第六章隨機信號分析與處理基礎教材課件

6.1隨機信號的描述6.1.1隨機信號及其概率結構6.1.2隨機信號在時域的數(shù)值特征6.1.3隨機信號的頻域描述6.2隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析6.2.1平穩(wěn)隨機信號通過連續(xù)系統(tǒng)6.2.2平穩(wěn)隨機信號通過離散系統(tǒng)6.2.3過渡過程分析第六章隨機信號分析與處理基礎6.1隨機信號的描述第六章隨機信號分析與處理基礎隨機性信號例

汽車車架垂直加速度時間歷程記錄曲線圖中每一條曲線xi(t)都是加速度時間歷程的一次試驗記錄。

x1(t),x2(t),…,xn(t)構成加速度時間歷程的集合，稱為樣本空間，記作X（t）。每一記錄曲線稱為一個樣本，記作xn(t)。

由圖可見，各條曲線互不相同，顯然不可能用明確的函數(shù)式描述。

在任意時刻t1，加速度量值X（t）是一個隨機變量。全部加速度記錄的樣本空間是無窮多個隨機變量的集合。

這種隨機現(xiàn)象的進行過程用隨機過程來描述。隨機性信號汽車車架垂直加速度時間歷程記錄曲線圖中隨機過程分類平穩(wěn)過程非平穩(wěn)過程

噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異隨機過程分類噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計特性隨機過程分類平穩(wěn)過程指它的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化的隨機過程。

噪聲信號(平穩(wěn))任意時刻ti的隨機變量X(ti)求集合平均有若不依賴于采樣時刻ti，μx(ti)為常值，即μx(ti)=μx，則這種隨機過程為平穩(wěn)過程。

隨機過程分類噪聲信號(平穩(wěn))任意時刻ti的隨機變量X(平穩(wěn)過程的均值、方差、均方值是與時間無關的常量，相關函數(shù)及協(xié)方差僅是時移τ的函數(shù)，與過程的起止時刻t無關。平穩(wěn)過程最重要的特點是過程在不同時刻具有相同的統(tǒng)計特征。與平穩(wěn)過程相反，非平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特性是隨著時間的推移而變化的。平穩(wěn)過程的均值、方差、均方值是與時間無關的常量，相關函數(shù)及協(xié)平穩(wěn)過程分類：非各態(tài)歷經過程各態(tài)歷經過程若隨機過程的總體平均參數(shù)，可用任一時間歷程按時間平均所求得的統(tǒng)計參數(shù)來代替，則這類隨機過程稱為各態(tài)歷經隨機過程。

令時間平均值為當時間平均等于集合平均，即μxk=μx，這類平穩(wěn)過程為各態(tài)歷經過程。意義：

實踐證明，許多隨機現(xiàn)象都可以在不同程度上看作各態(tài)歷經隨機過程。因此，可以用時間充分長的單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計參數(shù)來代替總體的平均統(tǒng)計值，這給試驗信號處理帶來了極大的方便。平穩(wěn)過程分類：令時間平均值為當時間平均等于集合平均，即6.1隨機信號的描述6.1.1隨機信號及其概率結構（1）隨機信號：

﹡“樣本空間”（或稱“集合”）：用全部可能觀測到的波形記錄來表示隨機信號，用X(t)表示；﹡“樣本函數(shù)”（或稱“實現(xiàn)”）：用于表示“樣本空間”中每一個確定波形的函數(shù)，用x(t)表示；﹡隨機信號的樣本集合：X(t)={xi(t)},i=1,2,…。t=t1時，隨機信號的狀態(tài)為X(t1)={xi(t1)},i=1,2,…，為一個數(shù)值集合，如p246—圖6-1所示。﹡隨機信號的理解方法：將其看作隨機變量的時間過程，分為連續(xù)時間隨機信號和離散時間隨機信號。6.1隨機信號的描述6.1.1隨機信號及其概率結構（2）概率結構：

由于隨機信號是隨時間變化的隨機變量，故可以用概率結構來描述，具體的，對于離散型隨機變量，用概率描述；對于連續(xù)型隨機變量，用概率密度描述。如，1）一維概率分布函數(shù)表示隨機信號X(t)在t1時刻的取值不大于x1的概率。

2）一維概率密度函數(shù)

表示隨機信號在t1時刻的取值落入[x1,x1+△]極小區(qū)間的平均概率。3）n維聯(lián)合概率分布函數(shù)：4）n維聯(lián)合概率密度函數(shù)：注：在實際中，往往只考慮一維和二維的概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。（2）概率結構：6.1.2隨機信號在時域的數(shù)字特征（1）連續(xù)時間隨機信號的數(shù)字特征﹡均值（或數(shù)學期望）：隨機信號x(t)的所有樣本函數(shù)在同一時刻取值的統(tǒng)計平均值。1）離散隨機信號的均值：2）連續(xù)隨機信號的均值：

其中，

為隨機變量x(t)各個樣本的擺動中心。3）對于平穩(wěn)隨機信號：

可見其均值為一個與時間無關的常數(shù)，相當于信號的直流分量。

﹡均方值：用于表示隨機信號的平均功率，表達式為：

對于平穩(wěn)隨機信號：

其均方值仍為一個與時間無關的常數(shù)。

6.1.2隨機信號在時域的數(shù)字特征﹡方差：用于表明隨機信號各可能值對其平均值的偏離程度，是隨機信號取值分散性的度量。表達式為：

其中，—均方差；對于平穩(wěn)隨機信號：

可見其方差也為一個與時間無關的常數(shù)。﹡方差：用于表明隨機信號各可能值對其平均值的偏離程度，是隨機﹡自相關函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)：

1）自相關函數(shù)：用于反映隨機信號在不同時刻的內在聯(lián)系，表達式為：

當t1=t2=t時，有：

表明：隨機信號的均方值是它的自相關函數(shù)在t1=t2時的特例。對于平穩(wěn)隨機信號：

可見其自相關函數(shù)是時間間隔的函數(shù)。﹡自相關函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)：2）自協(xié)方差函數(shù)：用隨機信號X(t)在兩個不同時刻t1、t2取值起伏變化的相依程度來描述隨機信號不同時刻的關聯(lián)關系，表示為：

當t1=t2=t時，有：對于平穩(wěn)隨機信號：

可見其自協(xié)方差函數(shù)也是時間間隔的函數(shù)。

2）自協(xié)方差函數(shù)：用隨機信號X(t)在兩個不同時刻t1、﹡互相關函數(shù)與互協(xié)方差函數(shù)：

1）互相關函數(shù)：用于研究兩個隨機信號x(t)和y(t)的相互關系，表達式為：

其中，表示兩隨機信號的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)；

表示兩隨機信號之間的線性依賴關系。對于平穩(wěn)隨機信號，當滿足下面條件時：

有：

﹡互相關函數(shù)與互協(xié)方差函數(shù)：2）互協(xié)方差函數(shù)：同樣用于表征兩個隨機信號之間的依賴關系。

對于平穩(wěn)隨機信號：

例6-1一個隨機信號，其中、均為常數(shù)，

為區(qū)間均勻分布的隨機變量，求該隨機信號x(t)的均值、均方值、方差、自相關函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)。

