大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè) 微分幾何復(fù)習(xí)題

一、（2）⒈向量具有固定方向，則a= 。⒉非零向量滿足0的充要條件是 。⒊設(shè)曲線在P點的切向量為，主法向量為，則過P由,確定的平是曲線在P點的 。⒋曲線r在點0 0程是 。⒌曲線r在t=1點處有 2，則曲線在t=1對應(yīng)的點處其撓率。⒏在旋轉(zhuǎn)曲面r ,,中， 是旋轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線。⒐曲面zz(x,y)在點(x0

0

)的法線方程是 。⒑直紋面的參數(shù)表示總可以寫成r 。11、向量函數(shù)r使)0的充要條件是r。12、若rr0 0是 。13、一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率 。15、曲面上一族坐標曲線是測地線，另一族為它的正交軌線坐標網(wǎng)是16已知曲面r的第一類基本量為EF則兩方向du:dv與u:v垂直的充要條件是 。17對曲面r有dr2 4du2 3dv2則曲面上曲線u=u(t),v=v(t)從t0t（tt0

）的弧長s= 。18、若曲面r在（0，1）點處的第二基本形式 du2 3dv2，則在（0，1）ru

n 。其中n為曲面的單位法向量。u19、已知曲面r的第二類基本量LMN，則曲面上漸近曲線的微方程是 。20、若曲面r的第一基本形式為Edu2 Gdv2，曲面在一點的切向dr與u—線的夾角為 ，則曲面在這點沿切向dr的測地曲率k= 。g21具有固定方向的充要條件是 。22撓率 的曲線其副法向量是常矢23曲線rPP0 。25曲面上的曲紋坐標網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是 。曲面上一曲線，如果它每一點的切方向都是主方向，則稱該曲線為 。半徑為R的球面的高斯曲率K= .一個曲面為可展曲面的充分必要條件是它的 恒等于零30．在可展曲面上，測地三角形的三內(nèi)角之。31.向量函數(shù)r使)0的充要條件是r。32、若rr0 0是 。33、一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率 。35、球面rcoscoscossinsin}上線是球上的緯圓。36rEFdu:dvuv垂直的充要條件是 。37對曲面r有dr2 4du2 則曲面上曲線u=u(t),v=v(t)從t0t（tt0

）的弧長s= 。38、若曲面r在（0，1）點處的第二基本形式 du2 3dv2，則在（0，1）ru

n 。其中n為曲面的單位法向量。u39、已知曲面r的第二類基本量LMN，則曲面上漸近曲線的微方程是 。40、若曲面r的第一基本形式為Edu2 Gdv2，曲面在一點的dr與u—線的夾角為，則曲面在這點沿切向dr的測地曲率k= 。g十、 選擇填空題（每小題3分）1、圓柱螺線xt在點1,0,0的切線為 。x1yzx1yz011B、yz0D、yz0x1yz1002、曲面的三個基本形式之間的關(guān)系為 A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0 B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0 D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=03、曲面的坐標網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是 。A、M=0 B、L=N=0 C、M=F=0 D、F=04、下列曲面中 不是可展曲面。A、柱面 B、錐面 C、一條曲線的切線曲面 D、正螺5、曲面上， 不是曲面的內(nèi)蘊量。A、兩曲線的夾角 B、曲線的弧長6、曲線r在P(s)點的基本向量是,,，曲率k(s)，撓率下式 不正確。A、 k B、 k C、 k D、7、曲面rr(u,v)在P點的第一、第二基本形式分別為,，曲面上曲線(C)在P點的曲率k、沿切向dr的法曲率為kn

，(C)在P點的主法向量與曲面的單位法向量n的夾角為，則下正確。A、k B、kkcosC、| D、kksinnnnn8、L=N=0是曲面的曲紋坐標網(wǎng)為 的充要條件。A、正交網(wǎng) B、漸近網(wǎng) C、曲率網(wǎng) D、半測地坐標9、在圓柱面上，圓柱螺線。A、平面曲線 B、曲率線 C、測地線 D、漸近10、以下各項中不一定是測地線。A、球面上的大圓 B、圓柱面上的螺旋C、旋轉(zhuǎn)曲面上的經(jīng)線 D、旋轉(zhuǎn)曲面上的緯11、設(shè)曲面在一點的單位法向量n，切向量為dr，則dn dr的充分必條件是 。A、存在方向r使dnr0 B、存在方向r使drr0C、存在方向r使dnr0且drr0D、沿dr有k0n12對于球面rRcossinRcossinRsin}以下判斷 不正確。A、沿其上任何曲線的球面的法線曲面是可展曲面 B、其上大圓是漸近線C、高斯曲率為正常數(shù)1R2

