計算固體力學件本構模型課件

第5章本構模型

引言應力-應變曲線一維彈性非線性彈性（超彈性）一維塑性多軸塑性超彈－塑性模型粘彈性應力更新算法連續(xù)介質力學與本構模型第5章本構模型引言11引言

本構方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本構更新算法），包括：徑向返回算法的一類圖形返回算法，算法模量與基本應力更新方案一致的概念，大變形問題的增量客觀應力更新方案，基于彈性響應的應力更新方案，自動滿足客觀性的超彈性勢能。為了進行分析，選擇材料模型是很重要，往往又不是很明確，僅有的信息可能是一般性的知識和經(jīng)驗，即可能是材料行為的幾條應力－應變曲線。在有限元軟件庫中選擇合適的本構模型，如果沒有合適的本構模型，要開發(fā)用戶材料子程序。重要的是理解本構模型的關鍵特征，創(chuàng)建模型的假設，材料、荷載和變形域、以及程序中的數(shù)值問題是否適合模型。1引言本構方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本22應力-應變曲線

材料應力－應變行為的許多基本特征可以從一維應力狀態(tài)(單軸應力或者剪切)的一組應力-應變曲線中獲得，多軸狀態(tài)的本構方程常?；谠谠囼炛杏^察到的一維行為而簡單生成。載荷－位移曲線

名義應力（工程應力）給出為

定義伸長

工程應變定義為

2應力-應變曲線材料應力－應變行為的許多基本特征32應力-應變曲線

Cauchy（或者真實）應力表示為

以每單位當前長度應變的增量隨長度的變化得到另一種應變度量

對數(shù)應變（也稱為真實應變）

對材料時間求導，表達式為一維情況，上式為變形率

當前面積的表達式給出為真實應力－應變曲線

工程應力－應變曲線2應力-應變曲線Cauchy（或者真實）應力表示為42應力-應變曲線

考慮一種不可壓縮材料(J＝1)，名義應力和工程應變的關系為真實應力(對于不可壓縮材料)說明了對于本構行為應用不同泛函表達式的區(qū)別，對于同樣材料取決于采用何種應力和變形的度量。應力－應變曲線的顯著特征之一是非線性的度。材料線彈性行為的范圍小于應變的百分之幾，就可以采用小應變理論描述。2應力-應變曲線考慮一種不可壓縮材料(J＝1)，52應力-應變曲線

應力－應變反應與變形率無關的材料稱為率無關；否則，稱為率相關。名義應變率定義為率無關和率相關材料的一維反應因為和即名義應變率等于伸長率，例如

可以看出，對于率無關材料的應力－應變曲線是應變率獨立的，而對于率相關材料的應力－應變曲線，當應變率提高時是上升的；而當溫度升高時是下降的。2應力-應變曲線應力－應變反應與變形率無關的材料62應力-應變曲線

對于彈性材料，應力－應變的卸載曲線簡單地沿加載曲線返回，直到完全卸載，材料返回到了它的初始未伸長狀態(tài)。然而，對于彈－塑性材料，卸載曲線區(qū)別于加載曲線，卸載曲線的斜率是典型的應力－應變彈性（初始）段的斜率，卸載后產(chǎn)生永久應變。其它材料的行為介于這兩種極端之間。由于在加載過程中微裂紋的形成材料已經(jīng)損傷，脆性材料的卸載行為，當荷載移去后微裂紋閉合，彈性應變得到恢復。卸載曲線的初始斜率給出形成微裂紋損傷程度的信息。(a)彈性,(b)彈-塑性,(c)彈性含損傷

2應力-應變曲線對于彈性材料，應力－應變的卸載曲73一維彈性

彈性材料的基本性能是應力僅依賴于應變的當前水平。這意味著加載和卸載的應力-應變曲線是一致的，當卸載結束時材料恢復到初始狀態(tài)。稱這種應變是可逆的。而且，彈性材料是率無關的(與應變率無關)。彈性材料的應力和應變是一一對應的。小應變

可逆和路徑無關默認在變形中沒有能量耗散，在彈性材料中，儲存在物體中的能量全部消耗在變形中，卸載后材料恢復。

對于一維彈性材料，可逆、路徑無關、無能量耗散是等價的特征。對于二維和三維彈性，以及超彈性材料，也類似。對于任意應變，不管如何達到應變值，上式給出唯一應力值。

3一維彈性彈性材料的基本性能是應力僅依賴于應變的83一維彈性

應變能一般是應變的凸函數(shù)，例如，(a)凸應變能函數(shù)(b)應力應變曲線

當公式的等號成立。凸應變能函數(shù)的一個例子如圖所示。在這種情況下，函數(shù)是單調遞增的，如果w

是非凸函數(shù)，則s

先增后減，材料應變軟化，這是非穩(wěn)定的材料反應，如右下圖。(a)非凸應變能函數(shù)(b)相應的應力應變曲線3一維彈性應變能一般是應變的凸函數(shù)，例如，(a)凸應變9大應變

從彈性推廣到大應變，只要選擇應變度量和定義應力（功共軛）的彈性勢能。勢能的存在是默認了可逆、路徑無關和無能量耗散。如

3一維彈性

在彈性應力-應變關系中，從應變的勢函數(shù)可以獲得應力為超彈性。如一維大應變問題，以Green應變的二次函數(shù)表示對于小應變問題，即為胡克定律。大應變從彈性推廣到大應變，只要選擇應變度量和定義應10大應變

一種材料的Cauchy應力率與變形率相關，稱為次彈性。這種關系一般是非線性的，給出為3一維彈性

一個特殊的線性次彈性關系給出為這是與路徑無關的超彈性關系。對于多軸問題，一般次彈性關系不能轉換到超彈性，它僅在一維情況下是嚴格路徑無關的。然而，如果是彈性小應變，其行為足以接近路徑無關的彈性行為。因為次彈性的簡單性，公式(5.3.11)的多軸一般形式常常應用在有限元軟件中，以模擬大應變彈塑性的彈性反應。對上式的關系積分，得到大應變一種材料的Cauchy應力率與變形率相關，稱114非線性彈性

對于有限應變有許多不同的應力和變形度量，同樣的本構關系可以寫成幾種不同的形式，總是可能從一種形式的本構關系轉換到另一種形式。大應變彈性本構模型首先表述成Kirchhoff材料的一種特殊形式，由線彈性直接生成到大變形。滿足路徑無關、可逆和無能量耗散。因此，路徑無關的程度可以視為材料模型彈性的度量。次彈性材料是路徑無關程度最弱的材料，遵從Cauchy彈性，其應力是路徑無關的，但是其能量不是路徑無關的。超彈性材料或者Green彈性，它是路徑無關和完全可逆的，應力由應變勢能導出。4非線性彈性對于有限應變有許多不同的應力和變形度124非線性彈性

小應變和大轉動

式中C為彈性模量(切線模量)的四階張量，對Kirchhoff材料是常數(shù)，代表了應力和應變的多軸狀態(tài)。它可以完全反映材料的各向異性。許多工程應用包括小應變和大轉動。在這些問題中，大變形的效果主要來自于大轉動，如直升機旋翼、船上升降器或者釣魚桿的彎曲。由線彈性定律的簡單擴展即可以模擬材料的反應，但要以PK2應力代替其中的應力和以Green應變代替線性應變，這稱為Saint-Venant-Kirchhoff材料，或者簡稱為Kirchhoff材料。最一般的Kirchhoff模型為4非線性彈性小應變和大轉動式中C為彈性模量(切線模134非線性彈性

式中C為彈性模量的四階張量，有81個常數(shù)。利用對稱性可以顯著地減少常數(shù)。

一般的四階張量有34＝81個獨立常數(shù)，與全應力張量的9個分量和全應變張量的9個分量有關。如次彈性本構方程4非線性彈性式中C為彈性模量的四階張量，有81個常數(shù)。利14這樣C為對稱矩陣（主對稱性），在81個常數(shù)中有45個是獨立的。成為上三角或下三角矩陣。