2）互協(xié)方差函數(shù)：同樣用于表征兩個隨機信號之間的依賴關系。解：隨機變量在區(qū)間均勻分布，它與時間無關，故其一維、二維概率密度均為：根據(jù)式（6-15）求得該隨機信號的均值為：根據(jù)式（6-20）求得該隨機信號的自相關函數(shù)為：

解：隨機變量在區(qū)間均勻分其中，根據(jù)式（6-24）求得其自協(xié)方差函數(shù)為：根據(jù)式（6-25）求得該隨機信號的方差為：根據(jù)式（6-26）求得該隨機信號的均方值為：其中，根據(jù)式（6-24）求得其（2）各態(tài)遍歷性隨機信號及其數(shù)字特征﹡時間平均表征量：1）隨機信號x(t)的時間均值：

2）隨機信號x(t)的時間相關函數(shù)：

﹡各態(tài)遍歷性隨機信號：

在一定條件下，平穩(wěn)隨機信號的每一個樣本都同樣地經歷了隨機信號其它樣本的各種可能狀態(tài)，因而從一個樣本的統(tǒng)計特性（時間平均）就能得到全部樣本的統(tǒng)計特性（集平均），此類信號稱為各態(tài)遍歷性隨機信號。﹡各態(tài)遍歷性隨機信號的數(shù)字特征：

先通過簡單的實驗方法或數(shù)學方法得到一個各態(tài)遍歷性隨機信號的均值、自相關函數(shù)，再運用關系式得到其它數(shù)字特征量。（2）各態(tài)遍歷性隨機信號及其數(shù)字特征（2）離散時間隨機信號的數(shù)字特征﹡離散時間隨機信號：時間t的取值是離散的隨機信號x(t)。﹡數(shù)字特征：與連續(xù)時間情況并無不同，只是時間變量t應變?yōu)橄奕≌麛?shù)的變量n。

如，此時總集均值E[X(t)]應表示為：﹡遍歷性隨機序列：對于一個平穩(wěn)隨機序列X(n)，若其各種時間平均以概率1收斂于相應的集合平均，則稱其為遍歷性隨機序列。（2）離散時間隨機信號的數(shù)字特征6.1.2隨機信號的頻域描述

（1）連續(xù)時間情況﹡功率譜（或稱功率譜密度函數(shù)）：

設xi(t)是隨機信號x(t)的一個樣本，不滿足傅立葉變換所要求的平方可積條件，故將其截短，形成,即：

將上式進行傅立葉變換，結合帕斯瓦爾得平均功率譜表達式為：﹡隨機信號的功率譜：6.1.2隨機信號的頻域描述

（1）連續(xù)時間情況﹡維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理：

平穩(wěn)隨機信號x(t)的功率譜是它的自相關函數(shù)的傅立葉變換；而x(t)的自相關函數(shù)是其功率譜的傅立葉反變換。用公式表述如下：﹡維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理：﹡互譜（或稱互功率密度譜）：

對于兩個隨機信號X(t)、Y(t)，若它們是平穩(wěn)相關的，則其互譜為：﹡互譜與互相關函數(shù)的關系：

為一組傅立葉變換對，滿足：﹡互譜（或稱互功率密度譜）：例6-2求隨機相位余弦信號的功率譜及平均功率。解：設隨機相位余弦信號為，其中、均為常數(shù)，為區(qū)間均勻分布的隨機變量。

由例6-1得自相關函數(shù)為：

則根據(jù)維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理得此功率譜為：

平均功率為：例6-2求隨機相位余弦信號的功率譜及平均功率。（2）離散時間情況

上述維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理同樣適用于離散時間序列，故可以求平穩(wěn)隨機序列的功率密度譜，以及序列的自相關函數(shù)。﹡離散時間信號功率譜的特點：1）功率譜是周期性的，因此可作傅立葉級數(shù)分解；2）反演變換的積分區(qū)間是。（2）離散時間情況6.2隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析隨機信號通過線性系統(tǒng)時，可能出現(xiàn)的兩種情況：（1）平穩(wěn)情況（穩(wěn)態(tài)）：如果輸入是平穩(wěn)隨機信號，系統(tǒng)是線性時不變且穩(wěn)定的，則當系統(tǒng)完成過渡過程進入穩(wěn)態(tài)后，輸出也應該是平穩(wěn)的隨機信號；（2）非平穩(wěn)情況（暫態(tài)）：即系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)前的過渡過程。6.2隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析隨機信號通過線性系統(tǒng)時，6.2.1平穩(wěn)隨機信號通過連續(xù)系統(tǒng)（1）系統(tǒng)響應的時域分析

設一線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應為h(t),當時，

其輸出零狀態(tài)響應Y(t)的表達式為：1.輸出Y(t)的均值：2.輸出的Y(t)自相關函數(shù)：3.輸入與輸出之間的互相關函數(shù)：

或

6.2.1平穩(wěn)隨機信號通過連續(xù)系統(tǒng)（2）系統(tǒng)響應的頻域分析

當系統(tǒng)的輸入、輸出均為平穩(wěn)隨機信號時，可以通過維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理求取功率譜密度函數(shù)。1.系統(tǒng)輸出的功率譜密度：

可見，系統(tǒng)的功率譜傳輸能力僅與系統(tǒng)的幅頻特性有關，而與系統(tǒng)的相頻特性無關。2.系統(tǒng)輸入與輸出之間的互功率譜密度：

可見，互功率譜密度不僅包含有系統(tǒng)幅頻特性函數(shù)的幅度信息，還包含有相位信息。

（2）系統(tǒng)響應的頻域分析6.2.2平穩(wěn)隨機信號通過離散系統(tǒng)

隨機序列通過離散系統(tǒng)的分析，與連續(xù)時間隨機信號通過連續(xù)系統(tǒng)對輸出統(tǒng)計特性的分析計算類似，可以采用時域分析和頻域分析兩種方法。

具體分析過程同6.2.1類似，詳見p260～262。

6.2.2平穩(wěn)隨機信號通過離散系統(tǒng)6.2.3過渡過程分析（1）連續(xù)時間信號情況1.零輸入響應：由初始狀態(tài)決定。

若初始狀態(tài)是確定性量，則所得響應也是確定性的；若初始狀態(tài)是隨機變量，則通過解析表達式，分析所得結果的統(tǒng)計特征。

例6-6：p262～2636.2.3過渡過程分析2.零狀態(tài)響應：通過卷積來求解。

對于因果系統(tǒng)，設x(t)在t=0時刻接入，則系統(tǒng)輸出為：1）輸出y(t)的自相關函數(shù)：2）輸入輸出的互相關函數(shù)：注：分別分析零輸入響應和零狀態(tài)響應，再將二者結合可求得系統(tǒng)過渡過程的總響應。2.零狀態(tài)響應：通過卷積來求解。（2）離散時間信號情況1.分析方法：1）根據(jù)初始狀態(tài)是確定性量還是隨機變量，確定系統(tǒng)的零輸入響應過程的確定性或隨機性；2）通過卷積和分析系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。2.例6-7：p265（2）離散時間信號情況功率譜分析！?。∠喔珊瘮?shù)功率譜分析的應用

