《212求曲線的方程》課件3-優(yōu)質(zhì)公開(kāi)課-人教A版選修2-1

2.1.2求曲線的方程2.1.2問(wèn)題引航1.什么是坐標(biāo)法？解析幾何研究的問(wèn)題主要有哪些？2.求曲線方程的一般步驟是什么？求曲線方程的常用方法有哪些？問(wèn)題1.什么是坐標(biāo)法？解析幾何研究的問(wèn)題主要有哪些？1.坐標(biāo)法和解析幾何研究的主要問(wèn)題(1)坐標(biāo)法:借助于_______，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線性質(zhì)的方法.(2)解析幾何研究的主要問(wèn)題:①曲線研究方程:根據(jù)已知條件，求出_______________.②方程研究曲線:通過(guò)曲線的方程，研究___________.坐標(biāo)系表示曲線的方程曲線的性質(zhì)1.坐標(biāo)法和解析幾何研究的主要問(wèn)題坐標(biāo)系表示曲線的方程曲線的2.求曲線方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)______表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo).(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P=_________.(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程_________.(4)化方程f(x，y)=0為最簡(jiǎn)形式.(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在_______.(x，y){M|p(M)}f(x，y)=0曲線上2.求曲線方程的一般步驟(x，y){M|p(M)}f(x，y1.判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在求曲線方程時(shí)，對(duì)于同一條曲線，坐標(biāo)系的建立不同，所得到的曲線方程也不一樣.()(2)化簡(jiǎn)方程“|x|=|y|”為“y=x”是恒等變形.()(3)按照求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗(yàn).()1.判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)提示:(1)正確.對(duì)于曲線上同一點(diǎn)，由于坐標(biāo)系不同，該點(diǎn)的坐標(biāo)就不一樣，因此方程也不一樣.(2)錯(cuò)誤.|x|=|y|化簡(jiǎn)的形式為y=±x.(3)錯(cuò)誤.一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，但是在求解、化簡(jiǎn)過(guò)程中極易產(chǎn)生增解或漏解，檢驗(yàn)這一步驟是應(yīng)該有的，故此說(shuō)法不正確.答案:(1)√(2)×(3)×提示:(1)正確.對(duì)于曲線上同一點(diǎn)，由于坐標(biāo)系不同，該點(diǎn)的坐2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)M的軌跡方程是

.(2)直角坐標(biāo)平面xOy中，若定點(diǎn)A(1，2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足=4，則點(diǎn)P的軌跡方程是

.(3)已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，-2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=3|PO|，則點(diǎn)P的軌跡方程是