4非線性彈性

利用勢能表示的應力－應變關系和Green公式，

故有

應力張量和應變張量均為對稱張量（次對稱性），即

這樣C為對稱矩陣（主對稱性），在81個常數(shù)中有45個是獨立的154非線性彈性

應力張量和應變張量均為對稱張量（次對稱性），即

再利用模量的主對稱性使獨立彈性常數(shù)的數(shù)目減少，由36個常數(shù)減少為21個，為各向異性材料。

應力和應變張量的對稱性要求應力的6個獨立分量僅與應變的6個獨立分量有關，由彈性模量的局部對稱結果，獨立常數(shù)的數(shù)目減少到36個。4非線性彈性應力張量和應變張量均為對稱張量（次對稱性），164非線性彈性

寫成矩陣形式為（可以是上或下三角矩陣）

對于正交各向異性，具有正交的三個彈性對稱面，當坐標變號，為使應變能密度不變，有

這樣由21個常數(shù)減少為14個，為正交各向異性材料。

若材料對稱坐標平面，當沿軸平面反射時，彈性模量不變，固為正交各向異性體，有

4非線性彈性寫成矩陣形式為（可以是上或下三角矩陣）對于17對于一個由三個彼此正交的對稱平面組成的正交材料(如木材或纖維增強的復合材料)，僅有9個獨立彈性常數(shù)，Kirchhoff應力－應變關系為材料對稱坐標平面，為正交各向異性體4非線性彈性

對于各向同性材料，僅有3個常數(shù)

對于一個由三個彼此正交的對稱平面組成的正交材料(如木184非線性彈性

小應變和大轉動

對于各向同性的Kirchhoff材料，其應力－應變關系可以寫成為式中Lamé常數(shù)，體積模量K，楊氏模量E和泊松比的關系為

材料對稱的一個重要的例子是各向同性。一個各向同性材料沒有方位或者方向的選擇，因此，當以任何直角坐標系表示的應力－應變關系是等同的。對于小應變的許多材料(如金屬和陶瓷)可以作為各向同性進行模擬。張量C是各向同性的。在任何坐標系統(tǒng)中，一個各向同性張量有相同的分量。(克羅內(nèi)克)符號構成的一個線性組合：

4非線性彈性小應變和大轉動對于各向同性的Kirchho194非線性彈性

不可壓縮性

在變形的過程中，不可壓縮材料的體積不變，密度保持常數(shù)。不可壓縮材料的運動稱為等體積運動。

總體變形

等體積約束運動的率形式

將應力和應變率度量寫成偏量和靜水（體積的）部分的和，對于不可壓縮材料，靜水部分也稱為張量的球形部分，分解式為：

對于不可壓縮材料，壓力不能從本構方程確定，而是從動量方程確定。

4非線性彈性不可壓縮性在變形的過程中，204非線性彈性

Kirchhoff應力

由Jacobian行列式放大，稱它為權重Cauchy應力。對于等體積運動，它等同于Cauchy應力。

次彈性次彈性材料規(guī)律聯(lián)系應力率和變形率。

上式是率無關、線性增加和可逆的。對于有限變形狀態(tài)的微小增量，應力和應變的增量是線性關系，當卸載后可以恢復。然而，對于大變形能量不一定必須守恒，并且在閉合變形軌跡上作的功不一定必須為零。次彈性規(guī)律主要用來代表在彈-塑性規(guī)律中的彈性反應，小變形彈性，且耗能效果也小。

4非線性彈性Kirchhoff應力由Jacobian行214非線性彈性

切線模量之間的關系

對于各向同性材料Jaumann率的切線模量為

某些次彈性本構關系共同應用的形式為對于同一種材料，切線模量不同，材料反應的率形式不同，如

如果是常數(shù)，不是常數(shù)。

切線模量證明見第5.4.5節(jié)，推導復雜4非線性彈性切線模量之間的關系對于各向同性材料Jaum224非線性彈性

超彈性材料

平衡方程是以物體中應力的形式建立的，應力來源于變形，如應變。如果本構行為僅是變形的當前狀態(tài)的函數(shù)，為與時間無關的彈性本構。而對于接近不可壓縮的材料，僅依賴變形（應變）不一定能夠得到應力。儲存在材料中的能量（功）僅取決于變形的初始和最終狀態(tài)，并且是獨立于變形（或荷載）路徑，稱這種彈性材料為超彈性（hyper-elastic）材料，或者為Green彈性，例如常用的工業(yè)橡膠。動物的肌肉也具有超彈性的力學性質。這里主要討論橡膠材料的超彈性力學行為。4非線性彈性超彈性材料平衡方程是以物體中應力的234非線性彈性

超彈性材料

對于功獨立于荷載路徑的彈性材料稱之為超彈性（Green彈性）材料。超彈性材料的特征是存在一個潛在（或應變）能量函數(shù)，它是應力的勢能：通過適當轉換獲得了對于不同應力度量的表達式

由于變形梯度張量F是不對稱的，因此名義應力張量P的9個分量是不對稱的。在橡膠大變形中應用多項式模型和Ogden指數(shù)模型。4非線性彈性超彈性材料對于功獨立于荷載路徑的彈244非線性彈性

超彈性材料

目前，世界半數(shù)以上的橡膠是合成橡膠。合成橡膠的種類很多，例如，制造輪胎使用的丁苯橡膠（苯乙烯和丁二烯的共聚物）或乙丙烯橡膠（ERP）；用于汽車配件的有氯丁橡膠及另一種具有天然橡膠各種性能的異戊橡膠。在眾多的合成橡膠中，硅橡膠是其中的佼佼者。它具有無味無毒，不怕高溫和嚴寒的特點，在攝氏300度和零下90度時能夠“泰然自若”、“面不改色”，仍不失原有的強度和彈性。例如生物材料。橡膠是提取橡膠樹、橡膠草等植物的膠乳，加工后制成的具有彈性、絕緣性、不透水和空氣的材料。在半個世紀前，“橡膠”一詞是專指生橡膠，它是從熱帶植物巴西三葉膠的膠乳提煉出來的。4非線性彈性超彈性材料目前，世界半數(shù)以上的橡膠254非線性彈性

超彈性材料

1839年，CharleGoodyear發(fā)明了橡膠的硫化方法，其姓氏現(xiàn)在已經(jīng)成為國際上著名橡膠輪胎的商標。從19世紀中葉起橡膠就成為一種重要的工程材料。然而，橡膠材料的行為復雜，不同于金屬材料僅需要幾個參數(shù)就可以描述材料特性。橡膠材料受力以后，變形是伴隨著大位移和大應變，其本構關系是非線性的，并且在變形過程中體積幾乎保持不變。

橡膠具有許多特殊的性能，例如電絕緣性、耐氧老化性、耐光老化性、防霉性、化學穩(wěn)定性等。4非線性彈性超彈性材料1839年，Charle264非線性彈性

超彈性材料

由于計算機以及有限元數(shù)值分析的飛速發(fā)展，我們可以借助計算機來對超彈性材料的工程應用進行深入研究以及優(yōu)化設計?？梢杂糜邢拊葦?shù)值方法來計算分析橡膠元件的力學性能，包括選取和擬合橡膠的本構模型，以及用有限元建模和處理計算結果等。橡膠是一種彈性聚合物，其特點是有很強的非線性粘彈性行為。它的力學行為對溫度、環(huán)境、應變歷史、加載速率都非常敏感，這樣使得描述橡膠的行為變得非常復雜。橡膠的制造工藝和成分也對橡膠的力學性能有著顯著的影響。4非線性彈性超彈性材料由于計算機以及有限元數(shù)值27固體橡膠材料的拉伸試驗曲線與材料演化模型固體橡膠是幾乎不可壓縮的，其泊松比接近于0.5?？赡妫髴?。初始各向同性，應變增加后分子定向排列。4非線性彈性