細化分析倒頻譜分析功率有限信號——功率譜能量有限信號——能量譜功率譜分析?。?！功率有限信號——功率譜頻譜分析可以研究信號的頻率結構工程信號往往是復雜的：包含周期成分<設備運行特征>包含隨機干擾<環(huán)境、故障運行特征>頻譜表現(xiàn)為連續(xù)＋尖脈沖不易識別工程信號分析的關鍵是降低噪聲，提高信噪比頻譜分析不改變信噪比功率譜分析頻譜分析可以研究信號的頻率結構功率譜分析設工程信號x(t)=s(t)+n(t)其中s(t)為有用信號；n(t)為隨機干擾則x(t)的傅里葉變換X(ω)為：X(ω)=S(ω)+N(ω)可見：傅里葉變換不會提高信噪比。對x(t)進行自相關分析

Rxx(τ)=Rss(τ)+Rnn(τ)+Rsn(τ)+Rns(τ)

＝Rss(τ)

——(n(t)零均值，τ∞)可見：相關函數(shù)可以提高信噪比，但不反映頻譜相關函數(shù)的傅里葉變換可以提高信噪比，又能反映頻率結構功率譜功率譜分析設工程信號x(t)=s(t)+n(t)能量譜與功率譜設能量有限信號x(t)、y(t)相關函數(shù)Rxx(τ)、Rxy(τ)定義：自能量譜密度函數(shù)互能量譜密度函數(shù)即能量譜從頻域提取信號中的周期分量或同頻分量相關函數(shù)從時域提取信號中的周期或同頻分量能量譜與功率譜設能量有限信號x(t)、y(t)自能量譜密度函設功率有限信號x(t)、y(t)相關函數(shù)Rxx(τ)、Rxy(τ)定義：自功率譜密度函數(shù)互功率譜密度函數(shù)即功率譜從頻域提取信號中的周期分量或同頻分量相關函數(shù)從時域提取信號中的周期或同頻分量設功率有限信號x(t)、y(t)自功率譜密度函數(shù)互功率譜密度自能量譜密度函數(shù)互能量譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)互功率譜密度函數(shù)能量譜與功率譜——統(tǒng)稱為功率譜自能量譜密度函數(shù)互能量譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)互功率譜密度功率譜的性質功率譜密度函數(shù)的性質自功率譜Sxx(f)是實偶函數(shù)；互功率譜Sxy(f)是非奇非偶復函數(shù)；雙邊譜：f∈(-∞,∞)；功率譜與相關函數(shù)包含的信息完全等價。單邊功率譜工程上，負頻率沒有意義定義f∈0,∞)的單邊功率譜根據(jù)能量守恒準則：功率譜的性質功率譜密度函數(shù)的性質Gxx(f)功率譜的性質單邊功率譜自功率譜Gxx(f)Sxx(f)f互功率譜Gxx(f)Gxx(f)功率譜的性質單邊功率譜Sxx(f)f互功率譜Gx功率譜的性質功率譜的物理意義由功率譜的定義：Gxx(f)下的面積等于信號的總能量故稱Gxx(f)為能量有限信號的能量譜密度函數(shù)或功率有限信號的功率譜密度函數(shù)Gxx(f)任意頻段間的面積＝該頻帶下信號的能量功率譜的性質功率譜的物理意義Gxx(f)下的面積等于信號的總功率譜的計算工程測試中，只能得到有限區(qū)間上的信號x(t)：t∈(-T/2,T/2)；x(t)

X(ω)x(t)x(n)根據(jù)連續(xù)信號的帕斯瓦爾公式：功率譜的計算工程測試中，只能得到有限區(qū)間上的信號功率譜的計算雙邊互功率譜：雙邊自功率譜：單邊自功率譜：單邊自功率譜：功率譜的計算雙邊互功率譜：雙邊自功率譜：單邊自功率譜：單邊自功率譜的計算得到功率譜計算2種方法：直接根據(jù)相關函數(shù)求傅里葉變換先求幅值譜，再利用上述公式計算功率譜的計算得到功率譜計算2種方法：相干函數(shù)評價因果系統(tǒng)輸入輸出之間的因果關系輸出是否由輸入引起？輸出中有多少由輸入引起？系統(tǒng)的線性特性如何？因果系統(tǒng)ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函數(shù)與相干分析相干函數(shù)評價因果系統(tǒng)輸入輸出之間的因果關系因果系統(tǒng)ni(t)相干函數(shù)Rxy(τ)能從延時域上描述輸出與輸入的相關關系相干函數(shù)則從頻域上描述輸出與輸入的相關關系由:因果系統(tǒng)ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函數(shù)Rxy(τ)能從延時域上描述輸出與輸入的相關關系因果相干函數(shù)因果系統(tǒng)ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++Gxx(f)表示y與x

的相關程度Gxx(f)越大，y與x的相關性越強相干函數(shù)定義：相干函數(shù)因果系統(tǒng)ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函數(shù)相干函數(shù)的意義：

x(t)≡k×y(t),完全相干：x(t)與y(t)完全不相關,完全不相干：x(t)與y(t)部分相關,部分相干完全相干：輸出100％由輸入引起，理想系統(tǒng)；完全不相干：輸出與輸入毫無關系，極端情況；部分相干：一般系統(tǒng)，表示系統(tǒng)多輸入系統(tǒng)有干擾非線性相干函數(shù)相干函數(shù)的意義：x(t)≡k×y(t),完全相干：功率譜分析的應用頻譜分析故障診斷信號檢測模式識別……功率譜分析的應用頻譜分析頻譜分析n(t)是零均值、幅度在±1.5范圍內變化的隨機信號。以fs=1000Hz的采樣頻率采樣，求采樣信號的幅值譜和功率譜解：Matlab代碼t=0:0.001:0.5;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+randn(1,length(t));N=512;Y=fft(y,N);G=Y.*conj(Y)/N;Y1=Y(1:N/2);G1=G(1:N/2);f=1000*(0:N-1)/N;subplot(2,2,1):plot(t,y);subplot(2,2,2):plot(f,Y1);Subplot(2,2,3):plot(f,G1)一個被污染的信號頻譜分析n(t)是零均值、幅度在±1.5范圍內變化的隨機信號圖圖頻率響應函數(shù)的測定已知系統(tǒng)的輸入、輸出，求頻響函數(shù)系統(tǒng)h(t)H(f)Y(f)y(t)x(t)X(f)(1)幅值估計法無干擾線性系統(tǒng)只能求出幅頻特性無相位信息頻率響應函數(shù)的測定已知系統(tǒng)的輸入、輸出，求頻響函數(shù)系統(tǒng)頻率響應函數(shù)的測定系統(tǒng)h(t)H(f)Y(f)y(t)x(t)X(f)(2)

