(完整word版)近世代數(shù)期末試卷7

近世代數(shù)復(fù)習(xí)思考題一、基本概念與基本常識的記憶(一)填空題1.剩余類加群Z12有4 個(gè)生成元.2、設(shè)群G的元a的階是n,則ak的階是.TOC\o"1-5"\h\z3.6階循環(huán)群有 2___個(gè)子群 .4、設(shè)群G中元素a的階為m,如果ane,那么m與n存在整除關(guān)系為一mlno模8的剩余類環(huán) Z8的子環(huán)有 4 個(gè).整數(shù)環(huán)Z的理想有 ___無窮多個(gè) 個(gè).n次對稱群Sn的階是————n!——。9-置換 123456789分解系互不相交的循環(huán)之積是—543961827剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S={[0],[2],[4]}，則S的單位元是.Z24中的所有可逆元是： 1、5、7、11、13、17、19、23 .11、凱萊定理的內(nèi)容是：任一個(gè)子群都同一個(gè) ___變換群 同構(gòu)。.設(shè)G(a)為循環(huán)群，那么(1)若a的階為無限，則G同構(gòu)于整數(shù)加群,(2)若a的階為n,則G同構(gòu)于一單位根群。.在整數(shù)環(huán)Z中，⑵(3)=;14、n次對稱群Sn的階是.15.設(shè)A,A2為群G的子群，則A1A2是群G的子群的充分必要條件為。16、除環(huán)的理想共有2 個(gè)。17.剩余類環(huán)Z5的零因子個(gè)數(shù)等于0.18、在整數(shù)環(huán)Z中，由{2,3}生成的理想是.19.剩余類環(huán)Z7的可逆元有6—個(gè).20、設(shè)Z11是整數(shù)模11的剩余類環(huán)，則Z11的特征是11.整環(huán)I={所有復(fù)數(shù)a+bi(a,b是整數(shù))},則I的單位是..剩余類環(huán)Zn是域n是素?cái)?shù).23、設(shè)Z7={0,1,2,3,4,5,6}是整數(shù)模7的剩余類環(huán)，在Z7[x]中，(5x-4)(3x+2)=..設(shè)G為群，aG,若|a12,則|a83。25、設(shè)群G={e,a1，a2,…，an-仆，運(yùn)算為乘法，e為G的單位元，貝Ua1n=_e_.26.設(shè)A={a,b,c},則A到A的——映射共有6 個(gè).27、整數(shù)環(huán)Z的商域是.28.整數(shù)加群Z有2 個(gè)生成元.

29、若R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，I是R的一個(gè)理想，那么%是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)I是 。.已知32355為S5上的元素，則1=。.每一個(gè)有限群都與一個(gè)置換群 群同構(gòu)。32、設(shè)I是唯一分解環(huán)，則I[x]與唯一分解環(huán)的關(guān)系是 二、基本概念的理解與掌握。（二）選擇題二、基本概念的理解與掌握。（二）選擇題1.設(shè)集合A中含有5個(gè)元素，集合與B的積集合AXB中含有（A.2C.7B中含有2個(gè)元素，那么，A）個(gè)元素。B.5D.10.設(shè)A=B=R（實(shí)數(shù)集），如果A到B的映射:x—x+:x—x+2, xGR,則是從A到B的（A.滿射而非單射C.一一映射）B.單射而非滿射D.既非單射也非滿射B.4D.8B.4D.8.設(shè)Zi5是以15為模的剩余類加群，那么，Zi5的子群共有（ ）個(gè)。