超彈性材料

常用的橡膠性態(tài)可分為固體橡膠和泡沫橡膠。固體橡膠材料的拉伸試驗曲線與材料演化模型固體橡膠是幾284非線性彈性

超彈性材料

一般將多孔橡膠或彈性泡沫材料統(tǒng)稱為泡沫材料。彈性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海綿、包裝材料等。泡沫橡膠是由橡膠制成的彈性泡沫材料，能夠滿足非常大的彈性應變要求，拉伸時的應變可以達到500％或更大，壓縮時的應變可以達到90％或更小。與固體橡膠的幾乎不可壓縮性相比，泡沫材料的多孔性則允許非常大的體積縮小變形，因此具有良好的能量吸收性。泡沫橡膠材料的多面體微元模型a)開放腔室，b)封閉腔室4非線性彈性超彈性材料一般將多孔橡膠或彈294非線性彈性

超彈性材料

泡沫橡膠材料的應力-應變曲線a)壓縮b)拉伸小應變<5%，線彈性，泊松比為0.3

。大應變，壓縮時，泊松比為0.0；拉伸時，泊松比大于0.0。4非線性彈性超彈性材料泡沫橡膠材料的應力-應變曲線30典型固體橡膠材料單軸拉伸應力-應變曲線

橡膠本構模型

4非線性彈性

典型固體橡膠材料單軸拉伸應力-應變曲線橡膠本構模型4非31小變形

以多項式形式本構模型為例，其應變能密度表達式為忽略二階及二階以上小量，變?yōu)閺椥猿?shù)為

當

橡膠本構模型

4非線性彈性

小變形以多項式形式本構模型為例，其應變能密度表達式為忽略二32定義伸長

工程應變定義為

二階張量基本不變量

小變形，有

小變形

橡膠本構模型

4非線性彈性

定義伸長工程應變定義為二階張量基本不變量小變形，有小33例題在超彈性計算中，橡膠使用三次減縮多項式應變能本構模型，應變能密度表達式為若?。▎挝粸镸Pa），求材料彈性常數(shù)。

利用公式解：解出橡膠的彈性常數(shù)為，E=1.384MPa，ν=0.5

小變形

橡膠本構模型

4非線性彈性

例題在超彈性計算中，橡膠使用三次減縮多項式應變能本構34常用的橡膠力學性能描述方法主要分為兩類，一類是基于熱力學統(tǒng)計的方法，另一類是基于橡膠為連續(xù)介質的唯象學描述方法。熱力學統(tǒng)計方法的基礎為觀察到橡膠中的彈性恢復力主要來自熵的減少。橡膠在承受荷載時分子結構無序，熵的減少是由于橡膠伸長使得橡膠結構由高度無序變得有序。由對橡膠中分子鏈的長度、方向以及結構的統(tǒng)計得到本構關系。橡膠本構模型

唯象學描述方法假設在未變形狀態(tài)下橡膠為各向同性材料，即長分子鏈方向在橡膠中是隨機分布的。這種各向同性的假設是用單位體積（彈性）應變能函數(shù)（U）來描述橡膠特性的基礎，其本構模型為多項式形式模型和Ogden形式模型。常用的橡膠力學性能描述方法主要分為兩類，一類是基于熱力35典型的本構模型為多項式形式，其應變能密度表達式為特殊形式可以由設定某些參數(shù)為0來得到。如果所有

則得到減縮多項式模型

對于完全多項式，如果,則只有線性部分的應變能量，即Mooney-Rivlin形式橡膠本構模型

典型的本構模型為多項式形式，其應變能密度表達式為特殊形式可以36，則得到Neo-Hookean形式

對于減縮多項式，如果

Mooney-Rivlin形式和Neo-Hooken形式本構模型（后者是將Hooke定律擴展至大變形）橡膠本構模型

，則得到Neo-Hookean形式對于減縮多項式，如果M37Yeoh形式本構模型是

時減縮多項式的特殊形式

典型的S形橡膠應力-應變曲線

，C10正值，在小變形時為切線模量；C20為負值，中等變形時軟化；C30正值，大變形時硬化。橡膠本構模型

Yeoh形式本構模型是時減縮多項式的特殊形式典型的S形橡38Ogden形式本構模型

Arruda-Boyce形式本構模型

VanderWaals模型

橡膠本構模型

其他形式的本構模型有：Ogden形式本構模型Arruda-Boyce形式本構模型39試驗擬合本構模型系數(shù)橡膠類材料的本構關系除具有超彈性、大變形的特征外，其本構關系與生產(chǎn)加工過程有直接關系，如橡膠配方和硫化工藝。確定每一批新加工出來的橡膠的本構關系，都要依賴于精確和充分的橡膠試驗。試驗擬合本構模型系數(shù)橡膠類材料的本構關系除具有40通常在試驗中應該測得在幾種不同荷載模式下的應力-應變曲線，這樣可以選擇出最合適的本構模型以及描述這種模型的參數(shù)。

同一種橡膠材料的三種拉伸變形狀態(tài)的應力-應變曲線圖，對比試驗曲線，由最小二乘法擬合多項式本構模型中的系數(shù)。試驗擬合本構模型系數(shù)通常在試驗中應該測得在幾種不同荷載模式下的應力-應變41試驗擬合本構模型系數(shù)給出實驗數(shù)據(jù)，應力表達式的系數(shù)通過最小二乘法擬合確定，這樣可以使得誤差最小。即對于n組應力-應變的試驗數(shù)據(jù)，取相對誤差E的最小值，擬合應力表達式中的系數(shù)，得到理論本構模型。按照本構關系與伸長率對應的應力表達式

實驗數(shù)據(jù)中的應力值

試驗擬合本構模型系數(shù)給出實驗數(shù)據(jù)，應力表達式的42確定材料常數(shù)的經(jīng)驗公式

試驗擬合本構模型系數(shù)對于已經(jīng)成型的橡膠元件，通常不容易通過上述試驗來確定其材料常數(shù)。經(jīng)驗公式是通過橡膠的IRHD硬度指標來確定材料的彈性模量和切變模量，再由材料常數(shù)和彈性模量的關系來確定材料常數(shù)?；竟綖椋ㄐ儣l件）將得到的材料常數(shù)代入Mooney-Rivlin模型進行計算。

例子

采用氫化丁腈橡膠H-NBR75，硬度為75MPa，解得

確定材料常數(shù)的經(jīng)驗公式試驗擬合本構模型系數(shù)對于已經(jīng)43由于大型有限元軟件的迅速發(fā)展，使得復雜的超彈性模型計算過程由計算機程序完成，在ABAQUS等商用軟件中給出了具體的計算。用戶要熟悉如何輸入數(shù)據(jù)文件，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)擬合和選用合適的本構模型，如何處理輸出結果并檢驗其是否正確。對于初學者來說，商用軟件是一個“黑匣子”，因此，掌握超彈性材料模型理論和計算方法是取得仿真成功的關鍵。結論與討論需要注意的是，對于不可壓縮材料的平面問題，無論是解析解還是數(shù)值解，均不能采用平面應變解答。因為對于不可壓縮材料，如果采用平面應變模型，其體積不變，內(nèi)力為不確定量，在有限元中的節(jié)點位移不能反映單元內(nèi)力的變化。對于不可壓縮材料或者接近于不可壓縮材料的平面問題，務必應用平面應力（或者廣義平面應變）解答。由于大型有限元軟件的迅速發(fā)展，使得復雜的超彈性44Part3鋼Part2橡膠

RsPart1鋼Rrb過盈面橡膠減震軸過盈配合的解析解和有限元解－平面應變和平面應力模型過盈量1.9mm，應力非常大，原因是平面應變模型橡膠和鋼環(huán)的解析解與FE解的徑向應力比較

廣義平面應變－平面應力問題不發(fā)生體積自鎖平面應變模型發(fā)生體積自鎖Part3鋼過盈面橡膠減震軸過盈配合的解析解和有限元解過盈量45問題：在有限元力學模型中，加載是任意的（如三維），材料實驗數(shù)據(jù)是單軸拉伸（如一維），如何在有限元計算中建立聯(lián)系，實現(xiàn)對應的應力狀態(tài)，直到發(fā)生屈服和破壞？5一維塑性