互譜估計法無干擾線性系統(tǒng)既能求出幅頻特性又能得到相位信特性頻率響應函數(shù)的測定系統(tǒng)h(t)H(f)Y(f)y(t)頻率響應函數(shù)的測定（3）實際物理系統(tǒng)頻響的求法系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)有干擾系統(tǒng)干擾n,m不相干n、m與a、b不相干a、b系統(tǒng)真正輸入、輸出x、y實際測得的輸入、輸出系統(tǒng)頻率響應由a、b確定：但a、b不可知可通過以下近似方法求得頻率響應函數(shù)的測定（3）實際物理系統(tǒng)頻響的求法系統(tǒng)n(系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)頻率響應函數(shù)的測定幅值估計法幅頻誤差相頻丟失系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)頻率響應函數(shù)的測定互譜估計法幅頻測小相頻精確系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)頻率響應函數(shù)的測定互譜估計法幅頻測大相頻精確系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)頻率響應函數(shù)的測定平均估計法相頻精確幅頻測小幅頻測大幅頻更接近系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a細化分析引出：功率譜分析基本思想是帶通濾波＋FFT：分析個別頻帶上的頻率成分分辨率確定、采樣點確定一些工程信號<語音、振動、噪聲>頻帶很寬頻率譜線密集為了識別譜圖的細微結構，必須提高功率譜分析的分辨率分析儀器具有很寬的頻率范圍相互矛盾f/HzGxx(f)f0f1f2細化分析引出：相互矛盾f/HzGxx(f)f0f1f細化分析信號時域寬度T，采樣點數(shù)N，采樣間隔信號頻帶寬度fc=fs/2，譜線數(shù)N，頻率分辨率提高頻率分辨率的兩種途徑：引起混疊工作量增加；硬件不允許均不可行！措施：保持N不變，設法降低——細化分析（ZOOM－FFT）的基本思想細化分析信號時域寬度T，采樣點數(shù)N，采樣間隔信號頻帶寬度fc細化分析的基本思想移頻低通濾波重新采樣FFTf/HzGxx(f)感興趣頻段f0f0-f1f0+f1-f10f1移頻濾波后，感興趣頻帶的最高頻率f1<<f0<0.5fm；有可能在滿足采樣定理的前提下增大采樣間隔；提高頻率分辨率x(t)e-j2πf0Gxx(f+f0)細化分析的基本思想移頻低通濾波重新采樣FFTf/H移頻確定分析頻帶f0±f1，找出中心頻率f0;利用移頻技術，將f0移至0Hz處：由頻帶左移f0,感興趣的頻帶移至低頻端。移頻的實質是：給時域信號x(t)乘以或給時域信號x(n)乘以其中：或感興趣頻段Gxx(f)f/Hzf0f0-f1f0+f1-f10f1-f10f1移頻確定分析頻帶f0±f1，找出中心頻率f0;由頻帶左移f0低通濾波以截至頻率為f0的的通濾波器濾波得到感興趣的頻段最高頻率f1低通濾波的目的：避免重新采樣時發(fā)生混疊f/HzGxx(f+f0)

-f10f1低通濾波以截至頻率為f0的的通濾波器濾波f/HzGxx(D為正整數(shù)細化倍數(shù)重新采樣信號原長為T，采樣間隔Ts,采樣點數(shù)N，則采樣頻率fs，頻率分辨率重新采樣：采樣間隔DTs,采樣點數(shù)N，則：信號長度變?yōu)門’=DTsN=DT，

重新采樣頻率頻率分辨率結論：只要將信號長度增加D倍，采樣間隔加大D倍，采樣點數(shù)不變時，頻率分辨率提高D倍。D為正整數(shù)重新采樣信號原長為T，采樣間隔Ts,采樣點數(shù)N，則快速傅里葉變換對重新采樣的數(shù)據(jù)進行FFTX(k)；頻譜重構，得到細化D倍的頻譜：快速傅里葉變換對重新采樣的數(shù)據(jù)進行FFTX(k)；ZOOM－FFT的一般步驟乘法器FFT重新采樣系數(shù)發(fā)生器采樣器低通濾波頻譜重構細化倍數(shù)D移頻ZOOM－FFT的一般步驟乘法器FFT重新系數(shù)發(fā)生器采樣器低倒頻譜分析或倒功率譜分析Cepstrum功率譜分析(Spectrum)的思想:FFT+帶通濾波:分析全頻域頻率結構功率譜分析(Spectrum)的局限性:僅適應于線性疊加信號的頻譜分析兩信號頻帶不交疊時信號的分離不適用于非線性信號處理Y(f)X(f)Y(f)X(f)x(t)+y(t)x(t)×y(t)倒頻譜分析或倒功率譜分析Cepstrum功率譜分析(Spec信號非線性疊加的例子測量問題：語音分析問題：傳感器輸入x(t)輸出y(t)h(t)H(f)Y(f)X(f)H(f)X(f)fY(f)X(f)與H(f)不可分離聲道聲門聲門沖激發(fā)音器官的特征語音聲門沖激信號X(f)與H(f)不可分離信號非線性疊加的例子測量問題：語音分析問題：傳感器輸入x(t解決問題的思路頻域上“乘積”化為“求和”頻譜取對數(shù)——倒頻譜/倒功率譜

——1962年Tukey等認提出用于語音分析、地震分析、回聲分析、故障診斷等領域解決問題的思路頻域上“乘積”化為“求和”倒頻譜分析原理設時域信號離散傅里葉變換頻譜的模取對數(shù)傅里葉反變換實倒頻譜定義：信號頻譜模的對數(shù)的傅里葉逆變換幅頻化積為和Cx(τ)只反映x(n)的實部，稱為實倒頻譜由實倒頻譜不能恢復信號的頻譜！指數(shù)運算倒頻譜分析原理設時域信號離散傅里葉變換頻譜的模取對數(shù)傅里葉反倒頻譜自變量的量綱時間頻率倒時間頻率倒時間幅度變化時間倒頻率幅度變化τ具有時間的量綱，但幅度發(fā)生變化τ稱為倒頻率，C(τ)稱為倒頻譜倒頻譜自變量的量綱時間頻率倒時間頻率倒時間幅度變化時間倒頻率倒頻譜分析原理一般情況下，X(n)為復數(shù)：C(τ)包含X(n)的實部和虛部，可以恢復信號的頻譜C(n)稱為信號的復倒頻譜復倒頻譜與信號頻譜一一對應一般在不關心相位信息時，采用實倒譜倒頻譜分析原理一般情況下，X(n)為復數(shù)：C(τ)包含X(n倒功率譜設時域信號功率譜（實譜）倒功率譜從倒功率譜可以恢復信號的功率譜！倒功率譜定義：信號功率譜對數(shù)的傅里葉變換實偶函數(shù)倒功率譜設時域信號功率譜（實譜）倒功率譜從倒功率譜可以恢復信倒功率譜分析的過程編輯倒濾波倒功率譜分析的過程編輯倒濾波倒頻譜術語頻譜：spectrum倒頻譜：cepstrum頻率：frequency倒頻率：quefrency相位：phase倒相位：saphe濾波：filter倒濾波：lifter倒頻譜術語頻譜：spectrum倒頻譜：cepst倒頻譜分析的應用傳遞函數(shù)的分離回聲分析與剔除倒頻譜分析的應用傳遞函數(shù)的分離（1）傳遞函數(shù)分離傳感器輸入x(t)輸出y(t)H(f)Y(f)X(f)H(f)X(f)fY(f)求H(f)＝？τh(t)Cx(τ)Ch(τ)（1）傳遞函數(shù)分離傳感器輸入x(t)輸出y(t)H(f)Y(傅里葉變換FFT：（1）傳遞函數(shù)分離Cx和Ch

