數(shù)列高考常見題型分類匯總

數(shù)列高考常見題型分類

匯總-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

數(shù)列通項(xiàng)與求和數(shù)列通項(xiàng)與求和一、數(shù)列的通項(xiàng)方法總結(jié)：對于數(shù)列的通項(xiàng)的變形，除了常見的求通項(xiàng)的方法，還有一些是需要找規(guī)律的，算周期或者根據(jù)圖形進(jìn)行推理。其余形式我們一般遵循以下幾個原則：對于同時出現(xiàn)a,n,S的式子，首先要對等式進(jìn)行化簡。常用的化簡方法是因nn式分解，或者同除一個式子，同加，同減，取倒數(shù)等，如果出現(xiàn)分式，將分式化簡成整式；利用a二S-S1關(guān)系消掉S（或者a），得到關(guān)于a和n的等式，然后用-1傳統(tǒng)的求通項(xiàng)方法求出通項(xiàng)；根據(jù)問題在等式中構(gòu)造相應(yīng)的形式，使其變?yōu)槲覀兪煜さ牡炔顢?shù)列或等比數(shù)列；④對于出現(xiàn)a2或S2（或更高次時）應(yīng)考慮因式分解，最常見的為二次函數(shù)十字nn相乘法，提取公因式法；遇到a相乘法，提取公因式法；遇到a?a時還會兩邊同除a?ann+1nn+11.規(guī)律性形式求通項(xiàng)1-2.分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?1-2.分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?B?曼德爾布羅特（BenoitB.Mandelbrot）在20世紀(jì)701-1.數(shù)列｛an｝滿足an+1=，若a「則a?。’。的值是（）7年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立，為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．下圖按照的分形規(guī)律生長成一個樹形圖，則第12行的實(shí)心圓點(diǎn)的個數(shù)是（）行行行行行O—的分形規(guī)律生長成一個樹形圖，則第12行的實(shí)心圓點(diǎn)的個數(shù)是（）行行行行行O—?…，則第10行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）112亍B羽0C504…，則第10行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）112亍B羽0C504D.n+1⑵令bn=u^1-5.設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S.已知ann1=12S—?n=an+12ngN*.33.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為丄（nM2），每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如3602?出現(xiàn)an,n,S的式子nn4.正項(xiàng)數(shù)列｛an｝的前項(xiàng)和｛an｝滿足:s2一(n2+n-1)s一(n2+n)=0nn求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an;擻列｛bn｝的前n項(xiàng)和為T.證明:對于任意的ngN*，都有nT<—.n64⑴求a的值;2（2）求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.n1-6.已知首項(xiàng)都是1的兩個數(shù)列匕｝,￡｝(b豐0,ngN*)滿足ab-ab+2bb=0.nnnnn-1n-1nn+1n令c斗，求數(shù)列：｝的通項(xiàng)公式；nbnn若b=3n-1，求數(shù)列ta｝的前n項(xiàng)和S.TOC\o"1-5"\h\znnn牛刀小試：1?已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為Sn,a=1,且2nS-2(n+1)S=n(n+1)(ngN*)，數(shù)列n1n+1n｛b｝滿足b-2b+b=0(ngN*),b=5，其前9項(xiàng)和為63.nn+2n+1n3⑴求數(shù)列數(shù)列｛a｝和｛b｝的通項(xiàng)公式;nn已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，且a=a=廿!a.nn12n+12nn求)a的通項(xiàng)公式；n(2)設(shè)bn2S,nN*,若集合Mn|b,nN*恰有4個元素，求實(shí)數(shù)的nnn取值范圍.需構(gòu)造的(證明題)2SS0nnn12,a11-7已知數(shù)列a的前n2SS0nnn12,a1nHn1(1)求證：—是等差數(shù)列;n(2求和表達(dá)式;1-8.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且首項(xiàng)a嚴(yán)3,an+1=Sn+3n(n^N*).求證：乞-3叫是等比數(shù)列；若｛%｝為遞增數(shù)列，求引的取值范圍.牛刀小試

22a1?已知數(shù)列｛?｝中，h=3，"nJR("Ghln證明：數(shù)列-1j是等比數(shù)列；3.數(shù)列｛a｝中na3.數(shù)列｛a｝中na=1,a二1-丄,1n+14a3)求數(shù)列n的前n項(xiàng)和為Snn求證：數(shù)列｛b｝是等差數(shù)列；n二、數(shù)列求和與放縮數(shù)列求和的考察無外乎錯位相減、裂項(xiàng)相消或者是分組求和等，但有一些通項(xiàng)公式需要化簡才可以應(yīng)用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行求和。對于通項(xiàng)公式是分式形式的一般我們嘗試把“大”分式分解成次數(shù)(分母的次數(shù))相等的“小”分式，然后應(yīng)用裂項(xiàng)相消的方法進(jìn)項(xiàng)求和。放縮，怎么去放縮是重點(diǎn)，一般我們不可求和的放縮為可求和的，分式形式，分母是主要化簡對象。2-1.數(shù)列｝滿足2-1.數(shù)列｝滿足a1=2,an+12n+1ana+2nn(neN*)⑴設(shè)bn=冷，求數(shù)列如l的通項(xiàng)公式.n⑵設(shè)Cn=亦，數(shù)列匕［的前n項(xiàng)和為Sn，不等式4m2-4m>Sn對一切n+1neN*成立，求m的范圍.