.2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)【解析】(1)設(shè)M(x，y)，由|MO|=2，得=2，所以x2+y2=4.答案:x2+y2=4(2)由=4知，x+2y=4?x+2y-4=0，所以P點(diǎn)的軌跡方程是x+2y-4=0.答案:x+2y-4=0【解析】(1)設(shè)M(x，y)，由|MO|=2，得(3)設(shè)P(x，y)，則|PA|=3|PO|可化為化簡(jiǎn)得:8x2+2x+8y2-4y-5=0.答案:8x2+2x+8y2-4y-5=0(3)設(shè)P(x，y)，則|PA|=3|PO|可化為【要點(diǎn)探究】知識(shí)點(diǎn)坐標(biāo)法與曲線方程的求解1.平面直角坐標(biāo)系的選取方法(1)若條件中只出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，常以定點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.(2)若已知兩定點(diǎn)，常以兩定點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.【要點(diǎn)探究】(3)若已知兩條互相垂直的直線，則以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系.(4)若已知一定點(diǎn)和一定直線，常以點(diǎn)到直線的垂線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以點(diǎn)到直線的垂線的反向延長(zhǎng)線為x軸建立直角坐標(biāo)系.(3)若已知兩條互相垂直的直線，則以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)2.求曲線方程時(shí)應(yīng)注意的四個(gè)問(wèn)題(1)在第一步中，如果原題中沒(méi)有確定坐標(biāo)系，首先選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通常選取特殊位置為原點(diǎn)，相互垂直的直線為坐標(biāo)軸.(2)第二步要仔細(xì)分析曲線的特征，注意揭示其隱含的條件，抓住與曲線上任意一點(diǎn)M有關(guān)的等量關(guān)系，列出等式，此步驟有時(shí)也可以省略，而直接將幾何條件用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示.2.求曲線方程時(shí)應(yīng)注意的四個(gè)問(wèn)題(3)在第三步化簡(jiǎn)的過(guò)程中，注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性，盡量避免“失解”或“增解”.(4)第四步的說(shuō)明可以省略不寫，若有特殊情況，可以適當(dāng)說(shuō)明，如某些點(diǎn)雖然其坐標(biāo)滿足方程，但不在曲線上，可以通過(guò)限定方程中x(或y)的取值予以剔除.(3)在第三步化簡(jiǎn)的過(guò)程中，注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性，盡量避3.對(duì)求曲線方程的三點(diǎn)說(shuō)明(1)求曲線方程時(shí)，坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線方程也不相同.(2)一般地，求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y)，而不設(shè)成其他字母.(3)求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形.3.對(duì)求曲線方程的三點(diǎn)說(shuō)明【知識(shí)拓展】軌跡方程與軌跡的辨析【知識(shí)拓展】軌跡方程與軌跡的辨析【微思考】(1)曲線(或軌跡)是軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形，如何選取坐標(biāo)系？提示:若曲線(或軌跡)為軸對(duì)稱圖形，通常以對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸(x軸或y軸)；若曲線(或軌跡)是中心對(duì)稱圖形，通常以對(duì)稱中心為原點(diǎn).【微思考】(2)求解曲線方程時(shí)一定要按各步驟操作嗎？提示:不一定，若有坐標(biāo)系，第一步可省略，第二步雖重要，但只要能把條件轉(zhuǎn)化為方程即可，故也可省略.若化簡(jiǎn)前后方程的解集相同，步驟(5)也可省略，如有特殊情況可以適當(dāng)說(shuō)明.(3)求得曲線方程后，如何避免出現(xiàn)“增解”或“漏解”？提示:可根據(jù)曲線與方程的定義從曲線的方程與方程的曲線兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn).(2)求解曲線方程時(shí)一定要按各步驟操作嗎？【即時(shí)練】在Rt△ABC中，|AB|=2a(a>0)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程.【解析】如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(-a，0)，B(a，0).設(shè)C(x，y)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接CO，則由直角三角形的性質(zhì)知:|OC|=|AB|=×2a=a.因而點(diǎn)C的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以a為半徑的圓(除去與x軸的交點(diǎn))，其軌跡方程為x2+y2=a2(x≠±a).【即時(shí)練】【題型示范】類型一直接法求曲線的方程【典例1】(1)(2014·南昌高二檢測(cè))已知兩點(diǎn)M(-2，0)，N(2，0)，點(diǎn)P滿足