在倒頻域上占有不同的頻段：Cx在高頻段Ch在低頻段倒濾波(倒譜編輯)低通濾波得Ch

分離傳遞函數(shù)h(t)高通濾波得Cx

分離信號x(t)τCx(τ)Ch(τ)指數(shù)運算exp(·)：開平方：傅里葉反變換IFFT：傅里葉變換FFT：指數(shù)運算exp(·)：開平方：傅里葉反變換IFFT：傅里葉變換FFT：（1）傳遞函數(shù)分離Cx和Ch在倒頻域上實例某檢測系統(tǒng)輸出y(t)功率譜對數(shù)圖，輸入x(t),系統(tǒng)脈沖響應函數(shù)h(t)ln[Sy(f)]ff0ln|H(f)|2ln[Sx(f)]τ0τCy(τ)Cx(τ)Ch(τ)對數(shù)頻域有周期分量，Sy(f)=|H(f)|2SX(f)；倒頻域必有脈沖成分,對應于Sx(f)；f0與τ0滿足:τ0＝f0－1；濾除高頻，可恢復脈沖相應函數(shù)h(t)

；濾除低頻，可恢復被測信號x(t)實例某檢測系統(tǒng)輸出y(t)功率譜對數(shù)圖，輸入x(t),系統(tǒng)脈(2)回聲分析與剔除噪聲測量中會引入回聲；回聲使聲源的功率譜產生畸變；影響聲源定位或頻率識別；精密測量時應予以剔除。聲源信號x(t);聲速V;反射系數(shù)α；聲源至反射壁距離S。則信號通道時差τ0＝2S/V反射壁聲源傳聲器x(t)y(t)S真實信號回聲(2)回聲分析與剔除噪聲測量中會引入回聲；反射壁聲源傳聲①波形分析時域：傳聲器輸出＝原聲＋回聲回聲相對原聲：幅度減小、延時時域中波形重疊，不能剔除回聲tx(t)τ0αx(t-τ0)y(t)①波形分析時域：傳聲器輸出＝原聲＋回聲tx(t)τ0αx(t①

波形分析頻域：幅頻：原聲譜＋回聲譜，波形完全重疊相頻：原聲相位與回聲相位疊加頻域中，不能剔除回聲x(t)αX(f)Y(f)f幅頻φx2πfτ0φyφf對策：倒頻譜分析①波形分析頻域：幅頻：原聲譜＋回聲譜，波形完全重疊x(t)時域卷積，倒頻分離②

回聲分析測量的時域表達式：時域卷積，倒頻分離②回聲分析測量的時域表達式：②

回聲分析兩邊取對數(shù)冪級數(shù)展開②回聲分析兩邊取對數(shù)冪級數(shù)展開②

回聲分析求倒功率譜：傅里葉反變換回聲信號倒譜聲源信號倒譜-412354-1-2-3-5τ×τ0②回聲分析求倒功率譜：回聲信號聲源信號-412354-1-②

回聲分析結論：回聲的倒譜是一系列周期為τ0的沖激信號；隨|n|的增大，脈沖幅度快速減小.沖激只發(fā)生在τ0的整數(shù)倍處（n≠0）；雞冠狀濾波器可以濾除此周期沖激；由Cx(τ)恢復聲源真實信號的倒譜；有多個回聲實，倒譜中有多個沖激族。②回聲分析結論：③回聲剔除倒譜編輯——倒濾波-412354-1-2-3-5τ×τ0雞冠狀濾波器剔除回聲雞冠狀濾波器Cy(τ)Cx(τ)③回聲剔除倒譜編輯——倒濾波-412354-1-2-3-5④聲源信號恢復真實信號得以恢復！④聲源信號恢復真實信號得以恢復！6.1隨機信號的描述6.1.1隨機信號及其概率結構6.1.2隨機信號在時域的數(shù)值特征6.1.3隨機信號的頻域描述6.2隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析6.2.1平穩(wěn)隨機信號通過連續(xù)系統(tǒng)6.2.2平穩(wěn)隨機信號通過離散系統(tǒng)6.2.3過渡過程分析第六章隨機信號分析與處理基礎6.1隨機信號的描述第六章隨機信號分析與處理基礎隨機性信號例

汽車車架垂直加速度時間歷程記錄曲線圖中每一條曲線xi(t)都是加速度時間歷程的一次試驗記錄。

x1(t),x2(t),…,xn(t)構成加速度時間歷程的集合，稱為樣本空間，記作X（t）。每一記錄曲線稱為一個樣本，記作xn(t)。

由圖可見，各條曲線互不相同，顯然不可能用明確的函數(shù)式描述。

在任意時刻t1，加速度量值X（t）是一個隨機變量。全部加速度記錄的樣本空間是無窮多個隨機變量的集合。

這種隨機現(xiàn)象的進行過程用隨機過程來描述。隨機性信號汽車車架垂直加速度時間歷程記錄曲線圖中隨機過程分類平穩(wěn)過程非平穩(wěn)過程

噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異隨機過程分類噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計特性隨機過程分類平穩(wěn)過程指它的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化的隨機過程。

噪聲信號(平穩(wěn))任意時刻ti的隨機變量X(ti)求集合平均有若不依賴于采樣時刻ti，μx(ti)為常值，即μx(ti)=μx，則這種隨機過程為平穩(wěn)過程。

隨機過程分類噪聲信號(平穩(wěn))任意時刻ti的隨機變量X(平穩(wěn)過程的均值、方差、均方值是與時間無關的常量，相關函數(shù)及協(xié)方差僅是時移τ的函數(shù)，與過程的起止時刻t無關。平穩(wěn)過程最重要的特點是過程在不同時刻具有相同的統(tǒng)計特征。與平穩(wěn)過程相反，非平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特性是隨著時間的推移而變化的。平穩(wěn)過程的均值、方差、均方值是與時間無關的常量，相關函數(shù)及協(xié)平穩(wěn)過程分類：非各態(tài)歷經過程各態(tài)歷經過程若隨機過程的總體平均參數(shù)，可用任一時間歷程按時間平均所求得的統(tǒng)計參數(shù)來代替，則這類隨機過程稱為各態(tài)歷經隨機過程。

令時間平均值為當時間平均等于集合平均，即μxk=μx，這類平穩(wěn)過程為各態(tài)歷經過程。意義：

實踐證明，許多隨機現(xiàn)象都可以在不同程度上看作各態(tài)歷經隨機過程。因此，可以用時間充分長的單個樣本函數(shù)的時間平均統(tǒng)計參數(shù)來代替總體的平均統(tǒng)計值，這給試驗信號處理帶來了極大的方便。平穩(wěn)過程分類：令時間平均值為當時間平均等于集合平均，即6.1隨機信號的描述6.1.1隨機信號及其概率結構（1）隨機信號：

﹡“樣本空間”（或稱“集合”）：用全部可能觀測到的波形記錄來表示隨機信號，用X(t)表示；﹡“樣本函數(shù)”（或稱“實現(xiàn)”）：用于表示“樣本空間”中每一個確定波形的函數(shù)，用x(t)表示；﹡隨機信號的樣本集合：X(t)={xi(t)},i=1,2,…。t=t1時，隨機信號的狀態(tài)為X(t1)={xi(t1)},i=1,2,…，為一個數(shù)值集合，如p246—圖6-1所示。﹡隨機信號的理解方法：將其看作隨機變量的時間過程，分為連續(xù)時間隨機信號和離散時間隨機信號。6.1隨機信號的描述6.1.1隨機信號及其概率結構（2）概率結構：

