最新-14達朗伯原理wy-課件

主講：吳瑩教授辦公室：東校區(qū)中1樓2109E-mail:理論力學(xué)西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院國家力學(xué)實驗教學(xué)中心主講：吳瑩教授理論力學(xué)西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院1214-1.質(zhì)點的達朗伯原理14-2.剛體的達朗伯原理

(1)質(zhì)點系的達朗伯原理

(2)剛體中慣性力系的簡化§14.達朗貝爾原理14-３.轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力214-1.質(zhì)點的達朗伯原理14-2.剛體的達朗伯原理§142314-1.質(zhì)點的達朗伯原理MNFRaFI(1)質(zhì)點的達朗伯原理F

+N

=m

a

設(shè)有質(zhì)量為m的質(zhì)點M

在主動力F和約束反力N的作用下作某一曲線運動.由質(zhì)點動力學(xué)方程得:亦即F

+N

+(-ma)=0令FI=-ma得:F

+N

+FI=0在圖示瞬時,其加速度為a.FI=-ma

稱為質(zhì)點M的慣性力.314-1.質(zhì)點的達朗伯原理MNFRaFI(1)質(zhì)點的達朗伯34質(zhì)點的達朗伯原理:

質(zhì)點在運動的每一瞬時,作用在質(zhì)點上的主動力,約束反力與質(zhì)點的慣性力構(gòu)成一平衡力系.

達朗伯原理的實質(zhì)仍然反映力與運動變化的關(guān)系,屬于動力學(xué)問題.這種把動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)中平衡問題的方法稱為動靜法.F

+N

+FI=04質(zhì)點的達朗伯原理:質(zhì)點在運動的每一瞬時,作用在質(zhì)45

列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度，相對于車廂靜止。求車廂的加速度

a

。例5列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂向右作56解：選單擺的擺錘為研究對象虛加慣性力

由動靜法,有

q角隨著加速度a的變化而變化，當a不變時，q角也不變。只要測出q

角，就能知道列車的加速度a。這就是擺式加速度計的原理。6解：選單擺的擺錘為研究對象由動靜法,有q6714-2.剛體的達朗伯原理MiFiFiINiaiorizyx

設(shè)有n個質(zhì)點組成的非自由質(zhì)點系,取其中任一質(zhì)量為mi的質(zhì)點.該質(zhì)點上作用有主動力Fi,約束反力Ni.

在某一瞬時質(zhì)點具有加速度

ai,則該質(zhì)點的慣性力為FiI=-miai

.14-2-1質(zhì)點系的達朗伯原理

根據(jù)質(zhì)點的達朗伯原理對每一個質(zhì)點寫出平衡方程,可得下列平衡方程組.Fi+Ni+FiI=0(i=1,2,…,n)714-2.剛體的達朗伯原理MiFiFiINiaiorizy78質(zhì)點系的達朗伯原理:或

在質(zhì)點系運動的每一瞬時,作用于質(zhì)點系上的所有主動力,約束反力與假想地加在質(zhì)點系上各質(zhì)點的慣性力構(gòu)成一平衡力系.8質(zhì)點系的達朗伯原理:或在質(zhì)點系運動的每一瞬時,作用8914-2-2.剛體中慣性力系的簡化(1)平動剛體中慣性力系的簡化選擇剛體的質(zhì)心為慣性力系的簡化中心.1)慣性力系的主矢2)慣性力系的主矩CaCaCmiri914-2-2.剛體中慣性力系的簡化(1)平動剛體中慣性力系910例10例1011aCτaCnFIτFIn11aCτaCnFIτFIn1112(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體中慣性力系的簡化

本節(jié)只討論具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動.ozFiIFi1IFi2IcMiMi2Mi1

由運動學(xué)知處在平行于轉(zhuǎn)軸的直線上的所有點的加速度均相等.因此對稱質(zhì)點Mi1和Mi2的慣性力Fi1I=-mi1ai1和Fi2I=-mi2ai2也相等.可將它們合成FiI=Fi1I+Fi2I后作用于對稱面內(nèi)的Mi點.12(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體中慣性力系的簡化本節(jié)只討論具有1213