D、其上大圓的每一點的測地曲率為零13、曲面rr(u,v)上，曲線(C)在P點的基本向量是,,，曲面在P點的單位法向量n，則在P點沿切向 的測地曲率 。gA、 n B（） C、D、(,14、若在曲面上一點LNM2 0,則曲面在該點的高斯曲率A、>0 B、<0 C、=0 D、符號不確定15、下列直紋面中， 是可展曲面。A、雙曲拋物面 B、撓曲線的副法線曲面C、撓曲線的切線曲面 D、單葉雙曲面16、若曲線的所有密切平面經(jīng)過一定點，則此曲線是 。A、直線 B、平面曲線 C、球面曲線 D、圓柱螺17曲線r在P(t)點的曲率為k,撓率為則下列式子 不正確。rrrrrrB、k

C、kr D、rrr3rr

rrrrr18、對于曲面的第一基本形式IEdu2 2FdudvGdv2F2 A、0 B、0 C、0 D、019、對于圓柱面r Rcossin，以下結(jié)論 是不正確的。A、坐標網(wǎng)是正交網(wǎng) B、沿同一直母線的切平面是同一C、其上高斯曲率為零 D、其上沒有拋物點20、以下結(jié)論正確的是 。A、法曲率是法截線的曲率B、法曲率是曲率向量r在主法向量上的投C、法曲率0 D、法曲率的絕對值是法截線的曲率21、設(shè)曲面r是其單位法向量，下列第二類基本量的計算中 是不正確的。A、MrnB、MrnC、MrnD、Mrnuvuvu vv u22、球面上的大圓不可能是球面上的 。A、測地線 B、曲率線 C、法截線 D、漸近23、正螺面r u的坐標網(wǎng)不是 。A、正交網(wǎng) B、共軛網(wǎng)C、漸近網(wǎng) D、半測地坐標網(wǎng)24、曲面上每一點處的主方向 。A、只有一個 B、至少兩個 C、只有兩個 D、也可能不存25、下列直紋曲面中， 是可展曲面。A、雙曲拋物面 B、撓曲面的副法線曲C、撓曲面的切線曲面 D、單葉雙曲面三、計算題1、設(shè)曲線：r={cht,sht,t}，求①在點(1,0,0)的曲率和撓率；②的切線曲面的高斯曲率。2、已知圓柱螺線r ，試求⑴在點0,1,的切線和法平面。2⑵曲率和撓率。3、對于圓柱面cos,sin，試求⑴ 的第一、第二基本形式；⑵ 在任意點處沿任意方向的法曲率；⑶ 在任意點的高斯曲率和平均曲率；⑷試證的坐標曲線是曲率線。4、求曲面r 的u線的測地曲率。5PP方向的法曲率之和是常數(shù)。6、設(shè)曲面∑：r={tcos ,tsin ,t}，求①∑的第一、第二基本形式；②∑在點(1,0,1)處沿任意方向的法曲率；③試證∑的坐標曲線是曲率線。7、求螺線xcost,ysint,zt上點1,0,0的曲率和撓率。8、確定螺旋面xuucv曲率。9、求曲線r(t)={t, t2,et}在t=0點的密切平面和主法線。10、求曲線r(t)={a, a，bt}的曲率和撓率求拋物面z=a(x2+y2)在(0,0)點的高斯曲率和平均曲率。11、求平面族xcos ysin zsin 1的包絡(luò)。十一、證明題：1線。2、證明：如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過一個定點，則此曲線是平面曲線。3、試證錐面是可展曲面，并證明它與平面成等距對應(yīng)。4設(shè)曲線：r(t)平面曲線。5PP方向的法曲率之和是常數(shù)。6、證明曲面2v是可展曲面。7、證明：曲面上的曲線是曲率線的充分必要條件是沿此曲線的曲面的法線組成一可展曲面。8、證明；如果曲面上非直線的測地線為平面曲線，則它必為曲率線9、證明：如果一條曲線的所有法平面包含常向量e，那么這條曲線是直線或平面曲線。10、證明撓曲線（C）的主法線曲面不是可展曲面。一、填空題曲線=co，y=si,zt在=0處的切線方程 。曲面上曲線的弧長，交角，曲面域的面積等都不變量。

,v為曲面的正常點，則rr在,v滿。0 0 u v 0 0兩個曲面之間的一個變換是保角變換的充要條件是它們。若向量函數(shù)滿足r0，則具有固定.曲線r的正常點是指滿的.橢圓點對應(yīng)的杜邦指標線是橢圓,雙曲點對應(yīng)的是一對共軛雙曲線,拋物點對應(yīng)的是 .平均曲率H=0的曲面稱為 曲面上的直線必曲.