=0，則點(diǎn)P的軌跡方程為

.(2)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到直線x=8的距離是它到點(diǎn)A(2，0)的距離的2倍，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【題型示范】【解題探究】1.題(1)條件=0如何轉(zhuǎn)化？2.題(2)中條件可用式子如何表示？【探究提示】1.寫出向量的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線x=8的距離為d，則條件的幾何表示為:d=2|PA|.【解題探究】1.題(1)條件=0如何轉(zhuǎn)化？【自主解答】(1)設(shè)P的坐標(biāo)為P(x，y)，由=(-2-x，-y)·(2-x，-y)=x2-4+y2=0，得x2+y2=4，所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4.答案:x2+y2=4【自主解答】(1)設(shè)P的坐標(biāo)為P(x，y)，由(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則動(dòng)點(diǎn)P到直線x=8的距離d=|x-8|，到點(diǎn)A的距離|PA|=由已知d=2|PA|得:|x-8|=2化簡(jiǎn)得:3x2+4y2=48.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為3x2+4y2=48.(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則動(dòng)點(diǎn)P到直線x=8的距離d【方法技巧】直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵及方法(1)關(guān)鍵:①建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②找出所求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件.(2)方法:求曲線的方程遵循求曲線方程的五個(gè)步驟，在實(shí)際求解時(shí)可簡(jiǎn)化為三大步驟:建系、設(shè)點(diǎn)；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件列方程；對(duì)所求的方程化簡(jiǎn)、說(shuō)明.【方法技巧】直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵及方法【變式訓(xùn)練】(2014·寶雞高二檢測(cè))如圖，圓O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2=4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點(diǎn))，使得PM=PN，建立平面直角坐標(biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【變式訓(xùn)練】(2014·寶雞高二檢測(cè))如圖，圓O1和圓O2的【解析】以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，則O1(-2，0)，O2(2，0).【解析】以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸由已知PM=PN，得PM2=2PN2，因?yàn)閳A的半徑為1，所以PO12-1=2(PO22-1)，設(shè)P(x，y)，則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，即(x-6)2+y2=33.故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33.由已知PM=PN，得PM2=2PN2，【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知點(diǎn)M到x軸的距離等于到y(tǒng)軸的距離的2倍，求點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則點(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別為|y|，|x|.由題意知|y|=2|x|，整理得y=±2x.所以點(diǎn)M的軌跡方程為y=±2x.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知點(diǎn)M到x軸的距離等于到y(tǒng)軸的距離的2倍，求點(diǎn)類型二代入法求曲線的方程【典例2】(1)(2014·吉林高二檢測(cè))已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線2x2-y=0上移動(dòng)，則點(diǎn)A(0，-1)與點(diǎn)P連線中點(diǎn)M的軌跡方程是()A.y=2x2

B.y=8x2C.2y=8x2-1 D.2y=8x2+1(2)設(shè)定點(diǎn)M(-3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程.類型二代入法求曲線的方程【解題探究】1.題(1)若已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則線段P1P2中點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？2.題(2)哪些點(diǎn)的坐標(biāo)已知，哪些點(diǎn)滿足已知曲線的方程，借助什么方法可用這些點(diǎn)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)？【解題探究】1.題(1)若已知P1(x1，y1)，P2(x2【探究提示】1.據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式知中點(diǎn)P的坐標(biāo)為2.從題目的已知條件可知，點(diǎn)M與點(diǎn)O的坐標(biāo)已知，點(diǎn)N滿足已知曲線的方程，可借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)與MN的中點(diǎn)坐標(biāo)相同表示出點(diǎn)P的坐標(biāo).【探究提示】1.據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式知中點(diǎn)P的坐標(biāo)為【自主解答】(1)選C.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0，y0)，則2x02-y0=0.…①因?yàn)镸為AP的中點(diǎn)，所以得解得代入①式得2(2x)2-(2y+1)=0，即2y=8x2-1.【自主解答】(1)選C.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P坐標(biāo)為((2)如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，(2)如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，所以從而由N(x+3，y-4)在圓上，得(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求P點(diǎn)的軌跡方程為(x+3)2+(y-4)2=4，但應(yīng)除去兩點(diǎn):和則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為【延伸探究】若把題(2)中MN的中點(diǎn)記為Q，試求點(diǎn)Q的軌跡方程.【解題指南】采用代入法求解.【解析】設(shè)Q(x，y)，N(x0，y0)，所以則由N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，所以(2x+3)2+(2y-4)2=4.故點(diǎn)Q的軌跡方程為+(y-2)2=1.【延伸探究】若把題(2)中MN的中點(diǎn)記為Q，試求點(diǎn)Q的軌跡方【方法技巧】1.代入法求軌跡方程的適用條件已知一個(gè)點(diǎn)在已知曲線上運(yùn)動(dòng)，并帶動(dòng)另一個(gè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，在求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程時(shí)，往往用代入法.2.代入法求曲線方程的四個(gè)步驟【方法技巧】【變式訓(xùn)練】動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2+y2=1上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，因?yàn)镻為MB的中點(diǎn)，所以即又因?yàn)镸在曲線x2+y2=1上，所以(2x-3)2+4y2=1.所以P點(diǎn)的軌跡方程為(2x-3)2+4y2=1.【變式訓(xùn)練】動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2+y2=1上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線l:2x+4y+3=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q分線段OP為1∶2兩部分，則Q點(diǎn)的軌跡方程是()A.2x+4y+1=0B.2x+4y+3=0C.2x+4y+2=0D.x+2y+1=0【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線l:2x+4y+3=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，【解析】選A.設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(x′，y′)，又Q分OP所成的比為，即=所以(x，y)=(x′-x，y′-y)，所以得又P(x′，y′)在2x+4y+3=0上，所以2×(3x)+4×(3y)+3=0，即2x+4y+1=0.故點(diǎn)Q的軌跡方程是2x+4y+1=0.【解析】選A.設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(x′，y【易錯(cuò)誤區(qū)】求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)對(duì)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件考慮不全致誤【典例】已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，c，b成等差數(shù)列，a>c>b，|AB|=2，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為

