安徽省合肥市2022屆高三下學(xué)期沖刺最后一卷理科數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

合肥一中2022屆高三沖刺最后一卷

數(shù)學(xué)(理科)(時(shí)間：120分鐘分值：150分)注意事項(xiàng)：.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上..回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效..考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題(共12題，每題5分，共60分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.)1,已知集合4={訃"一21<1},B={"log2”<l},則Ar)3=()A(0,3) B.(L2) C.(-oo,3) D.(0,2).若空1(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)。值為()1+2，TOC\o"1-5"\h\z3 3A.-6 B.— C.6 D.2 2nh.已知為正實(shí)數(shù)，則“——《2”是“?！?lt;16”的()a+bA.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的,、P■，當(dāng)x= 都是正整數(shù)，幺是既約分?jǐn)?shù)］應(yīng)用，其定義為：R(x)=Jp p ),若函數(shù)f(x)是定義在R上0,當(dāng)x=0,1或［0,1］上的無(wú)理數(shù)的偶函數(shù)，且對(duì)任意x都有/(2+x)+/(x)=0,當(dāng)xg［0,1］時(shí)，f(x)=R(x),則/(1g2022)+/(30+平)()TOC\o"1-5"\h\z2 2 1A.- B.- C.—— D.一一5 5 5 55.如圖，圓錐的軸截面A8C為正三角形，其面積為46，。為弧A8的中點(diǎn)，E為母線8c的中點(diǎn)，則異而直線AC,。石所成角的余弦值為( )cA.E B.也 C?邁 D?也4 2 3 3.某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（）A.48 B.54 C.60 D.72.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且。"+尸小+2"|,a\=2,若S會(huì)128,則"的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8.已知點(diǎn)P在直線x+y=4上，過(guò)點(diǎn)尸作圓O:V+y2=4兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則點(diǎn)M（3,2）到直線AB距離的最大值為（）A.42 B.73 C.2 D.759.足球場(chǎng)上有句順口溜：沖向球門(mén)跑，越近就越好：歪著球門(mén)跑，射點(diǎn)要選好在足球比賽中，球員在對(duì)方球門(mén)前的不同的位置起腳射門(mén)對(duì)球門(mén)的威脅是不同的，射點(diǎn)對(duì)球門(mén)的張角越大，射門(mén)的命中率就越高.如圖為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱的足球場(chǎng)示意圖，設(shè)球場(chǎng)長(zhǎng)A8=a,寬BC=b,球門(mén)長(zhǎng)打2=6.在某場(chǎng)比賽中有一位左邊鋒球員欲在邊線A8上點(diǎn)用處射門(mén)，為使得張角NPMQ最大，則（）A.yla2-bm B-"；m C. D.Ja1一力+病.設(shè)函數(shù)/(幻=/k2+炭-1)(_4<x<4),若/(2x+l)+/⑵</(l-2x),則X的取值范圍是(.過(guò)拋物線后：，2=2〃*（〃>0）焦點(diǎn)F的直線交拋物線于人，8兩點(diǎn)，過(guò)A,B分別向￡的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為C,D,若aAC戶與的面積之比為4,則直線A8的斜率為（ ）A.±1 B.+5/3 C.+2 D.+2也12.雙曲函數(shù)在實(shí)際生活中有著非常重要的應(yīng)用，比如懸鏈橋.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基礎(chǔ)的是雙曲正弦函數(shù)sinhx= 和雙曲余弦函數(shù)coshx= 下列結(jié)論錯(cuò)誤2 2的是()coshx+sinhx>x+lsinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhyC.若y=/n與雙曲余弦函數(shù)G和雙曲正弦函數(shù)G共有三個(gè)交點(diǎn)，分別否,馬，七，則X+X2+X3Nln(l+V2)D.已知函數(shù)/(工)=/-l+acoshx,acR,則函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)所有可能值構(gòu)成的集合為｛0,1,2｝二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分)2 2.已知雙曲線C：—-^=1(b>0),以C焦點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與C的漸近線相交，則雙曲4b2線C的離心率的取值范圍是..已知a>0,Z?>0,向量比=(a+2b,-9),n=(8,ab),若沅則2。+人的最小值為.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題.現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到2021這2021個(gè)數(shù)中，能被3除余2且被5除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛?。?則此數(shù)列所有項(xiàng)中，中間項(xiàng)的值為..如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，亦稱''阿基米德體”.點(diǎn)A,B,M是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)N是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足MNJ.AB,若A5=4，則該多面體的表面積為,點(diǎn)N軌跡的長(zhǎng)度為.三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21既為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)一3(b-ccosA) /r iftanC八… (八7人一?皿.在① -=V3tz,②:=:|——-+1,③csinB=bcos|C-二|這二個(gè)條件中任選一sinC b2(tan8) V6J個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.在aABC中，內(nèi)角A、8、C的對(duì)邊分別為a,b,C,且滿足.(1)求C;(2)若aABC的面積為10ji，。為AC的中點(diǎn)，求的最小值..已知四棱錐E—ABCO中，四邊形4BCC為等腰梯形，AB//DC,AO=OC=2,AB=4,4ADE為等邊三角形，且平面A￡)E_L平面4BCD(1)求證：AELBD；(2)是否存在一點(diǎn)凡滿足而:=/麗(O<A<1),且使平面A。尸與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為遐.若存在，求出；I的值，否則請(qǐng)說(shuō)明理由.13.北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，合肥一中決定安排5名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在合一廣場(chǎng)，活動(dòng)共分3批次進(jìn)行每次活動(dòng)需要同時(shí)派送2名志愿者，且每次派送人員均從5人中隨機(jī)抽選.已知這5名志愿者中，2人有安裝經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有安裝經(jīng)驗(yàn).(1)求5名志愿者中的“小明”，在這3批次安裝活動(dòng)中有且只有一次被抽選到的概率；(2)求第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有安裝經(jīng)驗(yàn)志愿者的人數(shù)最有可能是幾人？請(qǐng)說(shuō)明理由：(3)現(xiàn)在需要2名志愿者完成某項(xiàng)特殊教學(xué)任務(wù)，每次只能派一個(gè)人，且每個(gè)人只派一次，如果前一位志愿者一定時(shí)間內(nèi)不能完成教學(xué)任務(wù)，則再派另一位志愿者.若有A、8兩個(gè)志愿者可派，他們各自完成任務(wù)的概率分別為R，鳥(niǎo)，假設(shè)1>[>鳥(niǎo)，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.若按某種指定順序派人，這兩個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為名,%,其中劣,%是4、鳥(niǎo)的一個(gè)排列，試分析以怎樣的順序派出志愿者，可使所需派出志愿者的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小..在平面直角坐標(biāo)系中，4，&兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(一2,0),(2,0),直線AM,4M.相交于點(diǎn)M且它們的斜率之積是-』，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.過(guò)點(diǎn)E(L0)作直線/交曲線E于P,Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P4位于x軸上方.記直線4Q,A2P的斜率分別為匕，k2.k.(1)證明：3■為定值：(2)設(shè)點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Oi，求△PFQ面積的最大值..已知f(x)=2e"—xsinx.(1)求/(x)在xe[O,兀]上的最小值：(2)設(shè):〃(xcosx-sin尤)=6*-0.5/一3一1,在xw[0,兀]上有兩個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍.選考題，共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(3、 \x-acosa.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知曲線E經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,力，其參數(shù)方程為{ 廠,(a為參數(shù))，以I2J [y=>/3sina原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線E的極坐標(biāo)方程；11(2)若直線/交曲線E于點(diǎn)A,B,且OAJ_OB,求不■方+寸二方的值.OA\|OB\選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)f(x)=|2x-l|+|x+l].(1)解不等式/(x)N2；(2)記函數(shù)f(x)的最小值為由，若為正實(shí)數(shù)，且2a+b=4m,求的最大值.參考答案一、選擇題(共12題，每題5分，共60分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.)1,已知集合4={》「一2]<1},8={疝og2》<l},則Af!3=()A.(0,3) B.(1,2) C.(y,3) D.(0,2)【答案】B【解析】【分析】首先求出集合A、B,再根據(jù)交集的定義計(jì)算即可；【詳解】VA={x||x-2|<1),B={x|log2x<l}所以4={x[l<x<3},8={x|0<x<2}即A=(l,3),3=(0,2),Ac8=(1,2),故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及絕對(duì)值不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