從屈服準則的建立來回答這樣的問題。應力保持40MPa的蠕變試驗數(shù)據(jù)與計算結果對比問題：5一維塑性從屈服準則的建立來回答這樣的問題。應力保46最大切應力屈服準則

(Tresca’sCriterion)

無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要發(fā)生屈服，都是由于微元內(nèi)的最大切應力達到了某一共同的極限值。123=s拉伸屈服試驗確定任意狀態(tài)應力5一維塑性

最大切應力屈服準則(Tresca’sCriterion)47123=s失效判據(jù)設計準則允許應力

5一維塑性

在有限元計算中，材料的應力和應變狀態(tài)等價于單軸拉伸實驗數(shù)據(jù)的對應值，與加載歷史相關，只要發(fā)生屈服，都是由于單元內(nèi)的最大切應力達到了某一共同的極限值。123=s失效判據(jù)設計準則允許應力5一維塑性48形狀改變比能準則(Mises’sCriterion)

無論材料處于什么應力狀態(tài)，只要發(fā)生屈服，都是由于微元的形狀改變比能達到了一個共同的極限值。5一維塑性

形狀改變比能與體積改變比能形狀改變比能準則(Mises’sCriterion)5一49體積改變能密度與形狀改變能密度+5一維塑性

體積改變能密度與形狀改變能密度+5一維塑性50形狀改變比能準則123=s單向應力三向應力5一維塑性

形狀改變比能準則123=s單向應力三向應力5一51形狀改變比能準則失效判據(jù)設計準則5一維塑性

形狀改變比能準則失效判據(jù)設計準則5一維塑性525一維塑性

對于卸載后產(chǎn)生永久應變的材料稱為塑性材料。

應變的每一增量分解成為彈性可逆部分和塑性不可逆部分

塑性理論的主要內(nèi)容有：

屈服函數(shù)控制塑性變形的突變和連續(xù)，是內(nèi)變量和應力的函數(shù)

流動法則控制塑性流動，即確定塑性應變增量。內(nèi)部變量的演化方程控制屈服函數(shù)的演化，包括應變-硬化關系。彈-塑性定律是路徑相關和耗能的，大部分的功消耗在材料塑性變形中，不可逆換成其它形式的能量，特別是熱。應力取決于整個變形的歷史，不能表示成為應變的單值函數(shù)；而它僅能指定作為應力和應變的率之間的關系。5一維塑性對于卸載后產(chǎn)生永久應變的材料稱為塑性材料。應535一維塑性

一維率無關塑性

典型彈-塑性材料的應力-應變曲線

應變的增量假設分解成為彈性和塑性部分的和，率形式

應力增量(率)總是與彈性模量和彈性應變的增量(率)有關

非線性彈-塑性區(qū)段，應力-應變切線模量應力-應變關系的是率均勻的。如果被任意的時間因子縮放，本構關系保持不變。因此，材料反應是率無關的。5一維塑性一維率無關塑性典型彈-塑性材料的應力-應變曲545一維塑性

一維率無關塑性

通過流動法則給出了塑性應變率，常常表示為塑性流動勢能的形式塑性率參數(shù)

流動勢能的一個例子是

等效應力

屈服條件為

單軸拉伸的屈服強度

等效塑性應變

材料在初始屈服之后屈服強度的增加稱為功硬化或者應變硬化(對應于應變軟化)。硬化行為一般是塑性變形先期歷史的函數(shù)。

屈服行為是各向同性硬化；拉伸和壓縮的屈服強度總是相等。5一維塑性一維率無關塑性通過流動法則給出了塑性應變率，555一維塑性

一維率無關塑性

一個特殊的模型，

塑性應變率寫成為

塑性模型稱為關聯(lián)的，否則，塑性流動是非關聯(lián)的。對于關聯(lián)塑性，塑性流動是沿著屈服面的法線方向。

由此看出僅當滿足屈服條件時發(fā)生塑性變形。

當塑性加載時，應力必須保持在屈服面上，

實現(xiàn)了一致性條件

這給出塑性模量

5一維塑性一維率無關塑性一個特殊的模型，塑性應變率565一維塑性

一維率無關塑性

典型的硬化曲線，，塑性模量對應塑性加載和純彈性加載或卸載，切線模量為

塑性轉換參數(shù)加載－卸載條件還可以寫為

一致性條件的率形式

應力狀態(tài)位于塑性表面

塑性率參數(shù)非負

對于塑性加載

必須保持在屈服面上

其應力狀態(tài)對于彈性加載或者卸載

沒有塑性流動

因此

5一維塑性一維率無關塑性典型的硬化曲線，，塑性模量對應57材料硬化描述(a)Bauschinger效果(b)屈服面的平移和擴展在循環(huán)加載中，各向同性硬化模型提供了金屬應力－應變反應的粗糙模型。圖a為Bauschinger效果，在拉伸初始屈服之后的壓縮屈服強度降低。認識這種行為的方法之一是觀察屈服表面的中心沿著塑性流動方向移動。圖b為多軸應力狀態(tài)－圓環(huán)屈服表面擴張對應于各向同性硬化（冪硬化），它的中心平移對應于運動硬化。5一維塑性

混合硬化

屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化；屈服面積不變，屈服中心平移，運動硬化。背應力的內(nèi)部變量

材料硬化描述(a)Bauschinger效果(b)屈58Stress-straincurveundercyclicloadsCombinedhardeningmodel

混合硬化

5一維塑性

屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化；屈服面積不變，屈服中心平移，運動硬化。Stress-straincurveundercycl595一維塑性

運動硬化

塑性流動關系

背應力的內(nèi)部變量

屈服條件一維率相關塑性

在率相關塑性中，材料的塑性反應取決于加載率，

一種方法是過應力模型，等效塑性應變率取決于超過多少屈服應力

等效塑性應變率的一種交換形式

粘度

過應力5一維塑性運動硬化塑性流動關系 背應力的內(nèi)部變量屈605一維塑性

應變軟化

單調凸本構曲線不再成立。應變軟化如何加載？－－位移加載5一維塑性應變軟化單調凸本構曲線不再成立。應變軟化如何616多軸塑性

Tresca屈服準則Mises屈服準則在有限元程序中一般應用哪種屈服準則？為什么？6多軸塑性Tresca屈服準則Mises屈服準則在有限元62摩擦滑移屈服表面

6多軸塑性

Mohr-Coulomb本構模型滑移方向（塑性流動）是水平的（沿Q的方向）而不是垂直屈服面。這是非關聯(lián)塑性流動的例子。對于連續(xù)體和多軸應力－應變狀態(tài)的行為，M-C準則具有普適性。它應用于模擬土壤和巖石。

M-C準則是基于這樣的概念，即當任意面上的切應力和平均法向應力達到臨界組合時在材料中發(fā)生屈服

c是內(nèi)聚力，通過定義內(nèi)摩擦角

摩擦滑移屈服表面6多軸塑性Mohr-Coulomb本構636多軸塑性

Mohr-Coulomb屈服行為Mohr-Coulomb屈服表面Drucker-Prager屈服表面在Mohr平面上的兩條直線代表了方程式，它們是Mohr圓的包絡并稱為Mohr破壞或者失效包絡。假設主應力

應力狀態(tài)屈服準則6多軸塑性Mohr-Coulomb屈服行為Mohr-Co646多軸塑性

考慮的特殊情況并讓

，代表剪切屈服強度，

上式成為

即為Tresca準則。

在Tresca和M-C屈服表面上的直線線段便于塑性問題的解析處理。然而，從計算的觀點看，夾角使得本構方程難以建立(例如，計算屈服面的法線)。通過改進vonMises屈服準則結合壓力的影響，Drucker-Prager屈服準則避免了與夾角有關的問題：

