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主講:吳瑩教授辦公室:東校區(qū)中1樓2109E-mail:理論力學(xué)西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院國家力學(xué)實驗教學(xué)中心主講:吳瑩教授理論力學(xué)西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院1214-1.質(zhì)點的達朗伯原理14-2.剛體的達朗伯原理
(1)質(zhì)點系的達朗伯原理
(2)剛體中慣性力系的簡化§14.達朗貝爾原理14-3.轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力214-1.質(zhì)點的達朗伯原理14-2.剛體的達朗伯原理§142314-1.質(zhì)點的達朗伯原理MNFRaFI(1)質(zhì)點的達朗伯原理F
+N
=m
a
設(shè)有質(zhì)量為m的質(zhì)點M
在主動力F和約束反力N的作用下作某一曲線運動.由質(zhì)點動力學(xué)方程得:亦即F
+N
+(-ma)=0令FI=-ma得:F
+N
+FI=0在圖示瞬時,其加速度為a.FI=-ma
稱為質(zhì)點M的慣性力.314-1.質(zhì)點的達朗伯原理MNFRaFI(1)質(zhì)點的達朗伯34質(zhì)點的達朗伯原理:
質(zhì)點在運動的每一瞬時,作用在質(zhì)點上的主動力,約束反力與質(zhì)點的慣性力構(gòu)成一平衡力系.
達朗伯原理的實質(zhì)仍然反映力與運動變化的關(guān)系,屬于動力學(xué)問題.這種把動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)中平衡問題的方法稱為動靜法.F
+N
+FI=04質(zhì)點的達朗伯原理:質(zhì)點在運動的每一瞬時,作用在質(zhì)45
列車在水平軌道上行駛,車廂內(nèi)懸掛一單擺,當車廂向右作勻加速運動時,單擺左偏角度,相對于車廂靜止。求車廂的加速度
a
。例5列車在水平軌道上行駛,車廂內(nèi)懸掛一單擺,當車廂向右作56解:選單擺的擺錘為研究對象虛加慣性力
由動靜法,有
q角隨著加速度a的變化而變化,當a不變時,q角也不變。只要測出q
角,就能知道列車的加速度a。這就是擺式加速度計的原理。6解:選單擺的擺錘為研究對象由動靜法,有q6714-2.剛體的達朗伯原理MiFiFiINiaiorizyx
設(shè)有n個質(zhì)點組成的非自由質(zhì)點系,取其中任一質(zhì)量為mi的質(zhì)點.該質(zhì)點上作用有主動力Fi,約束反力Ni.
在某一瞬時質(zhì)點具有加速度
ai,則該質(zhì)點的慣性力為FiI=-miai
.14-2-1質(zhì)點系的達朗伯原理
根據(jù)質(zhì)點的達朗伯原理對每一個質(zhì)點寫出平衡方程,可得下列平衡方程組.Fi+Ni+FiI=0(i=1,2,…,n)714-2.剛體的達朗伯原理MiFiFiINiaiorizy78質(zhì)點系的達朗伯原理:或
在質(zhì)點系運動的每一瞬時,作用于質(zhì)點系上的所有主動力,約束反力與假想地加在質(zhì)點系上各質(zhì)點的慣性力構(gòu)成一平衡力系.8質(zhì)點系的達朗伯原理:或在質(zhì)點系運動的每一瞬時,作用8914-2-2.剛體中慣性力系的簡化(1)平動剛體中慣性力系的簡化選擇剛體的質(zhì)心為慣性力系的簡化中心.1)慣性力系的主矢2)慣性力系的主矩CaCaCmiri914-2-2.剛體中慣性力系的簡化(1)平動剛體中慣性力系910例10例1011aCτaCnFIτFIn11aCτaCnFIτFIn1112(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體中慣性力系的簡化
本節(jié)只討論具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動.ozFiIFi1IFi2IcMiMi2Mi1
由運動學(xué)知處在平行于轉(zhuǎn)軸的直線上的所有點的加速度均相等.因此對稱質(zhì)點Mi1和Mi2的慣性力Fi1I=-mi1ai1和Fi2I=-mi2ai2也相等.可將它們合成FiI=Fi1I+Fi2I后作用于對稱面內(nèi)的Mi點.12(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體中慣性力系的簡化本節(jié)只討論具有1213
具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動的情況,可以簡化為具有質(zhì)量的平面圖形繞平面上固定點的轉(zhuǎn)動,而剛體上的慣性力可以簡化為平面任意力系.RIacac
acnaiFiIo
取z
軸與對稱平面上交點o為簡化中心,則主矢Mi1)慣性力系的主矢cRI=-miai
=-Mac=-M(acn+ac)=RnI+RI13具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動13142)慣性力系的主矩RIacac