.若史3（i為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）+2/TOC\o"1-5"\h\z3 3A.—6 B.— C.6 D.2 2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)@士老，利用復(fù)數(shù)@士考為實(shí)數(shù)可求得實(shí)數(shù)。的值.1+2i 1+2i【詳解】..9=—【詳解】..9=—=?件廨J-1+2Z(1+2z)(l-2z)a+63-2a.,、,,三一+三一，為實(shí)數(shù)，則3—加=0,故選：B..已知a,b為正實(shí)數(shù)，則“0-W2”是“4人416”的（）a+bA.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由abW16,利用均值不等式，可證明"-W2；若"-W2,舉反例可知。力416不一定成a+ba+b立，即得解【詳解】由。，b為正實(shí)數(shù)，.?.a+b22J茄，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立甘I八7—rzoab,abyjah1c/山、,若ab416,可得 <—,== <—V16=2,故必要性成立;a+b2\Jab2 2當(dāng)a=2,b=10,此時(shí)」但訪=20>16,故充分性不成立;a+b因此“旦-<2”是“a。W16”的必要不充分條件a+b故選：B.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的/、［■，當(dāng)x= 都是正整數(shù)，幺是既約分?jǐn)?shù)］應(yīng)用，其定義為：R（x）=JpP\ P ）,若函數(shù)f（x）是定義在R上0,當(dāng)x=0,1或［0,1］上的無(wú)理數(shù)的偶函數(shù)，且對(duì)任意x都有/(2+x)+/(x)=0,當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=/?(%),則f(lg2022)+，30+孥1()【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及周期性結(jié)合黎曼函數(shù)的解析式即可求解.【詳解】由f(2+x)+/(x)=0n/(2+x)=-/(x)=>/(x+4)=/(x),可得/(幻的周期為4,又/(刈是定義在R上的偶函數(shù)，則/dg2022)=/(-1g2022)=/(4-lg2022)=/(1g黑)=R(lg黑)=。，3+甯=小+步同ti)=_”322)+小m故選：D..如圖，圓錐的軸截面ABC為正三角形，其面積為46，。為弧A8的中點(diǎn)，E為母線8C的中點(diǎn)，則A>/2 Dy/2 r\[6 y/34 2 3 3【答案】B【解析】【分析】取AB中點(diǎn)。為底面圓圓心，可證NOEO是異而直線AC,0E所成角或其補(bǔ)角.由軸截面面積求得圖中線段長(zhǎng)，由軸截面與底面垂直可證得OE_LO。，從而可得異面直線所成角.【詳解】由題意火402=4百，AC=4,4取AB中點(diǎn)。為底面圓圓心，連接OE,OD,。為弧A5中點(diǎn)，則。OJ.AB,△ABC是軸截面，則平面A8C1平面/曲，又OOu平面/記。，平面ABCPI平面/題，所以。平面ABC,而OEu平面ABC,所以O(shè)O_LOE,又E是CB中點(diǎn)，則O￡〃AC,