這是一個光滑圓錐的方程，為等效Cauchy應力，選擇常數(shù)有

D-P屈服表面通過了M-C屈服表面上的內(nèi)部或者外部頂點（取加號對應于內(nèi)部頂點，而取減號對應于外部頂點）。6多軸塑性考慮的特殊情況并讓，659應力更新算法本構方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本構更新算法），包括：徑向返回算法的一類圖形返回算法，算法模量與基本應力更新方案一致的概念，大變形問題的增量客觀應力更新方案，基于彈性響應的應力更新方案，即自動滿足客觀性的超彈性勢能。給出描述本構模型的某些其它連續(xù)介質力學觀點，展示Eulerian，Lagrangian和兩點拉伸的概念，描述后拉、前推和Lie導數(shù)的運算，材料框架客觀性，材料的對稱性，以本構行為的張量表示討論了不變性的某些方面，討論由于熱力學第二定律和某些附加的穩(wěn)定性必要條件對材料行為的約束。9應力更新算法本構方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也669應力更新算法對于積分率本構方程的數(shù)值算法稱為本構積分算法或者應力更新算法。對于率無關和率相關材料提供了本構積分算法。討論簡單的小應變塑性，將小應變算法擴展至大變形，將大變形分析的積分算法保持在基于本構方程客觀性的基礎上。展示了關于大變形塑性的逐步客觀積分算法。討論關于大變形超彈－塑性材料的應力更新算法，回避對應力率方程的積分。描述了與本構積分算法相關的計算模量，采用隱式求解算法發(fā)展材料的切線剛度矩陣。9應力更新算法對于積分率本構方程的數(shù)值算法稱為本構67率無關塑性的圖形返回算法

9應力更新算法小應變、率無關彈－塑性的本構方程

應力－應變反應與變形率無關的一種材料稱為率無關；否則為率相關。

，

Kuhn-Tucker條件，上面第一個條件表明塑性率參數(shù)是非負的，第二個條件表明當塑性加載時，應力狀態(tài)必須位于或限制在塑性表面上，最后條件也可以作為由已知一致性條件的率形式。塑性流動方向經(jīng)常特指為，這里稱為塑性流動勢

屈服條件

是標量塑性流動率，是塑性流動方向h塑性模量

q內(nèi)變量

率無關塑性的圖形返回算法9應力更新算法小應變、率無關彈－68）應力狀態(tài)必須保持在屈服面因此。對于彈性加載或者卸載，沒有塑性流動。對于塑性加載（率無關塑性的圖形返回算法

9應力更新算法上，在時刻n給出一組

和應變增量

本構積分算法的目的是計算并滿足加－卸載條件

在時刻的應力給出為

求解的一致性條件給出

）應力狀態(tài)必須保持在屈服面因此。對于彈性加載或者卸載，沒有塑69設想能夠應用這個塑性參數(shù)值以提供更新的應力率、塑性應變率和內(nèi)變量率，并且寫出簡單的向前Euler積分公式算法率無關塑性的圖形返回算法

9應力更新算法但在下一步，這些應力和內(nèi)變量的更新值并不滿足屈服條件，所以由于解答從屈服表面漂移，常常導致不精確的結果，因此不受人青睞。公式也稱為切線模量更新算法，形成了計算率無關塑性早期工作的基礎。設想能夠應用這個塑性參數(shù)值以提供更新的應力率、70率無關塑性的圖形返回算法

9應力更新算法這導致考慮另外一些方法進行率本構方程的積分，目的之一是強化在時間步結束時的一致性，例如，為避免離開屈服面的漂移。有許多不同的積分本構算法，這里主要關注一類方法－－返回圖形算法，它是強健和精確的，被廣泛應用。著名的vonMises塑性徑向返回方法是返回圖形算法的特例。返回圖形算法包括：一個初始的彈性預測步，包含（在應力空間）對屈服表面的偏離，以及塑性調整步使應力返回到更新后的屈服表面。方法的兩個組成部分是：一個積分算法，它將一組本構方程轉換為一組非線性代數(shù)方程，一個對非線性代數(shù)方程的求解算法，該方法可基于不同的積分算法，例如生成梯形法則，生成中點法則或者Runge-Kutta方法?；谙蚝驟uler算法，考慮一個完全隱式方法和一個半隱式方法。率無關塑性的圖形返回算法9應力更新算法這導致考慮71完全隱式的圖形返回算法

9應力更新算法在完全隱式的向后Euler方法中，在步驟結束時計算塑性應變和內(nèi)變量的增量，同時強化屈服條件，這樣，積分算法寫成為公式是一組關于求解的非線性代數(shù)方程。注意到更新變量來自前一個時間步驟結束時的收斂值，這就避免了非物理意義的效果，例如當用不收斂的塑性應變和內(nèi)變量值求解路徑相關塑性方程時可能發(fā)生的偽卸載。

在時刻n給出一組

和應變增量完全隱式的圖形返回算法9應力更新算法在完全隱式的72通過方程系統(tǒng)的解答獲得了應變

在時刻n＋1，

完全隱式的圖形返回算法

9應力更新算法如果解答過程是隱式的，可以理解應變是在隱式解答算法的最后迭代后的總體應變。

塑性應變增量給出為

代入表達式

關聯(lián)塑性的最近點投射方法

通過方程系統(tǒng)的解答獲得了應變在時刻n＋1，完全隱式的圖73是彈性預測的試應力是塑性修正量，它沿著一個方向，即規(guī)定為在結束點處塑性流動的方向，返回或者投射試應力到適當更新的屈服表面（考慮硬化）。

而數(shù)值完全隱式的圖形返回算法

9應力更新算法由總體應變的增量驅動彈性預測狀態(tài)，而由塑性參數(shù)的增量驅動塑性修正狀態(tài)。因此，在彈性預測階段，塑性應變和內(nèi)變量保持固定，而當塑性修正階段，總體應變是不變的。在彈性預測階段，由公式得到的結果為關聯(lián)塑性的最近點投射方法

其中是彈性預測的試應力是塑性修正量，它沿著一個方向，即規(guī)定為在結74完全隱式的圖形返回算法

9應力更新算法非線性代數(shù)方程組解答一般由Newton過程求解?；诜诸惥€性化方程組的Newton過程，和根據(jù)最近投射點的概念引導塑性修正返回到屈服表面。在算法的塑性修正階段中，總體應變是常數(shù)，線性化是相對于塑性參數(shù)增量在Newton過程中應用下面的標記：關于一個方程的線性化，

并有

在第k次迭代時記為

為適合Newton迭代，以上面形式寫出塑性更新和屈服條件，省略n+1腳標

完全隱式的圖形返回算法9應力更新算法非線性代數(shù)方程75完全隱式的圖形返回算法

9應力更新算法這組方程的線性化給出

3個方程可以聯(lián)立求解這樣，塑性應變、內(nèi)變量和塑性參數(shù)更新是

Newton過程是連續(xù)計算直到收斂到足以滿足準則的更新屈服表面。這個過程是隱式的并包括了方程在單元積分點水平的結果。該方法的復雜性在于需要塑性流動方向的梯度，不適合復雜本構。腳標為偏導數(shù)一致性條件：在加卸載過程中，材料的應力點始終處于屈服面上完全隱式的圖形返回算法9應力更新算法這組方程的線性化給出76應用于J2流動理論—徑向返回算法

9應力更新算法小應變時的彈—塑性本構關系和框5.6的J2流動理論，注意到塑性流動方向是在偏應力的方向，給出為J2塑性流動理論基于vonMises屈服面，它特別適用于金屬塑性，該模型的關鍵假設是壓力對在金屬中的塑性流動沒有影響；屈服條件和塑性流動方向是基于應力張量的偏量部分。

它也是屈服表面的法向，即

在偏應力空間，Mises屈服表面是環(huán)狀，法向是徑向。在塑性流動的方向（徑向），定義一個單位法向矢量為應用于J2流動理論—徑向返回算法9應力更新算法小77應用于J2流動理論—徑向返回算法