由于隨機信號是隨時間變化的隨機變量，故可以用概率結構來描述，具體的，對于離散型隨機變量，用概率描述；對于連續(xù)型隨機變量，用概率密度描述。如，1）一維概率分布函數(shù)表示隨機信號X(t)在t1時刻的取值不大于x1的概率。

2）一維概率密度函數(shù)

表示隨機信號在t1時刻的取值落入[x1,x1+△]極小區(qū)間的平均概率。3）n維聯(lián)合概率分布函數(shù)：4）n維聯(lián)合概率密度函數(shù)：注：在實際中，往往只考慮一維和二維的概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。（2）概率結構：6.1.2隨機信號在時域的數(shù)字特征（1）連續(xù)時間隨機信號的數(shù)字特征﹡均值（或數(shù)學期望）：隨機信號x(t)的所有樣本函數(shù)在同一時刻取值的統(tǒng)計平均值。1）離散隨機信號的均值：2）連續(xù)隨機信號的均值：

其中，

為隨機變量x(t)各個樣本的擺動中心。3）對于平穩(wěn)隨機信號：

可見其均值為一個與時間無關的常數(shù)，相當于信號的直流分量。

﹡均方值：用于表示隨機信號的平均功率，表達式為：

對于平穩(wěn)隨機信號：

其均方值仍為一個與時間無關的常數(shù)。

6.1.2隨機信號在時域的數(shù)字特征﹡方差：用于表明隨機信號各可能值對其平均值的偏離程度，是隨機信號取值分散性的度量。表達式為：

其中，—均方差；對于平穩(wěn)隨機信號：

可見其方差也為一個與時間無關的常數(shù)。﹡方差：用于表明隨機信號各可能值對其平均值的偏離程度，是隨機﹡自相關函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)：

1）自相關函數(shù)：用于反映隨機信號在不同時刻的內在聯(lián)系，表達式為：

當t1=t2=t時，有：

表明：隨機信號的均方值是它的自相關函數(shù)在t1=t2時的特例。對于平穩(wěn)隨機信號：

可見其自相關函數(shù)是時間間隔的函數(shù)。﹡自相關函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)：2）自協(xié)方差函數(shù)：用隨機信號X(t)在兩個不同時刻t1、t2取值起伏變化的相依程度來描述隨機信號不同時刻的關聯(lián)關系，表示為：

當t1=t2=t時，有：對于平穩(wěn)隨機信號：

可見其自協(xié)方差函數(shù)也是時間間隔的函數(shù)。

2）自協(xié)方差函數(shù)：用隨機信號X(t)在兩個不同時刻t1、﹡互相關函數(shù)與互協(xié)方差函數(shù)：

1）互相關函數(shù)：用于研究兩個隨機信號x(t)和y(t)的相互關系，表達式為：

其中，表示兩隨機信號的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)；

表示兩隨機信號之間的線性依賴關系。對于平穩(wěn)隨機信號，當滿足下面條件時：

有：

﹡互相關函數(shù)與互協(xié)方差函數(shù)：2）互協(xié)方差函數(shù)：同樣用于表征兩個隨機信號之間的依賴關系。

對于平穩(wěn)隨機信號：

例6-1一個隨機信號，其中、均為常數(shù)，

為區(qū)間均勻分布的隨機變量，求該隨機信號x(t)的均值、均方值、方差、自相關函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)。

2）互協(xié)方差函數(shù)：同樣用于表征兩個隨機信號之間的依賴關系。解：隨機變量在區(qū)間均勻分布，它與時間無關，故其一維、二維概率密度均為：根據(jù)式（6-15）求得該隨機信號的均值為：根據(jù)式（6-20）求得該隨機信號的自相關函數(shù)為：

解：隨機變量在區(qū)間均勻分其中，根據(jù)式（6-24）求得其自協(xié)方差函數(shù)為：根據(jù)式（6-25）求得該隨機信號的方差為：根據(jù)式（6-26）求得該隨機信號的均方值為：其中，根據(jù)式（6-24）求得其（2）各態(tài)遍歷性隨機信號及其數(shù)字特征﹡時間平均表征量：1）隨機信號x(t)的時間均值：

2）隨機信號x(t)的時間相關函數(shù)：

﹡各態(tài)遍歷性隨機信號：

在一定條件下，平穩(wěn)隨機信號的每一個樣本都同樣地經歷了隨機信號其它樣本的各種可能狀態(tài)，因而從一個樣本的統(tǒng)計特性（時間平均）就能得到全部樣本的統(tǒng)計特性（集平均），此類信號稱為各態(tài)遍歷性隨機信號。﹡各態(tài)遍歷性隨機信號的數(shù)字特征：

先通過簡單的實驗方法或數(shù)學方法得到一個各態(tài)遍歷性隨機信號的均值、自相關函數(shù)，再運用關系式得到其它數(shù)字特征量。（2）各態(tài)遍歷性隨機信號及其數(shù)字特征（2）離散時間隨機信號的數(shù)字特征﹡離散時間隨機信號：時間t的取值是離散的隨機信號x(t)。﹡數(shù)字特征：與連續(xù)時間情況并無不同，只是時間變量t應變?yōu)橄奕≌麛?shù)的變量n。

如，此時總集均值E[X(t)]應表示為：﹡遍歷性隨機序列：對于一個平穩(wěn)隨機序列X(n)，若其各種時間平均以概率1收斂于相應的集合平均，則稱其為遍歷性隨機序列。（2）離散時間隨機信號的數(shù)字特征6.1.2隨機信號的頻域描述

（1）連續(xù)時間情況﹡功率譜（或稱功率譜密度函數(shù)）：

設xi(t)是隨機信號x(t)的一個樣本，不滿足傅立葉變換所要求的平方可積條件，故將其截短，形成,即：

將上式進行傅立葉變換，結合帕斯瓦爾得平均功率譜表達式為：﹡隨機信號的功率譜：6.1.2隨機信號的頻域描述

（1）連續(xù)時間情況﹡維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理：

平穩(wěn)隨機信號x(t)的功率譜是它的自相關函數(shù)的傅立葉變換；而x(t)的自相關函數(shù)是其功率譜的傅立葉反變換。用公式表述如下：﹡維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理：﹡互譜（或稱互功率密度譜）：

對于兩個隨機信號X(t)、Y(t)，若它們是平穩(wěn)相關的，則其互譜為：﹡互譜與互相關函數(shù)的關系：

為一組傅立葉變換對，滿足：﹡互譜（或稱互功率密度譜）：例6-2求隨機相位余弦信號的功率譜及平均功率。解：設隨機相位余弦信號為，其中、均為常數(shù)，為區(qū)間均勻分布的隨機變量。