所以NOEO是異而直線AC,0E所成角或其補(bǔ)角.且OE=，AC=2,OD=OA=2,所以NOEB=%,cosZOED=—2 4 2異而直線AC,DE所成角的余弦值為先.2故選：B.D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,^,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角.6.某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（）A.48 B.54 C.60 D.72【答案】C【解析】【分析】先分組，再考慮甲的特殊情況.【詳解】將5名大學(xué)生分為1-2-2三組，即第一組1個(gè)人，第二組2個(gè)人，第三組2個(gè)人，共有受詈共有受詈=15種方法;由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選,所以由2A；=4種方法;按照分步乘法原理，共有4x15=60種方法;故選：C..已知數(shù)列｛痣｝的前〃項(xiàng)和為￡,且加尸廝+2"7,ai=2,若S侖128,則〃的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】c【解析】【分析】由數(shù)列的遞推式，求得數(shù)列的前幾項(xiàng)可得選項(xiàng).【詳解】解：數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為且?！?1=?！?2〃I0=2,當(dāng)〃=1時(shí)，解得〃2=3,當(dāng)〃=2時(shí)，解得〃3=5,...,。7=65,所以S7=〃i+a2+…+。7=134,由于&=69,當(dāng)行7時(shí)，滿足S2128,故選：C..已知點(diǎn)P在直線x+y=4上，過(guò)點(diǎn)尸作圓O:V+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則點(diǎn)知(3,2)到直線AB距離的最大值為()A.72 B.& C.2 D.75【答案】D【解析】【分析】假設(shè)點(diǎn)P(a,b),然后得到以O(shè)P為直徑的圓的方程，與己知圓的方程作差可得直線AB的方程,然后可知直線AB過(guò)定點(diǎn)(1,1),最后簡(jiǎn)單判斷和計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)尸(。4)，則。+%=4,以op為直徑的圓的方程是(x-1) =；(/+/〉與圓。的方程/+產(chǎn)=4相減，得直線AB的方程為ox+by=4,即以+b一4=0,因?yàn)閍+8=4,所以6=4-。，代入直線AB的方程，得方+(4-a)y-4=0,即a(x-y)+4y-4=0,當(dāng)x=y且4y—4=0,即x=l,y=l時(shí)該方程恒成立，所以直線AB過(guò)定點(diǎn)ML1)，點(diǎn)M到直線48距離的最大值即為點(diǎn)M,N之間的距離，|MN|=6，所以點(diǎn)M(3,2)到直線A8距離的最大值為6.故選:D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于得到直線A8的方程以及觀察得到該直線過(guò)定點(diǎn).9.足球場(chǎng)上有句順口溜：沖向球門(mén)跑，越近就越好；歪著球門(mén)跑，射點(diǎn)要選好在足球比賽中，球員在對(duì)方球門(mén)前的不同的位置起腳射門(mén)對(duì)球門(mén)的威脅是不同的，射點(diǎn)對(duì)球門(mén)的張角越大，射門(mén)的命中率就越高.如圖為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱的足球場(chǎng)示意圖，設(shè)球場(chǎng)長(zhǎng)4?=。，寬BC=b,球門(mén)長(zhǎng)PQ=m.在某場(chǎng)比賽中有一位左邊鋒球員欲在邊線A8上點(diǎn)M處射門(mén)，為使得張角NPMQ最大，則()