.【易錯(cuò)誤區(qū)】求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)對(duì)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件考慮【解析】以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖，則A(-1，0)，B(1，0)，設(shè)C(x，y)，因?yàn)閍，c，b成等差數(shù)列，所以a+b=2c，即|AC|+|BC|=2|AB|，故=4，化簡(jiǎn)整理得:3x2+4y2=12.由于a＞b，即【解析】以直線AB為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角解不等式得x<0，又C不能在x軸上②，所以x≠-2，所以3x2+4y2=12(x<0且x≠-2)是所求的軌跡方程.答案:3x2+4y2=12(x<0且x≠-2)解不等式得x<0，【常見(jiàn)誤區(qū)】錯(cuò)解錯(cuò)因剖析3x2+4y2=12(x≠-2)在①處忽略條件a>b對(duì)點(diǎn)C的坐標(biāo)x的限制而致誤3x2+4y2=12(x<0)在②處遺漏點(diǎn)C不能在x軸上而致錯(cuò)【常見(jiàn)誤區(qū)】錯(cuò)解錯(cuò)因剖析3x2+4y2在①處忽略條件a>b對(duì)【防范措施】重視題目中的隱含條件求軌跡方程時(shí)雖能寫出方程，但易產(chǎn)生增點(diǎn)或丟點(diǎn)現(xiàn)象，進(jìn)而求錯(cuò).所以在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，一定要注意題目中的限制條件，特別是隱含條件.如本例易忽略隱含條件C不在x軸上而致錯(cuò).另外三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線；直線斜率不存在的情況；點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離為|y|或|x|也是解題時(shí)容易忽視的地方.【防范措施】【類題試解】若△ABC的邊AB是定長(zhǎng)2a，邊BC的中線為定長(zhǎng)m，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為

