前為時(shí)間的正負(fù)。問10點(diǎn)時(shí)火車在什么位置？答案：（-2）x（-80）=160于是概括得出數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律負(fù)負(fù)得正。

數(shù)學(xué)不允許這樣的概括。

教育形態(tài)：有意義的接受。乘（-1）相反，再乘（-1）回歸。（先做后說）。先有規(guī)則，后有解釋。先執(zhí)行，然后舉例說明其合理性。反思也是創(chuàng)新的必要步驟。先舉例是探究，后舉例說明是有意義接受。4354

教育形態(tài)之三：負(fù)負(fù)得正？？探究式教學(xué)。例：一列每小時(shí)

“代數(shù)式”一課的教學(xué)

文字代表數(shù)的本質(zhì)：符號運(yùn)算實(shí)際問題引入，喧賓奪主，流行病由數(shù)字、表示數(shù)字的字母及運(yùn)算符號組成的式子稱為代數(shù)式。

這個(gè)定義重要嗎？“由文字題列代數(shù)式，及說出代數(shù)式所代表示的意義”正反兩方面的例子。

兩種語言互譯：這是初中代數(shù)的關(guān)鍵、核心。雙基要求：示范，糾錯(cuò)，練習(xí)。新式教學(xué)：自主，探究，合作。

哪種有效？4364“代數(shù)式”一課的教學(xué)

文字代表數(shù)的本質(zhì)：符號運(yùn)算實(shí)際問

只代表，不運(yùn)算，沒有價(jià)值項(xiàng)武義教授：“文字代表數(shù)的本質(zhì)是不定元和數(shù)字進(jìn)行相同的運(yùn)算。如(2x+3x2)=x(2+3x)

（教材上沒有講為什么可以這樣做）。

解二次方程：因子分解、配方、同解變換根

數(shù)學(xué)家之所以有飯吃，在于能夠運(yùn)用符號獲得結(jié)果（復(fù)旦張蔭南）4374

只代表，不運(yùn)算，沒有價(jià)值項(xiàng)武義教授：“文字代數(shù)學(xué)符號是一種語言語文靠想象，將符號（方塊字）用語法表示出來。說話寫下來就是文章。數(shù)學(xué)靠理性，將數(shù)學(xué)符號通過運(yùn)算、演繹得到結(jié)論。這是人為構(gòu)造的語言。

語文、數(shù)學(xué)、詩詞、定理，都是符號運(yùn)作

語文是“飯”，不吃要死，容易煮熟。便宜

數(shù)學(xué)是“菜”，不吃菜也可以活，但身體弱。比較貴。燒菜很難。吃菜必須合理。

詩詞是“酒”，酒可以不喝，釀酒更難。有人喜歡，閑時(shí)享受才喝。定理也是酒。4384數(shù)學(xué)符號是一種語言語文靠想象，將符號（方塊字）用語法表

函數(shù)的兩個(gè)定義，初中，高中人們需要宏觀與微觀兩種觀點(diǎn)。政治上的全局與局部；物理學(xué)上的宇宙與原子；藝術(shù)上的寫意與工筆…初中的函數(shù)從大局發(fā)展著眼，宏觀地觀察數(shù)量之間彼此依存的關(guān)系，看總體發(fā)展趨勢。宏觀函數(shù)概念的本質(zhì)是變量之間的依賴性。高中函數(shù)定義講究微觀地、靜態(tài)地觀察，用兩個(gè)數(shù)集之間的對應(yīng)來描述。微觀函數(shù)概念的本質(zhì)在于精確化的對應(yīng)。

兩種定義互有短長，并非高級與低級之分

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函數(shù)的兩個(gè)定義，初中，高中人們需要宏觀與微觀兩種觀點(diǎn)。政