A.\jcr-bm B.°J C.--- D.J/一從十病【答案】B【解析】【分析】設(shè)AM=x,利用兩角差的正切公式求出tanNPMQ,再由均值不等式求最值即可求解.【詳解】設(shè)Ap則tanNAMP=——AMb—tn ?AQb+mAM2xb+mh—Ap則tanNAMP=——AMb—tn ?AQb+mAM2xb+mh—ni所以tanNPMQ=2」_與,b'-m'1+ r—4x22mgb2-nr2x因?yàn)?x+^-—>2ylb2-m2，當(dāng)且僅當(dāng)2x=2x亡?匕，即X=O'一加等號(hào)成立,2x 2所以X=一時(shí),tan4PMQ有最大值“〃展--m,由正切函數(shù)單調(diào)性知，此時(shí)張角NPMQ最2 b—m大.故選：B10.設(shè)函數(shù)/(x)=xx2+e|r|-l)(-4<x<4),若/(2x+l)+/(2)</(l-2x),則x的取值范圍是【答案】A【解析】【分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)，證明函數(shù)為增函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(l+2x)+_/X2)-/(l-2x),確定其單調(diào)性，而不等式化為g(x)<g(-g),利用單調(diào)性解不等式.注意函數(shù)的定義域.【詳解】函數(shù)y=/(x),xe(-4,4),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(_x)=-x3(x2+ew-!)=-/(%),所以f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x€[0,4)時(shí)，y=/(x)..0,0<X]<x2<4,則04片<<,0?片+陰_1<考+$的_],