.【類題試解】若△ABC的邊AB是定長(zhǎng)2a，邊BC的中線為定長(zhǎng)【解析】取AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(-a，0)，B(a，0)，設(shè)C(x，y)，則邊BC的中點(diǎn)D，由|AD|=m得=m2.化簡(jiǎn)得(x+3a)2+y2=4m2.又由點(diǎn)C在直線AB上時(shí)不能組成三角形，故y≠0，因此頂點(diǎn)C的軌跡方程是(x+3a)2+y2=4m2(y≠0).答案:(x+3a)2+y2=4m2(y≠0)(答案不惟一)【解析】取AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系，2.1.2求曲線的方程2.1.2問(wèn)題引航1.什么是坐標(biāo)法？解析幾何研究的問(wèn)題主要有哪些？2.求曲線方程的一般步驟是什么？求曲線方程的常用方法有哪些？問(wèn)題1.什么是坐標(biāo)法？解析幾何研究的問(wèn)題主要有哪些？1.坐標(biāo)法和解析幾何研究的主要問(wèn)題(1)坐標(biāo)法:借助于_______，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線性質(zhì)的方法.(2)解析幾何研究的主要問(wèn)題:①曲線研究方程:根據(jù)已知條件，求出_______________.②方程研究曲線:通過(guò)曲線的方程，研究___________.坐標(biāo)系表示曲線的方程曲線的性質(zhì)1.坐標(biāo)法和解析幾何研究的主要問(wèn)題坐標(biāo)系表示曲線的方程曲線的2.求曲線方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)______表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo).(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P=_________.(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程_________.(4)化方程f(x，y)=0為最簡(jiǎn)形式.(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在_______.(x，y){M|p(M)}f(x，y)=0曲線上2.求曲線方程的一般步驟(x，y){M|p(M)}f(x，y1.判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在求曲線方程時(shí)，對(duì)于同一條曲線，坐標(biāo)系的建立不同，所得到的曲線方程也不一樣.()(2)化簡(jiǎn)方程“|x|=|y|”為“y=x”是恒等變形.()(3)按照求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗(yàn).()1.判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)提示:(1)正確.對(duì)于曲線上同一點(diǎn)，由于坐標(biāo)系不同，該點(diǎn)的坐標(biāo)就不一樣，因此方程也不一樣.(2)錯(cuò)誤.|x|=|y|化簡(jiǎn)的形式為y=±x.(3)錯(cuò)誤.一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，但是在求解、化簡(jiǎn)過(guò)程中極易產(chǎn)生增解或漏解，檢驗(yàn)這一步驟是應(yīng)該有的，故此說(shuō)法不正確.答案:(1)√(2)×(3)×提示:(1)正確.對(duì)于曲線上同一點(diǎn)，由于坐標(biāo)系不同，該點(diǎn)的坐2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)M的軌跡方程是

.(2)直角坐標(biāo)平面xOy中，若定點(diǎn)A(1，2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足=4，則點(diǎn)P的軌跡方程是

.(3)已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，-2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=3|PO|，則點(diǎn)P的軌跡方程是

