河南省豫南名校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第16頁(yè)/共16頁(yè)高二數(shù)學(xué)考試一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知點(diǎn)，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出向量坐標(biāo)【詳解】由點(diǎn)，，則故選：C2.兩平行直線與之間的距離為（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】由兩平行直線間的距離公式可得答案.【詳解】?jī)善叫兄本€與之間的距離．故選：B3.平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面夾角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)平面與平面夾角為，由平面的夾角的向量求解公式得出余弦值，求出其正弦值，從而可得出答案.【詳解】設(shè)平面與平面夾角為，則，則所以．故選：D4.已知直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)題意直線過(guò)圓心從而得出答案.【詳解】由題意得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心M的坐標(biāo)為．因?yàn)橹本€l始終平分圓M的周長(zhǎng)，所以直線l過(guò)圓M的圓心，所以，即．故選：A5.如圖，在四棱錐中，E，F(xiàn)分別是BC，OA的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的加法運(yùn)算即可得出答案.【詳解】．故選：A6.已知點(diǎn)M，N分別為圓與上一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由題可得兩圓的圓心及半徑，然后根據(jù)圓的性質(zhì)即得.【詳解】由題可知圓A的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，圓B的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)閮蓤A的圓心距，所以兩圓外離，所以．故選：B.7.若直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則k＝（）A. B. C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率計(jì)算出，再根據(jù)正切的倍角、和角公式計(jì)算即可.詳解】依題意可得，則，故．故選:C8.如圖，在正三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則直線AF與平面PEF所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法來(lái)求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，所以.故選：A二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則（）A.在軸上的投影向量的坐標(biāo)為B.在軸上的投影向量的坐標(biāo)為C.在軸上的投影向量的坐標(biāo)為D.點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】【分析】分別求出在軸、軸、軸、平面內(nèi)的投影向量，即可判斷.【詳解】在軸上的投影向量的坐標(biāo)為，在軸上的投影向量的坐標(biāo)為，在軸上的投影向量的坐標(biāo)為，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)為．故選：ABD10.如圖，設(shè)直線l，m，n的斜率分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線的傾斜方向先判斷出直線的傾斜角是銳角或鈍角，再根據(jù)直線的傾斜程度判斷其絕對(duì)值的大小，得出答案.【詳解】由圖可知直線l，m，n的傾斜角分別為銳角、鈍角、鈍角，所以又直線m最陡峭，則，所以，，．故選項(xiàng)BCD正確.故選：BCD11.在三棱錐中，平面平面BCD，，，為等邊三角形，E是棱AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱AD上一點(diǎn)，若異面直線DE與BF所成角的余弦值為，則AF的值可能為（）A. B.1 C. D.【答案】AC【解析】【分析】過(guò)作與平行的直線為軸，取BD的中點(diǎn)O，根據(jù)條件可得平面BCD，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】由為等邊三角形，取BD的中點(diǎn)O，連接,則又平面平面BCD，且平面平面所以平面BCD，由過(guò)作與平行的直線為軸，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，所以．設(shè)，則，，則，解得或，故或．故選：AC12.已知點(diǎn)，，若圓上存在唯一的一點(diǎn)P，使得，則u的值可能為（）A. B. C.1 D.7【答案】ACD【解析】【分析】由題意P在以N為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)題意該圓與圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，由兩圓的位置關(guān)系可得答案.【詳解】因?yàn)锳B的中點(diǎn)為定點(diǎn)，，且，所以P在以N為圓心，為半徑的圓N上，依題意可得圓N與圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，則或，解得，，1，7．故答案為：ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.若向量，，且，則______．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，代值計(jì)算即可.【詳解】依題意可得，則．故答案為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，若四邊形為平行四邊形，則__________．【答案】6【解析】【分析】由四邊形為平行四邊形，可得，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：,，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，所以，，所?則．故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．15.若函數(shù)的圖象是半徑為的圓的一部分，則a的一個(gè)值可以是______．【答案】4（答案不唯一）【解析】【分析】將函數(shù)的解析式化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，得出圓的半徑的表達(dá)式，根據(jù)半徑的范圍從而可得出答案.【詳解】由，得，即，依題意可得，解得．故答案為：4（答案不唯一，只要a的值滿足即可）16.已知光線從點(diǎn)射出，到軸上的點(diǎn)后，被軸反射到軸上的點(diǎn)，再被軸反射，這時(shí)反射光線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則所在直線的方程為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】由題意可知直線一定過(guò)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，且一定過(guò)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，從而可求出直線的方程，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程.