2022年華東師大版數(shù)學九上《二次根式的乘除》課件

第21章

二次根式21.2二次根式的乘除第1課時第21章21.2二次根式的乘除學習目標1.利用積的算術平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算；

(重點)2.會進行簡單的二次根式的乘法運算.(重點、難點)學習目標1.利用積的算術平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算問題1

什么叫二次根式？問題2兩個根本性質(zhì):=aa(a≥0)-a(a＜0)==∣a∣(a≥0)觀察與思考問題1什么叫二次根式？問題2兩個根本性質(zhì):=aa當a是正數(shù)或0時，是實數(shù)嗎？取a值分別為1，2，3，4，5試一試！類比有理數(shù)的運算，你認為任何兩個實數(shù)之間可以進行哪些運算？加、減、乘、除四那么運算當a是正數(shù)或0時，是實數(shù)嗎？取a值分別兩個二次根式能否進行加、減、乘、除運算？怎樣運算？讓我們從研究乘法開始．請寫出兩個二次根式，猜一猜，它們的積應該是多少？

特殊化，從能開得盡方的二次根式乘法運算開始思考?。績蓚€二次根式能否進行加、減、乘、除運算？怎樣運算？讓我們計算以下各式,觀察計算結果,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1.

×=____(a≥0,b≥0)662020一般地,對于二次根式的乘法法那么是:二次根式的乘法法則及運算一_____2516___,25162.=×=×計算以下各式,觀察計算結果,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1.a、b必須都是非負數(shù)！算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術平方根.(a≥0,b≥0)知識要點a、b必須都是非負數(shù)！算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術

計算解:練一練計算解:練一練反過來：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般地，有在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)．積的算術平方根的性質(zhì)及化簡二反過來：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般地，有在本章化簡:〔1〕〔2〕解：練一練化簡:解：練一練1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；2.把各因式(或因數(shù))積的算術平方根化為每個因式(或因數(shù))的算術平方根的積；化簡二次根式的步驟：3.如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應用關系式(a≥0)把這個因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡.1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；2.把各因式(或因數(shù))積想一想？成立嗎？為什么？非負數(shù)想一想？成立嗎？為什么？非解：1.計算：當堂練習解：1.計算：當堂練習2022年華東師大版數(shù)學九上《二次根式的乘除》課件2.計算：2.計算：學習目標1.利用菱形特有性質(zhì)〔對角線互相垂直〕來判定平行四邊形是否為菱形；〔重點〕2.菱形的性質(zhì)與判定的綜合運用.〔難點〕學習目標1.利用菱形特有性質(zhì)〔對角線互相垂直〕來判定平行四邊問題：上一課我們學習的菱形的判定方法有哪些？導入新課1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.定理：四邊相等的四邊形是菱形.復習引入菱形的特有性質(zhì)：對角線互相垂直平分對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.能否判定？思考：還有其他的判定方法嗎？問題：上一課我們學習的菱形的判定方法有哪些？導入新課1.定義做一做：先將一張長方形的紙對折,再對折,然后沿圖中的虛線剪下,將紙展開,就得到了一個菱形.(1)(2)(3)(4)你能說說這樣做的道理嗎?做一做：先將一張長方形的紙對折,再對折,然后沿圖中的虛線剪下前面我們用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可以轉動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個平行四邊形.那么轉動木條,這個平行四邊形什么時候變成菱形?對此你有什么猜測？猜測：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明這一猜測嗎？講授新課對角線互相垂直的平行四邊形是菱形前面我們用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固定一個小釘,做作一條兩條對角線互相垂直的平行四邊形.步驟:1.作兩條互相垂直的直線m、n,記交點為點O;2.以點O為圓心、適當長為半徑畫弧，在直線m，n上分別截取相等的兩組線段OA、OC和OB、OD；3.連接A、B、C、D四點，顯然，它是一個對角線互相垂直的平行四邊形.nmDCBA畫圖探究思考：所畫平行四邊形是菱形嗎？O作一條兩條對角線互相垂直的平行四邊形.nmDCBA畫圖探究思ABCOD：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點O，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是線段AC的垂直平分線. ∴BA=BC. ∴四邊形ABCD是菱形〔菱形的定義〕.證一證ABCOD：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與B對角線互相垂直的平行四邊形是菱形AC⊥BD幾何語言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCD□ABCD平行四邊形的判定定理2：歸納總結對角線互相垂直的平行四邊形是菱形AC⊥BD幾何語言描述：∴思考與動手:1.在一張紙上用尺規(guī)作圖作出邊長為10cm的菱形;2.想方法用一張長方形紙剪出一個菱形;3.利用長方形紙你還能想到哪些制作菱形的方法？請向同學們展示你的作品,全班交流.思考與動手:例1

如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=5，AO=4，BO=3.