.2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)【解析】(1)設(shè)M(x，y)，由|MO|=2，得=2，所以x2+y2=4.答案:x2+y2=4(2)由=4知，x+2y=4?x+2y-4=0，所以P點(diǎn)的軌跡方程是x+2y-4=0.答案:x+2y-4=0【解析】(1)設(shè)M(x，y)，由|MO|=2，得(3)設(shè)P(x，y)，則|PA|=3|PO|可化為化簡(jiǎn)得:8x2+2x+8y2-4y-5=0.答案:8x2+2x+8y2-4y-5=0(3)設(shè)P(x，y)，則|PA|=3|PO|可化為【要點(diǎn)探究】知識(shí)點(diǎn)坐標(biāo)法與曲線方程的求解1.平面直角坐標(biāo)系的選取方法(1)若條件中只出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，常以定點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.(2)若已知兩定點(diǎn)，常以兩定點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.【要點(diǎn)探究】(3)若已知兩條互相垂直的直線，則以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系.(4)若已知一定點(diǎn)和一定直線，常以點(diǎn)到直線的垂線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以點(diǎn)到直線的垂線的反向延長(zhǎng)線為x軸建立直角坐標(biāo)系.(3)若已知兩條互相垂直的直線，則以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)2.求曲線方程時(shí)應(yīng)注意的四個(gè)問(wèn)題(1)在第一步中，如果原題中沒(méi)有確定坐標(biāo)系，首先選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通常選取特殊位置為原點(diǎn)，相互垂直的直線為坐標(biāo)軸.(2)第二步要仔細(xì)分析曲線的特征，注意揭示其隱含的條件，抓住與曲線上任意一點(diǎn)M有關(guān)的等量關(guān)系，列出等式，此步驟有時(shí)也可以省略，而直接將幾何條件用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示.2.求曲線方程時(shí)應(yīng)注意的四個(gè)問(wèn)題(3)在第三步化簡(jiǎn)的過(guò)程中，注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性，盡量避免“失解”或“增解”.(4)第四步的說(shuō)明可以省略不寫，若有特殊情況，可以適當(dāng)說(shuō)明，如某些點(diǎn)雖然其坐標(biāo)滿足方程，但不在曲線上，可以通過(guò)限定方程中x(或y)的取值予以剔除.(3)在第三步化簡(jiǎn)的過(guò)程中，注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性，盡量避3.對(duì)求曲線方程的三點(diǎn)說(shuō)明(1)求曲線方程時(shí)，坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線方程也不相同.(2)一般地，求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y)，而不設(shè)成其他字母.(3)求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形.3.對(duì)求曲線方程的三點(diǎn)說(shuō)明【知識(shí)拓展】軌跡方程與軌跡的辨析【知識(shí)拓展】軌跡方程與軌跡的辨析【微思考】(1)曲線(或軌跡)是軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形，如何選取坐標(biāo)系？提示:若曲線(或軌跡)為軸對(duì)稱圖形，通常以對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸(x軸或y軸)；若曲線(或軌跡)是中心對(duì)稱圖形，通常以對(duì)稱中心為原點(diǎn).【微思考】(2)求解曲線方程時(shí)一定要按各步驟操作嗎？提示:不一定，若有坐標(biāo)系，第一步可省略，第二步雖重要，但只要能把條件轉(zhuǎn)化為方程即可，故也可省略.若化簡(jiǎn)前后方程的解集相同，步驟(5)也可省略，如有特殊情況可以適當(dāng)說(shuō)明.(3)求得曲線方程后，如何避免出現(xiàn)“增解”或“漏解”？提示:可根據(jù)曲線與方程的定義從曲線的方程與方程的曲線兩個(gè)方面進(jìn)行檢驗(yàn).(2)求解曲線方程時(shí)一定要按各步驟操作嗎？【即時(shí)練】在Rt△ABC中，|AB|=2a(a>0)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程.【解析】如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(-a，0)，B(a，0).設(shè)C(x，y)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接CO，則由直角三角形的性質(zhì)知:|OC|=|AB|=×2a=a.因而點(diǎn)C的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以a為半徑的圓(除去與x軸的交點(diǎn))，其軌跡方程為x2+y2=a2(x≠±a).【即時(shí)練】【題型示范】類型一直接法求曲線的方程【典例1】(1)(2014·南昌高二檢測(cè))已知兩點(diǎn)M(-2，0)，N(2，0)，點(diǎn)P滿足

=0，則點(diǎn)P的軌跡方程為

.(2)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到直線x=8的距離是它到點(diǎn)A(2，0)的距離的2倍，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【題型示范】【解題探究】1.題(1)條件=0如何轉(zhuǎn)化？2.題(2)中條件可用式子如何表示？【探究提示】1.寫出向量的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線x=8的距離為d，則條件的幾何表示為:d=2|PA|.【解題探究】1.題(1)條件=0如何轉(zhuǎn)化？【自主解答】(1)設(shè)P的坐標(biāo)為P(x，y)，由=(-2-x，-y)·(2-x，-y)=x2-4+y2=0，得x2+y2=4，所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4.答案:x2+y2=4【自主解答】(1)設(shè)P的坐標(biāo)為P(x，y)，由(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則動(dòng)點(diǎn)P到直線x=8的距離d=|x-8|，到點(diǎn)A的距離|PA|=由已知d=2|PA|得:|x-8|=2化簡(jiǎn)得:3x2+4y2=48.故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為3x2+4y2=48.(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則動(dòng)點(diǎn)P到直線x=8的距離d【方法技巧】直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵及方法(1)關(guān)鍵:①建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②找出所求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件.(2)方法:求曲線的方程遵循求曲線方程的五個(gè)步驟，在實(shí)際求解時(shí)可簡(jiǎn)化為三大步驟:建系、設(shè)點(diǎn)；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件列方程；對(duì)所求的方程化簡(jiǎn)、說(shuō)明.【方法技巧】直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵及方法【變式訓(xùn)練】(2014·寶雞高二檢測(cè))如圖，圓O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2=4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點(diǎn))，使得PM=PN，建立平面直角坐標(biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【變式訓(xùn)練】(2014·寶雞高二檢測(cè))如圖，圓O1和圓O2的【解析】以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示，則O1(-2，0)，O2(2，0).【解析】以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸由已知PM=PN，得PM2=2PN2，因?yàn)閳A的半徑為1，所以PO12-1=2(PO22-1)，設(shè)P(x，y)，則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，即(x-6)2+y2=33.故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33.由已知PM=PN，得PM2=2PN2，【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知點(diǎn)M到x軸的距離等于到y(tǒng)軸的距離的2倍，求點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則點(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別為|y|，|x|.由題意知|y|=2|x|，整理得y=±2x.所以點(diǎn)M的軌跡方程為y=±2x.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知點(diǎn)M到x軸的距離等于到y(tǒng)軸的距離的2倍，求點(diǎn)類型二代入法求曲線的方程【典例2】(1)(2014·吉林高二檢測(cè))已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線2x2-y=0上移動(dòng)，則點(diǎn)A(0，-1)與點(diǎn)P連線中點(diǎn)M的軌跡方程是()A.y=2x2