由例6-1得自相關函數(shù)為：

則根據(jù)維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理得此功率譜為：

平均功率為：例6-2求隨機相位余弦信號的功率譜及平均功率。（2）離散時間情況

上述維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理同樣適用于離散時間序列，故可以求平穩(wěn)隨機序列的功率密度譜，以及序列的自相關函數(shù)。﹡離散時間信號功率譜的特點：1）功率譜是周期性的，因此可作傅立葉級數(shù)分解；2）反演變換的積分區(qū)間是。（2）離散時間情況6.2隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析隨機信號通過線性系統(tǒng)時，可能出現(xiàn)的兩種情況：（1）平穩(wěn)情況（穩(wěn)態(tài)）：如果輸入是平穩(wěn)隨機信號，系統(tǒng)是線性時不變且穩(wěn)定的，則當系統(tǒng)完成過渡過程進入穩(wěn)態(tài)后，輸出也應該是平穩(wěn)的隨機信號；（2）非平穩(wěn)情況（暫態(tài)）：即系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)前的過渡過程。6.2隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析隨機信號通過線性系統(tǒng)時，6.2.1平穩(wěn)隨機信號通過連續(xù)系統(tǒng)（1）系統(tǒng)響應的時域分析

設一線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應為h(t),當時，

其輸出零狀態(tài)響應Y(t)的表達式為：1.輸出Y(t)的均值：2.輸出的Y(t)自相關函數(shù)：3.輸入與輸出之間的互相關函數(shù)：

或

6.2.1平穩(wěn)隨機信號通過連續(xù)系統(tǒng)（2）系統(tǒng)響應的頻域分析

當系統(tǒng)的輸入、輸出均為平穩(wěn)隨機信號時，可以通過維納-辛欽（Wiener-Khinchine）定理求取功率譜密度函數(shù)。1.系統(tǒng)輸出的功率譜密度：

可見，系統(tǒng)的功率譜傳輸能力僅與系統(tǒng)的幅頻特性有關，而與系統(tǒng)的相頻特性無關。2.系統(tǒng)輸入與輸出之間的互功率譜密度：

可見，互功率譜密度不僅包含有系統(tǒng)幅頻特性函數(shù)的幅度信息，還包含有相位信息。

（2）系統(tǒng)響應的頻域分析6.2.2平穩(wěn)隨機信號通過離散系統(tǒng)

隨機序列通過離散系統(tǒng)的分析，與連續(xù)時間隨機信號通過連續(xù)系統(tǒng)對輸出統(tǒng)計特性的分析計算類似，可以采用時域分析和頻域分析兩種方法。

具體分析過程同6.2.1類似，詳見p260～262。

6.2.2平穩(wěn)隨機信號通過離散系統(tǒng)6.2.3過渡過程分析（1）連續(xù)時間信號情況1.零輸入響應：由初始狀態(tài)決定。

若初始狀態(tài)是確定性量，則所得響應也是確定性的；若初始狀態(tài)是隨機變量，則通過解析表達式，分析所得結果的統(tǒng)計特征。

例6-6：p262～2636.2.3過渡過程分析2.零狀態(tài)響應：通過卷積來求解。

對于因果系統(tǒng)，設x(t)在t=0時刻接入，則系統(tǒng)輸出為：1）輸出y(t)的自相關函數(shù)：2）輸入輸出的互相關函數(shù)：注：分別分析零輸入響應和零狀態(tài)響應，再將二者結合可求得系統(tǒng)過渡過程的總響應。2.零狀態(tài)響應：通過卷積來求解。（2）離散時間信號情況1.分析方法：1）根據(jù)初始狀態(tài)是確定性量還是隨機變量，確定系統(tǒng)的零輸入響應過程的確定性或隨機性；2）通過卷積和分析系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。2.例6-7：p265（2）離散時間信號情況功率譜分析?。?！相干函數(shù)功率譜分析的應用

細化分析倒頻譜分析功率有限信號——功率譜能量有限信號——能量譜功率譜分析！??！功率有限信號——功率譜頻譜分析可以研究信號的頻率結構工程信號往往是復雜的：包含周期成分<設備運行特征>包含隨機干擾<環(huán)境、故障運行特征>頻譜表現(xiàn)為連續(xù)＋尖脈沖不易識別工程信號分析的關鍵是降低噪聲，提高信噪比頻譜分析不改變信噪比功率譜分析頻譜分析可以研究信號的頻率結構功率譜分析設工程信號x(t)=s(t)+n(t)其中s(t)為有用信號；n(t)為隨機干擾則x(t)的傅里葉變換X(ω)為：X(ω)=S(ω)+N(ω)可見：傅里葉變換不會提高信噪比。對x(t)進行自相關分析

Rxx(τ)=Rss(τ)+Rnn(τ)+Rsn(τ)+Rns(τ)

＝Rss(τ)

——(n(t)零均值，τ∞)可見：相關函數(shù)可以提高信噪比，但不反映頻譜相關函數(shù)的傅里葉變換可以提高信噪比，又能反映頻率結構功率譜功率譜分析設工程信號x(t)=s(t)+n(t)能量譜與功率譜設能量有限信號x(t)、y(t)相關函數(shù)Rxx(τ)、Rxy(τ)定義：自能量譜密度函數(shù)互能量譜密度函數(shù)即能量譜從頻域提取信號中的周期分量或同頻分量相關函數(shù)從時域提取信號中的周期或同頻分量能量譜與功率譜設能量有限信號x(t)、y(t)自能量譜密度函設功率有限信號x(t)、y(t)相關函數(shù)Rxx(τ)、Rxy(τ)定義：自功率譜密度函數(shù)互功率譜密度函數(shù)即功率譜從頻域提取信號中的周期分量或同頻分量相關函數(shù)從時域提取信號中的周期或同頻分量設功率有限信號x(t)、y(t)自功率譜密度函數(shù)互功率譜密度自能量譜密度函數(shù)互能量譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)互功率譜密度函數(shù)能量譜與功率譜——統(tǒng)稱為功率譜自能量譜密度函數(shù)互能量譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)互功率譜密度功率譜的性質功率譜密度函數(shù)的性質自功率譜Sxx(f)是實偶函數(shù)；互功率譜Sxy(f)是非奇非偶復函數(shù)；雙邊譜：f∈(-∞,∞)；功率譜與相關函數(shù)包含的信息完全等價。單邊功率譜工程上，負頻率沒有意義定義f∈0,∞)的單邊功率譜根據(jù)能量守恒準則：功率譜的性質功率譜密度函數(shù)的性質Gxx(f)功率譜的性質單邊功率譜自功率譜Gxx(f)Sxx(f)f互功率譜Gxx(f)Gxx(f)功率譜的性質單邊功率譜Sxx(f)f互功率譜Gx功率譜的性質功率譜的物理意義由功率譜的定義：Gxx(f)下的面積等于信號的總能量故稱Gxx(f)為能量有限信號的能量譜密度函數(shù)或功率有限信號的功率譜密度函數(shù)Gxx(f)任意頻段間的面積＝該頻帶下信號的能量功率譜的性質功率譜的物理意義Gxx(f)下的面積等于信號的總功率譜的計算工程測試中，只能得到有限區(qū)間上的信號x(t)：t∈(-T/2,T/2)；x(t)

