電路學(xué)課件：第13章 非正弦周期電流電路和信號的頻譜

第十三章非正弦周期電流電路和信號的頻譜基本內(nèi)容1.了解周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)的方法2.了解信號頻譜的初步概念3.熟練掌握諧波分析法

1.非正弦周期電流的產(chǎn)生

2）非正弦周期電壓源或電流源（例如方波、鋸齒波）

引起的響應(yīng)也是非正弦周期量，如何求響應(yīng)？引起的電流便是非正弦周期電流，解決方法是？1）當(dāng)電路中有多個不同頻率的電源同時作用，如圖所示

圖不同頻率電源作用的電路根據(jù)疊加定理，分別計算不同頻率的響應(yīng)，然后將瞬時值結(jié)果疊加。13.1非正弦周期信號3）有非線性元件引起的非正弦周期電流或電壓。例如，由半波整流，全波整流得到的電壓，電流非正弦周期電流電路分析方法：諧波分析法這些非正弦周期函數(shù)首先分解為不同頻率的傅里葉級數(shù)，然后求解不同頻率的正弦激勵的響應(yīng)，最后將瞬時值結(jié)果疊加

。響應(yīng)也是非正弦周期量，如何求響應(yīng)？1．傅里葉級數(shù)

周期為T，角頻率為ω的周期函數(shù)f(t)可表示為當(dāng)其滿足狄里赫利條件即：1)f(t

)在任何一個周期內(nèi)，連續(xù)或存在有限個間斷點；2)f(t)在任何一個周期內(nèi)，只有有限個極大值和極小值；3)

在任何一個周期內(nèi)，函數(shù)絕對值的積分為有界值，f(t)可以分解為如下的傅里葉級數(shù)13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)在電路分析中，一般用傅里葉級數(shù)的另一種形式。兩式比較，得是角頻率,T是f(t)的周期。2．諧波分析—將周期函數(shù)分解為恒定分量、基波分量和各次諧波的方法。諧波振幅Amk隨角頻率

kω變動的情形如圖8.3所示

圖中豎線稱為譜線，長度表示Amk的量值；相鄰兩譜線的間隔等于基波角頻率ω。這種譜線間具有一定間隔的頻譜稱為離散頻譜。同樣可以畫出相位頻譜，用以表示各次諧波的初相隨角頻率kω變動的情形。恒定分量（直流分量）k

=1—基波；—基波振幅，—基波初相k

=2,3,等—分別稱為二次，三次諧波，統(tǒng)稱為高次諧波由于傅里葉級數(shù)是收斂的，一般諧波次數(shù)越高，振幅越小求圖所示周期性方波的傅里葉展開式，并畫其頻譜。根據(jù)下式求A0、ak和bk

所給波形在一個周期內(nèi)的表達(dá)式：

例1因為ak=0，所以于是得到

說明:式中引入新的正整數(shù)n以區(qū)別原來的正整數(shù)k。

圖8.4周期性方波這一方波的分解情況如圖8.5所示圖8.5周期性方波的波形分解直流分量基波分量3次諧波分量方波振幅頻譜和相位頻譜如下所示圖8.6

周期性方波的振幅頻譜和相位頻譜傅里葉級數(shù)式只含有正弦項,不含恒定分量和余弦項,因為恒定分量和余弦項都是偶函數(shù).

3.1f

(t)為奇函數(shù)如圖周期性奇函數(shù)3.周期函數(shù)的波形與傅里葉系數(shù)的關(guān)系當(dāng)周期函數(shù)的波形具有某種對稱性質(zhì)時，利用函數(shù)對稱性可使系數(shù)A0、ak、bk的確定簡化。傅里葉級數(shù)中只含有余弦項和恒定分量(當(dāng)A0≠0時),而沒有正弦項,這是因為正弦項都是奇函數(shù)。即時，函數(shù)關(guān)于原點對稱，3.2

f(t)為偶函數(shù)，即函數(shù)對稱于縱軸，如圖

周期性偶函數(shù)3.3f(t)為鏡像對稱函數(shù)如圖上下半波鏡像對稱的函數(shù)展開式中只有奇次諧波。計算奇次諧波系數(shù)，只需計算半個周期內(nèi)積分說明：奇、偶函數(shù)與計時起點有關(guān)，奇次諧波函數(shù)與計時起點無關(guān)級數(shù)收斂快慢與波形光滑程度及接近正弦波程度有關(guān)當(dāng)存在上述任何一個條件時，諧波分析可簡化如下：a不必計算等于零的系數(shù)b計算非零系數(shù)時，積分區(qū)間可減半，同時積分式乘以2。

即，A0=0

[解]f

(t)=-f(-t)，A0=0，ak=0，只需求

bkf(t)=-f(t±T/2)，展開式中只有奇次諧波

存在兩個對稱條件，可在T/4內(nèi)積分，并乘以4

三角波的振幅頻譜如圖所示三角波的頻譜圖其諧波振幅與k2成反比例2求圖所示三角波的傅里葉展開式代入

f(t)的波形圖

f(t)的傅里葉級數(shù)

下面是幾種常見周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

f(t)的波形圖

f(t)的傅里葉級數(shù)

幾種常見周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)1．當(dāng)給出函數(shù)f(t)在一個周期內(nèi)的表達(dá)式，便可以直接代入上式計算有效值。

例3

計算圖示方波的有效值[解]寫出所給波形在一個周期內(nèi)的表達(dá)式有效值：周期量的有效值等于其瞬時值的方均根值，即13.3有效值、平均值和平均功率2．正弦級數(shù)形式求有效值代入式得

根據(jù)：分別稱為基波、二次諧波…的有效值

式(8.17)表明任意周期量的有效值等于它的恒定分量、基波分量與各諧波分量有效值的平方和的平方根，與各次諧波初相無關(guān)。設(shè)一端口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，則其輸入的瞬時功率為

p=ui其平均功率就是瞬時功率在一周期內(nèi)的平均值，即平均功率已知周期電流，求其有效值。例4式中Uk

、Ik分別為第

k

次諧波電壓和電流的有效值，為第

k次諧波電壓與電流間的相位差非正弦周期電流電路的平均功率等于恒定分量、基波分量和各次諧波分量分別產(chǎn)生的平均功率之和。同時說明：不同頻率的電壓和電流不產(chǎn)生平均功率。已知某無獨立電源的一端口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流為求一端口網(wǎng)絡(luò)輸入的平均功率。

例5線性電路在非正弦周期激勵時的穩(wěn)態(tài)分析步驟：

1)把給定的非正弦周期性激勵分解為恒定分量和各諧波分量。

2)分別計算電路在上述恒定分量和各諧波分量單獨作用下的響應(yīng)。求恒定分量響應(yīng)要用計算直流電路的方法；求各次諧波分量的響應(yīng)，則要應(yīng)用計算正弦電流電路的方法（相量法）。其中，電感、電容對k次諧波的電抗分別為

XL1為基波感抗

XC1為基波容抗3)

根據(jù)疊加定理，把恒定分量和各諧波分量的響應(yīng)相量轉(zhuǎn)化為瞬時表達(dá)式后進(jìn)行疊加。13.4非正弦電流電路的計算例6圖(a)所示電路，電源電壓求各支路電流和電源發(fā)出的平均功率；在支路串一電磁式儀表，計算該表讀數(shù)。u(t)R1R2ii1i2CL[解]1）非正弦周期電源的傅氏級數(shù)形式已給定2)U0=10V單獨作用，電路如圖(b)（b）R2U

0+-I（0）