所以其(4+e聞—l)<￥(《+e同一1),即/(%)</(當(dāng))，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)xe(—4,0］時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)當(dāng)xe(T,4)單調(diào)遞增3 3所以令Y<l+2x<4,-4<l-2x<4.解得一-<x<一,2 2令g(x)=/(I+2x)+/(2)-/(l-2x),則g(x)在(T,4)上單調(diào)遞增，原不等式可化為g(x)<0,而g(—g)=/(0)+/(2)-/(2)=0,所以g(x)<g(一孑］，解得1<一；,則一［〈工<一：，即解集為(一不，一不).故選：A.“.過(guò)拋物線后：丁=2”*(〃>0)焦點(diǎn)/7的直線交拋物線于人，8兩點(diǎn)，過(guò)A,8分別向E的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為C,D,若aAC戶與aBOE的面積之比為4,則直線45的斜率為( )A.±1 B.±^3 C.±2 D.±272【答案】D【解析】【分析】由拋物線的定義可得AC=Ae8。=5/"然后由S-cf=4S的f可得|Ab|=2|M|,設(shè)4(4,凹),8(毛,%)，直線A5:x=2y+5,然后可得％=-2%,%+必=2p，〃,切為=一。？，然后求出m2=一即可.8【詳解】【詳解】由拋物線的定義可得AC=AF,BD=BF1 9 1 .因?yàn)閟inNCAFusinZDB/7,S^ACF=-\AF\"sinZ.CAF,SnBDF=-|5F|-sinZDBF,S^ACF=4SaBDF所以|AF|=2忸同，設(shè)4(5,,),8(孫必)，直線人從工二沖+5由|AF|=2忸內(nèi)可得y=-2y2聯(lián)立上一"+2可得V-2/wiy-/J?=0,所以y+y2=2pm,yy2=一〃？|y=2px結(jié)合y=-2%可得一%=2pm,-2y2?=-p2，可解得病=：8所以直線A8的斜率為土J—I=±2V"故選：D12.雙曲函數(shù)在實(shí)際生活中有著非常重要的應(yīng)用，比如懸鏈橋.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基礎(chǔ)的是雙曲正弦函數(shù)sinhx= 和雙曲余弦函數(shù)coshx==一.下列結(jié)論錯(cuò)誤2 2的是()coshx+sinhx>x+lsinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhyc.若、=機(jī)與雙曲余弦函數(shù)C1和雙曲正弦函數(shù)g共有三個(gè)交點(diǎn)，分別為用,工2，為，則X+W+X3Nln(l+V2)D.已知函數(shù)/(x)=x2-i+acoshx,aeR,則函數(shù)f。)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)所有可能值構(gòu)成的集合為{0,1,2}【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)圖像以及雙曲正弦、余弦函數(shù)的定義可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)A.coshx+sinhx=-——-~~+」—=ex,設(shè)g(x)=e*-x-l,g'(x)=e*-l,2當(dāng)x<0時(shí)，g'M<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；則當(dāng)x=0時(shí)，g(x)取得極小值也是最小值g(0)=0,則g(x)N0,即e，Nx-1，則以)5111+§11±工之工+1成立，故A正確，(ev-e-x)(ev+e-v)+(e^4-e^)(ev-e-y)對(duì)B,sinhxcoshy+coshxsinhy= - 4 -4便+re'7-er-er』+(e1-e-+er-eg)e--e-石“心+小故B正確，對(duì)C.函數(shù)sinhx=e'-e*是奇函數(shù),且單調(diào)遞增，函數(shù)的值域?yàn)镽,2若y=/n與雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)，共有三個(gè)交點(diǎn)，則機(jī)>1,QX-Q~X由雙曲余弦函數(shù)為偶函數(shù)，得%+%=0,則由 >1,得e*-eT>2，2 "即儂)2-29-1>0,得e、>l+&，得x>ln(l+&),即x,>ln(l+夜)，則％+%+七>ln(l+J5),故C正確，對(duì)D.函數(shù)/(x)=x?-1+acoshx,agR,,當(dāng)。取-0.5時(shí)，可以說(shuō)明有4個(gè)零點(diǎn)故選：D.二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分)13.已知雙曲線C：—-^-=1(Z?>0),以C的焦點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與C的漸近線相交，則雙曲4b2線C的離心率的取值范圍是.【答案】(4)【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑，即可得c的范圍，進(jìn)而可得離心率范圍.b【詳解】雙曲線C的漸近線方程為丁=±1'，右焦點(diǎn)尸(c,0),?.?漸近線與圓相交，14.已知a>0,b>0,向量慶=(a+2b,-9),n=(8,ab),若而_1_弁，貝?。?a+力的最小值為【答案】8【解析】【分析】由數(shù)量積垂直的坐標(biāo)表示人得出關(guān)系，然后由基本不等式得最小值.【詳解】根據(jù)題意，向量比=(a+2b,-9),n=(S,ab),129若沅_L”，則比?萬(wàn)=8(a+2b)-9ab=0,即8(。+2。)=9ab,變形可得一+—=一，ba8TOC\o"1-5"\h\zs, 8 9,c ,、8(\ ,、8( 2a 2b\則2。+占=六*￡(2。+6)==*|—+—\(2a+b)=—x5+—H ,9 8 9\b aj 9v b a),2a2bJabyA,「， ?「、又由a>0,h>0,則=H =2—+—..4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，baybaJ,8(.2a2b18z_..o則2a+=—x5H 1 ...~x(5+4)=8,91baJ9則2a+h的最小值為8故答案為：8..“中國(guó)剩余定理''又稱"孫子定理”，講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題.現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1到2021這2021個(gè)數(shù)中，能被3除余2且被5除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛?。?則此數(shù)列所有項(xiàng)中，中間項(xiàng)的值為.【答案】1007【解析】【分析】由題可得q=15〃-13,可判斷｛勺｝共有135項(xiàng)，且中間項(xiàng)為第68項(xiàng)，即可求出.【詳解】由題意可知，,-2既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，所以是15的倍數(shù)，即4—2=15(〃-1),所以?！?15/?-13,當(dāng)〃=135時(shí)，=15x135-13=2012<2021,當(dāng)〃=136時(shí)，^136=15x136-13=2027>2021,故〃=1,2,3,…,135,數(shù)列｛4｝共有135項(xiàng)，因此數(shù)列中間項(xiàng)為第68項(xiàng)，且《8=15x68-13=1007.故中間項(xiàng)的值為1007.故答案為：1007..如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，亦稱“阿基米德體”.點(diǎn)A,B,M是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)N是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足若A8=4,則該多面體的表面積為，點(diǎn)N軌跡的長(zhǎng)度為.【答案】①.112百 ②.8+8百【解析】【分析】先求出正四面體的表面積，由該多面體是正四面體截去頂角所在的小正四面體，得出小正四面體的側(cè)面面積和底面面積可得答案；通過(guò)證明A8垂直于一截面，從而得出點(diǎn)N的軌跡，可得答案.【詳解】根據(jù)題意該正四面體的樓長(zhǎng)為3AB=12,點(diǎn)A,B,M分別是正四面體的樓三等分點(diǎn).該正四面體的表面積為4x,xl2xl2xsin6（）o=14462該多面體是正四面體截去頂角所在的小正四面體每個(gè)角上小正四面體的側(cè)面面積為3x,x4x4xsin60°=126>2每個(gè)角上小正四面體的底面面積為一x4x4xsin60°=462所以該多面體的表面積為：144G-4xl2G+4x4G=112ji如圖設(shè)點(diǎn)，為該多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，則H/=8=HM=A/E,在△”心中，HB2=//F2+BF2-2B////Fcos60°=82+42-2x4x8x-!-=482則HB= ,所以HB2+BF2="尸，即HBLBF同理A/5= ,MS_LA3,由 3,所以AB_L平面MB”.由點(diǎn)N是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足則點(diǎn)N的軌跡是線段MB,HB,MH所以點(diǎn)N軌跡的長(zhǎng)度為：MB+//B+M/7=8+4>/3+473=8+8x/3故答案為：（1）11273 （2）8+8百M(fèi)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求多面體的表面積和求動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是先證明AB_L平面MB”,得出點(diǎn)N的軌跡是線段MB,“8,M"，從而求解，屬于中檔題.三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21既為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.).3(/?-ccosA)/r_aiftanCA-n, (八7_一..在①二 =V3tz,②一=一| +1 ③csinB=bcos|C——|這二個(gè)條件中任選一sinC b2UanB) V6J個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.在aABC中，內(nèi)角A、8、C的對(duì)邊分別為a,b,C,且滿足.(1)求C；(2)若aABC的面積為loji，。為AC的中點(diǎn)，求3。的最小值.TT【答案】(1)-3⑵26【解析】【分析】(1)選①時(shí)，利用正弦定理邊化角得sinB-sinCcosA=——sinAsinC，又3sinB=sin(A+C),代入整理得sinAcosC=Y3sinAsinC，化簡(jiǎn)即可求解；選②時(shí)，利用正弦定理邊3化角得s'""=sin('+C),又sin(8+C)=sinA,代入整理得25出48%。5皿3=5吊851114,化簡(jiǎn)sinB2cosCsinB即可求解；選③時(shí)，利用正弦定理邊化角得sinCsin8=sinBcos(cq),即sinC=cos[c-力，再利用兩角差的余弦公式展開(kāi)得sinC=@cosC+』sinC，化簡(jiǎn)即可求解；(2)根據(jù)面積公式得"=40,2 2再利用余弦定理得BD2=a2+---ab,再利用基本不等式求最值即可.42【小問(wèn)1詳解】