9應力更新算法算法的重要特性是在整個塑性修正狀態(tài)過程中不變化保持在徑向，

因此塑性應變的更新是

的線性函數(shù)，而塑性流動殘量恒為零：

唯一的內(nèi)變量（各向同性硬化）是累積塑性應變，給出為

因此，內(nèi)變量的更新也是的線性函數(shù)，相應的殘量為零，例如，

適合Newton迭代的塑性更新和屈服條件，省略n+1腳標

屈服條件給出為而f的導數(shù)是和

應用于J2流動理論—徑向返回算法9應力更新算法算法的重要78應用于J2流動理論—徑向返回算法

9應力更新算法各向同性硬化：只有一個硬化參數(shù)q，屈服面表面擴張冪硬化：屈服面中心不變，屈服面尺寸改變運動硬化：屈服面中心平移，尺寸不變，中心位置為背應力的內(nèi)變量關聯(lián)塑性：塑性流動沿著屈服面的法線方向；否則，為非關聯(lián)塑性應用于J2流動理論—徑向返回算法9應力更新算法各向同性硬79徑向返回算法－編程

9應力更新算法1設初始值

2在第k次迭代時檢查屈服條件

如果

則收斂，否則goto3

3計算塑性參數(shù)的增量

4更新塑性應變和內(nèi)變量徑向返回算法－編程9應力更新算法1設初始值2在第k809應力更新算法算法模量

在隱式方法中，需要合適的切線模量。由于在屈服時突然轉化為塑性行為，連續(xù)彈—塑性切線模量可能引起偽加載和卸載。為了避免這點，采用了一個基于本構積分算法的系統(tǒng)線性化的算法模量（也稱為一致切線模量），代替了連續(xù)彈—塑性切線模量。下面給出完全隱式向后Euler方法的算法模量的推導。向后Euler更新算法切線模量定義為

對于J2流動理論的情況，算法模量是與徑向返回應力更新一致的

9應力更新算法算法模量在隱式方法中，需要合819應力更新算法半隱式向后Euler方法

半隱式向后Euler方法（Moran,1990）是對于塑性參數(shù)采用隱式，而對于塑性流動方向和塑性模量采用顯式的算法，即在步驟結束時計算塑性參數(shù)的增量，而在步驟開始時計算塑性流動的方向和塑性模量。為了避免從屈服面漂移，在步驟結束時強化屈服條件。積分方法為對比完全隱式向后Euler方法

9應力更新算法半隱式向后Euler方法半隱式向后829應力更新算法率相關塑性的圖形返回算法

對于J2塑性流動，過應力函數(shù)公式的典型例子為(n為率敏感指數(shù))

對于J2流動理論，一個替代的粘塑性模型為(m為率敏感指數(shù))

參考應變率

在過應力模型中，等效塑性應變率取決于超過了多少屈服應力。

在率相關塑性中，材料的塑性反應取決于加載率，與不能超越過屈服條件的率無關塑性相比，為了發(fā)生塑性變形，率相關塑性必須滿足或者超過屈服條件，塑性應變率（結合各向同性和運動硬化）給出為(α背應力）9應力更新算法率相關塑性的圖形返回算法對于J2塑性流動839應力更新算法率相關塑性的圖形返回算法

框5.11大應變率相關塑性

1分解變形率張量為彈性和塑性部分的和2應力率關系

3塑性流動法則和演化方程

4應力率－總體變形率關系

過應力函數(shù)，是塑性應變的驅動力

粘性（力×時間）

9應力更新算法率相關塑性的圖形返回算法框5.11大應變849應力更新算法率相關塑性的圖形返回算法

率無關塑性的圖形返回本構積分算法和算法切線模量可以修改為率相關的方法，對于一個完全隱式算法，更新可以寫成增量的形式過應力函數(shù)和粘性

算法切線模量表達式9應力更新算法率相關塑性的圖形返回算法率無關塑性85大變形的逐步客觀積分方法

9應力更新算法大變形本構算法的一個重要問題是觀察的材料框架相同，準確地保持本構關系的客觀性；在剛體轉動中，該算法必須準確地計算應力的恰當轉動。

基于Kirchhoff應力的Jaumann率，考慮一個簡單的更新算法，變形率是對于時間增量的等效率并且定義如下，應力更新給出為Q是與等效旋轉W關聯(lián)的增量轉動張量。以Jaumann率的形式替換本構反應應用不同算法計算等效變形率，基于增量變形梯度，采用直接向前方法

大變形的逐步客觀積分方法9應力更新算法大變形本構86大變形的逐步地客觀積分方法

9應力更新算法第二個關系來自框3.2。Kirchhoff應力幾乎是與Cauchy應力等同的，但是它被Jacobian行列式放大。因此，也稱它為權重Cauchy應力。對于等體積運動，它等同于Cauchy應力。在超彈性本構關系中，它會自然提高，并且在次彈－塑性模型中是有用的，因為它導致了對稱的切線模量。Kirchhoff應力定義為

大變形的逐步地客觀積分方法9應力更新算法第二個關87大變形的逐步地客觀積分方法

9應力更新算法式中v是關于增量的等效速度。通過Green應變增量的前推定義等效變形率是位移增量在剛體轉動中等效變形率D消失，從而取得了增量客觀性。等效旋轉定義為對于次彈—塑性材料公式，采取的形式為(Q為指數(shù)形式，見第9章)大變形的逐步地客觀積分方法9應力更新算法式中v是關于增量88速度梯度速度梯度張量可以分解為對稱部分和偏對稱部分為

令變形率轉動任何一個二階張量都可以表示為它的對稱部分和偏對稱部分的和

所以回顧第3章

9應力更新算法速度梯度速度梯度張量可以分解為對稱部分和偏對稱部分為令變形8910連續(xù)介質力學和本構模型

后拉、前推和Lie導數(shù)

Euler張量

Lagrangian張量

兩點張量

Green應變張量E

PK2應力

線單元dX

線單元dxCauchy應力

速度梯度L＝D＋W

Lagrangian矢量dX和Eulerian矢量dx定義的二階張量

可以由后拉和前推運算給出E-L張量之間映射的統(tǒng)一描述。例如，Lagrangian矢量dX由F前推到當前構形給出Eulerian矢量dxEulerian矢量dx由后拉到參考構形給出dX

Lagrangian–EulerianEulerian-Lagrangian

前推運算

后拉運算

通過在拓撲空間的分析，獲得大變形彈－塑性各種張量之間的關系和映射

10連續(xù)介質力學和本構模型后拉、前推和Lie導數(shù)Eul9010連續(xù)介質力學和本構模型

后拉、前推和Lie導數(shù)

二階張量的后拉和前推運算給出了在變形和未變形構形情況下張量之間的關系。一些重要的二階張量的后拉和前推在框5.16給出。這些定義取決于是否一個張量是動力學還是運動學的，區(qū)別在于由這些張量所觀察到的勢的共軛性：如功共軛的運動學和動力學張量被后拉或前推，則勢必須保持不變。許多關系來自于框3.2，這些概念能使我們發(fā)展那些不容易顯示的關系。后拉和前推的概念為定義張量的時間導數(shù)提供了數(shù)學上的一致性－Lie導數(shù)。如框5.17，Kirchhoff應力的Lie導數(shù)是其應力的后拉的時間導數(shù)的前推。不嚴格地說，在Lie導數(shù)中，在固定的參考構形中對時間求導，前推到當前構形。在框5.17中給出了用勢共軛方式定義的運動學張量的Lie導數(shù)。

以上計算是將應力后拉到參考構型上，對時間求常導數(shù)，再前推回到當前構型。否則是偏導數(shù).10連續(xù)介質力學和本構模型后拉、前推和Lie導數(shù)9110連續(xù)介質力學和本構模型

后拉、前推和Lie導數(shù)

證明Kirchhoff應力的對流率對應于它的Lie導數(shù)(框3.2)

材料時間導數(shù)的計算

應用

得到

Lie導數(shù)等價于在公式(5.4.22)中定義的Truesdell應力的對流率

10連續(xù)介質力學和本構模型后拉、前推和Lie導數(shù)證明K9210連續(xù)介質力學和本構模型

本構關系的實質

材料客觀性或者材料框架相同的原理表明材料響應是與觀察者無關的。原理的數(shù)學表述寫成為

即G*和G為相同函數(shù)。此外，材料客觀性的含義是，為了確定Cauchy應力，觀察者O*對待F*采用觀察者O對待F的相同方式。Cauchy應力是客觀（Eulerian）張量，因此Cauchy應力的分量在轉動坐標系中由觀察者O*所見的與觀察者O在不轉動坐標系中所見到的是相同的10連續(xù)介質力學和本構模型本構關系的實質材料客93第5章本構模型