X(ω)x(t)x(n)根據(jù)連續(xù)信號的帕斯瓦爾公式：功率譜的計算工程測試中，只能得到有限區(qū)間上的信號功率譜的計算雙邊互功率譜：雙邊自功率譜：單邊自功率譜：單邊自功率譜：功率譜的計算雙邊互功率譜：雙邊自功率譜：單邊自功率譜：單邊自功率譜的計算得到功率譜計算2種方法：直接根據(jù)相關函數(shù)求傅里葉變換先求幅值譜，再利用上述公式計算功率譜的計算得到功率譜計算2種方法：相干函數(shù)評價因果系統(tǒng)輸入輸出之間的因果關系輸出是否由輸入引起？輸出中有多少由輸入引起？系統(tǒng)的線性特性如何？因果系統(tǒng)ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函數(shù)與相干分析相干函數(shù)評價因果系統(tǒng)輸入輸出之間的因果關系因果系統(tǒng)ni(t)相干函數(shù)Rxy(τ)能從延時域上描述輸出與輸入的相關關系相干函數(shù)則從頻域上描述輸出與輸入的相關關系由:因果系統(tǒng)ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函數(shù)Rxy(τ)能從延時域上描述輸出與輸入的相關關系因果相干函數(shù)因果系統(tǒng)ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++Gxx(f)表示y與x

的相關程度Gxx(f)越大，y與x的相關性越強相干函數(shù)定義：相干函數(shù)因果系統(tǒng)ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函數(shù)相干函數(shù)的意義：

x(t)≡k×y(t),完全相干：x(t)與y(t)完全不相關,完全不相干：x(t)與y(t)部分相關,部分相干完全相干：輸出100％由輸入引起，理想系統(tǒng)；完全不相干：輸出與輸入毫無關系，極端情況；部分相干：一般系統(tǒng)，表示系統(tǒng)多輸入系統(tǒng)有干擾非線性相干函數(shù)相干函數(shù)的意義：x(t)≡k×y(t),完全相干：功率譜分析的應用頻譜分析故障診斷信號檢測模式識別……功率譜分析的應用頻譜分析頻譜分析n(t)是零均值、幅度在±1.5范圍內變化的隨機信號。以fs=1000Hz的采樣頻率采樣，求采樣信號的幅值譜和功率譜解：Matlab代碼t=0:0.001:0.5;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+randn(1,length(t));N=512;Y=fft(y,N);G=Y.*conj(Y)/N;Y1=Y(1:N/2);G1=G(1:N/2);f=1000*(0:N-1)/N;subplot(2,2,1):plot(t,y);subplot(2,2,2):plot(f,Y1);Subplot(2,2,3):plot(f,G1)一個被污染的信號頻譜分析n(t)是零均值、幅度在±1.5范圍內變化的隨機信號圖圖頻率響應函數(shù)的測定已知系統(tǒng)的輸入、輸出，求頻響函數(shù)系統(tǒng)h(t)H(f)Y(f)y(t)x(t)X(f)(1)幅值估計法無干擾線性系統(tǒng)只能求出幅頻特性無相位信息頻率響應函數(shù)的測定已知系統(tǒng)的輸入、輸出，求頻響函數(shù)系統(tǒng)頻率響應函數(shù)的測定系統(tǒng)h(t)H(f)Y(f)y(t)x(t)X(f)(2)

互譜估計法無干擾線性系統(tǒng)既能求出幅頻特性又能得到相位信特性頻率響應函數(shù)的測定系統(tǒng)h(t)H(f)Y(f)y(t)頻率響應函數(shù)的測定（3）實際物理系統(tǒng)頻響的求法系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)有干擾系統(tǒng)干擾n,m不相干n、m與a、b不相干a、b系統(tǒng)真正輸入、輸出x、y實際測得的輸入、輸出系統(tǒng)頻率響應由a、b確定：但a、b不可知可通過以下近似方法求得頻率響應函數(shù)的測定（3）實際物理系統(tǒng)頻響的求法系統(tǒng)n(系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)頻率響應函數(shù)的測定幅值估計法幅頻誤差相頻丟失系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)頻率響應函數(shù)的測定互譜估計法幅頻測小相頻精確系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)頻率響應函數(shù)的測定互譜估計法幅頻測大相頻精確系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)頻率響應函數(shù)的測定平均估計法相頻精確幅頻測小幅頻測大幅頻更接近系統(tǒng)n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a細化分析引出：功率譜分析基本思想是帶通濾波＋FFT：分析個別頻帶上的頻率成分分辨率確定、采樣點確定一些工程信號<語音、振動、噪聲>頻帶很寬頻率譜線密集為了識別譜圖的細微結構，必須提高功率譜分析的分辨率分析儀器具有很寬的頻率范圍相互矛盾f/HzGxx(f)f0f1f2細化分析引出：相互矛盾f/HzGxx(f)f0f1f細化分析信號時域寬度T，采樣點數(shù)N，采樣間隔信號頻帶寬度fc=fs/2，譜線數(shù)N，頻率分辨率提高頻率分辨率的兩種途徑：引起混疊工作量增加；硬件不允許均不可行！措施：保持N不變，設法降低——細化分析（ZOOM－FFT）的基本思想細化分析信號時域寬度T，采樣點數(shù)N，采樣間隔信號頻帶寬度fc細化分析的基本思想移頻低通濾波重新采樣FFTf/HzGxx(f)感興趣頻段f0f0-f1f0+f1-f10f1移頻濾波后，感興趣頻帶的最高頻率f1<<f0<0.5fm；有可能在滿足采樣定理的前提下增大采樣間隔；提高頻率分辨率x(t)e-j2πf0Gxx(f+f0)細化分析的基本思想移頻低通濾波重新采樣FFTf/H移頻確定分析頻帶f0±f1，找出中心頻率f0;利用移頻技術，將f0移至0Hz處：由頻帶左移f0,感興趣的頻帶移至低頻端。移頻的實質是：給時域信號x(t)乘以或給時域信號x(n)乘以其中：或感興趣頻段Gxx(f)f/Hzf0f0-f1f0+f1-f10f1-f10f1移頻確定分析頻帶f0±f1，找出中心頻率f0;由頻帶左移f0低通濾波以截至頻率為f0的的通濾波器濾波得到感興趣的頻段最高頻率f1低通濾波的目的：避免重新采樣時發(fā)生混疊f/HzGxx(f+f0)

-f10f1低通濾波以截至頻率為f0的的通濾波器濾波f/HzGxx(D為正整數(shù)細化倍數(shù)重新采樣信號原長為T，采樣間隔Ts,采樣點數(shù)N，則采樣頻率fs，頻率分辨率重新采樣：采樣間隔DTs,采樣點數(shù)N，則：信號長度變?yōu)門’=DTsN=DT，

重新采樣頻率頻率分辨率結論：只要將信號長度增加D倍，采樣間隔加大D倍，采樣點數(shù)不變時，頻率分辨率提高D倍。D為正整數(shù)重新采樣信號原長為T，采樣間隔Ts,采樣點數(shù)N，則快速傅里葉變換對重新采樣的數(shù)據(jù)進行FFTX(k)；頻譜重構，得到細化D倍的頻譜：快速傅里葉變換對重新采樣的數(shù)據(jù)進行FFTX(k)；ZOOM－FFT的一般步驟乘法器FFT重新采樣系數(shù)發(fā)生器采樣器低通濾波頻譜重構細化倍數(shù)D移頻ZOOM－FFT的一般步驟乘法器FFT重新系數(shù)發(fā)生器采樣器低倒頻譜分析或倒功率譜分析Cepstr