簡諧運動的合成與分解講解課件

二、同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成一、同方向同頻率兩個簡諧振動的合成三、兩個互相垂直同頻率簡諧振動的合成研究方法：

采用振動描述的三種方法來分析簡諧振動的合成?！?0-2簡諧振動的合成和分解本講主要內(nèi)容：五、諧振分析和頻譜四、兩個互相垂直不同頻率簡諧振動的合成二、同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成一、同方向同頻率兩個簡諧同方向同頻率兩個簡諧振動的合成仍為簡諧振動。一、同方向同頻率兩個簡諧振動的合成同方向同頻率兩個簡諧振動的合成仍為簡諧振動。一、同方向同頻率討論兩個特例(1)兩個振動同相由由(2)兩個振動反相如果

則A=0toT2T合成振動xtoT2T合成振動討論兩個特例(1)兩個振動同相由由(2)兩個振動反相如果一般情況為其他任意值，則：上述結(jié)果說明兩個振動的相位差對合振動起著重要作用。合成振動tT2To一般情況為其他任意值，則：上述結(jié)果說明兩個振動的相位差對合振O例:

兩個沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動合成后，產(chǎn)生一個具有相同振幅的諧振動，求原來兩個振動的相位差。解：

O例:兩個沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動合成后，例:

N個同方向，同頻率的諧振動，若它們相位依次為，2，…,試求它們的合振幅;并證明當N=2k

時的合振幅為零。

A合XOBCA0解：合振幅A由OPa可看出分析：當N=2k

時的合振幅為零。請大家自行練習！NQRPab/2請記住這個結(jié)論！做筆記！當=2k

時的合振幅為最大。例:N個同方向，同頻率的諧振動，若它們相位依次為，2Ar------仍為簡諧振動2Ar1ArfD若1=2

,則不變；若12

,則變；------為一復(fù)雜運動采用旋轉(zhuǎn)矢量表示法同方向同頻率兩個簡諧振動的合成二.同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成Ar------仍為簡諧振動2Ar1ArfD若1=2設(shè)兩振動振幅相同，并以它們的初相位都為零時為計時起點采用解析法振動曲線示意圖位移xtoT2T分振動1分振動2合振動為一復(fù)雜振動和頻差頻振幅周期性變化設(shè)兩振動振幅相同，并以它們的初相位都為零時為計時起點采用解析著重研究相近情況——拍現(xiàn)象（Beat)即1-2<<

1or2著重研究相近情況——拍現(xiàn)象（Beat)即1-2<tox1x2著重研究相近情況——拍現(xiàn)象（Beat)即1-2<<

1or2解析式振動曲線振幅隨時間的變化非常緩慢振幅調(diào)制因子Amplitudemodulationfactortox1x2著重研究相近情況——拍現(xiàn)象（Beat)即1振幅變化緩慢振幅變化緩慢一個拍一個強弱變化所需的時間tox1x2合振幅變化的頻率即拍頻振幅變化緩慢振幅變化緩慢一個拍一個強弱變化所需的時間tox1手風琴的中音簧：

鍵盤式手風琴（Accordion)的兩排中音簧的頻率大概相差6到8個赫茲，其作用就是產(chǎn)生“拍”頻。而俄羅斯的“巴揚”---紐扣式手風琴則是單簧片的，因此沒有拍頻造成的顫音效果。利用拍頻測速從運動物體反射回來的波的頻率由于多普勒效應(yīng)要發(fā)生微小的變化，通過測量反射波與入射波所形成的拍頻，可以算出物體的運動速度。這種方法廣泛應(yīng)用于對衛(wèi)星、各種交通工具的雷達測速裝置中。拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象。手風琴的中音簧：利用拍頻測速拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象。消去得到軌道方程（橢圓方程）yx質(zhì)點的軌跡曲線仍為諧振動，但是振動方向改變了！三、兩個互相垂直同頻率簡諧振動的合成消去得到軌道方程（橢圓方程）yx質(zhì)點的軌跡曲線仍為諧振動yx軌跡為圓右旋！提問：若y方向振動落后x方向，則結(jié)果如何？畫合運動的軌跡：可在x、y方向分別選一旋轉(zhuǎn)矢量如圖。把小點按順序用曲線聯(lián)起來，即可得所求合運運動的軌跡。yx軌跡為圓右旋！提問：若y方向振動落后x方向，則結(jié)果如何？兩個互相垂直不同振幅同頻率簡諧振動的合成與合成相反：一個圓運動或橢圓運動可分解為相互垂直的兩個簡諧振動。兩個互相垂直不同振幅同頻率簡諧振動的合成與合成相反：一個圓運四、兩個互相垂直不同頻率簡諧振動的合成