引言應力-應變曲線一維彈性非線性彈性（超彈性）一維塑性多軸塑性超彈－塑性模型粘彈性應力更新算法連續(xù)介質力學與本構模型第5章本構模型引言941引言

本構方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本構更新算法），包括：徑向返回算法的一類圖形返回算法，算法模量與基本應力更新方案一致的概念，大變形問題的增量客觀應力更新方案，基于彈性響應的應力更新方案，自動滿足客觀性的超彈性勢能。為了進行分析，選擇材料模型是很重要，往往又不是很明確，僅有的信息可能是一般性的知識和經(jīng)驗，即可能是材料行為的幾條應力－應變曲線。在有限元軟件庫中選擇合適的本構模型，如果沒有合適的本構模型，要開發(fā)用戶材料子程序。重要的是理解本構模型的關鍵特征，創(chuàng)建模型的假設，材料、荷載和變形域、以及程序中的數(shù)值問題是否適合模型。1引言本構方程率形式的積分算法稱為應力更新算法（也稱為本952應力-應變曲線

材料應力－應變行為的許多基本特征可以從一維應力狀態(tài)(單軸應力或者剪切)的一組應力-應變曲線中獲得，多軸狀態(tài)的本構方程常常基于在試驗中觀察到的一維行為而簡單生成。載荷－位移曲線

名義應力（工程應力）給出為

定義伸長

工程應變定義為

2應力-應變曲線材料應力－應變行為的許多基本特征962應力-應變曲線

Cauchy（或者真實）應力表示為

以每單位當前長度應變的增量隨長度的變化得到另一種應變度量

對數(shù)應變（也稱為真實應變）

對材料時間求導，表達式為一維情況，上式為變形率

當前面積的表達式給出為真實應力－應變曲線

工程應力－應變曲線2應力-應變曲線Cauchy（或者真實）應力表示為972應力-應變曲線

考慮一種不可壓縮材料(J＝1)，名義應力和工程應變的關系為真實應力(對于不可壓縮材料)說明了對于本構行為應用不同泛函表達式的區(qū)別，對于同樣材料取決于采用何種應力和變形的度量。應力－應變曲線的顯著特征之一是非線性的度。材料線彈性行為的范圍小于應變的百分之幾，就可以采用小應變理論描述。2應力-應變曲線考慮一種不可壓縮材料(J＝1)，982應力-應變曲線

應力－應變反應與變形率無關的材料稱為率無關；否則，稱為率相關。名義應變率定義為率無關和率相關材料的一維反應因為和即名義應變率等于伸長率，例如

可以看出，對于率無關材料的應力－應變曲線是應變率獨立的，而對于率相關材料的應力－應變曲線，當應變率提高時是上升的；而當溫度升高時是下降的。2應力-應變曲線應力－應變反應與變形率無關的材料992應力-應變曲線

對于彈性材料，應力－應變的卸載曲線簡單地沿加載曲線返回，直到完全卸載，材料返回到了它的初始未伸長狀態(tài)。然而，對于彈－塑性材料，卸載曲線區(qū)別于加載曲線，卸載曲線的斜率是典型的應力－應變彈性（初始）段的斜率，卸載后產(chǎn)生永久應變。其它材料的行為介于這兩種極端之間。由于在加載過程中微裂紋的形成材料已經(jīng)損傷，脆性材料的卸載行為，當荷載移去后微裂紋閉合，彈性應變得到恢復。卸載曲線的初始斜率給出形成微裂紋損傷程度的信息。(a)彈性,(b)彈-塑性,(c)彈性含損傷

2應力-應變曲線對于彈性材料，應力－應變的卸載曲1003一維彈性

彈性材料的基本性能是應力僅依賴于應變的當前水平。這意味著加載和卸載的應力-應變曲線是一致的，當卸載結束時材料恢復到初始狀態(tài)。稱這種應變是可逆的。而且，彈性材料是率無關的(與應變率無關)。彈性材料的應力和應變是一一對應的。小應變

可逆和路徑無關默認在變形中沒有能量耗散，在彈性材料中，儲存在物體中的能量全部消耗在變形中，卸載后材料恢復。

對于一維彈性材料，可逆、路徑無關、無能量耗散是等價的特征。對于二維和三維彈性，以及超彈性材料，也類似。對于任意應變，不管如何達到應變值，上式給出唯一應力值。

3一維彈性彈性材料的基本性能是應力僅依賴于應變的1013一維彈性

應變能一般是應變的凸函數(shù)，例如，(a)凸應變能函數(shù)(b)應力應變曲線

當公式的等號成立。凸應變能函數(shù)的一個例子如圖所示。在這種情況下，函數(shù)是單調遞增的，如果w

是非凸函數(shù)，則s

先增后減，材料應變軟化，這是非穩(wěn)定的材料反應，如右下圖。(a)非凸應變能函數(shù)(b)相應的應力應變曲線3一維彈性應變能一般是應變的凸函數(shù)，例如，(a)凸應變102大應變

從彈性推廣到大應變，只要選擇應變度量和定義應力（功共軛）的彈性勢能。勢能的存在是默認了可逆、路徑無關和無能量耗散。如

3一維彈性

在彈性應力-應變關系中，從應變的勢函數(shù)可以獲得應力為超彈性。如一維大應變問題，以Green應變的二次函數(shù)表示對于小應變問題，即為胡克定律。大應變從彈性推廣到大應變，只要選擇應變度量和定義應103大應變

一種材料的Cauchy應力率與變形率相關，稱為次彈性。這種關系一般是非線性的，給出為3一維彈性

一個特殊的線性次彈性關系給出為這是與路徑無關的超彈性關系。對于多軸問題，一般次彈性關系不能轉換到超彈性，它僅在一維情況下是嚴格路徑無關的。然而，如果是彈性小應變，其行為足以接近路徑無關的彈性行為。因為次彈性的簡單性，公式(5.3.11)的多軸一般形式常常應用在有限元軟件中，以模擬大應變彈塑性的彈性反應。對上式的關系積分，得到大應變一種材料的Cauchy應力率與變形率相關，稱1044非線性彈性

對于有限應變有許多不同的應力和變形度量，同樣的本構關系可以寫成幾種不同的形式，總是可能從一種形式的本構關系轉換到另一種形式。大應變彈性本構模型首先表述成Kirchhoff材料的一種特殊形式，由線彈性直接生成到大變形。滿足路徑無關、可逆和無能量耗散。因此，路徑無關的程度可以視為材料模型彈性的度量。次彈性材料是路徑無關程度最弱的材料，遵從Cauchy彈性，其應力是路徑無關的，但是其能量不是路徑無關的。超彈性材料或者Green彈性，它是路徑無關和完全可逆的，應力由應變勢能導出。4非線性彈性對于有限應變有許多不同的應力和變形度1054非線性彈性

小應變和大轉動

式中C為彈性模量(切線模量)的四階張量，對Kirchhoff材料是常數(shù)，代表了應力和應變的多軸狀態(tài)。它可以完全反映材料的各向異性。許多工程應用包括小應變和大轉動。在這些問題中，大變形的效果主要來自于大轉動，如直升機旋翼、船上升降器或者釣魚桿的彎曲。由線彈性定律的簡單擴展即可以模擬材料的反應，但要以PK2應力代替其中的應力和以Green應變代替線性應變，這稱為Saint-Venant-Kirchhoff材料，或者簡稱為Kirchhoff材料。最一般的Kirchhoff模型為4非線性彈性小應變和大轉動式中C為彈性模量(切線模1064非線性彈性

式中C為彈性模量的四階張量，有81個常數(shù)。利用對稱性可以顯著地減少常數(shù)。

一般的四階張量有34＝81個獨立常數(shù)，與全應力張量的9個分量和全應變張量的9個分量有關。如次彈性本構方程4非線性彈性式中C為彈性模量的四階張量，有81個常數(shù)。利107這樣C為對稱矩陣（主對稱性），在81個常數(shù)中有45個是獨立的。成為上三角或下三角矩陣。