曲面.向量函數(shù)具有固定方向的充要條件.曲線的主法向量的正向總是指.在曲面上圓點，其第一、第二類基本量滿足關(guān).曲面三個基本形式之間有關(guān)系.曲線r的曲率定義。空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向。曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件。曲線)={32,2-+2,2上的點不是正常點的是t= 。曲面的曲紋坐標網(wǎng)是漸進網(wǎng)的充分必要條件。極小曲面是的曲面。向量函數(shù)具有固定長的充要條件。曲線r的撓率。曲面上曲紋坐標網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條。向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件.以杜指標線為分類標曲面上的點分為橢圓雙曲, ,.曲面上一點的主曲率是曲面在這點所有方向的最大值和最小球面r={a的坐標曲線就。曲面上曲紋坐標網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件。兩個曲面之間的變換是保角變換的充要條件。在曲面的橢圓點處高斯曲這個空填符號即大于等于小于)一般螺線的曲率和撓率的關(guān)系。曲面上曲線的交角作為曲面的內(nèi)蘊量參數(shù)變換下的不變量。曲面域的面積作為曲面的內(nèi)蘊量參數(shù)變換下的不變量。設(shè)曲面在點P處有兩個同號的主曲率則按高斯曲率的符號分類此點是曲面。曲面的曲紋坐標網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充分必要條件。法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率,使法曲率達到最大值和最小值的向是曲面方.距離單位球面球心距離為d的平面與球面的交線的曲率為 ，法曲率為 .曲面的坐標曲線網(wǎng)正交的充要條件,坐標曲線網(wǎng)成為曲率線的充要條件.曲率0的曲線,撓率0的曲線.半徑R的圓的曲率,半徑R的球面的法曲率.曲面的坐標曲線網(wǎng)正交的充要條件,坐標曲線網(wǎng)成為曲率線的充要條件.圓柱面的高斯曲率,極小曲面的平均曲率.在臍點處曲面的第,第二類基本量滿,把第二類基量L=M=N=0的臍點稱.法曲率的最大值和最小值正好,使法曲率達到最大值和最小值的方向方向.二、單項選擇題下面各量,不是內(nèi)蘊量的是( )A.曲面上曲線的曲率 B.曲面上曲線的測地曲率C.曲面上測地三角形的內(nèi)角和 D.曲面的高斯曲率曲面上一點處的兩個主方向之間的夾角為( )等距等價的兩曲面上，對應(yīng)曲線在對應(yīng)點具有相同的( )曲率 B.撓率 C.法曲率 D.測地曲率過空間曲線C上點P（非逗留點）的切線P點的鄰近Q的平面，當Q沿曲C趨于點時，平的極限位置稱為曲CP點的( )法平面 B.密切平面 C.從切平面 D.不存在曲率和撓率均為非零常數(shù)的曲線是( )直線 B.圓 C.圓柱螺線 D.平面曲線下面關(guān)于曲面上主方向的說法，不正確的一項是( )臍點處，任何方向都是主方向 B.非臍點處，主方向垂直C.臍點處，無主方向 D.非臍點處，有且僅有兩個主方向下面各量,不是內(nèi)蘊量的是( )曲面上曲線的曲率 B.曲面域的面積C.曲線的弧長 D.高斯曲率下面說法不正確的是( )等距變換一定是保角變換 B.保角變換一定是等距變換C.平面與圓柱面成等距對應(yīng) D.平面與除去北極外的球面成保角對應(yīng)（）相交 B.平行 C.重合 D.垂直（）第一基本型相同 B.第一基本型成比例C.第二基本型相同 D.第二基本型成比例在選取曲率線網(wǎng)作為參數(shù)曲線網(wǎng)時，曲面的兩個主曲率k,k（）1 2設(shè)曲面Srruu)D的第一、二類基本量為EFG和LMN，則曲面的面積為A.C.

EG F2dudv； B. LN M2dudv；D DF2 EGdudv； D. M2 LNdudvD D（）平面曲線 B.圓柱螺線 C.直線 D.以上全是曲面上一點處至少有兩個主方向主方向是互相垂直的D以上全正確曲面上曲線的曲率 B.曲面上曲線的法曲率C.曲面的平均曲率 D.曲面的高斯曲率曲率和撓率均為非零常數(shù)的曲線是()A.直線 B.圓 C.圓柱螺線 D.平面曲線在橢圓點處，曲面的第二類基本量滿足()在不含臍點的曲面上，坐標曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件是 （ ）反映法曲率隨方向而變化的變化規(guī)律的歐)式是（ ）曲線上的正常點是指曲率不為零的點( )如果兩條曲線在對應(yīng)點的主法線互相平行，則在對應(yīng)點處的切線互相平行( )高斯曲率和平均曲率都是曲面的內(nèi)蘊量( )密切面固定的曲線是撓率等于零的曲線( )若給出閉區(qū)間上的任意兩個連續(xù)函數(shù)分別為它的曲率和撓.( )曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為曲率線網(wǎng)的充要條件為F=M=0.( )若曲線的主法線與固定方向成定則該曲線為一般螺線。( )空間曲線穿過法平面和從切平不穿過密切平面( )如果所有法平面互相平那么這曲線是直線( )曲面上拋物點對應(yīng)的杜邦指標線是一條拋物線( )曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為漸進網(wǎng)的充要條件為L=N=0。( )在空間曲線的非逗留點處，密切平面存在且唯一( )空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀與位置( )在曲面的非臍點處，最多有二個漸近方向( )曲線的主法向量正向總是指向曲線的凹側(cè)( )曲面上平點對應(yīng)的杜邦指標線是