2?設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a二0且—-二1.n11—a1—an+1n(1)求｛a｝的通項(xiàng)公式；n2)設(shè)b=nb2)設(shè)b=nb，證明:kk=1n4求證（i+i）（i+》a+》…（i-厲呂）＞J時1.[2014湖北七希樓報〕數(shù)列｛6焊公」汕打等一匕數(shù)列，巨1-勺杲口占I卜亜的等兒中項(xiàng)，前起項(xiàng)和為Sj數(shù)列依｝是等差數(shù)列，￡>i=8-其前親項(xiàng)和7；滿足兀=滋&_|(2為常數(shù)，且丄工1'!一(1｝求數(shù)列盤」的誦項(xiàng)公式用幾的值;2-5⑵比畤七弋2護(hù)扛的大卜牛刀小試：1.已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn，且S],S2，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；4n⑵令b=(-1)n-i，求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和T.naannnn＋1三、數(shù)列與不等式問題在這類題目中一般是要證明工a<f(n歳者一個常數(shù)，一般思路有兩種：1?若｛an｝nn可求和S,則可直接求出其和，再轉(zhuǎn)化為S<f(n)，而后一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)，或單調(diào)性nn來比較大小；2.若｛an｝不可求和，則利用放縮法轉(zhuǎn)化為可求和數(shù)列，再重復(fù)1的過程。應(yīng)用放縮法證明，將不規(guī)則的數(shù)列變成規(guī)則的數(shù)列，將其放大或是縮小。但如果出界了怎么辦(放的太大或縮的太小)，一般情況下，我們從第二項(xiàng)開始再放縮，如果還大則在嘗試從第三項(xiàng)開始放縮。2?應(yīng)用數(shù)列單調(diào)性求數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)。我們一般將數(shù)列中的n看做自變量，an看做因變量a=f(n)neN*，用函數(shù)部分求最值方法來求數(shù)列的最值；或者可以利nn用做商比較大小(一般出現(xiàn)冪時采取這個方法)；也可相減做差求單調(diào)性。1.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,且S滿足nnn+n+n-3)S⑴求a［的值;求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;11+11+<—a(a+1)3nn證明：對一切正整數(shù)n2?記公差不為0的等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,Sq二9，a,a,a成等比數(shù)列.nn3358⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式a及S；nnn⑵若c二2n.(?-九),n=1,2,3,…，問是否存在實(shí)數(shù)九，使得數(shù)列｛c｝為單調(diào)遞減nann數(shù)列？若存在，請求出九的取值范圍；若不存在，請說明理由.

牛刀小試：1?數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,已知a=,S=n2a-n(n-1)(neN*).nn12nn(1)求a,a；23⑵求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng);n⑶設(shè)b=擻列｛b｝的前n項(xiàng)和為T，證明:T<[(neN*).nSSnnn2nn+12?設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S?已知a=1,蘭n=a一1n2-n一-,neN*.nn1nn+133求a的值；2求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；nTOC\o"1-5"\h\z1117⑶證明:對一切正整數(shù)n，有-+—++—<7?aaa412n設(shè)數(shù)割仙啲前hffl]為5-H=g-n〔rrl)(ri==lP2.3._Cl］求證：鑒列｛卻為等豊爛■并寫出幾關(guān)于n拓達(dá)式；C2JBS01K―C2JBS01K―—lELrUm^Tr33n-3n-i-l數(shù)列作業(yè)1.設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為S，且S=n2-4n+4nnn(1)求數(shù)列匕｝的通項(xiàng)；n⑵設(shè)b導(dǎo)，數(shù)列缶｝的前n項(xiàng)和為T，求證：1<T<1.TOC\o"1-5"\h\zn2nnn4n已知｛a｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a-a=2,a-a=32.n1234求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n設(shè)數(shù)列缶｝滿足丄+冬+鼻++n=a-1(neN*)，求數(shù)列4?｝的前n項(xiàng)和n1232n-1n+1n3?已知數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S，且滿足a二1,a二2jS+1,nn1n+1nneN*.求a的值；2求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n是否存在正整數(shù)k,使a,S,a成等比數(shù)列k2k-14k若存在，求k的值；若不存在,請說明理由.已知S為數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，S=na-3n(n-1)(neN*)，且a=11.nnnn2(1)求a1的值；

求數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S；nn設(shè)數(shù)列｛B｝滿足B=；~N，求證：B+B++B<二J3N匚2.NNVS12N3N5?設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,且a+S=1.NNNN(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；1又c1又c=—NaBBN-1NN-1且數(shù)列｛｝的前N項(xiàng)和為T,NN⑵設(shè)數(shù)列｛｝滿足：B二丄+1,NNaN2求證：T<3.6.已知數(shù)列｛bn｝滿足3(n+1)B“=nB“+1，且4=3.(1)求數(shù)列｛bN｝的通項(xiàng)公式；(2)已知齊=N(2)已知齊=Nn+12n+3'求證：6寸弋+…+糸1.12N7.已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，且S=2a-1；數(shù)列