用mathematica解傅里葉級數(shù)

北京交通大學理學院用mathematica解傅里葉級數(shù)一、 前言：法國數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構成的無窮級數(shù)來表示，后世稱為傅里葉級數(shù)。一種特殊的三角級數(shù)。法國數(shù)學家傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應用。二、 問題描述：設f(X)是周期為2n的周期函數(shù)，它在［-n,n)上的表達式為打i」心「更藝”0，將f10, 0丟艾＜叭(x)展開成傅里葉級數(shù)。三、 問題分析：我們學過的《數(shù)學分析》書中，關于函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式主要有下面兩個基本定理。定理1:若以2l為周期的函數(shù)f在［-L,L］上按段光滑，則f的傅里葉級數(shù)在每一點x處收斂于1/2［f(x-0)+f(x+0)］定理2:若以2L為周期的函數(shù)f在［-L,L］內至多有有限多個第一類間斷點和至多只有有限個極值點，則對每一點x€(-8,+°°),f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于1/2［f(x-0)+f(x+0)］。/(x)的傅里葉系數(shù)滿足如下公式：an=丄門/(x)cos ??^0,1,2,3^ brt=+a)dn歲山￥若將/(a)看作IU2W為周期的函數(shù)，則/(Y)的傅里葉系數(shù)公式為：因此用數(shù)學方法解得：因此用數(shù)學方法解得：解：(1)計算/'(>)的傅里葉系數(shù)：他七軌g=bn=—a)sin?ncIa=—/vsinmdx=x-蚩 7t-i* fj四、問題求解：用mathematica編寫程序如下a0=l/Pi*(Integrate[x,{x,0,Pi}]) (*計算a0*)an=1/Pi*(Integrate[x*Cos[n*x],{x,0,Pi}])(*計算an*)bn=1/Pi*(Integrate[x*Sin[n*x],{x,0,Pi}])(*計算bn*)f[x_]:=Which[—3Pi<=x<-2Pi,0,-2Pi<=x<—Pi,x+2Pi,-Pi<=x<0,0,0<=x<Pi,x,Pi<=x<2Pi,0,2Pi<=x<=3Pi,x—2Pi];(*分段函數(shù)*)For[i=1,i<40,i+=5,fu[x_]:=a0/2+Sum[an*Cos[n*x]+bn*Sin[n*x],{n,1,i}]]（*8個不同級富里埃級數(shù)*）程序及運行結果如下截圖:Untitled-7*In[92]：=aO=1/Pi*(Integrate[x^{x^0』Pi}])an=1/Pi*(Integrate[x*Cos[n*x],r{x_r0_rPi}])l)n=1/Pi*(Integrate[x*Sin[n*x].r0』Pi}])f[x_]:=Vniich[-3Pix=：-2Pi,0,-2Pix=：-Pi,x+2Pi,-Pix0,0x=：Pi,x,Pix=：2Pi,0,2Pix3Pi,x-2Pi];For[i=1,i-=：40,i+=5,fu[ji^]:=aO/2+Sum[an*Cos[nwx]+bnwSin[nwx]』{n, i}]];TTOut[92]=一2-1+Cos[n.Tr]+nASin[n.7r]'="Jt[y：j]= r -nACos[n.TT]+Sin[nA]'："Jt[y4]= 、 n"tv用作圖顯示富里埃級數(shù)逼近f(x)的圖形，則用Plot作圖法輸入：Plot[{f[x],fu[x]}, {x,-3Pi,3Pi},PlotStyle一〉{RGBColor[l,0,0],RGBColor[0,0,1]},PlotRange