具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動的情況,可以簡化為具有質(zhì)量的平面圖形繞平面上固定點的轉(zhuǎn)動,而剛體上的慣性力可以簡化為平面任意力系.RIacac

acnaiFiIo

取z

軸與對稱平面上交點o為簡化中心,則主矢Mi1)慣性力系的主矢cRI=-miai

=-Mac=-M(acn+ac)=RnI+RI13具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動13142)慣性力系的主矩RIacac

acnaiFiIoMicMIFinIFiI142)慣性力系的主矩RIacacacnaiFiIoMi1415①剛體作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C

。②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)點C，但a0，慣性力偶（與a反向）③剛體作勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則15①剛體作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C。②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)1516

均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成0角位置靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。例16均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,1617

解：選桿AB為研究對象虛加慣性力系：根據(jù)動靜法，有MIAFInFIτFAnFAτ17解：選桿AB為研究對象根據(jù)動靜法，有MIAFIn1718MIAFInFIτFAnFAτ18MIAFInFIτFAnFAτ18例題.重150N,半徑為10cm的均質(zhì)圓盤B與重60N,長24cm的均質(zhì)直桿AB在B處剛性連接如圖。=30o。系統(tǒng)由圖示位置無初速的釋放。求系統(tǒng)

在初瞬時支座A的反力。DABB初始例題.重150N,半徑為10cm的均質(zhì)圓盤B與重60N,長19DABB解:取系統(tǒng)為研究對象進行

運動分析和受力分析WBWABXAYA系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動DABB解:取系統(tǒng)為研究對象進行

運動分析和20WBaB/gWABaAB/gDABBWBWABXAYA由初時條件得:AB=0

aB=l

=0.24

aD=l/2=0.12畫系統(tǒng)的受力圖并加慣性力MA(F)=0aBaD

JAWBaB/gWABaAB/gDABBWBWABXAYA由21

=34.77rad/s2aD=4.17m/s2aB=8.34m/s2

FX=0

FY=0

(150×0.1/2×9.8+150×0.24/9.8+60×0.24/3×9.8)222+=0-=34.77rad/s2aD=4.17m/s222XA=76.54NYA=77.35N(WBaBx+WABaDx)-XA解得:=0(1508.34sin30o+

604.17sin30o)-XA=0(WBaBy+WABaDy)-WB-WAB+

YA

=0(1508.34cos30o+604.17cos30o)+YA–150-60

=0XA=76.54NYA=77.2324

(3)平面運動剛體中慣性力系的簡化1)慣性力系的主矢RI=-Mac2)慣性力系的主矩McI=-Jc

設(shè)剛體有一質(zhì)量對稱平面,且該平面在其自身平面內(nèi)運動,慣性力系可簡化為在對稱平面內(nèi)的平面力系。取質(zhì)心c為簡化中心。

本節(jié)只討論具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動的情形。運動分解為隨質(zhì)心平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。RIaiFiIMicMcIac24(3)平面運動剛體中慣性力系的簡化1)慣性力系的主矢R2425

牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設(shè)車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力F1、F2及驅(qū)動力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅(qū)動力偶矩M之最大值。例題25牽引車的主動輪質(zhì)量為2526解：取輪為研究對象，虛加慣性力系：

O

由動靜法，得：

聯(lián)立求解得FN=P+F226解：取輪為研究對象，虛加慣性力系：O由動靜法，得：2627要保證車輪不滑動，必須

FS<fFN=f(P+F2)則Mmax的值為上式右端的值。O即27要保證車輪不滑動，則Mmax的值為上式右端的值。O即2728例題.位于鉛垂平面內(nèi)長度都等于l,質(zhì)量都等于m的均質(zhì)直桿OA和AB,在A處用銷釘連接,在O處用鉸鏈支座固定如圖所示.設(shè)兩桿從水平位置由靜止開始運動的瞬時,OA桿的角加速度為a1,AB桿的角加速度為a2.試畫出整個系統(tǒng)的慣性力系.并分別用a1和a2表示.BAOa1a228例題.位于鉛垂平面內(nèi)長度都等于l,質(zhì)量都等于m的均質(zhì)2829解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.BAOa1a2OA桿作定軸轉(zhuǎn)動.AB桿作平面運動.C2C1aC1aC229解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.BAOa1a2OA桿作2930①選取研究對象。原則與靜力學(xué)相同。②受力分析。畫出全部主動力和外約束反力。③運動分析。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標出方向。