求證：四邊形ABCD是菱形.ABCDO∴平行四邊形ABCD是菱形.∵

OA=4,OB=3,AB=5，證明：即AC⊥BD，∴

AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，例1如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點例2如圖,矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．ABCDEFO12證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC ∴四邊形AFCE是菱形.例2如圖,矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、練一練在四邊形ABCD中，對角線AC，BD互相平分，假設添加一個條件使得四邊形ABCD是菱形，那么這個條件可以是〔〕A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CDB練一練在四邊形ABCD中，對角線AC，BD互相平分，假設添加例3如圖，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(1)證明：∵DE∥BC，且2DE＝BC，又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形；菱形的性質(zhì)與判定的綜合運用例3如圖，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，B(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為，∴菱形的面積為.(2)假設CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．

判定一個四邊形是菱形時，要結合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或對角線互相垂直，可以先嘗試證出這個四邊形是平行四邊形．歸納(2)解：∵∠BCF＝120°，(2)假設CE＝4，∠BCF練一練如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長.解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四邊形ABCD為菱形，∴四邊形ABCD的周長=4×2=8．練一練如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=當堂練習1.判斷以下說法是否正確(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形．√

╳

╳

╳

2.一邊長為5cm的平行四邊形的兩條對角線的長分別為24cm和26cm，那么平行四邊形的面積是

.

312cm2當堂練習1.判斷以下說法是否正確√╳╳╳2.一邊長ABCDOE3.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC,CE∥BD.求證：四邊形OCED是菱形.證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四邊形OCED是菱形．ABCDOE3.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5.求AB的長.解:∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴△DAO是直角三角形.∴∠DOA=90°，即DB⊥AC.∴平行四邊形ABCD是菱形.〔對角線互相垂直的平行四邊形是菱形〕∴又∵AD=5，滿足∴AB=AD=5.4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC=6，BD=8證明：∵MN是AC的垂直平分線，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO〔ASA〕．∴AD=CE，OD=OE，∵OD=OE，OA=OC，∴四邊形ADCE是平行四邊形又∵∠AOD=90°，∴四邊形ADCE是菱形．5.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點O，CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形.BCADOEMN證明：∵MN是AC的垂直平分線，5.如圖，△ABC中，AC的第21章

二次根式21.2二次根式的乘除第1課時第21章21.2二次根式的乘除學習目標1.利用積的算術平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算；

(重點)2.會進行簡單的二次根式的乘法運算.(重點、難點)學習目標1.利用積的算術平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算問題1

什么叫二次根式？問題2兩個根本性質(zhì):=aa(a≥0)-a(a＜0)==∣a∣(a≥0)觀察與思考問題1什么叫二次根式？問題2兩個根本性質(zhì):=aa當a是正數(shù)或0時，是實數(shù)嗎？取a值分別為1，2，3，4，5試一試！類比有理數(shù)的運算，你認為任何兩個實數(shù)之間可以進行哪些運算？加、減、乘、除四那么運算當a是正數(shù)或0時，是實數(shù)嗎？取a值分別兩個二次根式能否進行加、減、乘、除運算？怎樣運算？讓我們從研究乘法開始．請寫出兩個二次根式，猜一猜，它們的積應該是多少？

特殊化，從能開得盡方的二次根式乘法運算開始思考??？兩個二次根式能否進行加、減、乘、除運算？怎樣運算？讓我們計算以下各式,觀察計算結果,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1.