如果兩個相互垂直的振動的頻率不相同，它們的合運動比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。下面只討論簡單的情形。兩振動的頻率只有很小的差異

則可以近似地看做同頻率的合成，不過相差在緩慢地變化，因此合成運動軌跡將要不斷地按上圖所示的次序，在圖示的矩形范圍內(nèi)自直線變成橢圓再變成直線等等。四、兩個互相垂直不同頻率簡諧振動的合成如果兩個相如果已知一個振動的周期，就可以根據(jù)李薩如圖形求出另一個振動的周期，這是一種比較方便也是比較常用的測定頻率的方法。則合成運動又具有穩(wěn)定的封閉的運動軌跡。這種圖稱為李薩如圖。如果兩振動的頻率相差較大，但有簡單的整數(shù)比如果已知一個振動的周期，就可以根據(jù)李薩如圖形求出另一個振動的五、諧振分析和頻譜

在自然界和工程技術(shù)中，我們所遇到的振動大多不是簡諧振動，而是復(fù)雜的振動，處理這類問題，往往把復(fù)雜振動看成由一系列不同頻率的間諧振動組合而成，也就是把復(fù)雜振動分解為一系列不同頻率的間諧振動，這樣分解在數(shù)學上的依據(jù)是傅立葉級數(shù)和傅立葉積分的理論，因此這種方法稱為傅立葉分析。（自學）五、諧振分析和頻譜在自然界和工程技術(shù)中，我們所

先看一個倍頻諧振動的例子。下圖，兩種虛線代表兩份振動，頻率之比為3:1，實線代表它們的合振動，圖（a),(b),(c)分別表示三種不同的初相位所對應(yīng)的合振動。三種不同情況，和振動各有不同形式，它們不再是簡諧振動，但仍然是周期運動，而且合振動的頻率與分振動中的最低頻率（基頻）相等.先看一個倍頻諧振動的例子。下圖，兩種虛線代表兩

如果分振動不止兩個，而且它們的振動頻率是基頻地整數(shù)倍（倍頻）則它們的合振動仍然是周期運動，其頻率等于倍頻。按規(guī)律：

如果增加合成的項數(shù)，就可以得到方波形的振動：如果分振動不止兩個，而且它們的振動頻率是基頻地整數(shù)倍（倍

既然一系列倍頻簡諧振動的合成是頻率等于基頻的周期運動，那么，與之相反，任意周期性振動都可以分解為一系列簡諧振動，各個分振動的頻率都是原振動頻率的整數(shù)倍，其中與原振動頻率一致的分振動稱為基頻振動，其它的分振動則依照各自的頻率相對于基頻的倍數(shù)而相應(yīng)的稱為二次、三次、……諧頻振動。這種把一個復(fù)雜的周期振動分解為一系列簡諧振動之和的方法，稱為諧振分析。既然一系列倍頻簡諧振動的合成是頻率等于基頻的周期運動，那么各系數(shù)可由公式得其中：各系數(shù)可由公式得其中：

為了顯示實際振動中所包含的各個簡諧振動的振動情況（振幅、相位），常用圖線把它表示出來。若用橫坐標表示各諧頻振動的頻率，縱坐標表示相應(yīng)的振幅，就得到諧頻振動的振幅分布圖，稱為振動的頻譜。不同的周期運動，具有不同的頻譜，周期運動的各諧振成分的頻率都是基頻的整數(shù)倍，所以它的頻譜是分立譜。不同樂器奏出的統(tǒng)一音調(diào)的音色各不相同，就是由于各種樂器所包含的諧頻振動的振幅不同所致。下圖表示小提琴和鋼琴同奏基頻為440Hz(A調(diào)）的振動曲線和相應(yīng)的頻譜：為了顯示實際振動中所包含的各個簡諧振動的振動情況（振幅近年來，配備有數(shù)字電子計算機的專用儀器相繼問世，如頻率分析儀、快速傅立葉變換處理機、信號處理機等，使用這類儀器可以在很短的時間內(nèi)完成頻譜分析。近年來，配備有數(shù)字電子計算機的專用儀器相繼問世，如頻率分析儀在阻尼較小時，<0，由牛頓第二定律令代入上式（稱為阻尼因子）（稱為阻尼系數(shù)）對于摩擦阻尼，當不太大時阻尼振動（摩擦阻尼，輻射阻尼）略講自學§20.3阻尼振動受迫振動在阻尼較小時，<0，由牛頓第二定律令代入上式（稱