A.2C.64、G是12階的有限群，H是G的子群，則H的階可能是（）A5;B6 ;C7 ;D9.5、下面的集合與運(yùn)算構(gòu)成群的是 （）A{0,1},運(yùn)算為普通的乘法；B{0,1},運(yùn)算為普通的加法；C{-1,1},運(yùn)算為普通的乘法；D{-1,1},運(yùn)算為普通的加法；TOC\o"1-5"\h\z6、關(guān)于整環(huán)的敘述，下列正確的是 （）A左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立C每個(gè)非零元都有逆元； D 每個(gè)非零元都沒有逆元7、關(guān)于理想的敘述，下列不正確的是 （）A在環(huán)的同態(tài)滿射下，理想的象是理想 ；B在環(huán)的同態(tài)滿射下，理想的逆象是理想 ；C除環(huán)只有兩個(gè)理想，即零理想和單位理想D環(huán)的最大理想就是該環(huán)本身..整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個(gè)數(shù)是（ ）。A.1個(gè) B.2個(gè)C.4個(gè)D.無限個(gè).設(shè)M2（R產(chǎn)aba,b,c,dGR,R為實(shí)數(shù)域按矩陣的加法和cd乘法構(gòu)成R上的二階方陣環(huán)，那么這個(gè)方陣環(huán)是 （ ）。A.有單位元的交換環(huán) B.無單位元的交換環(huán)C.無單位元的非交換環(huán) D.有單位元的非交換環(huán)a,當(dāng)aM禺?dāng)?shù)時(shí).設(shè)Z是整數(shù)集，(r(a)=21 ,aZ,則°是R的土」，當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)2( ).A.滿射變換 B.單射變換C. 變換 D.不是R的變換11、設(shè)人={所有實(shí)數(shù)x},A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個(gè)子集的同態(tài)滿射的是( ).A、x-10x B、x-2xC、x—|x| D、x—-x.12、設(shè)是正整數(shù)集Z上的二元運(yùn)算，其中aobmaxa,b(即取aVb中的最大者)，那么在Z中()A、不適合交換律 B、不適合結(jié)合律C、存在單位元 D、每個(gè)元都有逆元.13.設(shè)S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},則S3TOC\o"1-5"\h\z中與元(123)不能交換的元的個(gè)數(shù)是( )A、1 B、2 C、3 D、4.14、設(shè)G,o為群，其中G是實(shí)數(shù)集，而乘法o:aobabk,這里k為G中固定的常數(shù)。那么群G,o中的單位元e和元x的逆元分別是( )A、0和x；B、1和0;C、k和x2k;D、 k和(x2k)15、設(shè)H是有限群G的子群，且G有左陪集分類H,aH,bH,cH。如果|H|6,那么G的階GA、6B、24 C、10 D、1216.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個(gè)數(shù)是（）.A、1個(gè)B、2個(gè)C、4個(gè)D、無限個(gè)。17、設(shè)f：RiR2是環(huán)同態(tài)滿射，f⑻b,那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（）A、若a是零元，則b是零元B、若a是單位元，則b是單位元C、若a不是零因子，則b不是零因子D、若R2是不交換的，則R不交換18、下列正確的命題是（ ）A、歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)B、主理想環(huán)必是歐氏環(huán)C、唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)D、唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán).下列法則，哪個(gè)是集A的代數(shù)運(yùn)算（ ）.A.A=N,ab=a+b-2 B.A=Z,ab=-bC.A=Q,ab=ab D.A=R,ab=a+b+ab.