應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題的步驟及要點：④虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定要在正確進行運動分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。

——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理⑤列動靜方程。選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。⑥求解求知量。30①選取研究對象。原則與靜力學(xué)相同。應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題3031

在圖示機構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P1和P2，半徑均為R，繩子不可伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角

，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：(1)鼓輪的角加速度？(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？——應(yīng)用舉例例31在圖示機構(gòu)中，沿斜面向上作純3132解：用達朗貝爾原理求解取輪O為研究對象，虛加慣性力偶列出動靜方程：——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理32解：用達朗貝爾原理求解列出動靜方程：——應(yīng)用舉例§14.3233取輪A為研究對象，虛加慣性力FI

和慣性力偶MIA如圖示。——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理列出動靜方程：33取輪A為研究對象，虛加慣性力FI和慣性力偶M3334運動學(xué)關(guān)系：，將MI，F(xiàn)I，MIA及運動學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理34運動學(xué)關(guān)系：3435代入(2)、(3)、(5)式，得：——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理35代入(2)、(3)、(5)式，得：——應(yīng)用舉例§14.達3536例題.用長為l的兩根繩子AO和BO把長l重

P的勻質(zhì)細直桿AB懸在點O如圖.且=60o當桿處于水平靜止時,突然剪斷繩子BO,求剛剪斷瞬時另一繩子AO

的拉力及桿AB的角加速度.ABO36例題.用長為l的兩根繩子AO和BO把長l重P的勻質(zhì)細3637ABO解:取桿AB為研究對象進行運動分析.

繩子BO剪斷后桿AB作平面運動.點A作以O(shè)為圓心AO為半徑的圓周運動.AB=0vA=0CaAaAaCAaC

=aA+aCA(1)(2)37ABO解:取桿AB為研究對象進行運動分析.繩子3738xABOCaAaCA進行受力分析畫受力圖.(3)PRcAIRcIMcIT38xABOCaAaCA進行受力分析畫受力圖.(3)P3839應(yīng)用達朗伯原理得:(5)聯(lián)立(1)----(5)式得:(4)xABOCaAaCARcAIRcIMcITP39應(yīng)用達朗伯原理得:(5)聯(lián)立(1)----(5)式得:(3940例題.在圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)桿AB長l質(zhì)量為m1,均質(zhì)圓盤O的半徑為r質(zhì)量為m2物體E的質(zhì)量為m3.系統(tǒng)原處于靜止,桿AB處于水平位置.某瞬時,A端的繩子突然斷開,求該瞬時物體E和桿的質(zhì)心C的加速度.設(shè)繩與輪之間無相對滑動,O處摩擦不計.BACEO40例題.在圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)桿AB長l質(zhì)量為m1,均質(zhì)圓4041BACEO解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.

物體E作平動,圓盤O作定軸轉(zhuǎn)動,桿AB作平面運動.AB

=O

=0aC

=aB

+aCB

(2)(3)OABaEaBaBaCBaE

=aB

=r

O

(1)×41BACEO解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.物體4142進行受力分析畫受力圖.m1gm2gm3g

m1aB

m3aE取桿AB為研究對象(4)取整體為研究對象BACEOOABaEaBaBaCB×XOYO

m1aCB(5)42進行受力分析畫受力圖.m1gm2gm3gm1aBm34243m1gm2gm3g

m1aB

m3aEBACEOOABaEaBaBaCB×XOYO

m1aCB聯(lián)立(1)----(5)式得:43m1gm2gm3gm1aBm3aEBACEOOA4344如圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，考慮質(zhì)點i，以O(shè)為簡化中心。有切向慣性力法向慣性力14-3.繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力44如圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，考慮質(zhì)點i，以O(shè)為簡化中心。有切向慣4445則慣性力系對x軸的矩為：§14.達朗貝爾原理45則慣性力系對x軸的矩為：§14.達朗貝爾原理4546

分別稱為對z

軸的慣性積，則慣性力系對x

軸的矩為

§14.達朗貝爾原理46分別稱為對z軸的慣性積，則慣性力系對x軸的矩為§4647慣性力系對z軸的矩為同理慣性力系對y軸的矩為§14.達朗貝爾原理綜上所述,慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點O簡化的主矩為47慣性力系對z軸的矩為同理慣性力系對y軸的矩為§14.達朗4748