acnaiFiIoMicMIFinIFiI142)慣性力系的主矩RIacacacnaiFiIoMi1415①剛體作勻速轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C
。②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)點C,但a0,慣性力偶(與a反向)③剛體作勻速轉(zhuǎn)動,且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心,則15①剛體作勻速轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C。②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)1516
均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成0角位置靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。例16均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,1617
解:選桿AB為研究對象虛加慣性力系:根據(jù)動靜法,有MIAFInFIτFAnFAτ17解:選桿AB為研究對象根據(jù)動靜法,有MIAFIn1718MIAFInFIτFAnFAτ18MIAFInFIτFAnFAτ18例題.重150N,半徑為10cm的均質(zhì)圓盤B與重60N,長24cm的均質(zhì)直桿AB在B處剛性連接如圖。=30o。系統(tǒng)由圖示位置無初速的釋放。求系統(tǒng)
在初瞬時支座A的反力。DABB初始例題.重150N,半徑為10cm的均質(zhì)圓盤B與重60N,長19DABB解:取系統(tǒng)為研究對象進行
運動分析和受力分析WBWABXAYA系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動DABB解:取系統(tǒng)為研究對象進行
運動分析和20WBaB/gWABaAB/gDABBWBWABXAYA由初時條件得:AB=0
aB=l
=0.24
aD=l/2=0.12畫系統(tǒng)的受力圖并加慣性力MA(F)=0aBaD
JAWBaB/gWABaAB/gDABBWBWABXAYA由21
=34.77rad/s2aD=4.17m/s2aB=8.34m/s2
FX=0
FY=0
(150×0.1/2×9.8+150×0.24/9.8+60×0.24/3×9.8)222+=0-=34.77rad/s2aD=4.17m/s222XA=76.54NYA=77.35N(WBaBx+WABaDx)-XA解得:=0(1508.34sin30o+
604.17sin30o)-XA=0(WBaBy+WABaDy)-WB-WAB+
YA
=0(1508.34cos30o+604.17cos30o)+YA–150-60
=0XA=76.54NYA=77.2324
(3)平面運動剛體中慣性力系的簡化1)慣性力系的主矢RI=-Mac2)慣性力系的主矩McI=-Jc
設(shè)剛體有一質(zhì)量對稱平面,且該平面在其自身平面內(nèi)運動,慣性力系可簡化為在對稱平面內(nèi)的平面力系。取質(zhì)心c為簡化中心。
本節(jié)只討論具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動的情形。運動分解為隨質(zhì)心平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。RIaiFiIMicMcIac24(3)平面運動剛體中慣性力系的簡化1)慣性力系的主矢R2425
牽引車的主動輪質(zhì)量為m,半徑為R,沿水平直線軌道滾動,設(shè)車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力F1、F2及驅(qū)動力偶矩M,車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為,輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動而不滑動的條件下,驅(qū)動力偶矩M之最大值。例題25牽引車的主動輪質(zhì)量為2526解:取輪為研究對象,虛加慣性力系:
O
由動靜法,得:
聯(lián)立求解得FN=P+F226解:取輪為研究對象,虛加慣性力系:O由動靜法,得:2627要保證車輪不滑動,必須