設(shè)人={所有非零實(shí)數(shù)x},A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，則以下映射作成A到A的一個(gè)子集A的同態(tài)滿射的是（ ）.1A.x——x B.x—-xC.x-C.x-xTOC\o"1-5"\h\z.在3次對稱群S3中，階為3的元有（ ）.A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè).剩余類環(huán)Z6的子環(huán)有（ ）.A.3個(gè) B.4個(gè)C.5個(gè) D.6個(gè)23、設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素且x2abxc1,acxxac,那么x（）A.bc1a1;B.c1a1; C.a1bc1;D.b1ca。24、設(shè)f：Gi G2是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（）f的同態(tài)核是G的不變子群；G1的不變子群的象是G2的不變子群。C.G1的子群的象是G2的子群；D.G2的不變子群的逆象是G的不變子群；25、設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類H,aH,bH,cH。如果H|6,那么G的階G（）A.6; B.24 ; C.10 ; D.12 。（三）判斷題（每小題2分，共12分）1、設(shè)A、B、D都是非空集合，則AB到D的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。（）2、除環(huán)中的每一個(gè)元都有逆元。（）（非零元）3、如果循環(huán)群Ga中生成元a的階是無限的，則G與整數(shù)加群同構(gòu)。（T）4、如果群G的子群H是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群。（）5、域是交換的除環(huán)。（T）6、唯一分解環(huán)I的兩個(gè)元a和b不一定會(huì)有最大公因子。（）7、設(shè)f:GG是群g到群G的同態(tài)滿射，aGG^UaVf（a）的階相同。（）8、一個(gè)集合上的全體一一變換作成一個(gè)變換群。 （F）9、循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。（T）10、整環(huán)I中的兩個(gè)元素a,b滿足a整除b且b整除a,則a=bo（）11、一個(gè)環(huán)若沒有左零因子，則它也沒有右零因子。 （F）12、只要f是A至UA的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1。（T）13、如果環(huán)R的階2,那么R的單位元10。（）14、指數(shù)為2的子群不是不變子群。（F）15、在整數(shù)環(huán)Z中，只有土1才是單位，因此在整數(shù)環(huán)Z中兩個(gè)整數(shù)相伴當(dāng)且僅當(dāng)這兩數(shù)相等或只相差一個(gè)符號。 （）16、兩個(gè)單位和的乘積也是一個(gè)單位。（）17、環(huán)K中素元一定是不可約元；不可約元一定是素元。（）18、由于零元和單位都不能表示成不可約元之積，所以零元和單位都不能唯一分解。（）19、整環(huán)必是唯一分解環(huán)。 （）20、在唯一分解環(huán) K中，p是K中的素元當(dāng)且僅當(dāng)p是K中的不可約元。（）21、設(shè)K是唯一分解環(huán)，則K中任意二個(gè)元素的最大公因子都存在，且任意二個(gè)最大公因子相伴。（）22、整數(shù)環(huán) Z和環(huán)Qx都是主理想環(huán)。（）23、K是主理想環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)K是唯一分解環(huán)。