函數(shù)的兩個(gè)定義，初中，高中人們需要宏觀與微觀兩種觀點(diǎn)。政治上的全局與局部；物理學(xué)上的宇宙與原子；藝術(shù)上的寫意與工筆…初中的函數(shù)從大局發(fā)展著眼，宏觀地觀察數(shù)量之間彼此依存的關(guān)系，看總體發(fā)展趨勢。宏觀函數(shù)概念的本質(zhì)是變量之間的依賴性。高中函數(shù)定義講究微觀地、靜態(tài)地觀察，用兩個(gè)數(shù)集之間的對應(yīng)來描述。微觀函數(shù)概念的本質(zhì)在于精確化的對應(yīng)。

兩種定義互有短長，并非高級與低級之分

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函數(shù)的兩個(gè)定義，初中，高中人們需要宏觀與微觀兩種觀點(diǎn)。政函數(shù)定義中“唯一”重要嗎？唯一不是本質(zhì)。不唯一成多值函數(shù)而已。多值函數(shù)單值化即可。描寫圓的函數(shù)，上半圓和下半圓。反三角函數(shù)4414函數(shù)定義中“唯一”重要嗎？唯一不是本質(zhì)。4164“圓的認(rèn)識”這樣說，對嗎？1．用甩動(dòng)系在細(xì)繩上的小球形成圓，

是傳統(tǒng)的灌輸方法。

讓小朋友排成圓形公平玩套花游戲，

是好的結(jié)合學(xué)生實(shí)踐的方法。2．用圓形紙片折紙找圓心的活動(dòng)，是傳統(tǒng)的。

甩動(dòng)不同長度的細(xì)繩形成圓的中心是圓心，

則是探究的好方法。3．用圓規(guī)劃圓在認(rèn)識圓之后，

是傳統(tǒng)的灌輸?shù)摹?/p>

在認(rèn)識圓之前使用圓規(guī)劃圓，

是“過程性“的好方法。

我的看法是，凡是能夠揭示“圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)”教學(xué)方法都有價(jià)值的。有的是動(dòng)態(tài)的，有的是靜態(tài)的。有的適合找圓心，有的適合找半徑，有的便于表達(dá)，有的著重理解。它們沒有好壞之分。

4424“圓的認(rèn)識”這樣說，對嗎？1．用甩動(dòng)系在細(xì)繩上的小球形成圓勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）的教學(xué)設(shè)計(jì)

用各種方法發(fā)現(xiàn)：方格紙上3，4，5的計(jì)算等。6張工作單：發(fā)現(xiàn)猜想a2+b2=c2換一種思維：將勾股定理直接告訴學(xué)生，用各種美麗的畫面，講述中外有關(guān)歷史，包括和外星人聯(lián)系使用的信息。把重點(diǎn)放在如何證明上。多種證明。最后聯(lián)系到費(fèi)馬大定理an+bn=cn(n>3)。

哪一種更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)？4434勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）的教學(xué)設(shè)計(jì)用各種方法發(fā)現(xiàn)：方格紙尺規(guī)作圖的教育價(jià)值體現(xiàn)“幾何運(yùn)動(dòng)”思想符合“學(xué)生活動(dòng)”觀念幾何操作有利于推理、觀察。

為什么“邊邊角”不能作為全等判定準(zhǔn)則？？用尺規(guī)作圖進(jìn)行處理很容易構(gòu)造反例，而且論證直觀，思路清晰，具有很強(qiáng)的說服力。4444尺規(guī)作圖的教育價(jià)值體現(xiàn)“幾何運(yùn)動(dòng)”思想4194概念教學(xué):淡化形式,注重實(shí)質(zhì).下列是問題是否妥當(dāng)?判斷下列各例是否正確？

1.（只）有一組對邊平行的四邊形是梯形

2。含有未知數(shù)的（等）式子叫方程

3.（平面上）不相交的兩條直線叫平行線平行四邊形也是梯形，有何不可？

x-x=0;0x=0;是方程嗎？

也許還要加上“在歐氏空間中”？

4454概念教學(xué):淡化形式,注重實(shí)質(zhì).