FS<fFN=f(P+F2)則Mmax的值為上式右端的值。O即27要保證車輪不滑動,則Mmax的值為上式右端的值。O即2728例題.位于鉛垂平面內(nèi)長度都等于l,質(zhì)量都等于m的均質(zhì)直桿OA和AB,在A處用銷釘連接,在O處用鉸鏈支座固定如圖所示.設(shè)兩桿從水平位置由靜止開始運動的瞬時,OA桿的角加速度為a1,AB桿的角加速度為a2.試畫出整個系統(tǒng)的慣性力系.并分別用a1和a2表示.BAOa1a228例題.位于鉛垂平面內(nèi)長度都等于l,質(zhì)量都等于m的均質(zhì)2829解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.BAOa1a2OA桿作定軸轉(zhuǎn)動.AB桿作平面運動.C2C1aC1aC229解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.BAOa1a2OA桿作2930①選取研究對象。原則與靜力學(xué)相同。②受力分析。畫出全部主動力和外約束反力。③運動分析。主要是剛體質(zhì)心加速度,剛體角加速度,標出方向。
應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題的步驟及要點:④虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶,一定要在正確進行運動分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。
——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理⑤列動靜方程。選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。⑥求解求知量。30①選取研究對象。原則與靜力學(xué)相同。應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題3031
在圖示機構(gòu)中,沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體,各重為P1和P2,半徑均為R,繩子不可伸長,其質(zhì)量不計,斜面傾角
,如在鼓輪上作用一常力偶矩M,試求:(1)鼓輪的角加速度?(2)繩子的拉力?(3)軸承O處的支反力?(4)圓柱體與斜面間的摩擦力(不計滾動摩擦)?——應(yīng)用舉例例31在圖示機構(gòu)中,沿斜面向上作純3132解:用達朗貝爾原理求解取輪O為研究對象,虛加慣性力偶列出動靜方程:——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理32解:用達朗貝爾原理求解列出動靜方程:——應(yīng)用舉例§14.3233取輪A為研究對象,虛加慣性力FI
和慣性力偶MIA如圖示。——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理列出動靜方程:33取輪A為研究對象,虛加慣性力FI和慣性力偶M3334運動學(xué)關(guān)系:,將MI,F(xiàn)I,MIA及運動學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得:——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理34運動學(xué)關(guān)系:3435代入(2)、(3)、(5)式,得:——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理35代入(2)、(3)、(5)式,得:——應(yīng)用舉例§14.達3536例題.用長為l的兩根繩子AO和BO把長l重
P的勻質(zhì)細直桿AB懸在點O如圖.且=60o當桿處于水平靜止時,突然剪斷繩子BO,求剛剪斷瞬時另一繩子AO
的拉力及桿AB的角加速度.ABO36例題.用長為l的兩根繩子AO和BO把長l重P的勻質(zhì)細3637ABO解:取桿AB為研究對象進行運動分析.
繩子BO剪斷后桿AB作平面運動.點A作以O(shè)為圓心AO為半徑的圓周運動.AB=0vA=0CaAaAaCAaC
=aA+aCA(1)(2)37ABO解:取桿AB為研究對象進行運動分析.繩子3738xABOCaAaCA進行受力分析畫受力圖.(3)PRcAIRcIMcIT38xABOCaAaCA進行受力分析畫受力圖.(3)P3839應(yīng)用達朗伯原理得:(5)聯(lián)立(1)----(5)式得:(4)xABOCaAaCARcAIRcIMcITP39應(yīng)用達朗伯原理得:(5)聯(lián)立(1)----(5)式得:(3940例題.在圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)桿AB長l質(zhì)量為m1,均質(zhì)圓盤O的半徑為r質(zhì)量為m2物體E的質(zhì)量為m3.系統(tǒng)原處于靜止,桿AB處于水平位置.某瞬時,A端的繩子突然斷開,求該瞬時物體E和桿的質(zhì)心C的加速度.設(shè)繩與輪之間無相對滑動,O處摩擦不計.BACEO40例題.在圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)桿AB長l質(zhì)量為m1,均質(zhì)圓4041BACEO解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.