如果剛體有質(zhì)量對稱平面,且該平面與轉(zhuǎn)軸z垂直,簡化中心O取為此平面與轉(zhuǎn)軸的交點，則有則慣性力系簡化的主矩為——剛體慣性力系簡化§14.達朗貝爾原理質(zhì)量對稱平面

幾何對稱平面

48如果剛體有質(zhì)量對稱平面,且該平面與轉(zhuǎn)軸z4849——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力

如圖，以O(shè)為簡化中心，所有主動力和慣性力系向該點簡化，形成一空間任意“平衡力系”。§14.達朗貝爾原理49——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力如圖，以4950列平衡方程由上述5個方程解得軸承的全約束反力為——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理50列平衡方程由上述5個方程解得軸承的全約束反力為——繞定軸5051——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第一項：靜反力第二項：動反力51——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第一5152

設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重

P，質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸的距離是e，轉(zhuǎn)子以勻角速度ω繞水平軸轉(zhuǎn)動，AO=a，OB=b(圖a)。假定轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)子的對稱平面垂直，求當質(zhì)心C轉(zhuǎn)到最低位置時軸承所受的壓力。

b

a

e

z

C

O

B

A(a

)例六——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理52設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重P，質(zhì)心C5253解:解：軸是轉(zhuǎn)子的一個主軸且轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動，則慣性力合成為作用于點O的一個力FIC

，方向沿OC，大小等于當質(zhì)心C轉(zhuǎn)到最低位置時，軸上實際所受的力如圖b所示。(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)PFBFA——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理53解:解：軸是轉(zhuǎn)子的一個主軸且轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動，則慣性力合成為5354根據(jù)動靜法寫出動態(tài)平衡方程解得兩軸承所受的力分別和FA，F(xiàn)B的大小相等而方向相反。

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)PFBFA——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第二項為軸承動反力54根據(jù)動靜法寫出動態(tài)平衡方程解得兩軸承所受的力分別和FA5455注意：

①動反力的大小一般是靜反力的幾十倍甚至幾百倍大；動反力的方向也隨時在變化。

②動反力是非常有害的，它引起機器振動，尤其當機器變速運動時動反力是不能忽視的；

③消除動反力在工程上是一個很重要的課題。——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理下面簡單介紹消除動反力的方法。55注意：

①動反力的大小一般是靜反力的幾十倍甚至幾百5556要使動反力為零，必須有——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第一項：靜反力第二項：動反力56要使動反力為零，必須有——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§5657結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件是，轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，且剛體對轉(zhuǎn)軸的慣性積等于零。

由前面所得，即有

所以，要使慣性力系的主矢等于零，必須aC=0，即轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心。要使主矩等于零，必須有Jxz=Jyz=0，即剛體對轉(zhuǎn)軸z的慣性積等于零?！@定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理57結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件是，轉(zhuǎn)5758——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理則上述結(jié)論可表達為：避免出現(xiàn)軸承動約束力的條件為是，剛體的轉(zhuǎn)軸是剛體的中心慣性主軸。慣性主軸：把

Jyz

＝0和Jzx

＝0所對應(yīng)的z

軸稱為“慣性主軸”。

中心慣性主軸：若Jyz

＝0

Jzx

＝0

且xc

＝0

yc

＝0，即通過質(zhì)心C

的慣性主軸z

稱為“中心慣性主軸”?？梢宰C明：慣性主軸對剛體都可以找到，因此，中心慣性主軸也一定存在！58——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理則上5859消除動反力的方法

工程上為消除動反力（即消除不平衡的慣性力系）常用靜平衡與動平衡兩種方法：

實際應(yīng)用靜平衡方法應(yīng)用的范圍是軸向尺寸不大且轉(zhuǎn)速不太高的平面型轉(zhuǎn)子,如齒輪、飛輪、葉輪、風扇等。動平衡與靜平衡目的：調(diào)整轉(zhuǎn)子質(zhì)心的位置，以使偏心量e盡量地小；消除由于偏心引起的動反力?！@定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理靜平衡59消除動反力的方法