4非線性彈性

利用勢能表示的應力－應變關系和Green公式，

故有

應力張量和應變張量均為對稱張量（次對稱性），即

這樣C為對稱矩陣（主對稱性），在81個常數(shù)中有45個是獨立的1084非線性彈性

應力張量和應變張量均為對稱張量（次對稱性），即

再利用模量的主對稱性使獨立彈性常數(shù)的數(shù)目減少，由36個常數(shù)減少為21個，為各向異性材料。

應力和應變張量的對稱性要求應力的6個獨立分量僅與應變的6個獨立分量有關，由彈性模量的局部對稱結果，獨立常數(shù)的數(shù)目減少到36個。4非線性彈性應力張量和應變張量均為對稱張量（次對稱性），1094非線性彈性

寫成矩陣形式為（可以是上或下三角矩陣）

對于正交各向異性，具有正交的三個彈性對稱面，當坐標變號，為使應變能密度不變，有

這樣由21個常數(shù)減少為14個，為正交各向異性材料。

若材料對稱坐標平面，當沿軸平面反射時，彈性模量不變，固為正交各向異性體，有

4非線性彈性寫成矩陣形式為（可以是上或下三角矩陣）對于110對于一個由三個彼此正交的對稱平面組成的正交材料(如木材或纖維增強的復合材料)，僅有9個獨立彈性常數(shù)，Kirchhoff應力－應變關系為材料對稱坐標平面，為正交各向異性體4非線性彈性

對于各向同性材料，僅有3個常數(shù)

對于一個由三個彼此正交的對稱平面組成的正交材料(如木1114非線性彈性

小應變和大轉動

對于各向同性的Kirchhoff材料，其應力－應變關系可以寫成為式中Lamé常數(shù)，體積模量K，楊氏模量E和泊松比的關系為

材料對稱的一個重要的例子是各向同性。一個各向同性材料沒有方位或者方向的選擇，因此，當以任何直角坐標系表示的應力－應變關系是等同的。對于小應變的許多材料(如金屬和陶瓷)可以作為各向同性進行模擬。張量C是各向同性的。在任何坐標系統(tǒng)中，一個各向同性張量有相同的分量。(克羅內(nèi)克)符號構成的一個線性組合：

4非線性彈性小應變和大轉動對于各向同性的Kirchho1124非線性彈性

不可壓縮性

在變形的過程中，不可壓縮材料的體積不變，密度保持常數(shù)。不可壓縮材料的運動稱為等體積運動。

總體變形

等體積約束運動的率形式

將應力和應變率度量寫成偏量和靜水（體積的）部分的和，對于不可壓縮材料，靜水部分也稱為張量的球形部分，分解式為：

對于不可壓縮材料，壓力不能從本構方程確定，而是從動量方程確定。

4非線性彈性不可壓縮性在變形的過程中，1134非線性彈性

Kirchhoff應力

由Jacobian行列式放大，稱它為權重Cauchy應力。對于等體積運動，它等同于Cauchy應力。

次彈性次彈性材料規(guī)律聯(lián)系應力率和變形率。

上式是率無關、線性增加和可逆的。對于有限變形狀態(tài)的微小增量，應力和應變的增量是線性關系，當卸載后可以恢復。然而，對于大變形能量不一定必須守恒，并且在閉合變形軌跡上作的功不一定必須為零。次彈性規(guī)律主要用來代表在彈-塑性規(guī)律中的彈性反應，小變形彈性，且耗能效果也小。

4非線性彈性Kirchhoff應力由Jacobian行1144非線性彈性

切線模量之間的關系

對于各向同性材料Jaumann率的切線模量為

某些次彈性本構關系共同應用的形式為對于同一種材料，切線模量不同，材料反應的率形式不同，如

如果是常數(shù)，不是常數(shù)。

切線模量證明見第5.4.5節(jié)，推導復雜4非線性彈性切線模量之間的關系對于各向同性材料Jaum1154非線性彈性

超彈性材料

平衡方程是以物體中應力的形式建立的，應力來源于變形，如應變。如果本構行為僅是變形的當前狀態(tài)的函數(shù)，為與時間無關的彈性本構。而對于接近不可壓縮的材料，僅依賴變形（應變）不一定能夠得到應力。儲存在材料中的能量（功）僅取決于變形的初始和最終狀態(tài)，并且是獨立于變形（或荷載）路徑，稱這種彈性材料為超彈性（hyper-elastic）材料，或者為Green彈性，例如常用的工業(yè)橡膠。動物的肌肉也具有超彈性的力學性質。這里主要討論橡膠材料的超彈性力學行為。4非線性彈性超彈性材料平衡方程是以物體中應力的1164非線性彈性

超彈性材料

對于功獨立于荷載路徑的彈性材料稱之為超彈性（Green彈性）材料。超彈性材料的特征是存在一個潛在（或應變）能量函數(shù)，它是應力的勢能：通過適當轉換獲得了對于不同應力度量的表達式

由于變形梯度張量F是不對稱的，因此名義應力張量P的9個分量是不對稱的。在橡膠大變形中應用多項式模型和Ogden指數(shù)模型。4非線性彈性超彈性材料對于功獨立于荷載路徑的彈1174非線性彈性

超彈性材料

目前，世界半數(shù)以上的橡膠是合成橡膠。合成橡膠的種類很多，例如，制造輪胎使用的丁苯橡膠（苯乙烯和丁二烯的共聚物）或乙丙烯橡膠（ERP）；用于汽車配件的有氯丁橡膠及另一種具有天然橡膠各種性能的異戊橡膠。在眾多的合成橡膠中，硅橡膠是其中的佼佼者。它具有無味無毒，不怕高溫和嚴寒的特點，在攝氏300度和零下90度時能夠“泰然自若”、“面不改色”，仍不失原有的強度和彈性。例如生物材料。橡膠是提取橡膠樹、橡膠草等植物的膠乳，加工后制成的具有彈性、絕緣性、不透水和空氣的材料。在半個世紀前，“橡膠”一詞是專指生橡膠，它是從熱帶植物巴西三葉膠的膠乳提煉出來的。4非線性彈性超彈性材料目前，世界半數(shù)以上的橡膠1184非線性彈性

超彈性材料

1839年，CharleGoodyear發(fā)明了橡膠的硫化方法，其姓氏現(xiàn)在已經(jīng)成為國際上著名橡膠輪胎的商標。從19世紀中葉起橡膠就成為一種重要的工程材料。然而，橡膠材料的行為復雜，不同于金屬材料僅需要幾個參數(shù)就可以描述材料特性。橡膠材料受力以后，變形是伴隨著大位移和大應變，其本構關系是非線性的，并且在變形過程中體積幾乎保持不變。

橡膠具有許多特殊的性能，例如電絕緣性、耐氧老化性、耐光老化性、防霉性、化學穩(wěn)定性等。4非線性彈性超彈性材料1839年，Charle1194非線性彈性

超彈性材料

由于計算機以及有限元數(shù)值分析的飛速發(fā)展，我們可以借助計算機來對超彈性材料的工程應用進行深入研究以及優(yōu)化設計?？梢杂糜邢拊葦?shù)值方法來計算分析橡膠元件的力學性能，包括選取和擬合橡膠的本構模型，以及用有限元建模和處理計算結果等。橡膠是一種彈性聚合物，其特點是有很強的非線性粘彈性行為。它的力學行為對溫度、環(huán)境、應變歷史、加載速率都非常敏感，這樣使得描述橡膠的行為變得非常復雜。橡膠的制造工藝和成分也對橡膠的力學性能有著顯著的影響。4非線性彈性超彈性材料由于計算機以及有限元數(shù)值120固體橡膠材料的拉伸試驗曲線與材料演化模型固體橡膠是幾乎不可壓縮的，其泊松比接近于0.5?？赡?，大應變。初始各向同性，應變增加后分子定向排列。