物體E作平動,圓盤O作定軸轉(zhuǎn)動,桿AB作平面運動.AB
=O
=0aC
=aB
+aCB
(2)(3)OABaEaBaBaCBaE
=aB
=r
O
(1)×41BACEO解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.物體4142進行受力分析畫受力圖.m1gm2gm3g
m1aB
m3aE取桿AB為研究對象(4)取整體為研究對象BACEOOABaEaBaBaCB×XOYO
m1aCB(5)42進行受力分析畫受力圖.m1gm2gm3gm1aBm34243m1gm2gm3g
m1aB
m3aEBACEOOABaEaBaBaCB×XOYO
m1aCB聯(lián)立(1)----(5)式得:43m1gm2gm3gm1aBm3aEBACEOOA4344如圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體,考慮質(zhì)點i,以O(shè)為簡化中心。有切向慣性力法向慣性力14-3.繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力44如圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體,考慮質(zhì)點i,以O(shè)為簡化中心。有切向慣4445則慣性力系對x軸的矩為:§14.達朗貝爾原理45則慣性力系對x軸的矩為:§14.達朗貝爾原理4546
分別稱為對z
軸的慣性積,則慣性力系對x
軸的矩為
§14.達朗貝爾原理46分別稱為對z軸的慣性積,則慣性力系對x軸的矩為§4647慣性力系對z軸的矩為同理慣性力系對y軸的矩為§14.達朗貝爾原理綜上所述,慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點O簡化的主矩為47慣性力系對z軸的矩為同理慣性力系對y軸的矩為§14.達朗4748
如果剛體有質(zhì)量對稱平面,且該平面與轉(zhuǎn)軸z垂直,簡化中心O取為此平面與轉(zhuǎn)軸的交點,則有則慣性力系簡化的主矩為——剛體慣性力系簡化§14.達朗貝爾原理質(zhì)量對稱平面
幾何對稱平面
48如果剛體有質(zhì)量對稱平面,且該平面與轉(zhuǎn)軸z4849——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力
如圖,以O(shè)為簡化中心,所有主動力和慣性力系向該點簡化,形成一空間任意“平衡力系”。§14.達朗貝爾原理49——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力如圖,以4950列平衡方程由上述5個方程解得軸承的全約束反力為——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理50列平衡方程由上述5個方程解得軸承的全約束反力為——繞定軸5051——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第一項:靜反力第二項:動反力51——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第一5152
設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重
P,質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸的距離是e,轉(zhuǎn)子以勻角速度ω繞水平軸轉(zhuǎn)動,AO=a,OB=b(圖a)。假定轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)子的對稱平面垂直,求當質(zhì)心C轉(zhuǎn)到最低位置時軸承所受的壓力。
b
a
e
z
C
O
B
A(a
)例六——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理52設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重P,質(zhì)心C5253解:解:軸是轉(zhuǎn)子的一個主軸且轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動,則慣性力合成為作用于點O的一個力FIC
,方向沿OC,大小等于當質(zhì)心C轉(zhuǎn)到最低位置時,軸上實際所受的力如圖b所示。(a
)
b
a
e
z
C
O
B
A
b
a
e
z
C
O
B
A(b
)PFBFA——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理53解:解:軸是轉(zhuǎn)子的一個主軸且轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動,則慣性力合成為5354根據(jù)動靜法寫出動態(tài)平衡方程解得兩軸承所受的力分別和FA,F(xiàn)B的大小相等而方向相反。
b
a
e
z
C
O
B
A(b
)PFBFA——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第二項為軸承動反力54根據(jù)動靜法寫出動態(tài)平衡方程解得兩軸承所受的力分別和FA5455注意:
①動反力的大小一般是靜反力的幾十倍甚至幾百倍大;動反力的方向也隨時在變化。
②動反力是非常有害的,它引起機器振動,尤其當機器變速運動時動反力是不能忽視的;
③消除動反力在工程上是一個很重要的課題。——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理下面簡單介紹消除動反力的方法。55注意:
①動反力的大小一般是靜反力的幾十倍甚至幾百5556要使動反力為零,必須有——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第一項:靜反力第二項:動反力56要使動反力為零,必須有——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§5657結(jié)論:剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件是,轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心,且剛體對轉(zhuǎn)軸的慣性積等于零。
由前面所得,即有