（）24、整數(shù)環(huán)Z、數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)Px和Gauss整環(huán)Zi都是歐氏環(huán)。（ ）25、歐氏環(huán)必是主理想環(huán)，因而是唯一分解環(huán)。反之亦然。（）26、歐氏環(huán) 主理想環(huán)唯一分解環(huán) 有單位元的整環(huán)。（）27、設(shè)環(huán)R,,?的加法群是循環(huán)群,那么環(huán)R必是交換環(huán).（T）28、對于環(huán)R,若a是R的左零因子，則a必同時(shí)是R的右零因子. （F）29、剩余類Zm是無零因子環(huán)的充分必要條件是 m為素?cái)?shù).（T）30、整數(shù)環(huán)是無零因子環(huán)，但它不是除環(huán)。 （T）

31、31、S2C是M2c的子域.()32、在環(huán)同態(tài)下，零因子的象可能不是零因子。 ()33、理想必是子環(huán)，但子環(huán)未必是理想.()34、群G的一個(gè)子群H元素個(gè)數(shù)與H的每一個(gè)左陪集aH的個(gè)數(shù)相等.()35、有卜K群G中每個(gè)元素a的階都整除群G的階。(T)三、基本方法與技能掌握。(四)計(jì)算題1.設(shè)+)為整數(shù)加群，彳二*宓|您wZ),求[Z:H]?解H在Z中的陪集有：口+汗=15胃|名任Z},l+H={l+5胃鼠EZ1,2+H二{2+5霄| ,3+H={3+—|sCZ},4+W={4+5卷上^^》,所以，[Z:H] 5.2、找出S3的所有子群。解：S3顯然有以下子群：本身；((D)={(1)}；((12))={(12),(1)};((13))={(13),(1)};((23))={(23),(1)};((123))={(123),(132),(1)}若S3的一個(gè)子群H包含著兩個(gè)循環(huán)置換，那么H含有(12),(13)這兩個(gè)2-循環(huán)置換，那么H含有(12)(13)=(123),(123)(12)=(23),因而H=Sso同理，若是S3的一個(gè)子群含有兩個(gè)循環(huán)置換(21),(23)或(31),(32)。這個(gè)子群也必然是S3。用完全類似的方法，可以算出，若是 S3的一個(gè)子群含有一個(gè)2-循環(huán)置換和一個(gè)3-循環(huán)置換，那么這個(gè)子群也必然是 S3。.求Zi8的所有子群。解Zi8的子群有…;二】?二,.：；口JZb：."工匚工『；;二汴「；;(9)=9■人=<耐.cr=r1234 57>.將 1736254)表為對換的乘積.解.-i：i.二””.m，E」.容易驗(yàn)證:口=(42)(26)(12)(13)(27)(12)..設(shè)按順序排列的13張紅心紙牌A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K經(jīng)一次洗牌后牌的順序變?yōu)?8,K,A,4,10,Q,J,5,7,6,2,9問：再經(jīng)兩次同樣方式的洗牌后牌的順序是怎樣的 ？解每洗一次牌,就相當(dāng)于對牌的順序進(jìn)行一次新的置換 .由題意知，第一次洗牌所對應(yīng)的置換為TOC\o"1-5"\h\z6=(123455 7 8 9 10 11 12 13 X3S131410 12 11 5 7 6 2 0 y則3次同樣方式的洗牌所對應(yīng)的置換為=p23456 7 S 9 1Q 11 12 13 \I96513312 8 10 1 2 T 11 4 ；.在Z6中,計(jì)算:(1)2+3;(2)23;⑶1十號(4)45.解(1尸?。二；(2)二二E1;(3)1[;(4)二三7工.試求高斯整環(huán) Z[i]的單位。(可逆元)解設(shè)值=飆+限1色bW))為Z[i]的單位,則存在6=c?十加EZ[i],使得小二L于是=11=(q十Ai)(c+di)(◎十bi)[。