工程上為消除動反力（即5960注：動平衡的進行過程必須在專門的動平衡機上實現(xiàn)，在此不便詳細敘述，請讀者參考轉(zhuǎn)子動力學(xué)方面的有關(guān)書籍。目的：通過適當調(diào)整質(zhì)量分布，使得轉(zhuǎn)軸成為中心慣性主軸。動平衡與靜平衡——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理動平衡60注：動平衡的進行過程必須在專門的動平衡機上實現(xiàn)，在此不便6061

質(zhì)量不計的剛軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動，其上固結(jié)著兩個質(zhì)量均為m的小球A和B。指出在圖示各種情況下，哪些是靜平衡的？哪些是動平衡的？靜平衡：（a)、(b)、(d)動平衡：

(a)動平衡的剛體一定是靜平衡的；而靜平衡的剛體不一定是動平衡的?！@定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理例五61質(zhì)量不計的剛軸以角速度6162

（1）引入慣性力的概念后，達朗伯原理使我們得以用靜力學(xué)平衡方程的形式來求解動力學(xué)問題。它為解決動力學(xué)問題帶來一定的方便，尤其是對求非自由質(zhì)點系的動反力（約束力）問題。學(xué)習方法及注意問題

（2）運用達朗伯原理解題，關(guān)鍵在于計算慣性力。除分析已知力和約束力外，還要對照質(zhì)點或剛體的運動形式，加上相應(yīng)的慣性力及慣性力偶，作出完整的受力圖，然后列出力平衡方程式?！獞?yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理

（3）對一般形狀的轉(zhuǎn)動剛體，要想使轉(zhuǎn)動軸不承受動反力（附加動反力），其條件是：轉(zhuǎn)動軸是中心慣性主軸。為了消除軸承的動反力，要求保證轉(zhuǎn)軸是中心慣性主軸。工程實際中采用動平衡的方法達到上述目的。

62（1）引入慣性力的概念后，達朗伯原理使我們得以用6263作業(yè)題：14-814-914-1314-12§14.達朗貝爾原理63作業(yè)題：14-814-914-131463主講：吳瑩教授辦公室：東校區(qū)中1樓2109E-mail:理論力學(xué)西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院國家力學(xué)實驗教學(xué)中心主講：吳瑩教授理論力學(xué)西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院646514-1.質(zhì)點的達朗伯原理14-2.剛體的達朗伯原理

(1)質(zhì)點系的達朗伯原理

(2)剛體中慣性力系的簡化§14.達朗貝爾原理14-３.轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力214-1.質(zhì)點的達朗伯原理14-2.剛體的達朗伯原理§14656614-1.質(zhì)點的達朗伯原理MNFRaFI(1)質(zhì)點的達朗伯原理F

+N

=m

a

設(shè)有質(zhì)量為m的質(zhì)點M

在主動力F和約束反力N的作用下作某一曲線運動.由質(zhì)點動力學(xué)方程得:亦即F

+N

+(-ma)=0令FI=-ma得:F

+N

+FI=0在圖示瞬時,其加速度為a.FI=-ma

稱為質(zhì)點M的慣性力.314-1.質(zhì)點的達朗伯原理MNFRaFI(1)質(zhì)點的達朗伯6667質(zhì)點的達朗伯原理:

質(zhì)點在運動的每一瞬時,作用在質(zhì)點上的主動力,約束反力與質(zhì)點的慣性力構(gòu)成一平衡力系.

達朗伯原理的實質(zhì)仍然反映力與運動變化的關(guān)系,屬于動力學(xué)問題.這種把動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)中平衡問題的方法稱為動靜法.F

+N

+FI=04質(zhì)點的達朗伯原理:質(zhì)點在運動的每一瞬時,作用在質(zhì)6768

列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度，相對于車廂靜止。求車廂的加速度

a

。例5列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂向右作6869解：選單擺的擺錘為研究對象虛加慣性力

由動靜法,有

q角隨著加速度a的變化而變化，當a不變時，q角也不變。只要測出q

角，就能知道列車的加速度a。這就是擺式加速度計的原理。6解：選單擺的擺錘為研究對象由動靜法,有q697014-2.剛體的達朗伯原理MiFiFiINiaiorizyx

設(shè)有n個質(zhì)點組成的非自由質(zhì)點系,取其中任一質(zhì)量為mi的質(zhì)點.該質(zhì)點上作用有主動力Fi,約束反力Ni.