所以,要使慣性力系的主矢等于零,必須aC=0,即轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心。要使主矩等于零,必須有Jxz=Jyz=0,即剛體對轉(zhuǎn)軸z的慣性積等于零?!@定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理57結(jié)論:剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件是,轉(zhuǎn)5758——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理則上述結(jié)論可表達為:避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件為是,剛體的轉(zhuǎn)軸是剛體的中心慣性主軸。慣性主軸:把
Jyz
=0和Jzx
=0所對應(yīng)的z
軸稱為“慣性主軸”。
中心慣性主軸:若Jyz
=0
Jzx
=0
且xc
=0
yc
=0,即通過質(zhì)心C
的慣性主軸z
稱為“中心慣性主軸”??梢宰C明:慣性主軸對剛體都可以找到,因此,中心慣性主軸也一定存在!58——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理則上5859消除動反力的方法
工程上為消除動反力(即消除不平衡的慣性力系)常用靜平衡與動平衡兩種方法:
實際應(yīng)用靜平衡方法應(yīng)用的范圍是軸向尺寸不大且轉(zhuǎn)速不太高的平面型轉(zhuǎn)子,如齒輪、飛輪、葉輪、風扇等。動平衡與靜平衡目的:調(diào)整轉(zhuǎn)子質(zhì)心的位置,以使偏心量e盡量地小;消除由于偏心引起的動反力?!@定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理靜平衡59消除動反力的方法
工程上為消除動反力(即5960注:動平衡的進行過程必須在專門的動平衡機上實現(xiàn),在此不便詳細敘述,請讀者參考轉(zhuǎn)子動力學(xué)方面的有關(guān)書籍。目的:通過適當調(diào)整質(zhì)量分布,使得轉(zhuǎn)軸成為中心慣性主軸。動平衡與靜平衡——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理動平衡60注:動平衡的進行過程必須在專門的動平衡機上實現(xiàn),在此不便6061
質(zhì)量不計的剛軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動,其上固結(jié)著兩個質(zhì)量均為m的小球A和B。指出在圖示各種情況下,哪些是靜平衡的?哪些是動平衡的?靜平衡:(a)、(b)、(d)動平衡:
(a)動平衡的剛體一定是靜平衡的;而靜平衡的剛體不一定是動平衡的?!@定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理例五61質(zhì)量不計的剛軸以角速度6162
(1)引入慣性力的概念后,達朗伯原理使我們得以用靜力學(xué)平衡方程的形式來求解動力學(xué)問題。它為解決動力學(xué)問題帶來一定的方便,尤其是對求非自由質(zhì)點系的動反力(約束力)問題。學(xué)習方法及注意問題
(2)運用達朗伯原理解題,關(guān)鍵在于計算慣性力。除分析已知力和約束力外,還要對照質(zhì)點或剛體的運動形式,加上相應(yīng)的慣性力及慣性力偶,作出完整的受力圖,然后列出力平衡方程式?!獞?yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理
(3)對一般形狀的轉(zhuǎn)動剛體,要想使轉(zhuǎn)動軸不承受動反力(附加動反力),其條件是:轉(zhuǎn)動軸是中心慣性主軸。為了消除軸承的動反力,要求保證轉(zhuǎn)軸是中心慣性主軸。工程實際中采用動平衡的方法達到上述目的。
62(1)引入慣性力的概念后,達朗伯原理使我們得以用6263作業(yè)題:14-814-914-1314-12§14.達朗貝爾原理63作業(yè)題:14-814-914-131463主講:吳瑩教授辦公室:東校區(qū)中1樓2109E-mail:理論力學(xué)西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院國家力學(xué)實驗教學(xué)中心主講:吳瑩教授理論力學(xué)西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院646514-1.質(zhì)點的達朗伯原理14-2.剛體的達朗伯原理
(1)質(zhì)點系的達朗伯原理
(2)剛體中慣性力系的簡化§14.達朗貝爾原理14-3.轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力214-1.質(zhì)點的達朗伯原理14-2.剛體的達朗伯原理§14656614-1.質(zhì)點的達朗伯原理MNFRaFI(1)質(zhì)點的達朗伯原理F
+N
=m
a
設(shè)有質(zhì)量為m的質(zhì)點M
在主動力F和約束反力N的作用下作某一曲線運動.由質(zhì)點動力學(xué)方程得:亦即F
+N
+(-ma)=0令FI=-ma得:F
+N
+FI=0在圖示瞬時,其加速度為a.FI=-ma
稱為質(zhì)點M的慣性力.314-1.質(zhì)點的達朗伯原理MNFRaFI(1)質(zhì)點的達朗伯6667質(zhì)點的達朗伯原理:
質(zhì)點在運動的每一瞬時,作用在質(zhì)點上的主動力,約束反力與質(zhì)點的慣性力構(gòu)成一平衡力系.
達朗伯原理的實質(zhì)仍然反映力與運動變化的關(guān)系,屬于動力學(xué)問題.這種把動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)中平衡問題的方法稱為動靜法.F
+N
+FI=04質(zhì)點的達朗伯原理:質(zhì)點在運動的每一瞬時,作用在質(zhì)6768
列車在水平軌道上行駛,車廂內(nèi)懸掛一單擺,當車廂向右作勻加速運動時,單擺左偏角度,相對于車廂靜止。求車廂的加速度
a
。例5列車在水平軌道上行駛,車廂內(nèi)懸掛一單擺,當車廂向右作6869解:選單擺的擺錘為研究對象虛加慣性力
由動靜法,有
q角隨著加速度a的變化而變化,當a不變時,q角也不變。只要測出q
角,就能知道列車的加速度a。這就是擺式加速度計的原理。6解:選單擺的擺錘為研究對象由動靜法,有q697014-2.剛體的達朗伯原理MiFiFiINiaiorizyx
設(shè)有n個質(zhì)點組成的非自由質(zhì)點系,取其中任一質(zhì)量為mi的質(zhì)點.該質(zhì)點上作用有主動力Fi,約束反力Ni.