+di)=(黃十匕%以十明因?yàn)?也qdWZ,所以"+產(chǎn)=1.從而以=±1,6=0,或=0"=±1.因此可能的單位只有1?- ，-i.顯然它們都是 工山的單位.所以％[口恰有四個(gè)單位：L-1?i,一L8.試求Z12中的所有零因子與可逆元,弁確定每個(gè)可逆元的逆元素.解由定理可知：(I)23A旦及。國為Z12的全部零因子.(2)L&%n為Z12的全部可逆元.直接計(jì)算可知,相應(yīng)的逆元為——1 _—1 _—1—1. .,.L, 1,.1 …9、找出模6的剩余類環(huán)Z6的所有理想。解：R={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}。若I是R的一個(gè)理想，那么I一定是加群R的一個(gè)子群。但加群R是循環(huán)群，所以它的子群一定也是循環(huán)群，我們有Gi=([0])={[0]}G2=([1])=([5])=RG3=([2])=([4])={[0],[2],[4]}G4=([3])={[0],[3]}易見，Gi,G2,G3,G4都是R的理想，因而是R的所有理想。10.在Zi2中，解下列線性方程組：(3工十5歲=6[2寸-y=1解：ix 3 5 6 1 156 11y 2 1 1 13 2 3 1 9即1--,/-'.11.求Z18的所有子環(huán).解設(shè)『為Z18的任一子環(huán),則I是Z18的子加群,且存在￡,引電使得3+)=0d的可能取值為1,2,3,6,9,12相應(yīng)的子加群為11=(1)=Z15,r2=(2)=2Zls={0,24^A10,12.14,16},/3=(3)=3Z^={5,3,6,6,12,16},^=(6)=6Z1B={0f6,l2}- - ,rE=(g)=9Zlfi={0.9},in=(18)=18Z15={0}.直接驗(yàn)證可知，以上六個(gè)子加群都關(guān)于剩余類的乘法封閉 ,所以它們都是Zi8的子環(huán).于是Zi8恰有6個(gè)子環(huán)：{0"Zi由2Z吟32is,6Z1&SZig.12.試求％的所有理想.解設(shè)『為Z的任意理想,則f為Z的子環(huán)，則r=dz，4丘z,且^>o.對任意的曲,就E」z,名毛z,有&&-db—頃口—8)WdZz—zda—rf(as)WWZ,從而由理想的定義知,dZ為Z的理想.由此知，石的全部理想為通dw%且J>0.13、數(shù)域F上的多項(xiàng)式環(huán)Fx的理想(x21,x5x31)是怎樣的一個(gè)主理想。5 3 3 2 253d工日/日用牛田于XX1XX1 1,所以1X1,xX1,十星傳X21,X5X31 1F[x]。14、在Z比中，求曰―1的全部根.解石品共有16個(gè)元素：0,[…，國將它們分別代入曰-1,可知共有下列4個(gè)元素工",7,二為爐-1的根..試舉例說明，環(huán)Rx中的m次與n次多項(xiàng)式的乘積可能不是一個(gè)m+n次多項(xiàng)式.解例如，環(huán)Z6x中多項(xiàng)式f(x)2x3x23x5與g(x)3x21的乘積f(x)g(x)3x4X34x23x5就不是3+2次多項(xiàng)式..求出域Z3上的所有2次不可約多項(xiàng)式.TOC\o"1-5"\h\z解經(jīng)驗(yàn)算得知，Z3上的2次不可約多項(xiàng)式有三個(gè)，它們是：2 2 2 'X1,XX1,XX1.17、指出下列哪些元素是給定的環(huán)的零因子 .21 0-1 12在M2(F)中.設(shè)A八八，B,八，C.。.00 10 42在Z12中，它的全部零因子是哪些.Zu中有零因子嗎？解(1) |A||C|0A,C是零因子，但B不是.Z12中的零因子為⑵,[3],[4],[6],[8],[9],[10]Zii中沒有零因子.19.舉例說明，非零因子的象可能會(huì)是零因子 .20設(shè)R為偶數(shù)環(huán).證明：N4rrR_R問：N 〈4)是否成立？N是由哪個(gè)偶數(shù)生成的主理想？