選①時(shí)，3s利用正弦定理得：sinB-sinCeosA=—sinAsinC?

smC 3、萬(wàn)由于8=tt—(A+C),所以sin8=sin(A+C),故sinAcosC=」?sinAsinC，3又4￡(0,4)，sinAwO,整理得tanC=6，7TsinA_1[sinsinA_1[sinCcos3十1)sin(B+C)sinB2cosCsinB)2cosCsinB即2sinAcosCsinB=sinBsinA,選②時(shí)，空5+1]，利用正弦定理得：b2(tan8 )由于A+C+3=7r,所以sin(8+C)=sinA,又Ae(O,4),sinA#0,Be(O,^),sinB/O,故cosC=],0<C<%,故C=g.選③時(shí)，csinB=/?coslC--j,利用正弦定理得：sinCsinB=sinBcosfC一看卜又3e(O,;r),sinB^O,整理得又3e(O,;r),sinB^O,整理得sinC=cosC I6—cosC+-sinC.2 2所以sinC=GcosC，整理得tanC=G，0<C<^,故。二^.【小問(wèn)2詳解】由于aABC的面積為10月，所以，-absinC=^ab~=10y/3，解得ab=40.在△BCD中，由余弦定理得：BD2=a2+---abcosC=a2+----ab>2a---ab=-ab^2Q,4 42 22 2故8。22石，當(dāng)且僅當(dāng)即。=26，b=4也,BD最小值為26.218.已知四棱錐E—4BCQ中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB〃D3AD=DC=2,AB=4,△4￡>￡為等邊三角形，且平面ADE_L平面A8CD.BB（1）求證：AEJlBD；（2）是否存在一點(diǎn)產(chǎn)，滿足前=4麗（O<A<1）,且使平面4。尸與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為y巴.若存在，求出；i的值，否則請(qǐng)說(shuō)明理由.13【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在2=:使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為晅.2 13【解析】【分析】（1）取AB的中點(diǎn)G,連接OG,證明是直角三角形，得A￡）_LBO,從而由面面垂直的性質(zhì)定理得線面垂直，則可得證線線垂直；（2）取AO的中點(diǎn)“，連接E"，證明硝，平面45?！辏?以DA,OB為軸，過(guò)。平行于切的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，由空間向量法求二面角的余弦值，由已知求得4,說(shuō)明存在.【詳解】（1）取A8的中點(diǎn)G,連接OG,?.?86=，48=8,86〃。。,，四邊形886是平行四邊

2形，DG=8C=AG=AO=2,，aA￡）G為等邊三角形，OG=，ABjaABD是直角三角形，2AD_L3。，；平面ADE1.平面A8C￡）,8￡）u平面ABC。，AO=平面AOED平面ABC￡）,J_平面ADE,AEu平面ADE,AEJ_3。（2）F為E8中點(diǎn)即可滿足條件.取AO的中點(diǎn)4,連接E4，則即_LAZ），取AO的中點(diǎn)”，連接E77,平面ADE_L平面ABC。，EHu平面E4。，所以EH_L平面ABC。，E"=J5,80=26,如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一節(jié)z.則D（0,0,0）,A（2,0,0）,B（0,2班,0）,。（一1,百,0）,網(wǎng)1,0網(wǎng)，則DA=（2,0,0）,C5=（l,Ao）,E5=（-l,2>/3,->/3）,EF= =（-2,2^2,麗=（"42&,百_&）,設(shè)平面ADE的法向量為歷=（內(nèi)，乂，4）,平面8CE的法向量為萬(wàn)=（X2，N2，Z2）.