在某一瞬時質(zhì)點具有加速度
ai,則該質(zhì)點的慣性力為FiI=-miai
.14-2-1質(zhì)點系的達朗伯原理
根據(jù)質(zhì)點的達朗伯原理對每一個質(zhì)點寫出平衡方程,可得下列平衡方程組.Fi+Ni+FiI=0(i=1,2,…,n)714-2.剛體的達朗伯原理MiFiFiINiaiorizy7071質(zhì)點系的達朗伯原理:或
在質(zhì)點系運動的每一瞬時,作用于質(zhì)點系上的所有主動力,約束反力與假想地加在質(zhì)點系上各質(zhì)點的慣性力構(gòu)成一平衡力系.8質(zhì)點系的達朗伯原理:或在質(zhì)點系運動的每一瞬時,作用717214-2-2.剛體中慣性力系的簡化(1)平動剛體中慣性力系的簡化選擇剛體的質(zhì)心為慣性力系的簡化中心.1)慣性力系的主矢2)慣性力系的主矩CaCaCmiri914-2-2.剛體中慣性力系的簡化(1)平動剛體中慣性力系7273例10例7374aCτaCnFIτFIn11aCτaCnFIτFIn7475(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體中慣性力系的簡化
本節(jié)只討論具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動.ozFiIFi1IFi2IcMiMi2Mi1
由運動學(xué)知處在平行于轉(zhuǎn)軸的直線上的所有點的加速度均相等.因此對稱質(zhì)點Mi1和Mi2的慣性力Fi1I=-mi1ai1和Fi2I=-mi2ai2也相等.可將它們合成FiI=Fi1I+Fi2I后作用于對稱面內(nèi)的Mi點.12(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體中慣性力系的簡化本節(jié)只討論具有7576
具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動的情況,可以簡化為具有質(zhì)量的平面圖形繞平面上固定點的轉(zhuǎn)動,而剛體上的慣性力可以簡化為平面任意力系.RIacac
acnaiFiIo
取z
軸與對稱平面上交點o為簡化中心,則主矢Mi1)慣性力系的主矢cRI=-miai
=-Mac=-M(acn+ac)=RnI+RI13具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動76772)慣性力系的主矩RIacac
acnaiFiIoMicMIFinIFiI142)慣性力系的主矩RIacacacnaiFiIoMi7778①剛體作勻速轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C
。②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)點C,但a0,慣性力偶(與a反向)③剛體作勻速轉(zhuǎn)動,且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心,則15①剛體作勻速轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C。②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)7879
均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成0角位置靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。例16均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,7980
解:選桿AB為研究對象虛加慣性力系:根據(jù)動靜法,有MIAFInFIτFAnFAτ17解:選桿AB為研究對象根據(jù)動靜法,有MIAFIn8081MIAFInFIτFAnFAτ18MIAFInFIτFAnFAτ81例題.重150N,半徑為10cm的均質(zhì)圓盤B與重60N,長24cm的均質(zhì)直桿AB在B處剛性連接如圖。=30o。系統(tǒng)由圖示位置無初速的釋放。求系統(tǒng)
在初瞬時支座A的反力。DABB初始例題.重150N,半徑為10cm的均質(zhì)圓盤B與重60N,長82DABB解:取系統(tǒng)為研究對象進行
運動分析和受力分析WBWABXAYA系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動DABB解:取系統(tǒng)為研究對象進行
運動分析和83WBaB/gWABaAB/gDABBWBWABXAYA由初時條件得:AB=0
aB=l
=0.24
aD=l/2=0.12畫系統(tǒng)的受力圖并加慣性力MA(F)=0aBaD
JAWBaB/gWABaAB/gDABBWBWABXAYA由84
=34.77rad/s2aD=4.17m/s2aB=8.34m/s2
FX=0
FY=0
(150×0.1/2×9.8+150×0.24/9.8+60×0.24/3×9.8)222+=0-=34.77rad/s2aD=4.17m/s285XA=76.54NYA=77.35N(WBaBx+WABaDx)-XA解得:=0(1508.34sin30o+
604.17sin30o)-XA=0(WBaBy+WABaDy)-WB-WAB+
YA
=0(1508.34cos30o+604.17cos30o)+YA–150-60
=0XA=76.54NYA=77.8687