解：1) 4n,4mN,n,mR：4n4m4(nm)N,nmR故(4n4m)N,N為子加群。2)另外nR,4rN,rR(4r)n4(rn)N,rnRn(4r)(n4)r (4n)r4(nr)N,nRnrR,故n(4r),(4r)nN.總之有N4rrR_R.另方面，由于N4rrR,16,8,0,8,16,,且4N.而且實(shí)際上N是偶數(shù)環(huán)中由8生成的主理想，即N4rrR 〈8) 8r8nrR,nZ8nnZ，但是⑷4r4nrR,nZ4nnZ,8,4,0,4,8,因此，N 〈4〉.實(shí)際上是N⑻⑷.21、舉例說明，素理想不一定是極大理想。22、設(shè)H{(1),(12)},求&關(guān)于H的所有左陪集以及右陪集.解S3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},H的所有左陪集為：(1)H(12)H{(1),(12)}H；(13)H(123)H{(13),(123)}；(23)H(132)H{(23),(132)}.H的所有右陪集為：H(1)H(12){(1),(12)}；H(13)H(132){(13),(132)}；H(23)H(123){(23),(123)}.四、綜合應(yīng)用能力。(五)證明題1.在群G中，對任意QEG,方程斑=6與約二方都有唯一解.證明令cb那么成日飛)=就二b,故￡=以力為方程標(biāo)=方的解。又如B為口工二。的任一解，即如『=九則3一%加二廠(M二口一力這就證明了唯一性.同理可證另一方程也有唯一解.2,全體可逆的注階方陣的集合G^(R)O>1)關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成一個(gè)非交換群.這個(gè)群的單位元是單位矩陣EJ\\.每個(gè)元素(即可逆矩陣用的逆元是乩的逆矩陣n證明(1)設(shè)都是汽階可逆矩陣,則|聞聲0,網(wǎng)聲0,從而|AB|=|A|.|B|^0.所以a8也是月階可逆矩陣.這說明矩陣的乘法是口不(即的代數(shù)運(yùn)算；(2)因?yàn)榫仃嚨某朔M足結(jié)合律,所以G加5)的乘法也滿足結(jié)合律；(3)設(shè)國為白階單位矩陣,則同=1,故的，且對任意的乩￡G品㈤，有EA=AE—A所以，總是G友5)的單位元.(4)設(shè)AEG加便)，則圈各0.從而4可逆，設(shè)乩一為色的逆\A-~3|- 聲0矩陣，則 忸I(lǐng) ,故LeGL式玲,且A-}A=AA-l^E..所以4的逆矩陣L為4在GG(閥中的逆元.因此，0品(附構(gòu)成群.由矩陣的乘法易知,當(dāng)R>1時(shí)。加⑸是非交換群.Gf,H={(1M⑵}。那么h是S3的一個(gè)子群。證明I.H對于G的乘法來說是閉的，(1)(1)=(1),(1)(12)=(12),(12)(1)=(12),(12)(12)=(1);II.結(jié)合律對于所有G的元都對，對于H的元也對；IV.⑴eH；V.(1)(1)=(1),(12)(12)=(1)。一個(gè)群G的一個(gè)不空有限子集H作成G的一個(gè)子群的充分而且必要條件是:'-"一H:"一卜證明必要性。H是G的非空子集且H的每一個(gè)元素的階都有限。若H是子群，則由子群的條件必有 a,bHabH;充分性。由于H是G的非空子集，若a,bHabH;又H的每一個(gè)元素的階都有限aH,nN,aneaan1ea1an1H,綜上知H是G的子群。.群G的任何兩個(gè)子群的交集也是G的子群.證明設(shè)凡K為G的兩個(gè)子群,則(1)eWH^WK,所以白丘HCK,即HAK壬?;(2)任給&WHCK.bCHHK則助W凡族EK,因此??二：一心;(3)任給口CHilK,那么口丘H〃WK,因此JwR-teK,所以GwHnK.從而由定理2知，是G的子群..設(shè)H為G的子群.則方在G中左陪集的個(gè)數(shù)與右陪集的個(gè)數(shù)相同.證明設(shè)4B分別表示H在G中的左、右陪集所組成的集合.令口HiTTa=L,UmwG.則P是過到B的雙射.