B.y=8x2C.2y=8x2-1 D.2y=8x2+1(2)設(shè)定點(diǎn)M(-3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程.類型二代入法求曲線的方程【解題探究】1.題(1)若已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則線段P1P2中點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？2.題(2)哪些點(diǎn)的坐標(biāo)已知，哪些點(diǎn)滿足已知曲線的方程，借助什么方法可用這些點(diǎn)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)？【解題探究】1.題(1)若已知P1(x1，y1)，P2(x2【探究提示】1.據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式知中點(diǎn)P的坐標(biāo)為2.從題目的已知條件可知，點(diǎn)M與點(diǎn)O的坐標(biāo)已知，點(diǎn)N滿足已知曲線的方程，可借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)與MN的中點(diǎn)坐標(biāo)相同表示出點(diǎn)P的坐標(biāo).【探究提示】1.據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式知中點(diǎn)P的坐標(biāo)為【自主解答】(1)選C.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0，y0)，則2x02-y0=0.…①因?yàn)镸為AP的中點(diǎn)，所以得解得代入①式得2(2x)2-(2y+1)=0，即2y=8x2-1.【自主解答】(1)選C.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)P坐標(biāo)為((2)如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，(2)如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，所以從而由N(x+3，y-4)在圓上，得(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求P點(diǎn)的軌跡方程為(x+3)2+(y-4)2=4，但應(yīng)除去兩點(diǎn):和則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為【延伸探究】若把題(2)中MN的中點(diǎn)記為Q，試求點(diǎn)Q的軌跡方程.【解題指南】采用代入法求解.【解析】設(shè)Q(x，y)，N(x0，y0)，所以則由N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，所以(2x+3)2+(2y-4)2=4.故點(diǎn)Q的軌跡方程為+(y-2)2=1.【延伸探究】若把題(2)中MN的中點(diǎn)記為Q，試求點(diǎn)Q的軌跡方【方法技巧】1.代入法求軌跡方程的適用條件已知一個(gè)點(diǎn)在已知曲線上運(yùn)動(dòng)，并帶動(dòng)另一個(gè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，在求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程時(shí)，往往用代入法.2.代入法求曲線方程的四個(gè)步驟【方法技巧】【變式訓(xùn)練】動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2+y2=1上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，因?yàn)镻為MB的中點(diǎn)，所以即又因?yàn)镸在曲線x2+y2=1上，所以(2x-3)2+4y2=1.所以P點(diǎn)的軌跡方程為(2x-3)2+4y2=1.【變式訓(xùn)練】動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2+y2=1上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線l:2x+4y+3=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q分線段OP為1∶2兩部分，則Q點(diǎn)的軌跡方程是()A.2x+4y+1=0B.2x+4y+3=0C.2x+4y+2=0D.x+2y+1=0【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線l:2x+4y+3=0，P