(3)平面運動剛體中慣性力系的簡化1)慣性力系的主矢RI=-Mac2)慣性力系的主矩McI=-Jc
設(shè)剛體有一質(zhì)量對稱平面,且該平面在其自身平面內(nèi)運動,慣性力系可簡化為在對稱平面內(nèi)的平面力系。取質(zhì)心c為簡化中心。
本節(jié)只討論具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動的情形。運動分解為隨質(zhì)心平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。RIaiFiIMicMcIac24(3)平面運動剛體中慣性力系的簡化1)慣性力系的主矢R8788
牽引車的主動輪質(zhì)量為m,半徑為R,沿水平直線軌道滾動,設(shè)車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力F1、F2及驅(qū)動力偶矩M,車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為,輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動而不滑動的條件下,驅(qū)動力偶矩M之最大值。例題25牽引車的主動輪質(zhì)量為8889解:取輪為研究對象,虛加慣性力系:
O
由動靜法,得:
聯(lián)立求解得FN=P+F226解:取輪為研究對象,虛加慣性力系:O由動靜法,得:8990要保證車輪不滑動,必須
FS<fFN=f(P+F2)則Mmax的值為上式右端的值。O即27要保證車輪不滑動,則Mmax的值為上式右端的值。O即9091例題.位于鉛垂平面內(nèi)長度都等于l,質(zhì)量都等于m的均質(zhì)直桿OA和AB,在A處用銷釘連接,在O處用鉸鏈支座固定如圖所示.設(shè)兩桿從水平位置由靜止開始運動的瞬時,OA桿的角加速度為a1,AB桿的角加速度為a2.試畫出整個系統(tǒng)的慣性力系.并分別用a1和a2表示.BAOa1a228例題.位于鉛垂平面內(nèi)長度都等于l,質(zhì)量都等于m的均質(zhì)9192解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.BAOa1a2OA桿作定軸轉(zhuǎn)動.AB桿作平面運動.C2C1aC1aC229解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.BAOa1a2OA桿作9293①選取研究對象。原則與靜力學(xué)相同。②受力分析。畫出全部主動力和外約束反力。③運動分析。主要是剛體質(zhì)心加速度,剛體角加速度,標出方向。
應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題的步驟及要點:④虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶,一定要在正確進行運動分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。
——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理⑤列動靜方程。選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。⑥求解求知量。30①選取研究對象。原則與靜力學(xué)相同。應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題9394
在圖示機構(gòu)中,沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體,各重為P1和P2,半徑均為R,繩子不可伸長,其質(zhì)量不計,斜面傾角
,如在鼓輪上作用一常力偶矩M,試求:(1)鼓輪的角加速度?(2)繩子的拉力?(3)軸承O處的支反力?(4)圓柱體與斜面間的摩擦力(不計滾動摩擦)?——應(yīng)用舉例例31在圖示機構(gòu)中,沿斜面向上作純9495解:用達朗貝爾原理求解取輪O為研究對象,虛加慣性力偶列出動靜方程:——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理32解:用達朗貝爾原理求解列出動靜方程:——應(yīng)用舉例§14.9596取輪A為研究對象,虛加慣性力FI
和慣性力偶MIA如圖示?!獞?yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理列出動靜方程:33取輪A為研究對象,虛加慣性力FI和慣性力偶M9697運動學(xué)關(guān)系:,將MI,F(xiàn)I,MIA及運動學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得:——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理34運動學(xué)關(guān)系:9798代入(2)、(3)、(5)式,得:——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理35代入(2)、(3)、(5)式,得:——應(yīng)用舉例§14.達9899例題.用長為l的兩根繩子AO和BO把長l重
P的勻質(zhì)細直桿AB懸在點O如圖.且=60o當桿處于水平靜止時,突然剪斷繩子BO,求剛剪斷瞬時另一繩子AO
的拉力及桿AB的角加速度.ABO36例題.用長為l的兩根繩子AO和BO把長l重P的勻質(zhì)細99100ABO解:取桿AB為研究對象進行運動分析.