事實(shí)上(1)如果例=5巴那么LawH,故了環(huán)丘耳，所以，hJ=hL.于是，爐為止到m的映射.(2)任給豆B,有田=閂鼻，因此，F(xiàn)為滿射.(3)如果=那么b-%?H,因此陽二陽,從而得審為雙射.即H在G中左陪集的個(gè)數(shù)與右陪集的個(gè)數(shù)相同..有限群G的任一元素的階都是群G的階數(shù)的因子.證明設(shè)G的元a的階為n,則a生成一個(gè)階是n的子群，由以上定理，n整除G的階。.設(shè)G與華為群，t是G與曲的同構(gòu)映射,則(1)如果營為G的單位元,則?、蔀镃T的單位元；(2)任給如:區(qū)4「)為&)的逆元,即r(a-l)=?a))-1,證明(1)因?yàn)椋?=小聞=不廣⑻,由消去律知，位)為G?的單位元.(2)任給搖日日你EJ)=m.L)=?、?*(G的單位元)，從而知武「)為『⑻的逆元.所以，m>)尸=電-).如果G是交換群,則G的每個(gè)子群笈都是G的正規(guī)子群.證明因?yàn)镚為交換群，所以H的每個(gè)左陪集皿十日也就是右陪集.--..設(shè)G=GLn(R),R=8Lr網(wǎng)則H<Q證明(1)V4BW區(qū)國=1,網(wǎng)=1,則|AB-1|=L所以，5加㈤為G九㈤的子群.(2)任給CE皿網(wǎng)-WSM的,則^AC-1\=\C\-|A|闿-1=1.所以，aw-ks，國,從而s，(周4日加㈤..群G的任何兩個(gè)正規(guī)子群的交還是 Q的正規(guī)子群.證明設(shè)H與K為G的兩個(gè)正規(guī)子群,L=HCK,則乙為G的子群.又任給SEG,?！?則因?yàn)樵屡c氏都是G的正規(guī)子群,所以gg-iE區(qū) 所以，g+g-'EHCK.故HnKoG..設(shè)G與。,是群，B是G到。?的同態(tài)映射.(1)如果日是G的單位元,則「(可是。?的單位元；(2)對于任意的必任g,wS7是M可在今中的逆元.即^(a-1)=3syL證明(1)因?yàn)榭偸荊的單位元,設(shè)印是3的單位元,則日隼(日)=便(1)=.(曰?白)=中⑹甲⑹,從而有消去律得:',-<'".(2)因?yàn)槎《?)二奴以所I)二陀gwg-i),從而可知，,「:..設(shè)G與U是群，它是G到座的滿同態(tài)如果H是G的正規(guī)子群，則雙印是G?的正規(guī)子群.證明由定理知，雙印是G,的子群.又對任意的成丘0，因?yàn)镕是滿同態(tài)，所以存在口丘區(qū)使得平⑷=訃.從而W（司—t=儀口）w（印/（27=.（affg-i）=.（同）,所以,或團(tuán)是G?的正規(guī)子群.n.設(shè)以七G,1的階為H,證明。'的階是不，其中d=（/M。.設(shè)臺是循環(huán)群，G與G同態(tài)，證明G是循環(huán)群。.證明循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。.假定也和占是一個(gè)群G的兩個(gè)元，弁且就=也，又假定式的階是股，小的階是忽，8MT,證明：心的階是洪匯。證明——方面，仲m=e；另一方面，若（時(shí)『則（吠"=2產(chǎn)―嚴(yán)”=川咄=平.同理，,國；于是由（逸㈤?1,有?特心，故，心的階是麻的。.假定H是G的子群，N是G的不變子群，證明HN是G的子群證明：四餐，m.HN,即離胃口,友強(qiáng)為：勺eHN（用巧尸?超JT' 2mJ-- - - - - O21.設(shè)五是一個(gè)環(huán),如果兄有單位元,則R的單位元是唯一的.用的單位元常記作證明設(shè)”，都是R的單位元,則e—e-ef（中為單位兀），型=0ef（日為單位兀）所以，?=￡,.22、設(shè)R為實(shí)數(shù)集，a,bR,a0,令f（a,b）：R R,xaaxb,xR,將R的所有這樣的變換構(gòu)成一個(gè)集合 G f（a,b）|a,bR,a0,試證明：對于變換普通的乘法， G作成一個(gè)群。證明（1）（封閉性）fa,b,fc,dGXR,我們有：fa,bfc,dxfabcxdacxdbacxadbfac,adbx.