阻尼振動的特點：1.振幅特點:振幅A(t)=A0e-t振幅隨t衰減(因為振動能量不斷損耗)

2.周期特點:

嚴格講，阻尼振動不是周期性振動，更不是簡諧振動，因為位移x(t)不是t的周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重復(fù)性。式中稱為阻尼振動振幅。Otx三種阻尼flash演示阻尼振動的特點：式中稱為阻尼振動振幅。Otx三種阻尼fl曲線４,５為過阻尼振動曲線３為臨界阻尼在生產(chǎn)實際中根據(jù)不同要求控制阻尼大小。圖中曲線1,2為阻尼振動設(shè)為物體相繼兩次通過極大(或極小)位置所經(jīng)時間34512xt阻尼、臨界阻尼和過阻尼：

曲線４,５為曲線３為在生產(chǎn)實際中根據(jù)不同要求控制阻尼大小。圖受迫振動驅(qū)動力運動方程穩(wěn)態(tài)振動后，方程的解為對于一定的振動系統(tǒng)，當一定時，位移振幅A隨頻率而改變。注意:穩(wěn)態(tài)時的受迫振動與無阻尼自由振動實質(zhì)有所不同。令頻率為外力頻率，與振動系統(tǒng)固有頻率無關(guān)！受迫振動驅(qū)動力運動方程穩(wěn)態(tài)振動后，方程的解為對于一定的振動系受迫振動特點：穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化(要注意它和無阻尼自由諧振動的區(qū)別)。角頻率：等于策動力的角頻率。振幅：由系統(tǒng)參數(shù)(0)，阻尼()，策動力(F0，)共同決定。A的大小敏感于和0的相對大小關(guān)系，而和初始條件(x0、0和F0)無關(guān)。初相：亦決定于0、、F0和，與初始條件無關(guān)。值在-

0之間?？梢姡灰苮落后于策動力f的變化(f的初相為零)。

tg=-202-2受迫振動特點：tg=-202-2共振（2）速度共振（圖2）（1）位移共振（圖1）vm0A0在一定條件下，振幅出現(xiàn)極大值，振動劇烈的現(xiàn)象。

一定條件下，速度幅A極大的現(xiàn)象。

即速度共振時，速度與策動力同相，一周期內(nèi)策動力總作正功，此時向系統(tǒng)輸入的能量最大。

俄羅斯伏爾加大橋恐怖蛇形振動共振（2）速度共振（圖2）（1）位移共振（圖1）vm0A為合振幅隨時間作緩慢變化的準簡諧振動（拍）兩個同方向頻率相近的簡諧振動的合成總結(jié)：合振幅變化的頻率即拍頻兩個同方向頻率相同的簡諧振動的合成仍為簡諧振動。合振幅與兩振動的相位差有關(guān)，可用旋轉(zhuǎn)矢量圖求得。兩個振動方向垂直頻率相同的簡諧振動的合成可能仍為直線振動（而且是諧振動）也可能是圓運動，和橢圓運動。為合振幅隨時間作緩慢變化的準簡諧振動（拍）兩個同方向頻率相近作業(yè)：20-242526作業(yè)：20-242526二、同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成一、同方向同頻率兩個簡諧振動的合成三、兩個互相垂直同頻率簡諧振動的合成研究方法：

采用振動描述的三種方法來分析簡諧振動的合成?！?0-2簡諧振動的合成和分解本講主要內(nèi)容：五、諧振分析和頻譜四、兩個互相垂直不同頻率簡諧振動的合成二、同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成一、同方向同頻率兩個簡諧同方向同頻率兩個簡諧振動的合成仍為簡諧振動。一、同方向同頻率兩個簡諧振動的合成同方向同頻率兩個簡諧振動的合成仍為簡諧振動。一、同方向同頻率討論兩個特例(1)兩個振動同相由由(2)兩個振動反相如果

則A=0toT2T合成振動xtoT2T合成振動討論兩個特例(1)兩個振動同相由由(2)兩個振動反相如果一般情況為其他任意值，則：上述結(jié)果說明兩個振動的相位差對合振動起著重要作用。合成振動tT2To一般情況為其他任意值，則：上述結(jié)果說明兩個振動的相位差對合振O例:

兩個沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動合成后，產(chǎn)生一個具有相同振幅的諧振動，求原來兩個振動的相位差。解：

O例:兩個沿同一直線且具有相同振幅和周期的諧振動合成后，例:

N個同方向，同頻率的諧振動，若它們相位依次為，2，…,試求它們的合振幅;并證明當N=2k

時的合振幅為零。

A合XOBCA0解：合振幅A由OPa可看出分析：當N=2k

時的合振幅為零。請大家自行練習！NQRPab/2請記住這個結(jié)論！做筆記！當=2k

時的合振幅為最大。例:N個同方向，同頻率的諧振動，若它們相位依次為，2Ar------仍為簡諧振動2Ar1ArfD若1=2

,則不變；若12

,則變；------為一復(fù)雜運動采用旋轉(zhuǎn)矢量表示法同方向同頻率兩個簡諧振動的合成二.同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成同方向不同頻率兩個簡諧振動的合成Ar------仍為簡諧振動2Ar1ArfD若1=2設(shè)兩振動振幅相同，并以它們的初相位都為零時為計時起點采用解析法振動曲線示意圖位移xtoT2T分振動1分振動2合振動為一復(fù)雜振動和頻差頻振幅周期性變化設(shè)兩振動振幅相同，并以它們的初相位都為零時為計時起點采用解析著重研究相近情況——拍現(xiàn)象（Beat)即1-2<<

1or2著重研究相近情況——拍現(xiàn)象（Beat)即1-2<tox1x2著重研究相近情況——拍現(xiàn)象（Beat)即1-2<<

1or2解析式振動曲線振幅隨時間的變化非常緩慢振幅調(diào)制因子Amplitudemodulationfactortox1x2著重研究相近情況——拍現(xiàn)象（Beat)即1振幅變化緩慢振幅變化緩慢一個拍一個強弱變化所需的時間tox1x2合振幅變化的頻率即拍頻振幅變化緩慢振幅變化緩慢一個拍一個強弱變化所需的時間tox1手風琴的中音簧：

鍵盤式手風琴（Accordion)的兩排中音簧的頻率大概相差6到8個赫茲，其作用就是產(chǎn)生“拍”頻。而俄羅斯的“巴揚”---紐扣式手風琴則是單簧片的，因此沒有拍頻造成的顫音效果。利用拍頻測速從運動物體反射回來的波的頻率由于多普勒效應(yīng)要發(fā)生微小的變化，通過測量反射波與入射波所形成的拍頻，可以算出物體的運動速度。這種方法廣泛應(yīng)用于對衛(wèi)星、各種交通工具的雷達測速裝置中。拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象。手風琴的中音簧：利用拍頻測速拍現(xiàn)象是一種很重要的物理現(xiàn)象。消去得到軌道方程（橢圓方程）yx質(zhì)點的軌跡曲線仍為諧振動，但是振動方向改變了！三、兩個互相垂直同頻率簡諧振動的合成消去得到軌道方程（橢圓方程）yx質(zhì)點的軌跡曲線仍為諧振動yx軌跡為圓右旋！提問：若y方向振動落后x方向，則結(jié)果如何？畫合運動的軌跡：可在x、y方向分別選一旋轉(zhuǎn)矢量如圖。把小點按順序用曲線聯(lián)起來，即可得所求合運運動的軌跡。yx軌跡為圓右旋！提問：若y方向振動落后x方向，則結(jié)果如何？兩個互相垂直不同振幅同頻率簡諧振動的合成與合成相反：一個圓運動或橢圓運動可分解為相互垂直的兩個簡諧振動。兩個互相垂直不同振幅同頻率簡諧振動的合成與合成相反：一個圓運四、兩個互相垂直不同頻率簡諧振動的合成

如果兩個相互垂直的振動的頻率不相同，它們的合運動比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。下面只討論簡單的情形。兩振動的頻率只有很小的差異

則可以近似地看做同頻率的合成，不過相差在緩慢地變化，因此合成運動軌跡將要不斷地按上圖所示的次序，在圖示的矩形范圍內(nèi)自直線變成橢圓再變成直線等等。四、兩個互相垂直不同頻率簡諧振動的合成如果兩個相如果已知一個振動的周期，就可以根據(jù)李薩如圖形求出另一個振動的周期，這是一種比較方便也是比較常用的測定頻率的方法。則合成運動又具有穩(wěn)定的封閉的運動軌跡。這種圖稱為李薩如圖。如果兩振動的頻率相差較大，但有簡單的整數(shù)比如果已知一個振動的周期，就可以根據(jù)李薩如圖形求出另一個振動的五、諧振分析和頻譜