【詳解】如圖，由題設(shè)點(diǎn)B在原點(diǎn)O的右側(cè)，直線一定過(guò)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，且一定過(guò)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以的方程為，即，令，則，所以為，所以的方程為，即，故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，E，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）求出，，E，F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的值．【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，（2）由（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)得出向量坐標(biāo)，利用向量夾角公式可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由題意為軸，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，，所以y軸經(jīng)過(guò)線段CD的中點(diǎn)．又，E，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，所以，，，．【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，，則18.（1）已知直線，求直線l的傾斜角的取值范圍；（2）若直線l在x軸上截距與在y軸上的截距相等，且直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線l的方程．（將方程化為一般式方程）【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）由題意可得，求出其范圍，從而可得出答案（2）分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況分別求解即可.【詳解】解：（1）直線的斜率為，因?yàn)?，所以的取值范圍為．?）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線l的方程為，則，解得，則直線l的方程為，即．當(dāng)直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線l的方程為，因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)，所以，解得，則直線l的方程為．所以直線l的方程或19.如圖，在四棱柱中，四邊形是正方形，，，設(shè)，，.（1）若底面，試用，，表示出空間的一個(gè)單位正交基底；（無(wú)需寫出過(guò)程）（2）若是中點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）(答案不唯一)；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)單位正交基底的概念即得；（2）由題可得，然后利用向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可得模長(zhǎng)，進(jìn)而即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌妫倪呅问钦叫?，，，所以空間的一個(gè)單位正交基底為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由題意知，，，，，所以，即，所以.20.已知圓．（1）若圓C被直線截得的弦長(zhǎng)為8，求圓C的直徑；（2）已知圓C過(guò)定點(diǎn)P，且直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)弦長(zhǎng)為8，利用弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系列出方程求解即可；（2）求出動(dòng)圓所過(guò)定點(diǎn)，再聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】依題意可知圓的圓心為，到直線的距離，因?yàn)閳A被直線截得的弦長(zhǎng)為8，所以，解得，故圓的直徑為.【小問(wèn)2詳解】圓的一般方程為，令，，解得，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為.聯(lián)立解得或所以，因?yàn)?，所?又方程表示一個(gè)圓，所以，所以的取值范圍是.21.已知半徑為的圓C的圓心在y軸的正半軸上，且直線與圓C相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若圓C的一條弦經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求這條弦的最短長(zhǎng)度．（3）已知，P為圓C上任意一點(diǎn)，試問(wèn)在y軸上是否存在定點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），使得為定值？若存在，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）存在；【解析】【分析】（1）由題意圓心坐標(biāo)為，可設(shè)出圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑,從而可得出答案.（2）先判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的集合性質(zhì)可得直線CM與這條弦垂直時(shí)，這條弦的長(zhǎng)度最短從而可得出答案.（3）設(shè)，,分別表示出，由為定值得出答案.【小問(wèn)1詳解】由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓C的方程為．因?yàn)橹本€與圓C相切，所以點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，所以，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋援?dāng)直線CM與這條弦垂直時(shí)，這條弦的長(zhǎng)度最短，故所求最短弦長(zhǎng)為．【小問(wèn)3詳解】假設(shè)存在定點(diǎn)B，設(shè)，，則，則．當(dāng)，即（舍去）時(shí)，為定值，且定值為，故存在定點(diǎn)B，且B的坐標(biāo)為．22.如圖，點(diǎn)在內(nèi)，是三棱錐的高，且．是邊長(zhǎng)為的正三角形，．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），求平面與平面夾角余弦值的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作，交于，進(jìn)而證明點(diǎn)在上，平面，即可得兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可；（2）結(jié)合（1）求平面的法向量為，設(shè)，，進(jìn)而求平面的法向量，再根據(jù)向量方法求解即可.【小問(wèn)1詳解】：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)槭侨忮F的高，即平面，因?yàn)槠矫嫠裕驗(yàn)?，的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)槠矫嫠云矫妫驗(yàn)槠矫妫?/p>