繩子BO剪斷后桿AB作平面運動.點A作以O(shè)為圓心AO為半徑的圓周運動.AB=0vA=0CaAaAaCAaC
=aA+aCA(1)(2)37ABO解:取桿AB為研究對象進行運動分析.繩子100101xABOCaAaCA進行受力分析畫受力圖.(3)PRcAIRcIMcIT38xABOCaAaCA進行受力分析畫受力圖.(3)P101102應(yīng)用達朗伯原理得:(5)聯(lián)立(1)----(5)式得:(4)xABOCaAaCARcAIRcIMcITP39應(yīng)用達朗伯原理得:(5)聯(lián)立(1)----(5)式得:(102103例題.在圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)桿AB長l質(zhì)量為m1,均質(zhì)圓盤O的半徑為r質(zhì)量為m2物體E的質(zhì)量為m3.系統(tǒng)原處于靜止,桿AB處于水平位置.某瞬時,A端的繩子突然斷開,求該瞬時物體E和桿的質(zhì)心C的加速度.設(shè)繩與輪之間無相對滑動,O處摩擦不計.BACEO40例題.在圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)桿AB長l質(zhì)量為m1,均質(zhì)圓103104BACEO解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.
物體E作平動,圓盤O作定軸轉(zhuǎn)動,桿AB作平面運動.AB
=O
=0aC
=aB
+aCB
(2)(3)OABaEaBaBaCBaE
=aB
=r
O
(1)×41BACEO解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.物體104105進行受力分析畫受力圖.m1gm2gm3g
m1aB
m3aE取桿AB為研究對象(4)取整體為研究對象BACEOOABaEaBaBaCB×XOYO
m1aCB(5)42進行受力分析畫受力圖.m1gm2gm3gm1aBm3105106m1gm2gm3g
m1aB
m3aEBACEOOABaEaBaBaCB×XOYO
m1aCB聯(lián)立(1)----(5)式得:43m1gm2gm3gm1aBm3aEBACEOOA106107如圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體,考慮質(zhì)點i,以O(shè)為簡化中心。有切向慣性力法向慣性力14-3.繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力44如圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體,考慮質(zhì)點i,以O(shè)為簡化中心。有切向慣107108則慣性力系對x軸的矩為:§14.達朗貝爾原理45則慣性力系對x軸的矩為:§14.達朗貝爾原理108109
分別稱為對z
軸的慣性積,則慣性力系對x
軸的矩為
§14.達朗貝爾原理46分別稱為對z軸的慣性積,則慣性力系對x軸的矩為§109110慣性力系對z軸的矩為同理慣性力系對y軸的矩為§14.達朗貝爾原理綜上所述,慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點O簡化的主矩為47慣性力系對z軸的矩為同理慣性力系對y軸的矩為§14.達朗110111
如果剛體有質(zhì)量對稱平面,且該平面與轉(zhuǎn)軸z垂直,簡化中心O取為此平面與轉(zhuǎn)軸的交點,則有則慣性力系簡化的主矩為——剛體慣性力系簡化§14.達朗貝爾原理質(zhì)量對稱平面
幾何對稱平面
48如果剛體有質(zhì)量對稱平面,且該平面與轉(zhuǎn)軸z111112——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力
如圖,以O(shè)為簡化中心,所有主動力和慣性力系向該點簡化,形成一空間任意“平衡力系”?!?4.達朗貝爾原理49——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力如圖,以112113列平衡方程由上述5個方程解得軸承的全約束反力為——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理50列平衡方程由上述5個方程解得軸承的全約束反力為——繞定軸113114——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第一項:靜反力第二項:動反力51——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第一114115
設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重
P,質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸的距離是e,轉(zhuǎn)子以勻角速度ω繞水平軸轉(zhuǎn)動,AO=a,OB=b(圖a)。假定轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)子的對稱平面垂直,求當質(zhì)心C轉(zhuǎn)到最低位置時軸承所受的壓力。
b
a
e
z
C
O
B
A(a
)例六——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理52設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重P,質(zhì)心C115116解:解:軸是轉(zhuǎn)子的一個主軸且轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動,則慣性力合成為作用于點O的一個力FIC
,方向沿OC,大小等于當質(zhì)心C轉(zhuǎn)到最低位置時,軸上實際所受的力如圖b所示。(a
)
b
a
e
z
C
O
B
A
b
a
e
z
C
O
B
A(b
)PFBFA——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理53解:解:軸是轉(zhuǎn)子的一個主軸且轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動,則慣性力合成為116117根據(jù)動靜法寫出動態(tài)平衡方程解得兩軸承所受的力分別和FA,F(xiàn)B
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