DF-in—O—— >得DAfn-0（1-4+26孫+（小網(wǎng)4=0,取莉=（0,12DF-in—O—— >得DAfn-0CBn=O—，得《EBn=OMPCBn=O—，得《EBn=O—x?+2>/3必-J3z2=0于是，Icos〈m,“于是，Icos〈m,“〉|=\m-n|A-1+6^|713->/522-22+1 13解得a=一或力=—（舍去）2 3【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查證明線面平行，由二面角求參數(shù).求二面角的方法：（1）幾何法（定義法）：根據(jù)定義作出二面角平面角并證明，然后解三角形得出結(jié)論；（2）空間向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)為坐標(biāo)，求出二面角兩個(gè)面的法向量，由兩個(gè)平面法向量的夾角得二面角（它們相等或互補(bǔ)）.所以存在2=1使得平面ADF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為迤.2 1319.北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，合肥一中決定安排5名志愿者將兩個(gè)吉祥物安裝在合一廣場(chǎng)，活動(dòng)共分3批次進(jìn)行每次活動(dòng)需要同時(shí)派送2名志愿者，且每次派送人員均從5人中隨機(jī)抽選.已知這5名志愿者中，2人有安裝經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有安裝經(jīng)驗(yàn).（1）求5名志愿者中的“小明”，在這3批次安裝活動(dòng)中有且只有一次被抽選到的概率；（2）求第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有安裝經(jīng)驗(yàn)志愿者的人數(shù)最有可能是幾人？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）現(xiàn)在需要2名志愿者完成某項(xiàng)特殊教學(xué)任務(wù)，每次只能派一個(gè)人，且每個(gè)人只派一次，如果前一位志愿者一定時(shí)間內(nèi)不能完成教學(xué)任務(wù)，則再派另一位志愿者.若有4、8兩個(gè)志愿者可派，他們各自完成任務(wù)的概率分別為耳，P2,假設(shè)1>[>鳥(niǎo)，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.若按某種指定順序派人，這兩個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為/，%,其中%是片、鳥(niǎo)的一個(gè)排列，試分析以怎樣的順序派出志愿者，可使所需派出志愿者的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.54【答案】（1）—（2）最有可能是1人；理由見(jiàn)解析（3）按照先A后8的順序所需人數(shù)期望最小【解析】

2【分析】(1)由題意可得小明被抽取到概率為不，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求解，(2)設(shè)。表示第一次抽取到的沒(méi)有安裝經(jīng)驗(yàn)志愿者人數(shù)，?？赡艿娜≈涤?,1,2,然后求出相應(yīng)的概率，設(shè)《表示第二次抽取到的沒(méi)有安裝經(jīng)驗(yàn)志愿者的人數(shù)，J可能的取值有0,1,2,根據(jù)題意求出相應(yīng)的概率，然后比較概率的大小可得結(jié)論，(3)設(shè)X表示先A后B完成任務(wù)所需人員數(shù)目，列出分布列，求出期望，設(shè)丫表示B先后A完成任務(wù)所需人員數(shù)目，列出分布列，求出期望，然后比較兩個(gè)期望大小即可【小問(wèn)1詳解】25名志愿者的“小明”在每輪抽取中，被抽取到概率為不，則三次抽取中，“小明”恰有一次被抽取到的概率尸=C；x(|)弓)=哉:【小問(wèn)2詳解】第二次抽取到的沒(méi)有安裝經(jīng)驗(yàn)志愿者人數(shù)最有可能是1人.設(shè)0表示第一次抽取到的沒(méi)有安裝經(jīng)驗(yàn)志愿者人數(shù)，?？赡艿娜≈涤?,1,2,則P(o=0)= =L；P(a>=1)= =9；P(<y=2)= =—C；10 C；10 C；1037

loo設(shè)〈表示第二次抽取到的沒(méi)有安裝經(jīng)驗(yàn)志愿者的人數(shù)，＜可能的取值有0,1,37

loo*=0)=浮=+當(dāng).=+浮WyyyyyyPC=2)=,PC=2)=C；c；C；C；100因?yàn)镻C=l)>PC=0)>PC=2),故第二次抽取到的沒(méi)有安裝經(jīng)驗(yàn)志愿者人數(shù)最有可能是1人.【小問(wèn)3詳解】按照先A后8的順序所需人數(shù)期望最小:①設(shè)X表示先A后B完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則X12P1-片E(X)=[+2(i)=2一[,①設(shè)y表示b先后a完成任務(wù)所需人員數(shù)目，則