在某一瞬時質(zhì)點具有加速度

ai,則該質(zhì)點的慣性力為FiI=-miai

.14-2-1質(zhì)點系的達朗伯原理

根據(jù)質(zhì)點的達朗伯原理對每一個質(zhì)點寫出平衡方程,可得下列平衡方程組.Fi+Ni+FiI=0(i=1,2,…,n)714-2.剛體的達朗伯原理MiFiFiINiaiorizy7071質(zhì)點系的達朗伯原理:或

在質(zhì)點系運動的每一瞬時,作用于質(zhì)點系上的所有主動力,約束反力與假想地加在質(zhì)點系上各質(zhì)點的慣性力構(gòu)成一平衡力系.8質(zhì)點系的達朗伯原理:或在質(zhì)點系運動的每一瞬時,作用717214-2-2.剛體中慣性力系的簡化(1)平動剛體中慣性力系的簡化選擇剛體的質(zhì)心為慣性力系的簡化中心.1)慣性力系的主矢2)慣性力系的主矩CaCaCmiri914-2-2.剛體中慣性力系的簡化(1)平動剛體中慣性力系7273例10例7374aCτaCnFIτFIn11aCτaCnFIτFIn7475(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體中慣性力系的簡化

本節(jié)只討論具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動.ozFiIFi1IFi2IcMiMi2Mi1

由運動學(xué)知處在平行于轉(zhuǎn)軸的直線上的所有點的加速度均相等.因此對稱質(zhì)點Mi1和Mi2的慣性力Fi1I=-mi1ai1和Fi2I=-mi2ai2也相等.可將它們合成FiI=Fi1I+Fi2I后作用于對稱面內(nèi)的Mi點.12(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體中慣性力系的簡化本節(jié)只討論具有7576

具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動的情況,可以簡化為具有質(zhì)量的平面圖形繞平面上固定點的轉(zhuǎn)動,而剛體上的慣性力可以簡化為平面任意力系.RIacac

acnaiFiIo

取z

軸與對稱平面上交點o為簡化中心,則主矢Mi1)慣性力系的主矢cRI=-miai

=-Mac=-M(acn+ac)=RnI+RI13具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于該平面的固定軸轉(zhuǎn)動76772)慣性力系的主矩RIacac

acnaiFiIoMicMIFinIFiI142)慣性力系的主矩RIacacacnaiFiIoMi7778①剛體作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C

。②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)點C，但a0，慣性力偶（與a反向）③剛體作勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則15①剛體作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C。②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)7879

均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成0角位置靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。例16均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,7980

解：選桿AB為研究對象虛加慣性力系：根據(jù)動靜法，有MIAFInFIτFAnFAτ17解：選桿AB為研究對象根據(jù)動靜法，有MIAFIn8081MIAFInFIτFAnFAτ18MIAFInFIτFAnFAτ81例題.重150N,半徑為10cm的均質(zhì)圓盤B與重60N,長24cm的均質(zhì)直桿AB在B處剛性連接如圖。=30o。系統(tǒng)由圖示位置無初速的釋放。求系統(tǒng)

在初瞬時支座A的反力。DABB初始例題.重150N,半徑為10cm的均質(zhì)圓盤B與重60N,長82DABB解:取系統(tǒng)為研究對象進行

運動分析和受力分析WBWABXAYA系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動DABB解:取系統(tǒng)為研究對象進行

運動分析和83WBaB/gWABaAB/gDABBWBWABXAYA由初時條件得:AB=0

aB=l

=0.24

aD=l/2=0.12畫系統(tǒng)的受力圖并加慣性力MA(F)=0aBaD

JAWBaB/gWABaAB/gDABBWBWABXAYA由84

=34.77rad/s2aD=4.17m/s2aB=8.34m/s2

FX=0

FY=0

(150×0.1/2×9.8+150×0.24/9.8+60×0.24/3×9.8)222+=0-=34.77rad/s2aD=4.17m/s285XA=76.54NYA=77.35N(WBaBx+WABaDx)-XA解得:=0(1508.34sin30o+