×=____(a≥0,b≥0)662020一般地,對于二次根式的乘法法那么是:二次根式的乘法法則及運算一_____2516___,25162.=×=×計算以下各式,觀察計算結果,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1.a、b必須都是非負數(shù)！算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術平方根.(a≥0,b≥0)知識要點a、b必須都是非負數(shù)！算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術

計算解:練一練計算解:練一練反過來：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般地，有在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù)．積的算術平方根的性質(zhì)及化簡二反過來：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般地，有在本章化簡:〔1〕〔2〕解：練一練化簡:解：練一練1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；2.把各因式(或因數(shù))積的算術平方根化為每個因式(或因數(shù))的算術平方根的積；化簡二次根式的步驟：3.如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應用關系式(a≥0)把這個因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡.1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；2.把各因式(或因數(shù))積想一想？成立嗎？為什么？非負數(shù)想一想？成立嗎？為什么？非解：1.計算：當堂練習解：1.計算：當堂練習2022年華東師大版數(shù)學九上《二次根式的乘除》課件2.計算：2.計算：學習目標1.利用菱形特有性質(zhì)〔對角線互相垂直〕來判定平行四邊形是否為菱形；〔重點〕2.菱形的性質(zhì)與判定的綜合運用.〔難點〕學習目標1.利用菱形特有性質(zhì)〔對角線互相垂直〕來判定平行四邊問題：上一課我們學習的菱形的判定方法有哪些？導入新課1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.定理：四邊相等的四邊形是菱形.復習引入菱形的特有性質(zhì)：對角線互相垂直平分對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.能否判定？思考：還有其他的判定方法嗎？問題：上一課我們學習的菱形的判定方法有哪些？導入新課1.定義做一做：先將一張長方形的紙對折,再對折,然后沿圖中的虛線剪下,將紙展開,就得到了一個菱形.(1)(2)(3)(4)你能說說這樣做的道理嗎?做一做：先將一張長方形的紙對折,再對折,然后沿圖中的虛線剪下前面我們用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可以轉動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個平行四邊形.那么轉動木條,這個平行四邊形什么時候變成菱形?對此你有什么猜測？猜測：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明這一猜測嗎？講授新課對角線互相垂直的平行四邊形是菱形前面我們用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固定一個小釘,做作一條兩條對角線互相垂直的平行四邊形.步驟:1.作兩條互相垂直的直線m、n,記交點為點O;2.以點O為圓心、適當長為半徑畫弧，在直線m，n上分別截取相等的兩組線段OA、OC和OB、OD；3.連接A、B、C、D四點，顯然，它是一個對角線互相垂直的平行四邊形.nmDCBA畫圖探究思考：所畫平行四邊形是菱形嗎？O作一條兩條對角線互相垂直的平行四邊形.nmDCBA畫圖探究思ABCOD：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點O，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是線段AC的垂直平分線. ∴BA=BC. ∴四邊形ABCD是菱形〔菱形的定義〕.證一證ABCOD：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與B對角線互相垂直的平行四邊形是菱形AC⊥BD幾何語言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCD□ABCD平行四邊形的判定定理2：歸納總結對角線互相垂直的平行四邊形是菱形AC⊥BD幾何語言描述：∴思考與動手:1.在一張紙上用尺規(guī)作圖作出邊長為10cm的菱形;2.想方法用一張長方形紙剪出一個菱形;3.利用長方形紙你還能想到哪些制作菱形的方法？請向同學們展示你的作品,全班交流.思考與動手:例1

如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=5，AO=4，BO=3.

求證：四邊形ABCD是菱形.ABCDO∴平行四邊形ABCD是菱形.∵

OA=4,OB=3,AB=5，證明：即AC⊥BD，∴

AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，例1如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點例2如圖,矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．ABCDEFO12證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC ∴四邊形AFCE是菱形.例2如圖,矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、練一練在四邊形ABCD中，對角線AC，BD互相平分，假設添加一個條件使得四邊形ABCD是菱形，那么這個條件可以是〔〕A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CDB練一練在四邊形ABCD中，對角線AC，BD互相平分，假設添加例3如圖，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(1)證明：∵DE∥BC，且2DE＝BC，又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形；菱形的性質(zhì)與判定的綜合運用例3如圖，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，B(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為，∴菱形的面積為.(2)假設CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．

判定一個四邊形是菱形時，要結合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或對角線互相垂直，可以先嘗試證出這個四邊形是平行四邊形．歸納(2)解：∵∠BCF＝120°，(2)假設CE＝4，∠BCF練一練如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長.解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC，∴四邊形ABCD為菱形，∴四邊形ABCD的周長=4×2=8．練一練如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=