由于a0,c0ac0fac,adbGG中元素是封閉的.（2）（結(jié)合律）凡是映射的合成都滿足結(jié)合律.故G中的元素也滿足結(jié)合律.（3）（單位元）顯然fi,0G是R的恒等變換,由定義2知fi,。必是G的單位元.（4）（左逆元）fabG那么a0i0故fibG弁且fa,bfrb-f…fa,b^aa 'aa aa（這個(gè)等式可以驗(yàn)證）故知fa1bf-fa,b.aa由上述1 4Gfa,ba,bR,a0是一個(gè)R的變換群.23.全體偶數(shù)Z｝關(guān)于通常的數(shù)的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)沒有單位元的交換環(huán).證明：(1)先證關(guān)于加法做成一個(gè)群A：任給2a，動(dòng)W2Z,則+b)￡22,2c.25二2(2財(cái)E2Z.所以，數(shù)的加法與乘法是2Z的代數(shù)運(yùn)算.B:因?yàn)閿?shù)的加法滿足結(jié)合律，所以全體偶數(shù)關(guān)于加法也滿足結(jié)合律C：因?yàn)?=2.0^22,且對任意的2口丘2Z,有0+2a=2a+0=2a.所以數(shù)零是2N的加法零元.D：任給2口W2Z,2(一可W2N,2a+2(—a)=2-0=0,所以2%的每個(gè)元都有負(fù)元,且-2叢=2(一可.(2)因?yàn)閿?shù)的乘法滿足結(jié)合律，所以全體偶數(shù)關(guān)于乘法也滿足結(jié)合律，交換律(3)數(shù)的乘法對加法顯然滿足分配律。。。。。從而由環(huán)的定義知,2Z構(gòu)成交換環(huán),顯然2Z無單位元.事實(shí)上，如果2Z有單位元%則白=2%打丘工,且對任意的2b日Z,有e26=26,即2a-2b=2b,所以2n=L任"，矛盾.(重點(diǎn))24、設(shè)群G的每個(gè)元素x都適合方程x2=e,這里e是G的單位元，求證：G是交換群。證明：任意x、yGG,由x2=e,y2=e有x-1=x,y-1=y。又由(xy)2=e有(xy)-1=xy°從而yx=y-1x-1=(xy)-1=xy.即G是交換群.25.證明數(shù)集z[H=｛。+狀gsw為關(guān)于數(shù)的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)有單位元的交換環(huán).證明：(1)先證關(guān)于加法做成一個(gè)群A：任給a=a+bi*。二二+diWS[i],啊&烏族3,貝fja+/fl=(a+o)+(A+rf)iWZ[i];a8=(陽一+(qd+加)i￡町江所以，數(shù)的加法與乘法是ZU]的代數(shù)運(yùn)算.B:因?yàn)閿?shù)的加法滿足結(jié)合律，所以 Z⑴關(guān)于數(shù)的加法也滿足結(jié)合律，C：因?yàn)椤?。+。：€Z[i],且對任意的“二。+biEZ[i],有0+ac=ct+0=a.所以數(shù)零為ZU]的零元.D:任給鼻=。+biwZ[i],-&=一"方i=(一&)+(-Z[i],且%+(一口)=0,所以一=a+ €Z[i]的負(fù)元為■.:.-；].(2)數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，交換律，所以 Z川關(guān)于數(shù)的乘法滿足結(jié)合律，交換律(3)乘法對加法顯然滿足左右分配律，所以別”的乘法對加法也滿足分配律所以做成一個(gè)交換環(huán)因?yàn)閘=l+Oi￡Z[i],且對任意的m=。+入丘2山，有1q=a1=a所以數(shù)1為Z⑴的單位元.26.在一個(gè)無零因子環(huán)中,兩個(gè)消去律成立.即設(shè)3WR,石，0,如果帥=晶，或6口=如，貝U0=0.證明設(shè)函=此則,一琳=0.因?yàn)槿邿o零因子,且*0,所以口一=口,從而0=%同理可證另一個(gè)消去律成立.27、群G的兩個(gè)子群的交集還是G的子群。證明：設(shè)Hi、H2為G之子