604.17sin30o)-XA=0(WBaBy+WABaDy)-WB-WAB+

YA

=0(1508.34cos30o+604.17cos30o)+YA–150-60

=0XA=76.54NYA=77.8687

(3)平面運動剛體中慣性力系的簡化1)慣性力系的主矢RI=-Mac2)慣性力系的主矩McI=-Jc

設(shè)剛體有一質(zhì)量對稱平面,且該平面在其自身平面內(nèi)運動,慣性力系可簡化為在對稱平面內(nèi)的平面力系。取質(zhì)心c為簡化中心。

本節(jié)只討論具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動的情形。運動分解為隨質(zhì)心平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。RIaiFiIMicMcIac24(3)平面運動剛體中慣性力系的簡化1)慣性力系的主矢R8788

牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設(shè)車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力F1、F2及驅(qū)動力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅(qū)動力偶矩M之最大值。例題25牽引車的主動輪質(zhì)量為8889解：取輪為研究對象，虛加慣性力系：

O

由動靜法，得：

聯(lián)立求解得FN=P+F226解：取輪為研究對象，虛加慣性力系：O由動靜法，得：8990要保證車輪不滑動，必須

FS<fFN=f(P+F2)則Mmax的值為上式右端的值。O即27要保證車輪不滑動，則Mmax的值為上式右端的值。O即9091例題.位于鉛垂平面內(nèi)長度都等于l,質(zhì)量都等于m的均質(zhì)直桿OA和AB,在A處用銷釘連接,在O處用鉸鏈支座固定如圖所示.設(shè)兩桿從水平位置由靜止開始運動的瞬時,OA桿的角加速度為a1,AB桿的角加速度為a2.試畫出整個系統(tǒng)的慣性力系.并分別用a1和a2表示.BAOa1a228例題.位于鉛垂平面內(nèi)長度都等于l,質(zhì)量都等于m的均質(zhì)9192解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.BAOa1a2OA桿作定軸轉(zhuǎn)動.AB桿作平面運動.C2C1aC1aC229解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.BAOa1a2OA桿作9293①選取研究對象。原則與靜力學(xué)相同。②受力分析。畫出全部主動力和外約束反力。③運動分析。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標出方向。

應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題的步驟及要點：④虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定要在正確進行運動分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡化結(jié)果。

——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理⑤列動靜方程。選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。⑥求解求知量。30①選取研究對象。原則與靜力學(xué)相同。應(yīng)用動靜法求動力學(xué)問題9394

在圖示機構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P1和P2，半徑均為R，繩子不可伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角

，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：(1)鼓輪的角加速度？(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？——應(yīng)用舉例例31在圖示機構(gòu)中，沿斜面向上作純9495解：用達朗貝爾原理求解取輪O為研究對象，虛加慣性力偶列出動靜方程：——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理32解：用達朗貝爾原理求解列出動靜方程：——應(yīng)用舉例§14.9596取輪A為研究對象，虛加慣性力FI

和慣性力偶MIA如圖示?！獞?yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理列出動靜方程：33取輪A為研究對象，虛加慣性力FI和慣性力偶M9697運動學(xué)關(guān)系：，將MI，F(xiàn)I，MIA及運動學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理34運動學(xué)關(guān)系：9798代入(2)、(3)、(5)式，得：——應(yīng)用舉例§14.達朗貝爾原理35代入(2)、(3)、(5)式，得：——應(yīng)用舉例§14.達9899例題.用長為l的兩根繩子AO和BO把長l重

P的勻質(zhì)細直桿AB懸在點O如圖.且=60o當桿處于水平靜止時,突然剪斷繩子BO,求剛剪斷瞬時另一繩子AO

的拉力及桿AB的角加速度.ABO36例題.用長為l的兩根繩子AO和BO把長l重P的勻質(zhì)細99100ABO解:取桿AB為研究對象進行運動分析.

