拋物線焦點(diǎn)弦三角形的面積(拋物線的弦相關(guān)的問(wèn)題)

2222拋物線焦點(diǎn)弦三角形的面積本內(nèi)容主要研究拋物線焦點(diǎn)弦三角形的面積?以拋物線的頂點(diǎn)及其焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，稱為拋物線的焦點(diǎn)弦三角形.給出三種拋物線焦點(diǎn)弦三角形的面積公式，根據(jù)已知條件合理選擇.例:過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)?若IAFI=3,則AAOB的面積為()a2B?后C.32D.2\222解:拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),設(shè)A(x1，y1),B(x2，y2)(y1>0,y2<0),因?yàn)镮AFI=3,所以珀+1=3叫=2,2^2x一yy2=4x代入拋物線方程得?。?2邁，故A(2,2<2),所以直線AB的方程為y二2^2x一yy2=4x-2邁二0,所以人+y2得y2—^2y—4=0所以人+y29［(人+y2)2—4y1y2］二二?又可求得圓點(diǎn)0到直線AB的距離為菩，故gob的面積為s二2x2x竽二迸

［一題多解］設(shè)ZAFx=e（0<3<A\BF\=m,則點(diǎn)A到準(zhǔn)線1:x=-1的距離為3,得3=2+3cos0ocos0=13,又23石麗=?AO的面積為S二2x1°f1x1AB13,又23石麗=?AO的面積為S二2x1°f1x1AB1xsin°二1x1x(3+3)x空二匹2233答案：C注意：前法是解決此類問(wèn)題的通法,一般通過(guò)求弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解,后法則有一定的技巧性.整理：整理：過(guò)拋物線y2=2pXp>0）的焦點(diǎn)f作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，且A”yi），巴,y）o為坐標(biāo)原點(diǎn)?則aaob的面積為(1)S=—x\OF\x\y(1)S=212⑶S=S+S=—OF-BF-sin0+—OF⑶S=S+S=—OF-BF-sin0+—OF-AF-sin0AOABAOBFAOAF22=1OFI?(!AF|+|BF|)sin0=1OF|?|AB|-sin0

其中ZAFx=6(0<e<n)再看一個(gè)例題：例：設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為60°的直線交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AOAB的面積為()解：拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),ZAFx=60°-丄|OF|AF|-丄|OF|AF|+|BF|)sin9-2miAB.sin9由<y-忑3x-1),得3x2—10x+2二0.Iy2-4x所以曽X2-10則IABI-x+x+p-16所以曽X2312^3又S-S+SAOABAOBFNOAF--OF-BF-sin9+1又S-S+SAOABAOBFNOAF故厶AOB的面積為SAOAB總結(jié)：1?根據(jù)已知條件合理選擇我三種拋物線焦點(diǎn)弦三角形的面積公式2.掌握拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)計(jì)算方法.練習(xí)：1?已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)為F(1,O),經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn).(I)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)若AAOB的面積為4,求IABI.2.設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AOAB的面積為()63932D.43.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過(guò)點(diǎn)