在自然界和工程技術(shù)中，我們所遇到的振動大多不是簡諧振動，而是復(fù)雜的振動，處理這類問題，往往把復(fù)雜振動看成由一系列不同頻率的間諧振動組合而成，也就是把復(fù)雜振動分解為一系列不同頻率的間諧振動，這樣分解在數(shù)學上的依據(jù)是傅立葉級數(shù)和傅立葉積分的理論，因此這種方法稱為傅立葉分析。（自學）五、諧振分析和頻譜在自然界和工程技術(shù)中，我們所

先看一個倍頻諧振動的例子。下圖，兩種虛線代表兩份振動，頻率之比為3:1，實線代表它們的合振動，圖（a),(b),(c)分別表示三種不同的初相位所對應(yīng)的合振動。三種不同情況，和振動各有不同形式，它們不再是簡諧振動，但仍然是周期運動，而且合振動的頻率與分振動中的最低頻率（基頻）相等.先看一個倍頻諧振動的例子。下圖，兩種虛線代表兩

如果分振動不止兩個，而且它們的振動頻率是基頻地整數(shù)倍（倍頻）則它們的合振動仍然是周期運動，其頻率等于倍頻。按規(guī)律：

如果增加合成的項數(shù)，就可以得到方波形的振動：如果分振動不止兩個，而且它們的振動頻率是基頻地整數(shù)倍（倍

既然一系列倍頻簡諧振動的合成是頻率等于基頻的周期運動，那么，與之相反，任意周期性振動都可以分解為一系列簡諧振動，各個分振動的頻率都是原振動頻率的整數(shù)倍，其中與原振動頻率一致的分振動稱為基頻振動，其它的分振動則依照各自的頻率相對于基頻的倍數(shù)而相應(yīng)的稱為二次、三次、……諧頻振動。這種把一個復(fù)雜的周期振動分解為一系列簡諧振動之和的方法，稱為諧振分析。既然一系列倍頻簡諧振動的合成是頻率等于基頻的周期運動，那么各系數(shù)可由公式得其中：各系數(shù)可由公式得其中：

為了顯示實際振動中所包含的各個簡諧振動的振動情況（振幅、相位），常用圖線把它表示出來。若用橫坐標表示各諧頻振動的頻率，縱坐標表示相應(yīng)的振幅，就得到諧頻振動的振幅分布圖，稱為振動的頻譜。不同的周期運動，具有不同的頻譜，周期運動的各諧振成分的頻率都是基頻的整數(shù)倍，所以它的頻譜是分立譜。不同樂器奏出的統(tǒng)一音調(diào)的音色各不相同，就是由于各種樂器所包含的諧頻振動的振幅不同所致。下圖表示小提琴和鋼琴同奏基頻為440Hz(A調(diào)）的振動曲線和相應(yīng)的頻譜：為了顯示實際振動中所包含的各個簡諧振動的振動情況（振幅近年來，配備有數(shù)字電子計算機的專用儀器相繼問世，如頻率分析儀、快速傅立葉變換處理機、信號處理機等，使用這類儀器可以在很短的時間內(nèi)完成頻譜分析。近年來，配備有數(shù)字電子計算機的專用儀器相繼問世，如頻率分析儀在阻尼較小時，<0，由牛頓第二定律令代入上式（稱為阻尼因子）（稱為阻尼系數(shù)）對于摩擦阻尼，當不太大時阻尼振動（摩擦阻尼，輻射阻尼）略講自學§20.3阻尼振動受迫振動在阻尼較小時，<0，由牛頓第二定律令代入上式（稱

阻尼振動的特點：1.振幅特點:振幅A(t)=A0e-t振幅隨t衰減(因為振動能量不斷損耗)

2.周期特點:

嚴格講，阻尼振動不是周期性振動，更不是簡諧振動，因為位移x(t)不是t的周期函數(shù)。但阻尼振動有某種重復(fù)性。式中稱為阻尼振動振幅。Otx三種阻尼flash演示阻尼振動的特點：式中稱為阻尼振動振幅。Otx三種阻尼fl曲線４,５為過阻尼振動曲線３為臨界阻尼在生產(chǎn)實際中根據(jù)不同要求控制阻尼大小。圖中曲線1,2為阻尼振動設(shè)為物體相繼兩次通過極