繩子BO剪斷后桿AB作平面運動.點A作以O(shè)為圓心AO為半徑的圓周運動.AB=0vA=0CaAaAaCAaC

=aA+aCA(1)(2)37ABO解:取桿AB為研究對象進行運動分析.繩子100101xABOCaAaCA進行受力分析畫受力圖.(3)PRcAIRcIMcIT38xABOCaAaCA進行受力分析畫受力圖.(3)P101102應(yīng)用達朗伯原理得:(5)聯(lián)立(1)----(5)式得:(4)xABOCaAaCARcAIRcIMcITP39應(yīng)用達朗伯原理得:(5)聯(lián)立(1)----(5)式得:(102103例題.在圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)桿AB長l質(zhì)量為m1,均質(zhì)圓盤O的半徑為r質(zhì)量為m2物體E的質(zhì)量為m3.系統(tǒng)原處于靜止,桿AB處于水平位置.某瞬時,A端的繩子突然斷開,求該瞬時物體E和桿的質(zhì)心C的加速度.設(shè)繩與輪之間無相對滑動,O處摩擦不計.BACEO40例題.在圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)桿AB長l質(zhì)量為m1,均質(zhì)圓103104BACEO解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.

物體E作平動,圓盤O作定軸轉(zhuǎn)動,桿AB作平面運動.AB

=O

=0aC

=aB

+aCB

(2)(3)OABaEaBaBaCBaE

=aB

=r

O

(1)×41BACEO解:取系統(tǒng)為研究對象進行運動分析.物體104105進行受力分析畫受力圖.m1gm2gm3g

m1aB

m3aE取桿AB為研究對象(4)取整體為研究對象BACEOOABaEaBaBaCB×XOYO

m1aCB(5)42進行受力分析畫受力圖.m1gm2gm3gm1aBm3105106m1gm2gm3g

m1aB

m3aEBACEOOABaEaBaBaCB×XOYO

m1aCB聯(lián)立(1)----(5)式得:43m1gm2gm3gm1aBm3aEBACEOOA106107如圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，考慮質(zhì)點i，以O(shè)為簡化中心。有切向慣性力法向慣性力14-3.繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力44如圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，考慮質(zhì)點i，以O(shè)為簡化中心。有切向慣107108則慣性力系對x軸的矩為：§14.達朗貝爾原理45則慣性力系對x軸的矩為：§14.達朗貝爾原理108109

分別稱為對z

軸的慣性積，則慣性力系對x

軸的矩為

§14.達朗貝爾原理46分別稱為對z軸的慣性積，則慣性力系對x軸的矩為§109110慣性力系對z軸的矩為同理慣性力系對y軸的矩為§14.達朗貝爾原理綜上所述,慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點O簡化的主矩為47慣性力系對z軸的矩為同理慣性力系對y軸的矩為§14.達朗110111

如果剛體有質(zhì)量對稱平面,且該平面與轉(zhuǎn)軸z垂直,簡化中心O取為此平面與轉(zhuǎn)軸的交點，則有則慣性力系簡化的主矩為——剛體慣性力系簡化§14.達朗貝爾原理質(zhì)量對稱平面

幾何對稱平面

48如果剛體有質(zhì)量對稱平面,且該平面與轉(zhuǎn)軸z111112——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力

如圖，以O(shè)為簡化中心，所有主動力和慣性力系向該點簡化，形成一空間任意“平衡力系”?！?4.達朗貝爾原理49——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力如圖，以112113列平衡方程由上述5個方程解得軸承的全約束反力為——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理50列平衡方程由上述5個方程解得軸承的全約束反力為——繞定軸113114——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第一項：靜反力第二項：動反力51——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理第一114115

設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重

P，質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸的距離是e，轉(zhuǎn)子以勻角速度ω繞水平軸轉(zhuǎn)動，AO=a，OB=b(圖a)。假定轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)子的對稱平面垂直，求當質(zhì)心C轉(zhuǎn)到最低位置時軸承所受的壓力。

b

a

e

z

C

O

B

A(a

)例六——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理52設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重P，質(zhì)心C115116解:解：軸是轉(zhuǎn)子的一個主軸且轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動，則慣性力合成為作用于點O的一個力FIC

，方向沿OC，大小等于當質(zhì)心C轉(zhuǎn)到最低位置時，軸上實際所受的力如圖b所示。(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)PFBFA——繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動約束力§14.達朗貝爾原理53解:解：軸是轉(zhuǎn)子的一個主軸且轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動，則慣性力合成為116117根據(jù)動靜法寫出動態(tài)平衡方程解得兩軸承所受的力分別和FA，F(xiàn)B