X12Pp21-鳥(niǎo)E(Y)=P2+2{\-P2)=l-P2,E(y)_E(X)=[_6>0,故按照先A后B的順序所需人數(shù)期望最小.20.在平面直角坐標(biāo)系中，A，4兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),直線A|M,AM.相交于點(diǎn)M且3它們的斜率之積是--，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線及過(guò)點(diǎn)尸(1,0)作直線/交曲線E于P,Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)尸4位于X軸上方.記直線4。，4P的斜率分別為占，k2.(1)證明：丁為定值：k.(2)設(shè)點(diǎn)。關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為2,求△PFQi面積的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)邁4【解析】【分析】(1)先求曲線方程，設(shè)直線方程聯(lián)立曲線方程消元，根據(jù)韋達(dá)定理對(duì)3化簡(jiǎn)可證；k2(2)數(shù)形結(jié)合，將所求面積轉(zhuǎn)化為=S/22,-S.22F，由(1)根據(jù)韋達(dá)定理和基本不等式可得?【小問(wèn)1詳解】2 2 2設(shè)M(x,y),由題可知」——上-=一一，所以三+匕=1(xh±2).x+2x—2 4 43設(shè)直線/的方程為x=my+l,Q(%,y),P(X2，y2),x=my聯(lián)立x2y2,得(3M+4)9+6沖―9=0,聯(lián)立 F--=14 3所以％+>2=一所以％+>2=一6m3濟(jì)+4%%=需占'所以4=比所以4.=X+2=仇-2)%=町％->h% (x,+2)y2加%力+3、2

6/7?-9nr=3m2+4一廠3m2+4-叼=-Sm+.+g=6/7?-96 --9n?+3（3m2+4）y2-33m2+4乂k.所以廠為定值.k、【小問(wèn)2詳解】設(shè)Qj(xi，-y),由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)”>0,S△尸明=5?（-2yJ（々-XJ=XJ|-％y，S△國(guó)F=5（1-xJ（-2y）=%方一y,而SaPFQ.S&qqkf=（%y—工2乂）一（石y—x）9,7737〃+4”2迎37〃+4”2迎―4

m,當(dāng)加2=3,即機(jī)=2包時(shí)，等號(hào)成立,此時(shí)△尸網(wǎng)2的面積最大值為電1.21.已知/(x)=2e'-xsinx.(1)求/(x)在xw［O,兀］上的最小值；(2)設(shè)機(jī)(xcosx-sinx)=e'-0.5x2一天一1,在xc［0,7i］上有兩個(gè)實(shí)根，求加的取值范圍.__._ 7rl e產(chǎn) ］、【答案】(1)2 (2)--H F1 2Tt Tt 2)【解析】【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，為了確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，需對(duì)導(dǎo)函數(shù)再一次求導(dǎo)，得單調(diào)性得正負(fù)，從而得出/3)的單調(diào)性，求出最小值；(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'-0.5尤2一x-l-m(xcosx-sinx),此函數(shù)在xw［O,兀］上有兩個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)函

數(shù)g'(x),對(duì)g'(x)再求導(dǎo)，可令〃(x)=g'(x),然后根據(jù)mN—；和加<—；對(duì)"(X)分類討論，前者利用(1)的結(jié)論可得，后者還需要二次求導(dǎo)以確定單調(diào)性，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】依題意，/(x)=2ex-xsinx,f\x)=(2e“一xsinx)'=2ev-xcosx-sinx,記F(x)=ff(x),則Fr(x)=2ev+xsinx-2cosx因?yàn)閤w［0,7t］,所以ell，xsinx.O,因此F(x)l窟-2cosx0,所以F(x)即f\x)在［0,兀］上單調(diào)遞增，于是/'(X).,(0)=2>0,故函數(shù)/(幻在［0,兀］上單調(diào)遞增，/(x)../(0)=2,7(x)的最小值為2.【小問(wèn)2詳解】g(x)=ex—0.5x--x—1—/n(xcosx—sinx),g，(x)=(e*-0.5x2—x-l-nt(xcosx-sinx)y=eA-l+/nxsinx-x=ex-l+znxsinx-x,/i,(x)=ev+zn(sinx+xcosx)-l,當(dāng)機(jī)之一,時(shí)，/z(x)>er-1--xsinx-x2 2由(1)可知，當(dāng)x￡(0,兀］時(shí),e'—xsinx—x—1>0,2?工當(dāng)工￡(0,兀］時(shí)，h(x)>0.而〃(。)=0,.,?當(dāng)xe［0,乃|時(shí)，〃(x)N0,??.g(x)在［0,兀］上遞增，又g(0)=0而g(0)=0，，當(dāng)xw［0,兀］時(shí),g(x)僅有1個(gè)零點(diǎn)，舍去.設(shè)H(x)=h(x),當(dāng)機(jī)<——時(shí)，h'(x)=ex+m(sinx設(shè)H(x)=h(x),H\x)=ex-zn(xsinx-2cosx).當(dāng)XW—,7T時(shí)，“'(X)>0,所以〃'(x)單調(diào)遞增.2當(dāng)0,^時(shí)，G(x)=Hf(x),Gr(x)=ex-??z(3sinx4-xcosx).因?yàn)閑*>0，w(3sinx+xcosx)..0,所以G'*)>0,所以“'(x)單調(diào)遞增.又以'(又以'(